5.3实际问题与一元一次方程 题型分类解答题专题训练2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程实际应用，按工程、方案选择、配套问题分类，通过基础计算到方案优化的梯度设计，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一等量关系|如工程问题求合作天数，直接建立方程| |综合应用|多步骤问题|如合作后单独完成，需分段列方程| |拓展优化|方案决策|如费用最少问题，结合不等式与最优解|

5.3 实际问题与一元一次方程  题型分类解答题专题训练 一、工程问题 1．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 2．某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 3．在某段路的修建中，有甲、乙两个工程队，若甲单独完成需要30天，乙单独完成需要60天． (1)问甲、乙两队合作多少天完成此项工程？ (2)若先由甲、乙合作若干天后，剩下的工程由乙队单独做，还需15天才能完成，按此方式完成该工程共需费用57万元，乙工程队每天工程费用万元，问甲工程队每天工程费用是多少万元？ (3)在（2）的条件下，招标组现制定如下三种方案，方案一：甲工程队单独完成；方案二：乙工程队单独完成；方案三：甲、乙两个工程队按（2）问中的方式合作完成，在不要求工期的情况下请你为招标组选择一种最省钱的方案并说明理由． 4．2025年，DeepSeek掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务；共用9小时至少完成66TB的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 5．某公司购进两台机器进行零件加工，通过使用发现甲机器比乙机器每小时多加工2个，甲机器加工25个零件与乙机器加工20个零件的时间相同． (1)求甲机器每小时加工多少个零件； (2)若同时加工若干小时后，甲机器加工的零件中有4个不合格，乙机器加工的零件中有5个不合格．这批零件的合格率为95%，求此次加工了多少个零件． 6．有一批产品需要生产装箱，台型机器一天刚好可以生产箱产品，而台型机器一天刚好生产箱产品．已知每台型机器比每台型机器一天多生产件． (1)求每台型、型机器一天可分别生产多少件产品？ (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算） (3)若每台机器运输安装费用元（运输安装一次可使用天），每台型机器一天的租赁费用是元，可供租赁的型机器有台，每台型机器一天的租赁费用是元，租赁的型机器台数不限，现要在天内（含天），则租赁的型机器 台，费用最省，最省的总费用为 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）． 二、方案选择问题 7．某家具厂生产一种办公桌和办公椅，办公桌每张定价为200元，办公椅每把定价为80元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张办公桌就赠送一把办公椅； 方案二：办公桌和办公椅都按定价的付款． 某学校计划添置100张办公桌和x把办公椅（x超过100）． (1)当时，求两种方案各自的费用； (2)当x等于多少时，两种方案的费用一样多； (3)如果只能单独享受其中一种优惠方案，请设计一种省钱的方案（直接写出方案）． 8．某商场销售一种洗地机和加湿器，洗地机每台售价800元，加湿器每台售价150元，为应对竞争，该商场引入“胖东来”营业模式后重新开业搞促销活动，活动期间向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：买一台洗地机送一台加湿器； 方案二：洗地机和加湿器都按售价的付款． 促销活动期间，某客户要到该商场购买洗地机3台，加湿器台． (1)用含的代数式分别表示该客户按方案一、方案二购买所需的费用； (2)当为何值时，该客户选择两种购买方案所需的费用相同？ 9．某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租一处临街房屋．现有甲、乙两家出租屋，甲家已经装修好，每月租金为2400元；乙家未装修，每月租金为1600元，但若装修成与甲家房屋同样的规格，则需要自己支付装修费3.2万元．设租用时间为个月，所需租金为元． (1)请分别写出租用甲、乙两家房屋的租金、与租用时间之间的函数关系； (2)试判断租用哪家房屋更合算，请写出详细分析过程．（请用“式的比较”和“图象的比较”两种方法进行解答） 10．某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 11．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 12．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式（注：不足一个小时的按一小时计算）： 收费方式 详细介绍 会员卡 办卡费180元/月，每小时收费4元 普通卡 无办卡费，每小时收费6元 设小明8月去文体中心活动的总时间为小时（为整数）． (1)若小明选择会员卡的收费方式，需要花费______元；若小明选择普通卡的收费方式，需要花费______元； (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明怎样选择花费较少？ 三、配套问题 13．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 14．某车间生产一种仪器，每台仪器需要1个主体、3个配件才能配套．车间共有20名工人，每人每天可生产主体15个或配件30个． (1)如何分配工人，才能使每天生产的主体和配件刚好配套？ (2)在另一生产方案下，已知一名工人单独完成120个主体的时间，比单独完成90个配件的时间多1天，且每人每天生产主体比配件少5个．求每人每天生产配件多少个？ 15．太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 16．某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 17．北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 18．