四川省泸县第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

泸州市泸县二中2024-2025学年上期高二期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。 3.全卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．36 B．48 C．52 D．66 4．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．为常数 D．为等比数列 10．已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为3 11．已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．点与平面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．平面与平面所成的角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量，且与垂直，则等于 . 13．几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为 .    14．数列的前项和为， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）已知圆关于直线对称，且过点. (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程. 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（本题15分）已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9． (1)求的值； (2)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长． 18．（本题17分）如图，在三棱锥中，分别为的中点，.    (1)证明：： (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 19．（本题17分）如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B B B A D ACD ABD 题号 11 答案 ABC 12．4 13．/ 14．2600 15．（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设圆心到直线l的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，即，满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得 ， 所以直线l的方程为或． 即或． 16．（1）设等差数列的公差为， 依题意得，解得. 故数列的通项公式是 （2）由（1）知，. 所以 . 17．（1）设，且， 则． （2）由（1）知抛物线，焦点，直线，． 联立，得， 设， 则， ． 18．（1）因为为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. （2）因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. （3）设，其中， 由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有， 故，故. 19．（1）由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$