24.1.2线段的垂直平分线（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

第二十四章 轴对称 24.1.2 线段的垂直平分线 24.1 图形的轴对称 章节导读 第二十四章 轴对称 24.1 图形的轴对称 24.2 画轴对称图形 24.1 等腰三角形 24.1.1 轴对称及其性质 24.1.2 线段的垂直平分线 24.3.1 等腰三角形 24.3.2 等边三角形 学习目标 了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立； 理解并证明垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 复习引入 轴对称的性质： 连接对称点的线段被对称轴垂直平分 垂直平分线的概念： 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线 对称轴就是线段的垂直平分线 具有什么性质呢？ 新知引入 我们类比于角的平分线来研究线段的垂直平分线. 角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角的两边的距离关系; 类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离关系. ∵OP平分∠AOB，PA⊥AO，PB⊥OB ∴PA=PB PA与PA’之间有什么关系？ 新知探究 探究： 如图，直线垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在上，分别比较P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 新知证明 要证明这一个猜想是否正确，应该采取什么样的方法呢？ 已知条件 要证明的结论 直线 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 新知证明 已知条件: 要证明的结论: 直线 证明: 当点P与点C不重合时. ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 猜想成立 新知总结 1. 线段的垂直平分线的性质： 一、 线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ∵ ∴ 几何格式: （直线垂直平分线段AB） 典例训练 ∵ ∴ 解: AD垂直平分BC 两条垂直平分线 例1 如图，点在的垂直平分线上. 的长度有什么关系？与有什么关系？ 理由如下： ∵ 点在的垂直平分线上 ∴ ∴ ∴ ∴ 1 如图，在中，是的垂直平分线 的周长为13. 求的周长. 针对训练 ∵ 是的垂直平分线 且 ∴ ∴ 解: ∵ 的周长为13 ∴ 的周长 变式训练 1 如图，的边的垂直平分线交 ，连接 . ∴ 解: ∵ ∵ 点在的垂直平分线上 ∴ 新知思考 思考： 把上面线段的垂直平分线得性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果那么点是否在线段的垂直平分线上呢？ 已知 要证明 请各位同学自己尝试一下证明这个结论？ 新知思考 已知 要证明 过点直线交AB于点C 证明直线是线段AB的垂线和平分线 但要同时证明垂线和平分线很难，所以我们不妨在作直线的时候，就让这条直线垂直于线段AB 那接下来就只需要证明中线即可，即证明 新知思考 已知 要证明 证明: 如图，过点P作直线于点C ∵ ∴ 是直角三角形 又∵ ∴ ∴ ∴ 直线是线段AB的垂直平分线 除了做垂线之外，还可以做其他的线吗？ 还可以做中线 新知总结 2. 线段的垂直平分线的判定： 一、 线段的垂直平分线 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ∵ ∴ 点在线段AB的垂直平分线上 几何格式: 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合 例2 如图，直线是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ 典例训练 ∵ 解: 理由如下： ∴ 点在的垂直平分线上 ∵ ∴ 点在的垂直平分线上 ∴ 直线的垂直平分线 （两点确定一条直线） 要确定某条直线是线段的垂直平分线需要确定两个点 针对训练 2 如图，上. 求证 ∵ 证明: ∴ 点在的垂直平分线上 ∵ ∴ 点在的垂直平分线上 ∴ 直线的垂直平分线 ∵ 点 ∴ 判定 性质 题设 结论 题设 结论 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 新知思考 思考： 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？ 这两个命题的题设、结论正好相反 . 新知讲解 1. 原命题与逆命题： 二、 原命题、逆命题、互逆定理 若两个命题的题设与结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 典例训练 例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. （1）两直线平行，同位角相等. （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等. （3）全等三角形对应角相等. 逆命题：同位角相等，两直线平行. 逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 真命题 真命题 定理 互逆定理 真命题 假命题 逆命题：如果两个三角形对应角相等，那么这两个三角形全等. 真命题 假命题 定理 定理 新知总结 2. 互逆定理： 二、 原命题、逆命题、互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 . 在几何中，有许多互逆定理： 例如：上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理. “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行” 也是互逆定理 针对训练 3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立，原命题和逆命题之间是否是互逆定理. （1）两直线平行，同旁内角互补. （2）如果两个角互余，那么这两个角的和等于90°. 逆命题：同旁内角互补，两直线平行. 逆命题：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余. 真命题 真命题 定理 互逆定理 真命题 真命题 互逆定理 （3）如果都是正数，那么 逆命题：如果，那么都是正数. 真命题 假命题 课堂小结 线段的垂直平分线 定义 性质 判定 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 互逆命题 互逆定理 ∵ ∴ 点在线段AB的垂直平分线上 ∵ ∴ ∵ ∴ 是线段AB的垂直平分线上 感谢聆听! $