某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 2．(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 3．(1)20天 (2)2万元 (3)方案二 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得到数量关系是解题的关键． （1）设甲、乙两队合作天，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设先由甲、乙合作天，根据题意，列出方程，即可求解； （3）分别求出三种方案所需费用，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队合作天，根据题意得： 解得： 答：甲、乙两队合作20天完成此项工程； （2）解：设先由甲、乙合作天，根据题意得： ， 解得：， （万元） 答：甲工程队每天工程费用是2万元． （3）解：方案一：（万元） 方案二：（万元） 方案三：57万元 选择方案二最省钱． 4．(1)甲数据中心的数据迁移速度为小时，乙数据中心的数据迁移速度为小时． (2)甲数据中心至少需要工作小时． 【分析】（1）根据题意，先设定未知数，寻找等量关系，然后解方程，检验并得出结论． （2）先设定未知数，寻找不等关系，建立不等式，解不等式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时． 根据题意，得 得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：甲数据中心的数据迁移速度为小时， 乙数据中心的数据迁移速度为小时． （2）解：设甲数据中心需要工作小时， 则乙数据中心工作小时， 根据题意，得 得． 答：甲数据中心至少需要工作小时． 5．(1) 10个零件 (2) 180个零件 【分析】（1）以甲、乙加工零件的时间相等为等量关系，设未知数列方程求解； （2）结合第一问的加工效率，根据合格率的定义列方程求解总加工数. 【详解】（1）解：设甲机器每小时加工个零件，则乙机器每小时加工个零件， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意. 答：甲机器每小时加工10个零件； （2）解：设两台机器同时加工了小时， 由（1）得，甲每小时加工10个零件，乙每小时加工个零件， ∴总加工零件数为， 合格零件数为， 由题意，得， 解得， ∴总零件数为（个）， 答：此次加工了180个零件. 6．(1)每台型机器一天可生产件产品，每台型机器一天可生产件产品； (2)需天完成； (3)，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用． 设每台型机器一天可生产件产品，则每台型机器一天可生产件产品，根据每箱中产品的件数相同，可列方程：，解方程即可求出结果； 由可知一箱产品有件，可得：用台型机器和台型机器同时生产件产品需要天； 因为，可知机器生产件产品的费用比机器生产件产品的费用少，所以尽量多租用机器，设租赁的型机器台，可得不等式，解不等式求出的取值范围，根据为整数，可知型机器租赁的数量，再根据安装费和租赁费计算出最少费用即可 ． 【详解】（1）解：设每台型机器一天可生产件产品，则每台型机器一天可生产件产品， 根据题意得：， 解得：， ， 每台型机器一天可生产件产品，每台B型机器一天可生产件产品； （2）解：由知，箱产品有件， ， 需天完成； （3）解：， 机器生产件产品的费用比机器生产件产品的费用少， 型机器尽量多租用，才能使总费用更少， 设租赁的型机器台， 根据题意得：， 解得：； 为整数， 最小取， 租赁台型机器和台型机器，可以在天内完成任务， 所需要的最少费用是(元)． 故答案为：，． 7．(1)方案一的费用为24000元，方案二的费用为25600元 (2) (3)当时，选择方案一省钱；当时，选择方案一和方案二均可；当时，选择方案二省钱 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意分别用代数式表示方案一和方案二的费用，然后将代入计算即可； （2）根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）结合（2），分析省钱的方案即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知方案一的费用为：， 方案二的费用为：， 当时， 可知方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元）； （2）根据题意，可得， 解得， 即当时，两种方案的费用一样多； （3）如果只能单独享受其中一种优惠方案， 当时，选择方案一省钱； 当时，选择方案一和方案二均可； 当时，选择方案二省钱． 8．(1)按方案一购买所需的费用为元，按方案二购买所需的费用为元 (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）结合（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：按方案一购买所需的费用为元； 按方案二购买所需的费用为元； 答：按方案一购买所需的费用为元，按方案二购买所需的费用为元； （2）解：由题意得，， 解得， 答：当时，该客户选择两种购买方案所需的费用相同． 9．(1)租用甲家房屋时：；租用乙家房屋时： (2)①由题意可知： ， 解得：， 即当租用40个月时，两家租金相同． ②由， 解得：； 即当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算． ③由， 解得：， 即当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算． 方法（二）图象如下： 观察图象可知：当租用40个月时，两家租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家更合算；当租用时间小于40个月时，租甲家更合算 【分析】（1）根据题意列出函数关系式； （2）根据题目要求分两种方法进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意， 租用甲家房屋时：； 租用乙家房屋时：； （2）略 10．