学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（新教材华东师大版，范围：九上第20～21章）

**基本信息** 聚焦二次根式与一元二次方程，通过电暖器销售、赵爽弦图等真实情境与文化素材，考查运算能力、模型意识及创新思维，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、方程定义、增长率问题|第7题结合郑州超市营业额考查模型意识| |填空题|5/15|同类二次根式、配方法、新定义运算|第15题新运算考查抽象能力| |解答题|8/75|方程解法、盈利应用、赵爽弦图解方程|21题电暖器盈利问题培养应用意识，23题文化情境发展推理意识|

@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：100分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材华东师大版九年级上册第20~21章。 第卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列式子中，为最简二次根式的是() A.4 B.月 c.5 D.V⑧ 2.下列计算正确的是() A.V2×V5=6 B.V5-3=V2 C.V2+3=V5 D.V15÷V3=5 3.代数式有意义，那么x的取值范围是() A.x<-5 B.x>-5 C.x≠-5 D.x≠5 4.已知x=V2-1,代数式x2+2x+1的值为（) A.2 B.4 C.2+V2 D.4+2√2 5.方程x2=3x的解是() A.x1=x2=3 B.81=x2=0 C.x1=3x2=0 D.x1=-3x2=0 6.下列方程：①22=1；②2x2-2y=0;③7x2+1=0;④5=0其中是一元二次方程的有（） A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和③ 7.郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为297.9万元.设平均每月营业额的 增长率为，则下面所列方程正确的是() A.90(1+x)2=297.9 B.90(1-x)2=297.9 1/4 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C.90(1+2x)=297.9 D.90+90(1+x)+90(1+x)2=297.9 8.若关于x的一元二次方程x2-3x?-0有实数根，则实数的取值范围是() A.k<0 B.k≥-1且k0 C.k≥-1 D.k>-1且k0 9.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简Vb2-√a2+2ab+b2+|a的结果为() b 0 A.2a B.2b C.-2a D.-2b 10.已知关于x的一元二次方程2-2k-1x+2+20的两个实数根为1和x2,设=，则t的最大值为 () A.-4 B.4 C.-6 D.6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若V27-2V3=√3(a-2),则a的值 12.己知关于x的方程x2++20有一个根为一2，则a的值为 13.用配方法解一元二次方程x2-2x5=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则2a+b的值为 14.若最简二次根式V3m+2n与V6是同类二次根式，则mn= 15.对于实数mm,现定义一种运算⑧”如下：m⑧n={m+mnm）若x⑧(-2）=10，则实数的值为 In2+m+n(m<n) 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16.(8分)计算： 0×2: (2)(V2+1)(V2-1)+(V3-2)2. 17.(9分)用合适的方法解方程： (1)x2-8x-11=0. (2)0y-1)2+2y(1-y)=-0. (3)2x2-7x+1=0. 18.(8分)已知关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x+2=0有实数根，且两根之和为整数，求整数m的值. 19.(9分)已知关于x的一元二次方程x2+mx-3x-9=0. 2/4 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (1)若方程不含x的一次项，求m的值和方程的解； (2)当m=-3时，求方程的解 20.(9分)实验中学有一块长方形的文化长廊ABCD(如图)，该文化长廊的长AB为(5√3+√2)m,宽AD为v√48 m,现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为（√18V3)m,除去放置展台的区域、其余区 域（阴影部分）全部需要刷上涂料， B 展舍 D (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 21.(9分)随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经 调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台.为了增大利润，商场决定采取适当的降价措 施。 (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由： 22.(11分)阅读下面材料： 1 21 1x(2-0=V2-1; (V2+1)(V2-1) 1×(W3-√② v+V+v2WgV3-V2; 1 1×(65-2) V5+2G5+2w5V5-2; 请解决下列问题： ()求的值； ②计算+5(n为正整数)的值； 同利用上面的解法，请计算：++叶两十网而 1 1 1 1 23.(12分)阅读材料，并解决问题. 【文化欣赏】 3/4 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程x2+2x -35=0为例：将原方程整理可得：x(+2)=35,可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时 大正方形的面积是(+x+2)2,同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和.所以(+x+2)2=4x(c +2)+22=4×35+4=144,由此得原方程的一个正根为x=5. x+2 x+2 x+2 x+2 图1 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0,请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x2+x-1=0,即x（_)=1; 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个正根为； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如x2+=b(a>0,b>0)的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积 为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根. 图2 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24,其中3x-n>x,他以3x-n和x作为矩形的两邻边构造出如图2同 样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为 4/4 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B A C C D B A D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．3 12． 13．4 14． 15．3 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分） （1）解：原式 ；（4分） （2）解：原式 ．（8分） 17．（9分） （1）解：， ， ， ， ∴．（3分） （2）解：， ， 或， ∴．（6分） （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴．（9分） 18．（8分） 解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即.（1分） 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则．（3分） 方程的两根之和为整数， 整数．（4分） 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去；（6分） 当时，方程为，判别式，有实数根． ．（8分） 19．（9分） （1）解：由得，（1分） ∵方程不含的一次项， ∴，解得，（2分） ∴，则， ∴，；（4分） （2）解：当时，方程为（5分） 移项，得 配方，得 即 开方，得（8分） ∴，．（9分） 20．（9分） （1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米；（4分） （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米．（9分） 21．（9分） （1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ，（2分） 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元．（4分） (2)不能（5分）．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ，（7分） 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元．（9分） 22．（11分） （1）解： ；（3分） （2）解： ；（7分） （3）解： ．（11分） 23．（12分） (1)；；（3分） （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，（5分） ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1；（7分） 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3；（9分） (3)6（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材华东师大版九年级上册第20~21章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．代数式有意义，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知，代数式的值为（     ） A．2 B．4 C． D． 5．方程的解是（） A． B． C． D． 6．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 7．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 9．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若，则的值___________． 12．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 13．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 14．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分）计算： (1)； (2)． 17．（9分）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 18．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 19．（9分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 20．（9分）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 21．（9分）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 22．（11分）阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 23．（12分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：100分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材华东师大版九年级上册第20~21章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母，不是最简二次根式； C.的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法、减法、加法、除法法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，该选项计算正确，符合题意； B、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； C、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； D、，该选项计算错误，不符合题意． 3．代数式有意义，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：要使有意义， ∵被开方数非负且分母不为0， ∴， 解得. 4．已知，代数式的值为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先用公式法对代数式进行因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 5．方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 6．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 7．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 8．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 9．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出对应的数的正负，以及式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，进行化简即可. 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ . 10．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若，则的值___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 13．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 14．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，先确定根指数得到n的值，再由被开方数相等求出m的值，最后计算． 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得 ， ∴ ． 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 三、解答题：本题共8小题，共75分。 16．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ；（4分） （2）解：原式 ．（8分） 17．（9分）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴．（3分） （2）解：， ， 或， ∴．（6分） （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴．（9分） 18．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即.（1分） 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则．（3分） 方程的两根之和为整数， 整数．（4分） 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去；（6分） 当时，方程为，判别式，有实数根． ．（8分） 19．（9分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得，（1分） ∵方程不含的一次项， ∴，解得，（2分） ∴，则， ∴，；（4分） （2）解：当时，方程为（5分） 移项，得 配方，得 即 开方，得（8分） ∴，．（9分） 20．（9分）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米；（4分） （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米．（9分） 21．（9分）随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ，（2分） 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元．（4分） (2)不能（5分）．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ，（7分） 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元．（9分） 22．（11分）阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】通过分母有理化去掉分母中的根号，结合平方差公式化简； 类比的方法，用含的式子推导通用化简结果； 利用的结论裂项，通过抵消中间项简化求和运算． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ；（7分） （3）解： ．（11分） 23．（12分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；；（3分） （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，（5分） ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1；（7分） 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3；（9分） (3)6（12分） 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.________________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（8分） (1)； (2)． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（9分） (1)． (2)． (3)． 18．（8分） 19．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（9分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（11分） 23．（12分） （1）_______________，_____________，________________ （3）_________________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 -------------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【1I/小 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1AJIBIICIIDI 5.IAJIBIICIIDI 9.ABIICIDI 2.[AJIB][CIID] 6.[A][B][CJID] 10.A]B][C1ID1 3.[AJIBI[CIID] 7AJIBIICIID] 4.[AIIBIICIIDI 8.[A]IBIICIIDI 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 12 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(8分) (1)+vm 5 VB. 2)(V2+1)(V2-1)+(3-2)2. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(9分) (1)x2-8x-11=0. (2)0y-1)2+2y(1-y)=0. (3)2x2-7+1=0. 18.(8分) 19.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) 21.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) 23.(12分) (1) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！