四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题01

**基本信息** 高2027届高二（上）期末模拟试题，以数列、解析几何、立体几何为核心，通过酒杯抛物面（第8题）、椭圆矩形综合（第18题）等情境，考查数学思维与创新意识，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|等差等比数列、抛物线焦点、椭圆中点、双曲线离心率|第8题结合抛物面与球的位置关系，考查数学建模| |填空题|3题/15分|双曲线交点、等差数列性质、椭圆焦点三角形|第14题利用椭圆第二定义求最小值，体现几何直观| |解答题|5题/77分|立体几何证明与夹角、抛物线方程与面积、数列证明、椭圆探究、双曲线综合|第18题三问梯度设计（定值证明-斜率最值-轨迹探究），第19题存在性问题，培养推理能力与应用意识|

高2027届高二（上）期末模拟试题01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记为等差数列的前项和. 若，则（     ） A.21 B.28 C.42 D.48 2. 抛物线的焦点坐标是（     ）. A. B. C. D. 3. 已知数列满足，，（），则（     ） A. B. C.1 D.2 4. 已知点在椭圆上，是的一个焦点，为的中点，，则（     ） A.4 B.3 C.2 D. 5. 已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正实数的可能取值为（     ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前项和为，若，，则（     ） A. B. C. D. 7. 已知、是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（     ） A. B. C.2 D. 8. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为3的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，则（     ） A. 存在使得直线与直线垂直 B. 直线恒过定点 C. 直线与圆可能相切 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（     ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 11. 已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，在轴上方，为线段上一点，且满足，则（     ） A. B. 直线的斜率为 C. ，，成等差数列 D. 的内切圆半径 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与双曲线交于异支两点，则的取值范围为            . 13. 在等差数列中，，，（），则            . 14. 已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点，，，且，则的最小值为            . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图：在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且 。 （1）求抛物线 的方程； （2）若点 ，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，求 的面积 17. 记为数列的前项和，为数列的前项积. 已知. （1）证明：数列为等差数列. （2）求数列的通项公式. 18. 如图，已知椭圆，矩形的顶点，在轴上，，在椭圆上，点在第一象限.的延长线交椭圆于点，直线与椭圆、轴分别交于点、，直线交椭圆于点，的延长线交于点. （1）设直线、的斜率分别为、，求证：为定值； （2）求直线的斜率的最小值； （3）证明：动点在一个定曲线上运动. 19. 已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，且，求的取值范围； （3）已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.【答案】B 【详解】由题意，则， 所以. 故选：B 2.【答案】D 【详解】抛物线的标准方程为，则，所以，，， 故该抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 3.【答案】D 【详解】数列满足，（），所以，（）. 因为，所以，，，. 故选：D. 4.【答案】C 【详解】不妨设为左焦点，设右焦点为，连接，，如图所示， 因为为的中点，为的中点， 所以为中位线，即，则， 由椭圆的方程可得，解得， 由椭圆的定义可得， 所以． 故选： 5.【答案】 【详解】因为圆的方程为，化简得， 所以圆的圆心坐标为，半径为． 而圆的圆心坐标为，半径为． 所以圆心距为，因为，所以． 因为圆与圆有且仅有两条公共切线，所以圆与圆相交． 所以，而选项中只有项在之间， 故选：． 6.【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，，所以有． 化简得，解得，. 所以. 故选：B. 7.【答案】C 【详解】已知双曲线方程为，焦点为、，， 不妨取渐近线， 过作此渐近线的垂线，则斜率为，垂线方程为， 联立方程代入得，整理得， 即，故，解得，， 的底边长，高为， 其面积为，因此， 即，故离心率， 故选：C 8.【答案】A 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为. 故选：A. 9.【答案】AB 【详解】对于A，若直线，斜率为，与直线，斜率为，垂直，则，存在，故选项A正确； 对于B，直线，即，则直线恒过定点，故选项B正确； 对于C，直线恒过的定点在圆的内部，直线与圆相交，故选项C错误； 对于D，当时，弦长最短，此时，则直线斜率不存在， 此时圆心到直线的距离， 则弦长为， 而直线，斜率是存在的，所以最小值取不到，故D错误. 故选：AB 10.【答案】BC 【详解】因为是等差数列，且，， 所以，， 即，，所以，且，所以B正确，D错误； 因为，所以等差数列是递减数列，所以A错误； 所以当时，取得最大值，所以C正确. 故选：BC 11.【答案】AC 【详解】 如图1：因为， 设，则，，， 所以，所以，故，故A正确. 设，，， 由椭圆离心率为可得：，，故椭圆方程可化为：， 联立直线方程整理得：. 设，，则有：，， 又，所以，， 所以，解得：，故，故B错误. 如图2：设椭圆上顶点为，则，， 因为，所以， 所以与重合，所以为上顶点， 故，，， 易知满足，故C正确 对于D：由知：是以为直角的直角三角形， 故内切圆半径，故D错误. 故选：AC. 12.【答案】 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的两支交于不同的两点，故，解得，故答案为： 13.【答案】 【详解】由，可得， 即，解得； 所以. 故答案为：0 14.【答案】 【详解】在椭圆中，，，，如下图所示： 椭圆的左准线为，以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边， 当时，过点作，过点作，垂足分别为点、， 易知四边形为矩形，则， 由椭圆第二定义可得，则， 又因为轴，则，所以，，所以，， 因为，即，所以，， 同理可知，当为任意角时，等式仍然成立， 同理可得，， 因此， 当时，取得最小值. 故的最小值为. 故答案为： 15.【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 （1）平面，平面，， 又，，，平面，平面， 又平面，， ，且为中点，， 又，，平面， 平面. （2）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴， 建立空间直角坐标系， 则 ，，，，， ，，且平面 的一个法向量为 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，，， ，。 设平面 与平面 夹角为 ，则 ，， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 。 16.【答案】（1）； （2）。 【解析】 （1）因为点 在抛物线上，所以 ，得 ， 因为抛物线 的准线方程为 ，且 ， 由抛物线的定义可得 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ； （2）设过点 的直线 的方程为 ， 由 得 ， 设 ，，则 ，， 所以， 解得， 所以 17.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】解：（1）当时，，易得 当时，代入消去 得， 化简得 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列。 （2）易得，由（1）可得， 当时，可得 ， 显然不满足该式，所以 18.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）在曲线上运动，证明见解析. 【详解】（1）由对称性，设，，， 则，得， 故，，则， （2）由， 联立， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 又，联立， 由根与系数的关系可得，所以， 所以可得：， 所以 由图知，所以 当且仅当即取等. 所以直线的斜率的最小值为。 （3）易知， 令可得， 所以， ， 所以 因为， 所以， 即在曲线上. 19.【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 （1）由题意可得，解得，， 故双曲线方程为\（C： （2）当直线斜率不存在时，设，， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设，， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，，故， 因此， 综上可得. （3）解法一：当直线 与 相切时， 圆心到直线的距离 ， 设 ，， 类似（2）中的计算可得 ， 所以 ， 由双曲线的对称性，延长 交双曲线于另一点 ， 则 ，且 ， 根据轴对称性可得 ，且直线 与 也相切，即 即为 ， 符合题意， 当 或 斜率不存在时，此时 ，，显然满足题意， 故存在这样的圆 ，半径为 解法二： 设，， 由于，为圆的切线，平分，且，所以， 设过点与圆相切的直线方程为，（直线斜率存在时） ， ，将两根记为，， ， ， ，， 同理可得，， 故 ， 故存在这样的圆，半径为 当 或 斜率不存在时，此时 ，，显然满足题意， 故存在这样的圆，半径为 学科网（北京）股份有限公司 $