(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即； （2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 11．(1)；（，为正整数） (2)当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，当人数在 20人以上时，选择方案二优惠 【分析】本题考查了函数的表达式，方程或不等式的应用． （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）分三种情况：当时， 当 时， 当 时，再建立方程或不等式求解可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；（，为正整数）； （2）解：当时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 所以，当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠， 当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以， 当人数在 20人以上时，选择方案二优惠． 12．(1)； (2)当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 【分析】（1）根据收费方式，列出代数式即可； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意， 若小明选择会员卡的收费方式，需要花费元； 若小明选择普通卡的收费方式，需要花费元； （2）解：若，解得， 即当时，小明办普通卡更划算； 若，解得， 即当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，解得， 即当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 13．(1)30个，1050元 (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． 【详解】（1）解：（个）； （元）． 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； （2）设每个模型应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不超过25元， ． 答：每个模型应降价20元． 14．(1)分配8名工人生产主体，12名工人生产配件，刚好配套 (2)每人每天生产配件45个 【分析】（1）设生产主体的工人有x名，则生产配件的工人有名．由题意得，然后进行求解即可； （2）设每人每天生产配件m个，则每人每天生产主体个．根据题意得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设生产主体的工人有x名，则生产配件的工人有名．由题意得： ， 解得：， ∴（名）， 答：分配8名工人生产主体，12名工人生产配件，刚好配套． （2）解：设每人每天生产配件m个，则每人每天生产主体个． 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 经检验：符合题意，是原方程的解． 答：每人每天生产配件45个． 15．分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． 【分析】本题考查一元一次方程的应用——配套问题，根据套数相等建立方程是解题的关键． 设分配名工人生产镜架，用含的代数式表示镜架和镜片的数量，根据套数相等建立方程，求解即可． 【详解】设分配名工人生产镜架，则有人生产镜片，根据题意列方程 ，得 ， 解得：， ， 答：分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． 16．(1)工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个 (2)每天应分配6名工人生产部件，分配15名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； （1）设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个，根据每天6个工人生产A部件的数量与5个工人生产B部件的数量相同，即可列出方程，解方程即可； （2）设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套，根据B部件的数量=A部件数量的3倍，即可列出方程，解方程即可得. 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个. （2）解：设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每天应分配6名工人生产部件，15名工人生产部件时，可使每天的生产的部件和部件配套. 17．(1)12人 (2)10名工人生产部件，15名工人生产部件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产部件，则名工人生产部件，再根据“每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件需要2个部件”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入工人的人数为人， 根据题意得：， 解得， 所以调人工人的人数为12人． （2）解： 调人12名工人后，车间有工人（名）， 设名工人生产部件，则名工人生产部件， 因为每天生产的部件和部件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 所以10名工人生产部件，15名工人生产部件，可使每天生产的部件和部件刚好配套． 18．该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系． 先设应该安排x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子）”列出方程求解． 【详解】解：设应该安排x台机器人生产上衣， 根据题意得，， 解得， （台）， ∴该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $