山西晋城市部分学校2026-2027学年高三上学期9月学情调研数学试题

秘密★启用前 高三年级学情调研 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 装 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设a=log23,b=log49,c=log327,则 A.a=b=c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 2.底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为 A.π B.√2π C.2π D.(1+√2)x 3.设集合A=(xy1(x-1)+2=1,B={(,》,(管》，则AnB= A.☑ B得，》 c(停》 D.(,》》 级 线 4.已知复数之1与之2满足之1十x2=4,之1一之2=4i,则|x1之2= A.1 B.2 C.4 D.8 5.某商场统计了一段时间内的销售情况，得到如下频率分布直方图. 名 频率 组距 0.04 0.02 0.01 30 40 50 60 70 80月销售额万元 由图估计该商场月销售额的方差为 A.165 B.155 C.150 D.145 数学试题 第1页（共4页） 6.若函数f(x)=lnx十a 的最大值为e,则实数a的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知圆C1:(x-2)2+y2=2,C2:x2+(y-2)2=2,C3:(x+2)2+y2=2,C4:x2+ (y十2)2=2，则直线（与这四个圆的公共点个数的最大值为 A.5 B.6 C.7 D.8 8.记集合U={(m,n)m,n∈N,m<6,n<6},点P(2,0),Q(2,1),样本空间2=Cu{P, Q},从2中随机取一个点，定义随机变量X如下：对任意2内的点A(m,),X(A)= m十2n,则X的数学期望为 69 A.17 86 B.1 c号 、132 D.17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设函数f(x)=x3(lnx一1)，则 A.f(x)有且仅有2个零点 B.f(x)有且仅有1个极值点 C.不等式f(x)≥一1恒成立 D.f(x)在区间(0,1)上单调递减 10.已知平面向量a,b满足|a|=|b|=2,且a·b=0.设实数t∈(0,1)，m=(1一t)a+ tb,n=ta+(1一t)b,则 A.m+a=n十b B.m=n C.m,n的夹角为钝角 D.m·n的最大值为2 11.某厂在直线导轨上等距加工一列安装孔，测距模块与各孔中心共线，各孔均位于模块 同侧，并按到模块的距离由小到大编号，且孔数足够多.三点倍率标定时，需依次选择 三个孔，使它们到模块的距离构成递增的等比数列.现场配有边长为L、对角线长为 D的正方形检具（检具用于检测单个零件，如冲压件，塑料件的型面、轮廓、孔位等）.则 A.后两个标定孔的中心距大于前两个标定孔的中心距 B.第1孔到模块的距离为2L、孔距为L时，可选第1,3,7孔 C.第1孔到模块的距离为L十D、孔距为D时，可以完成标定 D.若有两个孔到模块的距离分别为L,D,则该孔列无法完成标定 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若sina=2sin3,a∈R,则cos2a+cos2,3的取值范围是 13.抛物线y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线px2一2y2=1的一个焦点，则实数p的值 为 14.设A为单位圆上在第一象限内的一点，其纵坐标为a.记单位圆与x轴正半轴的交点 为P,将劣弧PA七等分，以从P起（不包括点P)逆时针第六个分点B为一个顶点， 作单位圆的内接正十四边形，且该正十四边形存在两个纵坐标相同的顶点.则α的可 能取值的个数为 ,其14个顶点纵坐标的不同值的个数最少为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在正方体ABCD-A1B,C1D1中，E为棱BB1的中点. (1)求直线A,C与D1E所成角的余弦值； (2)当AB=2时，求异面直线AC与D1E间的距离. B C 16.(15分) 某云计算平台为任务提供两台候选节点，其可用算力分别为A和2A,其中A∈{1,2， 4,8),且A取各值的概率与A成正比.平台从两台候选节点中等可能地随机选择其中 一台，并显示其算力X. (1)求A取各值的概率； (2)求X的数学期望， 17.(15分) 已知n∈N‘,数列{an}的首项为0，am+1-(n+1)an=n.(提示：n！=1×2X3X… (n-1)×n) (1)求{an}的通项公式 (2)记bn= a十，设函数fx)=1+b1x十6x2+…+b,x,证明： 1 (i)当x>0时，f'(x)<f(x); (i)b1+b2+…+bn<e-1. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 在△ABC中，AB=5,BC=3,∠ABC=120°.点P,Q分别在线段AB与BC上，且 BP=,BQ-》将△PBQ绕点B旋转得到△MBN,其中点P,Q旋转后落到的点 分别为M,N. (1)求AC的长度； (2)证明：旋转过程中，AM2-CN2为定值； (3)求旋转过程中，|AM一CN|的最大值与最小值 装 19.(17分) 面直角坐标系中，0为坐标原点，A1,0),B0,,且椭圆E: 62=1(a> b>1)的右顶点与上顶点到直线AB的距离相等. (1)求E的离心率. (2)若P为E内一点，且O,A,P三点不共线 (ⅰ)证明：过点A的椭圆的弦的中点所形成的轨迹与过点P的椭圆的弦的中点所形 成的轨迹除O外有且仅有一个公共点，且该点在直线AP上； (ⅱ)若分别过A,B,P的椭圆的弦的中点所形成的轨迹两两相交于O及另一个点，且 除O外所得的三个点互不相同且共线，求点P的轨迹方程. 线 数学试题第4页（共4页）高三年级学情调研 数学参考答案 1.A【解析】因为b=1og:9=log,32=log23=a,c=logs27=log,33=log23=a,所以a=b=c 故选A. 2.B【解析】圆锥的母线长为1=√1+1=√2，所以圆锥的侧面积为S=πrl=π×1X√2=√2元. 故选B 3.C【解折1计算得(-)°+（停）-号1，面管-)°+（传）°=1，可知点（停，）在圆-1D+y=1上， 点（停，号）不在圆x-1+y=1上，于是AnB={(管号)》小 故选C. 4.D【解析】由之1十x2=4①，2，一2=4i,得1一2=4i,也即z1一x2=一4i②，①②联立，得21=2一2i,x2= 2十2i,所以122=(2-2i)(2+2i)=8,则|之12|=8. 故选D. 5.D【解析】估计该商场月销售额的平均数为1=35×0.02×10+45×0.04×10+55×0.02×10+65×0.01× 10+75×0.01×10=50,所以估计该商场月销售额的方差为s2=(35-50)2×0.2+(45-50)2×0.4+(55 50)2×0.2+(65-50)2×0.1+(75-50)2×0.1=145. 故选D 1 6.C【解析】求导得∫(x)= ·x-(nx+a）1-a=n这，当x∈0，e)时f'(x)>0,(r)单调递增： 2 当x∈(e-,十o∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，可得∫(.x)在x=e-“处取得最大值.于是e=f(e-)= e÷=e-1,放a=2. 1 故选C 7.B【解析】易知这四个圆两两相切，记直线1与这四个圆的公共点个数为，当（的方程为x=1时，n=4,当 l的方程为x=t(1<t<√2)时，n=6,考虑证明n≥7不合题意.注意到圆与直线最多有两个公共点，故当 ≥7时，直线必与其中三个圆有两个公共点，且与另外一个圆有至少一个不同的公共点，若存在这样的直 线，显然其斜率存在，设1的方程为kx一y十b=0.不妨设1与C,C,C,均有两个公共点，则26+<2， √2+1 -2+61<2,-2张+6<2，此时6-4h6十4：<2(k:+1D,6:+46+4h:<2(:+1),两式相加得 √R2+1 √k2+1 2冰+<4，即<1-，面公-6+4<2+1<4-6，解得6E02.于是 2+b> D+46+4 R+1 、62 2一2 √2，即l与C,相离，矛盾，故n的最大值为6. 故选B. =1 C C C ·数学答案（第1页，共6页）· 8.D【解析】对2列表可得 n m+2n 0 1 2 3 4 5 0 0 1 3 4 5 1 2 3 5 6 7 2 4 5 6 7 8 9 3 6 7 8 9 10 11 4 8 9 10 11 12 13 5 10 12 13 14 15 逐列累加后相加，由等差数列性质知和s=3×(4十6+5+7+6+8+7+9+8+10+9+11)一2一4=264，于 是6X)-亡2器 故选D. 9.BD【解析】函数f(x)=x3(lnx-1)的定义域为(0，十oo).由f(r)=0,得x3(lnx一1)=0，故1lnx一1=0， 解得x=e,所以f(x)有且仅有1个零点，故A错误；'(x)=3.r2(lnx一1)十x2=x2(3lnx-2),令 f'(x)=0,得x=e,当0<x<e时，f'(x)<0,当x>e时，f'(x)>0,所以f(x)在x=e处取得极小值， 故f(x)有且仅有1个极值点，故B正确；因为f(1)=一1，且1<c,而f(x)在(0，e)上单调递减，所以当 1<x<e时，f(x)<f(1)=一1，故不等式f(x)≥-1不恒成立，故C错误；由B知，f(x)在区间(0,1)上单 调递减，故D正确。 故选BD. 10.BD【解析】由a|=|b|=2,且a·b=0,可得a≠b.因为m十a一n一b=2(1-t)(a-b),0<t<1,所以 m十a≠n+b,故A错误；由m|2=|(1-t)a+tb|=4(1-t)2+4t,|n2=|ta+(1-t)b|2=4t2+ 4(1-t)2,得|m2=|n2,所以m|=n|,故B正确：因为m·n=8t(1-t),且0<t<1,所以m·n>0,所 以m,n的夹角不是纯角，放C错误：m·n=81-t)=2-8(-)广<2，当且仅当1=时，等号成立，所 以m·n的最大值为2，故D正确. 故选BD. 11.ABD【解析】设第n个孔到模块的距离为r。=a十(n一1)d,其中a>0,d>0.选取第i,j,k个孔，其中i< j<k,令p=j一i,q=k一j,若其距离构成递增的等比数列，则(r:+pd)2=r,[r,+(p+q)d],整理得 pd=r,(q一p).因为r:>0,d>0,所以q>p,从而后两个标定孔的中心距gd大于前两个标定孔的中心距 Dd,A正确：同时忙，P。为有理数，当第1孔到模块的距离为2弘，孔距为L时，第1,3,7孔到模块的距离 依次为2L,4L,8L,构成递增的等比数列，所以可选第1,3,7孔，B正确；正方形的对角线长D=√2L,当 a=L+D,d-D时，号-1+店为无理数，而对任意孔均有行-日+m-1为无理数，不可能满足7-，。 d q-p 因此该孔列不能选出三个孔完成标定，C错误；若有两个孔到模块的距离分别为L,D,则存在正整数，使 md,若距离为L的孔是第3个孔，则二=上一(s一1)=m(W2+1)一(s-1)为无理数， 不能选出三个孔完成标定，D正确. 故选ABD. ·数学答案（第2页，共6页）· 12[【-2]【解】显然s如=∈[-]，于是os2a十cos29=2-2sin-2sirg=2-10sir8 [2] 13.2 【解折]因为>0.所以双南线的熊点为土，月+0小抛物我)=2：的焦点为台0小由题意，得 号-√日+7两边平方并整理，得p广一2-=0，即（-2+2+2)=0因为产+2+2=(++ 1>0,所以p=2. 14.5,7【解折】设∠P01=0,则0<0<受，且a=sn0,∠POB-0.正十四边形相邻两顶点所对的圆心角 为号，其相邻两条对称轴的夹角为开单位圆上两个不同点的纵坐标相同，当且仅当这两个点关于y轴对 称，放题设条件等价于y轴为该正十四边形的一条对称，因此∠POB=(u∈Z.又0<号0<受-祭 放n=12,3,45,从而0=受u=1,234,5).因为正弦函数在0，）上单调递增，所以对应的a=sin受 (n=1,2,3,4,5)互不相同，故a的可能取值的个数为5.再考察14个顶点的纵坐标，当n为奇数时，顶点的 圆心角可写为十2)江，k∈乙，可取整数使1十2k=7,故y轴经过两个相对顶点，其余12个顶点关于y 14 铀两两对称，纵坐标共有？多8个不同的值，当”为偶数时，不存在整数k使”十2水=7故y轴不经过 顶点，14个顶点分成7对，每对关于y轴对称，纵坐标相同.又一条水平直线与单位圆至多有两个交点，故不 同的两对顶点不可能具有相同的纵坐标，因此此时纵坐标恰有7个不同值.所以14个顶点纵坐标的不同值 个数最少为7. 15.解：(1)以A为原点，AB,AD,AA,的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xy, B D 不妨设AB=2,则A1(0,0,2),C(2,2,0),D1(0,2,2),E(2,0,1),A1C=(2,2,-2),D1E=(2,-2,-1). (4分) IA C.DE 2 记直线A,C与D1E所成的角为0，则cos0= 3 (6分) 1A,C1ID,E1√3X4X√4+4+I9 (2)记n=(x,y,之)为A,C与D:E公垂线段的方向向量， n·AC=0,1x+y-之=0， 则 即 可取n=(3,1,4), (9分) n·D,E=0,2x-2y-x=0, 而AD1=(0,2,0), (10分) 记直线A,C与D,E间的距离为d,则d=AD·n2 =V26 n9+1+1613: (13分) ·数学答案（第3页，共6页）· 16,解：1)设比例系数为，则PA-1D-,PA-2)-空P(A-40-冬PA-8)-合 由概率之和为1.得长+会十宁十专-1， (2分) 解得6二总。 (3分) 故P(A=1)=5 8 (4分) P(A=2)=5 4 (5分) 、2 P(A=4)= (6分) 1 P(A=8)=5 (7分) (2)X的所有可能取值为1,2,4,8,16，给定A后，两台候选节点被随机分配的概率均为2 (8分) P0X=1D-是x号 (9分) PX=2=品x名+音×-号 (10分) 412、11 P(X=4)=5×2+污×2=万' (11分) pX-8-品x名+品×号-0 (12分) P(X=16)=×2-30 1、,11 (13分) 故(X)=1X名+2x号+4X号+8x品+16×动-9 (15分) 17.解：(1)由已知，得a+1+1=(n+1)(am十1)， 当n≥2时，a2+1=2(a1+1),ag+1=3(a2+1),…,an+1=n(aw-1+1), (1分) 所以当n≥2时，am+1=n(n一1)×…×2×(a1+1)=n!,故am=n!一1. (4分) 上式对n=1也成立，所以am=n！一1(n∈N). (5分) (2)证明：(1)油1，知么.=放了)=1+x+引 n!' (6分) 故”)=1+x十2十…+之-1 (m-1)! (8分) 从而fa)-f)=-<0,即f')<f. (10分) (i)设g=f[2,由2(1).知g)=Ta-f①<0. 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减 (13分) 因此g1)<g0,即f0</0.放得f1)<c,放得6+6，++6，<c-1 (15分) 18.解：(1)由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=5+32-2×5X3cos120°=49， 所以AC=7. (4分) ·数学答案（第4页，共6页）· (2)证明：设旋转角为0，令x=cos0. 由题意，知BM=BP=号，BN=BQ=2 由于点P在射线BA上，点Q在射线BC上，旋转时射线BP与BQ同时转过同一个角， 所以cos∠ABM=cos∠CBN=x. (7分) 由余弦定理，得AM=AB+BM-2AB·BM·x=5+(受》 109 -2·5· 3 t= 4 -15x, (8分) CN2=BC+BN2-2BCBN·x=3+(侵) -23…- 4-15x. (9分) 因此AM-CV°=(9-15x）-(-15x)=12所以旋转过程中，AM-CN2为定值12. (10分) (3)由(2)得AM-CN=12,所以AM>CN,从而AM-CN|=AM-CN. 因为AM-CN2=(AM-CN)(AM+CN),所以AM-CV=AM+CN 12 12 /109 /61 √4-15x+V年-15x (13分) 又x∈[-1,1门，则AM-CV单调递增，故x=-1时，其取最小值13=1， 12 2T2 12 当x=1时，其取最大值7工 =3, 2+2 所以|AM-CN|的最大值为3，最小值为1. (17分) 19.解：(1)由题意得直线AB的方程为x十2y一1=0，椭圆的右顶点(a,0)、上顶点(0，b)到直线AB的距离相 等，且a>b>1,故a-1_2b-1 65,得a=26. (2分) 设椭圆的半焦距为c,则c2=a2-6=3,故e=二-3 21 (4分) a (2)证明：(1)由(1)知a=2b,故椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 设P(p,q),由O,A,P不共线，得q≠0.设两条中点轨迹的一个公共点为T(x,y),过A的相应弦的两个 端点为(x1y1),(x2y2). 因为T为弦的中点且两端点均在椭圆上故x=2二，y=”,x十4y=6，x十y42,联安 2 得x(x1-x2)+4y(y1-y2)=0. 又A,T及弦的两个端点共线，故存在实数s,使1一x=s(x1一x2),一y=s(y1一y2),从而x(1一x)一 4y2=0,即x2+4y2-x=0.① 同理，由T为过P的弦的中点，得x2+4y2一px一4qy=0.② ①②两式相减，得(p一1)x十4qy=0,代入x2+4y2-x=0,得x{[(p-1)2+4g门x-4g2}=0. (7分) 当x=0时，由(p一1)x+4qy=0得y=0,即该公共点与原点重合，且x,y均唯一确定，故两条轨迹除原点 外至多有一个公共点， 又A,P均在椭圆内部，直线AP与椭圆相交所得弦的中点同时属于这两条中点轨迹，且O,A,P不共线， 所以该中点不与原点重合 因此，两条中点轨迹除原点外有且仅有一个公共点，且该点在直线AP上. (9分) ·数学答案（第5页，共6页）· (ⅱ)记过A,B,P的弦的中点轨迹两两除原点外的公共点分别为C,H,K,其中C为过A,B的弦的中点轨 迹的交点，H为过A,P的弦的中点轨迹的交点，K为过B,P的弦的中点轨迹的交点，由题设，点P不在直 线OA,OB,AB上，故pg(p+2q-1)≠0. 由(2)(1)知，过A,B,P的弦的中点的轨迹方程分别为E1:x2+4y2一x=0,E2:x2+4y2一2y=0, E3:x2+4y2-px-4qy=0. (11分) 对点C,EE:两式相减，得x=2,又由(2(1)知C∈AB,面AB的方程为x+2y=1,放C(分，》 由(2)(i)知H∈AP,设H=(1十入(p-1),aq),E1,Ex两式相减，得(p一1)x+4qy=0,代入点H的坐 1-p 标，得入=(p-1)+4q (12分) 同理，K∈BP,设K=(,十-》E,E,两式相减：得x十(4g-2y=0,代人点K的坐标，得A 1-2g p2+(2g-1)2 (13分) 由于C,H.K共线，则有n-)(x-）=(x-2)(m-) 代入H,K的坐标并整理，得(p+2q一1)（入十4一2）=0. 由p十2q-1≠0，得入十4-2λ=0，代人入，4并通分整理，得(1一p一2q)(p2+4q2一p-2q)=0, 又p十2g-1≠0，故p2十4g2一p一2q=0,因此点P的轨迹方程为x2十4y2-x-2y=0. (15分) 反之，设点P(p,q)满足该方程且不与O,A,B重合，则p2十4g=p十2q.若p=0或q=0,由轨迹方程可 得点P与O,A,B中的一点重合. 若p十2g=1,则p2+4g2=1,从而4pg=(p+2q)2-(p2+4g)=0,仍得点P与A或B重合，均与所取点 矛盾，因此g(p+2g一1)≠0， 又面轨连方程得(-》广+》-号可令p名-号cs0,20名-号n00E02a,则p2十 4g=(号os0+）》+(号n0+)广=1+号(n0+os0)=1+sinQ+)≤2，从面p+4g不大 于2. 由b>1,有2<4b2,故点P在椭圆E内.此时上述各步均可逆，故三个非原点公共点共线 若其中两个点重合，则该点同时属于过A,B,P的三条弦的中点轨迹，从面点C(兮，）)也满足，则得P十2 =1,矛盾，故三个公共点互不相同 综上，点P的轨迹方程为x2十4y2一x一2y=0,其中去掉点O,A,B. (17分) ·数学答案（第6页，共6页）·