精品解析：安徽省六安市毛坦厂中学教育集团2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 3. 下列说法错误的是（ ） A. 为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C. 抽签法和随机数法是两种常用简单随机抽样的方法 D. 某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 4. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（ ） A. 168，35 B. 168，20 C. 169.6，35 D. 169.6，20 7. 已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（ ） A B. C. D. π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 10. 已知A，B，C是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若事件A，B，C两两互斥，则 B. 若事件A，B，C相互独立，则与也相互独立 C 若，，则事件A，B相互独立与互斥能同时成立 D 若A，B，C两两独立，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为AB的中点，点是正方形内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 二面角的正切值为 C. 的周长的最小值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为______. 13. 某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则______；的外接圆的圆心是，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． （1）求双方需要进行第三局比赛的概率； （2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 16. 如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 17. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. （1）证明：平面PAC； （2）求二面角的大小； （3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：C． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C. 抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D. 某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 4. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形先求出梯形的面积，再利用直观图与对应的平面图的面积之间的关系即可求得四边形的面积. 【详解】由题意，四边形的直观图为直角梯形， 其面积为， 故四边形的面积为. 故选：B. 5. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】运用线面平行、垂直，面面平行、垂直判定和性质，逐个判断. 【详解】若，则或，故A错误； 当，若不相交，则推不出，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误. 故选：C. 6. 某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（ ） A. 168，35 B. 168，20 C. 169.6，35 D. 169.6，20 【答案】A 【解析】 【分析】先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算. 【详解】男学生和女学生人数比例为， 故样本中男生人数为人，女生人数为人， 样本的平均数为， 样本的方差为. 故选：A. 7. 已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 【详解】由数据1，2，3，4，的平均数， 可得，所以，从这5个数中任取2个，结果有： 共10种， 这2个数字之积小于5的结果有：，共4种， 所以所求概率为. 故选：B 8. 已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（ ） A. B. C. D. π 【答案】C 【解析】 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ） A. 众数为65 B. 极差为7 C. 平均数为65.4 D. 80%分位数为67.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数，故C错误； ，所以80%分位数为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知A，B，C是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若事件A，B，C两两互斥，则 B. 若事件A，B，C相互独立，则与也相互独立 C. 若，，则事件A，B相互独立与互斥能同时成立 D. 若A，B，C两两独立，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由事件互斥即可对A判断求解；利用事件的独立可对B判断求解；利用独立与互斥的关系即可对C判断求解；通过举反例可对D判断求解. 【详解】A：若事件A，B，C两两互斥，则与C互斥，所以，所以A正确； B：若事件A，B相互独立，则，又，， 则，所以B正确； C：若A，B相互独立，则；若A，B互斥，则， 而，，所以事件A，B相互独立与A，B互斥不可能同时成立，故C错误； D：设样本空间含有4个等可能的样本点，且，，， 则，， 所以，，，即A，B，C两两独立， 但是，所以A，B，C两两独立时，不一定成立，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为AB的中点，点是正方形内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 二面角的正切值为 C. 的周长的最小值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，确定半径后根据球的表面积公式求解即可；对于选项B，作出辅助线找出二面角的平面角，然后根据边角关系求出正切值；对于选项C，找出点关于平面的对称点为，然后求出三角形周长的最小值；对于选项D，作出辅助线，根据线面平行得到面面平行，然后确定点的轨迹求出长度即可. 【详解】对于选项A：因为正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长， 而体对角线长度为，所以外接球半径为. 根据球的表面积公式可得：，A正确. 对于选项B：过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示. 易得为二面角的平面角，又， 所以，所以， 所以二面角的正切值为，故B错误. 对于选项C：记点关于平面的对称点为， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长的最小值为，C正确. 对于选项D：取的中点，的中点，连接， 易得，又不在平面上，平面， 所以平面，又易得，不在平面上， 平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，所以点在线段上， 所以点的轨迹长度，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆台的体积公式直接代入求得结果. 【详解】设圆台上底面半径为，下底面的半径为，高为， 则圆台体积. 故答案为：. 13. 某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________. 【答案】85 【解析】 【分析】根据平均数、方差的计算公式求解即可. 【详解】设更正前甲,乙,丙...的成绩依次为， 则， 即， 所以， ， 即， 所以. 更正后的平均分， 更正后的方差 . 故答案为：. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则______；的外接圆的圆心是，则的最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解第一空，合理作出图形，建立平面直角坐标系，利用外心的性质求出关键点的坐标，将目标式表示出来，最后利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由正弦定理得，解得，， 则， 如图，取中点，连接，因为的外接圆的圆心是，所以，以为原点建立平面直角坐标系， 则，，，则边上的中垂线方程为， 由斜率公式得，则的方程为， 由中点坐标公式得的中点坐标为， 故边上的中垂线方程为， 设，代入方程中，得到， 解得，则， 故，，， 则，故， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 故， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 则，解得， 则，故，即其最大值为， 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． （1）求双方需要进行第三局比赛的概率； （2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由互斥事件和事件概率加法公式可得； （2）将所求事件转化为这互斥事件的和事件，再由概率加法公式可求. 【小问1详解】 若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局， 因为前两局比赛中，双方各先手一次， 故双方需要进行第三局比赛的概率． 【小问2详解】 记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥， 由， ， ， 得． 16. 如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，平面，来证明面面平行； （2）先证明异面直线与所成角为（或其补角），再在中计算即可. 【小问1详解】 证明：因为，分别是，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为， 平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：由（1）知，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为，平面，所以，， 所以，，， 所以，即， 所以在中，， 即异面直线与所成角的正弦值为. 17. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率的性质求 ，再根据平均数运算求解； （2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4, 运算即可求解. （3）先根据分层抽样求参赛成绩在人数，再结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. 【小问2详解】 由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. 【小问3详解】 由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解. （2）由已知求出，再中由余弦定理列式求出. （3）由已知结合正切函数的性质求出的范围，再用正弦定理求出的范围，进而用含的表达式表示并求出范围. 【小问1详解】 在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由点D是边BC上的一点，且，得， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 【小问3详解】 在锐角中，，则，， 由正弦定理得， 在中，点E为AB的中点，， 由余弦定理得， 所以CE的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. （1）证明：平面PAC； （2）求二面角的大小； （3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，由勾股定理逆定理可得，由线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理得解即可； （2）先证明是二面角的平面角的补角，再解三角形得解； （3）证明平面ABCD，可得线面角为，设，利用函数单调性求取值范围即可. 【小问1详解】 ， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以，所以 因为底面ABCD，平面ABCD，所以. 又平面PAC，所以平面PAC. 【小问2详解】 取BP的中点E，过点D作平面PBC，DF交平面PBC于点F，连接CF. 因为平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD. 因为平面平面，所以平面PAB. 因为平面PAB，所以. 因为，所以 又BP，平面PBC，，所以平面PBC. 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以 由（1）知平面PAC，因为平面PAC，所以. 因为平面PBC，平面PBC，所以. 又DF，平面CDF，，所以平面CDF. 因为平面CDF，所以. 由，平面平面，知是二面角的平面角的补角. 由，得. 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 过点T作TG平行于PA，交AC于点G，连接GD. 因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以. 因为，所以. 因为，AB，平面ABCD，所以平面ABCD， 所以TD与底面ABCD所成的角为. 设，所以，即，所以. 所以. 由函数单调递增，得： 所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$