15.3.2等边三角形(第2课时 含30°角的直角三角形的性质)（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质，以码头吊装机实际问题情境导入，通过测量活动、大胆假设及截长法等三种证明方法，构建“观察-猜想-验证”的学习支架，衔接轴对称知识脉络。 其特色在于融入数学眼光观察现实世界，如情境问题激发探究欲，多种证明方法培养数学思维推理能力，典例涵盖生活应用与几何模型，帮助学生深化理解，教师可依托分层设计提升教学效率。

人教版 八年级上册 15.3.2（第2课时) 第十五章 轴对称 含30°角的直角三角形的性质 情境引入 QING JING YIN RU 如图是码头的吊装机，起重臂AC与竖直方向的夹角为30°,此时货物B和驾驶舱C正好在同一水平线上，已知起重臂AC长10米.你能算出BC的长度吗? B A C 30° B A C 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边 BC与斜边AB有什么关系呢? C B A 30° 活动一：测量 第一次 第二次 第三次 AB BC 活动二：大胆假设 活动三：结论证明 在Rt△ABC中，若∠A=30°，则BC＝AB. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 即 BC = CD = BD = AB. 性质： 应用格式： 在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ BC = AB. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法一：截长法 ) 证明：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵∠B = 60°，BE = BC， ∴△BCE 是等边三角形. ∴∠BEC = 60°，BE = EC. ∵∠A = 30°， ∴∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°. ∴ AE = EC. ∴ AE = BE = BC. ∴ AB = AE + BE = 2BC. ∴ BC = AB. E A B C 30° 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法二：中线法 证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵ CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴ CD = AB=BD. A 30° B C D ∵∠BCA = 90°，且∠A = 30°， ∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形. ∴ BC =BD= AB. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明方法三：倍长法 证明：在△ABC 中， ∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD， 则△ABD 是等边三角形． A B C D ∴ BC = BD = AB. 30° ) 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，若BC= AB，那么∠A＝30°吗？ C B A D 解: 如图，取线段AB的中点D，连接CD. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴CD= AB=BD. ∵BC= AB， ∴BC= BD= CD，即△BDC为等边三角形. ∴∠B= 60°. ∵∠A+∠B=90° ∴∠A=30°. 由此你能得出什么结论？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 01 02 互为逆命题 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 解： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°，∠A = 30°， 如图是码头的吊装机，起重臂AC与竖直方向的夹角为30°,此时货物B和驾驶舱C正好在同一水平线上，已知起重臂AC长10米.你能算出BC的长度吗? B A C 30° ∴BC= AC=5(m). AB与BC,BD与BC分别有何数量关系？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A=30°.求证: AB=4BD. 解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°， ∴BC= AB. 又∠A+∠B=90°，∴∠B=60°. 在Rt△BCD中，∵∠B+∠BCD=90°， ∴∠BCD=90°－∠B=30°. 故BD=BC.又BC=AB， 则BD=AB，即AB=4BD. 重要模型和关系要熟记！ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 D 解：(1)如图所示，AD即为所求； (2)在Rt△ABC中，∵， ∴ ∵AD平分， ∴∠DAC=∠BAD=∠B=30°， ∴CD= AD=3,AD=BD, ∴BG=AD=6. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 其中一个是含 30° 角的直角三角形 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 ， 的面积为 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14 cm，求阴影部分 △ACF的面积. ∠B =∠C = ？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B =∠C = 30°. ∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°. ∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°. ∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE. ∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE. 在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE. 三角形有哪些？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 三角形？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 典例精析 DIAN LI JING XI 例9 如图，果果在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为15°. 小芳朝正前方笔直行走400 m，此时测得塔尖的仰角为30°.若小芳的眼睛离地面1.6m，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗? 解：在△ABD中,∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=15°， ∴∠BAD=∠B,∴AD=BD=400m, 在Rt△ADC中，∵∠ADC=30°， ∴AC= AD=200(m).. 故电视塔塔尖离地面的高度为200+1.6=201.6(m). 课堂小结 QING JING YIN RU 内容 注意 含 30°角的 直角三角形 的性质 要点 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半 找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边 前提条件：含 30° 角的直角三角形中 解析： ∠A:∠B:∠C=1: 2: 3, ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=30°， ∠B=60°， ∠C=90° ∵BC=4 cm ∴ AB=2BC=8cm. 当堂练习 QING JING YIN RU 1.已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1: 2: 3,最短边BC=4 cm, 则最长边AB的长是( ) A、5cm B、6 cm C、7cm D、8 cm D 方程思想 ∠A=30°，∠C=90°. 当堂练习 QING JING YIN RU 2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 . A B C D 1 3. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若 AB = 10， 则 BC 的长为 . 5 4. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm. A C B 8 当堂练习 QING JING YIN RU 5.如图，线段AE与BC相交于点D，BD=CD， AD=ED， CA⊥AE，∠1=30°， 且AB=3 cm.那么线段BE多长呢? 解：∵AD=ED,∠ADC=∠EDB，CD=BD, ∴△CAD≌△BED(SAS). ∴∠BED=∠CAD=90°， 在Rt△ABE中，∵∠1=30°， ∴BE= AB= (cm). 当堂练习 QING JING YIN RU 6.一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上. （1）画出礁石C的位置；（2）求出B处到礁石C的距离. B C 30° 60° A D 解：（1）如图,以B为顶点，向北偏西60°作角， 这角一边与AM交于点C, 则C为礁石所在地. M 北 （2）∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，∠BAC=30 °， ∠DBC=60°， ∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB， ∴BC=AB ( 等角对等边) ， 即 BC=AB=10×2=20(海里）. 答：B处到礁石C的距离为20海里. 当堂练习 QING JING YIN RU 7. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E 分别为 BC、AC 上的点，且 CD = AE，AD、BE 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q， 求证：BP = 2PQ. ∴△ADC≌△BEA (SAS). 证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴ AC = BC = AB，∠C =∠BAC = 60°. ∵ CD = AE， ∴∠CAD =∠ABE. ∵∠BAP +∠CAD = 60°， ∴∠BAP +∠ABE = 60°，即∠BPQ = 60°. 又∵ BQ⊥AD， ∴ BP = 2PQ. ∴∠PBQ = 30°. ∴∠BQP = 90°. $$