24.3等边三角形（第2课时含30°角的直角三角形的性质）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

第二十四章 轴对称 第二课时 （含30°角的直角三角形的性质） 24 . 3 . 2 等边三角形 章节导读 第二十四章 轴对称 24.1 图形的轴对称 24.2 画轴对称图形 24.1 等腰三角形 24.1.1 轴对称及其性质 24.1.2 线段的垂直平分线 24.3.1 等腰三角形 24.3.2 等边三角形 学习目标 掌握含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半； 能够运用含30°角的直角三角形的性质进行相关的证明和计算； 等边三角形的概念： 三边都相等的三角形是等边三角形. ∵ AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形 等边三角形的性质： 1.三条边都相等 2.三个角都相等，并且每个角都等于60° 3.等边三角形三条边上的“中线、高以及角平分线”重合（简写为“三线合一”） ∵ △ABC是等边三角形 ; AD⊥BC ∴ AB=AC=BC ∠A=∠B=∠C BD=CD, ∠BAD=∠CAD 等边三角形的判定： 1.定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形; 2.性质判定：三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 1.∵ AB =AC =BC ∴ △ABC是等边三角形 2. ∵ ∠A =∠B =∠C ∴ △ABC是等边三角形 3. ∵ AB =AC ,∠A=60° ∴ △ABC是等边三角形 知识回顾 A B C D 新知探究 探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论. A B C 30° 通过测量发现： 新知验证 A B C 30° 已知：在Rt△ABC中，∠A=30° 求证： 思路解析：要证明 可转化为证明 为此可以构造长为的线段，证明它和AB相等即可 D 构造方法：如图延长BC到点D，使得 CD = BC， 那么也就是 BD=AB， 连接AD， 新知验证 已知：在Rt△ABC中，∠A=30° 求证： 证明： A B C 30° D 如图延长BC到点D，使得 CD = BC，连接AD， ∵ AC⊥BD，BC=DC ∴ AC垂直平分BD ∴ AB = AD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 在△ABC中，∠ACD=90°，∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴ △ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ∴ AB=BD ∴ AB=2BC ∴ BC = AB 新知总结 A B C 30° BC = AB 30°角所对的直角边 斜边 4. 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何格式： ∵∠C=90°，∠A=30° ∴ BC = AB （或 2BC = AB) 新知应用 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2，则AC的 长为（ ） A B C A . 1 B. 2 C. 3 D . 4 解析： ∵∠ABC=90°，∠A=30° ∴ 2BC=AC=2×2=4 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . D 新知应用 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量∠ABC=30°，则这棵树折断前的高度为（ ） A . 6 m B. 9 m C. 10 m D . 12 m B 30° 解析： ∵∠BAC=90°，∠ABC=30° ∴ 2AC=BC= 2×3 =6 ∴ 这棵树折断前的高度为 AC+BC=3+6=9 (m) 新知应用 例1. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB = 7.4 m，∠A=30°，求立柱BC，DE的长. 解： ∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30° ∴ BC= AB， DE= AD ∴ BC= 7.4 =3.7（m） 又 ∵ D是AB的中点 ∴ AD= AB = 7.4=3.7 （m） ∴ DE = AD ==1.85 （m） 变式训练 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 解： ∵ ∠B=2∠A ∴ 可设∠A=，则∠B= 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ∠A=30°，∠B=60° 变式训练 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 解： ∵ ∠B=2∠A ∴ 可设∠A=，则∠B= 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ∠A=30°，∠B=60° C A B 30° AB=2BC 变式训练 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度？ C A B 解：如图延长BC到点D，使得 CD = BC，再连接AD， ∵ ∠ACB=90° ∴ ∠ACD=180°- ∠ACB=180°- 90°= 90° ∴ ∠ACB =∠ ACD D 在△ACB 与△ACD中 AC=AC ∠ACB =∠ ACD BC=DC ∴△ACB ≌△ACD（SAS） 变式训练 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度？ C A B D ∴△ACB ≌△ACD（SAS） ∴AB =AD，∠BAC=∠DAC ∵AB = 2BC ∴AB = BD ∴AB = BD=AD ∴△ABD是等边三角形 ∴∠B=∠BAD=60° ∴∠BAC= ∠BAD= ×60°=30° 变式总结 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度？ C A B ∠A所对的直角边 斜边 60° 总结：在直角三角形中，如果斜边是某条直角边的两倍（或某条直角边是斜边的一半），那么这条直角边所对的角是30° 感谢聆听! $