精品解析：广东佛山市荣山中学2025-2026学年高三上学期第二次模拟（10月月考）数学问卷

2026届高三第二次模拟考数学问卷 满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合B，再求两个集合的交集即可. 【详解】由指数函数在上单调递增，且，得，所以. 根据数轴求集合的运算如图： 所以. 故选：C. 2. 已知，若为实数，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法结合虚部为零可求. 【详解】， ∵为实数，∴，∴. 故选：C. 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的基本关系及充要性判断求解． 【详解】必要性：当时，得， 则， 则甲是乙的必要条件， 充分性：当时，取　，满足， 但， 则甲是乙的不充分条件，故甲是乙的必要不充分条件． 4. 已知两个等差数列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 850 B. 1250 C. 400 D. 450 【答案】D 【解析】 【分析】先求出新数列的公差，再结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】在等差数列2，6，10，…，98中，公差； 在等差数列2，8，14，…，98中，公差，而和的最小公倍数为， 得到新数列的公差，首项，所以， 令，解得，故新数列共有项， 所以新数列的各项之和为. 故选：D 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】依题意. 6. 若函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 7. 的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二项式系数和求得，令，以各项系数和列方程，解方程求得的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得的系数. 【详解】∵的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n＝5. 再令x＝1，可得各项系数和为（m+1）5＝243＝35，∴m＝2， 则展开式中的通项公式为Tr+1•m5﹣r•，令53，可得r＝4， 故展开式中x3的系数为•2＝10， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题. 8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质即可求解. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，且图象连续不断，所以是偶函数， 由于，所以， 因为等价于，得，解得或， 因此不等式的解集为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是非奇非偶函数 D. 最小值为2 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C， 由，得， 解得或， 所以的定义域为，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数，所以C正确； 对于D，， 当且仅当，即，时，等号成立. 显然不成立，所以取不到2. 所以D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图像关于点中心对称 B. 直线是曲线的对称轴 C. 的图像可由的图像上所有点向左平移个单位长度得到 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【详解】函数， 对于A，， 所以的图像关于点中心对称，所以A正确. 对于B，， 所以直线不是曲线的对称轴，所以B错误. 对于C，由的图像上所有点向左平移个单位长度得到， ， 所以C正确. 对于D，，时，， 所以在上单调递减，所以D正确. 11. 函数，关于的方程，下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的单调减区间为， C. 当时，则方程有6个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分段函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D. 【详解】当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. 当时，，. 当，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 故，且恒有. 综上可知，，作出函数大致图象，如下图. 由图像可知函数的值域为，故A正确. 函数的单调递减区间由图可知为，，故B错误. 当时，则方程可化为或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确. 若关于的方程有3个不相等的实数根， 即与共有3个不相等的实数根. 又因为已有两个不相等的实数根0，， 则方程有且仅有一个根，且不为0，. 所以与有且仅有一个公共点， 由图象可知，满足题意，即的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】，，， ， 解得． 13. 已知，为第一象限角，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，再由，结合正弦和角公式求解． 【详解】为第一象限角， ，， 又，所以， ． 14. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则_____． 【答案】-3 【解析】 【详解】由题意得, ; 由可得 由定义在上的奇函数可得. ,,. 四、解答题：本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且，， （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为①，所以，解得， 对任意的，②， 得，即， 则,即，因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系推得数列递推式，即可证明是等比数列； （2）先利用对数运算求出，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）分析可得，即． 因为， 所以． 16. （1）已知函数，若不等式对任意实数恒成立，求的最小值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，根据正弦函数的值域即可求得的最小值； （2）利用和角公式结合条件求出，进而求出，利用二倍角的余弦公式即可求得的值. 【详解】（1）由 ， 因对于，都有，故a的最小值为； （2）依题意，得，则有， 所以， 所以． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 18. 在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分：若有3个选项，选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题的正确选项为2个与3个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误. （1）若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率； （2）学生甲做第三道多选题时随机选择1个选项的得分记为X，随机选择2个选项的得分记为Y，随机选择3个选项的得分记为Z，试比较，，的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）先得到的可能取值，再根据古典概率公式，全概率公式计算出各个取值对应的概率，最后根据数学期望公式计算即可. 【小问1详解】 设学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，得6分为事件， 得6分当且仅当正确选项为3个且学生恰好选中这3个.正确选项为3个的概率为， 在此情况下，从4个选项中随机选择3个，选对的概率为，故所求概率. 【小问2详解】 由题意的可能取值为，， ，， 所以， 的可能取值为，， ，， 所以， 的可能取值为，，， 所以， 故. 19. 已知． （1）时，若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）讨论的单调区间； （3）若，求证：有且仅有三个不同的零点． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）可知，当时，有两根，，且有极大值和极小值，， 则，所以， 同理， 因为，所以且， 所以，得极大值，极小值， 当时，；当时，， 故在，，各有一个零点，即有且仅有三个不同的零点． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义即可求解； （2）根据题意，求出函数的导数，分类讨论导数的正负即可； （3）利用导数得到函数的极值，再判断极值的正负即可证明. 【小问1详解】 当时，，设切点为，， 由于直线是曲线的一条切线，所以，解得， 所以，即切点， 由于切点在直线上，所以，解得. 【小问2详解】 当时，， 令，其判别式， 当，即时，恒成立，即在上恒成立，此时在上单调递增，无单调递减区间； 当，即或时，方程的两根分别为和， 当时，，在上恒成立，即在上恒成立，此时在上单调递增，无单调递减区间； 当时，有， 当或时，；当时，， 故在递增，在递减，在递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二次模拟考数学问卷 满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若为实数，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 3. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 4. 已知两个等差数列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 850 B. 1250 C. 400 D. 450 5. （ ） A. B. C. D. 6. 若函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 7. 的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是非奇非偶函数 D. 最小值为2 10. 已知函数，则（ ） A. 的图像关于点中心对称 B. 直线是曲线的对称轴 C. 的图像可由的图像上所有点向左平移个单位长度得到 D. 在上单调递减 11. 函数，关于的方程，下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的单调减区间为， C. 当时，则方程有6个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，，则_____． 13. 已知，为第一象限角，则_____． 14. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则_____． 四、解答题：本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且，， （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 16. （1）已知函数，若不等式对任意实数恒成立，求的最小值； （2）已知，，求的值． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18. 在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分：若有3个选项，选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题的正确选项为2个与3个的概率都是，学生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误. （1）若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率； （2）学生甲做第三道多选题时随机选择1个选项的得分记为X，随机选择2个选项的得分记为Y，随机选择3个选项的得分记为Z，试比较，，的大小. 19. 已知． （1）时，若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）讨论的单调区间； （3）若，求证：有且仅有三个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $