精品解析：河北省安平中学2025-2026学年高三年级上学期暑假作业测试数学试题

2026-2027学年第一学期高三暑假作业测试 数学试题 一、单项选择题(本大题共7小题，每小题8分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知两个随机事件A，B相互独立，，则（ ） A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98 3. 在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 5. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D. 向量在向量上的投影向量的模长为 7. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 8. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 9. 在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则一定是直角三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则 D. 是的充要条件 三、填空题(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 10. 温州轻轨S2号线从汀田站到机场共8个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的上四分位数为______． 11. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 12. 已知，，，则的最小值为_______． 四、解答题(本大题共3小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 13. 如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. （1）求AC； （2）求. 14. 某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [60,70） 16 0.2 [70,80） 50 n [80,90） 10 p [90,100] 4 0.05 合计 80 1 （1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值； （2）如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人的成绩在的概率. 15. 如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， . （1）求证: 平面 ； （2）求二面角 的大小； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三暑假作业测试 数学试题 一、单项选择题(本大题共7小题，每小题8分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解. 【详解】因为向量，，与共线， 所以，解得， 故选：D. 2. 已知两个随机事件A，B相互独立，，则（ ） A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98 【答案】C 【解析】 【详解】事件，相互独立，， ，; . 3. 在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用正弦定理求出的值，进一步求出的值，最后利用三角形的面积公式求出结果. 【详解】在中，已知，，， 利用正弦定理得：，解得：，， ， 则：， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题. 4. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】 故选：B 5. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知模长等式平方求得与的数量积关系，再计算目标两向量的数量积为0，即可判断夹角为直角. 【详解】已知，则，展开得，整理得. . 由于不共线，因此夹角为. 6. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D. 向量在向量上的投影向量的模长为 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算结合勾股定理计算点到直线的距离判断A，由空间向量基底的性质判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，先求出投影向量再计算模长判断D. 【详解】对于A，因为 ， 又 为 的一个方向向量， 则点 到直线 的距离，故A错误； 对于B， 因为 即共面，不能作为空间的一个基底，故B错误； 对于C，因为四边形为平行四边形，， 又， ，，， 因为在空间四边形中，与成角， 或， 又， ， 当时，， ，即此时两点间的距离为； 当时，， ，即此时两点间的距离为， 综上所述，两点间的距离为或，故C错误； 对于D，因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影模长为：，故D正确. 7. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积. 【详解】设是的中点，连接，由于， 所以，所以是二面角的平面角，所以， 由得. 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 所以， 由于，所以 两两垂直. 由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为. 设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为， 故选：A. 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 8. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知复数，先化简： . A：的虚部为，不是，A错误. B：的共轭复数，B正确. C：对应复平面内点，在第一象限，C正确. D：，，，所以，D正确. 9. 在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则一定是直角三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则 D. 是的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据诱导公式判断A，利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理判断B，由余弦定理结合二倍角公式判断C，利用余弦函数的单调性判断D. 【详解】对于A：当时，，此时是直角三角形； 当时，，此时不是直角三角形，故A错误； 对于B：因为，则，即，所以，又，所以，即为钝角， 故为钝角三角形，即B正确； 对于C：设，， 所以，， 故，即，又，， 所以，故C正确； 对于D：由于在上为减函数且，知， 故是的充要条件，即D正确. 三、填空题(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 10. 温州轻轨S2号线从汀田站到机场共8个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的上四分位数为______． 【答案】 【解析】 【详解】先排序：， 上四分位数即第百分位数， 因为， 所以这组数据的第百分位数为第两个数的平均数，即为. 11. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先求出正四棱台的高，再代入棱台体积公式计算即可得到结果。 【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积， 其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，如图所示，其中，，， 侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形， 由勾股定理得：， 代入棱台体积公式， 即. 12. 已知，，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，利用坐标法计算，结合一元二次函数求最值. 【详解】不妨设， 则，则， 因为， 所以 ， 当时，有最小值，最小值为. 四、解答题(本大题共3小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 13. 如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. （1）求AC； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得； （2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可 【小问1详解】 因为的面积为，所以. 又因为，，所以. 由余弦定理得，， ，所以. 【小问2详解】 因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以. 14. 某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [60,70） 16 0.2 [70,80） 50 n [80,90） 10 p [90,100] 4 0.05 合计 80 1 （1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值； （2）如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人的成绩在的概率. 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布表，利用频率的意义求出，再利用频率分布直方图求出作答. （2）利用分层抽样求出5人中，每个分数段的人数，再利用列举法求出概率作答. 【小问1详解】 依题意，，，. 【小问2详解】 样本成绩在和的学生的人数之比为， 因此抽取5人中成绩在的有4人，记这4人为，成绩在的有1人，记为， 从这5人中任选2人，有，共10个结果， 其中这2人成绩均在内有，共6个， 所以这2人成绩均在内的概率为. 15. 如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， . （1）求证: 平面 ； （2）求二面角 的大小； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）如图，因为，点 为 的中点，所以，所以， 又因为 是等边三角形， 所以，所以，所以， 因为平面 ，所以 平面 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形得出，进而结合边长得出，最后应用线面垂直判定定理证明； （2）先应用四边形是平行四边形得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理得出所以平面，进而得出二面角的平面角是，最后应用边长得出角的大小； （3）先设点到平面的距离为，应用等体积法计算求出，再应用线面角正弦计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，因为 是等边三角形，所以， 取，因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， ∴二面角的平面角是， 因为 是等边三角形，，所以， 所以，则，所以二面角 为． 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 所以，所以， 又因为，所以 ，所以， 设直线 与平面 所成角为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $