学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（新教材沪科版，范围：九上第22章）

**基本信息** 聚焦二次函数核心内容，通过基础辨析、沙包游戏情境应用及矩形存在性综合探究，分层考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数定义（1题）、图像性质（3题）、反比例函数结合（2题）|结合图像辨析单调性（2题）、顶点位置判断（3题）| |填空题|4/20|开口方向（11题）、对称点坐标（14题）、方程根（13题）|动态对称点计算（14题）、图像信息转化（13题）| |解答题|9/90|表达式求解（17题）、面积计算（17题）、新定义“靓点”（22题）、存在性探究（23题）|沙包游戏建模（20题）、矩形存在性综合（23题）|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11 12 13. 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(8分) 17.(8分) B 18.(8分) BO (1)b=,C=,点B的坐标为 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) Ay/m C C B m 图1 图2 21.(12分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 23.(14分) D D C B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 保密★启用前 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第22章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（本题4分）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 3．（本题4分）已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 4．（本题4分）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 5．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（本题4分）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 9．（本题4分）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）函数图象的开口 _____． 12．（本题5分）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） 13．（本题5分）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 14．（本题5分）如图，在中，轴于点B，点B关于直线的对称点为点C，连接，．若，反比例函数的图象经过的中点D． （1）当时，则点C的坐标为______； （2）若，则______． 三、解答题（共9小题，共90分。15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题每题12分） 15．（本题8分）已知二次函数，当时，求函数的值． 16．（本题8分）已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．（本题8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 19．（本题10分）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 20．（本题10分）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 21．（本题12分）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 22．（本题12分）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 23．（本题14分）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 第3页（共4页） ◎ 第4页（共4页） 第1页（共6页） ◎ 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷（A3版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B D D C C B 1．C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 2．A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 3．C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴该点在直线上． 4．C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 5．B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 6．D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 7．D 【分析】分和两种情况，联立反比例函数与直线的解析式，结合线段的取值范围确定的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为，线段的取值范围是， 联立， 整理得， 当时，反比例函数图象在第一、三象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得； ∴； 当时，反比例函数图象在第二、四象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在时，随增大而增大，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得， ∴； 综上，的取值范围是或． 8．C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 9．C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 10．B 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象的判断．结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④；根据对称性可知与时的函数值相等，再结合时函数值的符号，即可判断②． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，①正确； 当时， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，③正确； 对于直线，当时， 即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵结合图象有：，， ∴，解得： ，④正确； 对于抛物线，当时，结合图象有函数值， ∵抛物线对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，，②错误， 正确的有①③④． 11．向上 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：∵函数中， ∴图象开口向上． 故答案为：向上． 12．< 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数（）的性质，其图像开口向下，对称轴为y轴，将点A和点B的横坐标代入函数解析式，计算和的值，并利用比较大小即可． 【详解】解：由函数（），点在图像上，代入得；点在图像上，代入得， 因为，所以，即； 故答案为<． 13． 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 14． 【分析】（1）连接，过点C作轴于点M．利用等边三角形的判定和性质，正切函数求解即可． （2）连接，交于点E，连接，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G．根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，求解即可； 【详解】（1）解：如图1，连接，过点C作轴于点M． ∵点B关于直线的对称点为点C，， ∴，． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴点C的坐标为． （2）解：如图2，连接，交于点E，连接，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G． ∵点B关于直线的对称点为点C， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴在中，． ∵点D是的中点，E是的中点， ∴． ∵轴，轴． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． ∴点D的坐标为． ∴． 15． 【详解】解：将代入，得． 16．(1) (2)这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 17．(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 18．(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 19．(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 20．(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 21．(1) (2) (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 22．(1)点是“靓点”，证明如下： ∵点为“靓点”， ∴， ∵，， ∴将代入上式，得， ∴， ∴点是“靓点”； (2)证明：将代入，得， 整理得， ∵， ∴判别式 ， ∵，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， ∴方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又∵，两个不同的对应两个不同的， ∴函数的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)的值为 【分析】（1）由“靓点”的定义可得，再表示出点的横、纵坐标之和与横、纵坐标之积，由此即可证明； （2）将代入得到，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得证； （3）将代入得，结合题意，令，则方程有两个不相等的实数根，，利用一元二次方程根的判别式求出或，求出，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，表示出，，从而可得，整理得，求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：将代入得， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， ∴令，则方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴或， 将代入得， ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴的值为． 23．(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 答案第16页（共16页） 答案第17页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第22章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（本题4分）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 2．（本题4分）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 3．（本题4分）已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴该点在直线上． 4．（本题4分）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 5．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 6．（本题4分）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 7．（本题4分）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况，联立反比例函数与直线的解析式，结合线段的取值范围确定的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为，线段的取值范围是， 联立， 整理得， 当时，反比例函数图象在第一、三象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得； ∴； 当时，反比例函数图象在第二、四象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在时，随增大而增大，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得， ∴； 综上，的取值范围是或． 8．（本题4分）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 9．（本题4分）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 10．（本题4分）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象的判断．结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④；根据对称性可知与时的函数值相等，再结合时函数值的符号，即可判断②． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，①正确； 当时， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，③正确； 对于直线，当时， 即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵结合图象有：，， ∴，解得： ，④正确； 对于抛物线，当时，结合图象有函数值， ∵抛物线对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，，②错误， 正确的有①③④． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）函数图象的开口 _____． 【答案】向上 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：∵函数中， ∴图象开口向上． 故答案为：向上． 12．（本题5分）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】< 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数（）的性质，其图像开口向下，对称轴为y轴，将点A和点B的横坐标代入函数解析式，计算和的值，并利用比较大小即可． 【详解】解：由函数（），点在图像上，代入得；点在图像上，代入得， 因为，所以，即； 故答案为<． 13．（本题5分）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 【答案】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 14．（本题5分）如图，在中，轴于点B，点B关于直线的对称点为点C，连接，．若，反比例函数的图象经过的中点D． （1）当时，则点C的坐标为______； （2）若，则______． 【答案】 【分析】（1）连接，过点C作轴于点M．利用等边三角形的判定和性质，正切函数求解即可． （2）连接，交于点E，连接，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G．根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，求解即可； 【详解】（1）解：如图1，连接，过点C作轴于点M． ∵点B关于直线的对称点为点C，， ∴，． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴点C的坐标为． （2）解：如图2，连接，交于点E，连接，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G． ∵点B关于直线的对称点为点C， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴在中，． ∵点D是的中点，E是的中点， ∴． ∵轴，轴． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． ∴点D的坐标为． ∴． 三、解答题（共9小题，共90分。15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题每题12分） 15．（本题8分）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 16．（本题8分）已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 17．（本题8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 19．（本题10分）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 20．（本题10分）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 21．（本题12分）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 22．（本题12分）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】(1)点是“靓点”，证明如下： ∵点为“靓点”， ∴， ∵，， ∴将代入上式，得， ∴， ∴点是“靓点”； (2)证明：将代入，得， 整理得， ∵， ∴判别式 ， ∵，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， ∴方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又∵，两个不同的对应两个不同的， ∴函数的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)的值为 【分析】（1）由“靓点”的定义可得，再表示出点的横、纵坐标之和与横、纵坐标之积，由此即可证明； （2）将代入得到，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得证； （3）将代入得，结合题意，令，则方程有两个不相等的实数根，，利用一元二次方程根的判别式求出或，求出，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，表示出，，从而可得，整理得，求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：将代入得， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， ∴令，则方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴或， 将代入得， ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴的值为． 23．（本题14分）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第2页（共22页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11._______________ 12. ___________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（8分） 17．（8分） 18．（8分） (1)_______，______，点B的坐标为______． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 20．（10分） 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版九年级上册第22章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（本题4分）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 3．（本题4分）已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 4．（本题4分）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 5．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（本题4分）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（本题4分）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 9．（本题4分）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）函数图象的开口 _____． 12．（本题5分）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） 13．（本题5分）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 14．（本题5分）如图，在中，轴于点B，点B关于直线的对称点为点C，连接，．若，反比例函数的图象经过的中点D． （1）当时，则点C的坐标为______； （2）若，则______． 三、解答题（共9小题，共90分。15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题每题12分） 15．（本题8分）已知二次函数，当时，求函数的值． 16．（本题8分）已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．（本题8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 19．（本题10分）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 20．（本题10分）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 21．（本题12分）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 22．（本题12分）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 23．（本题14分）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 ⊙ A O 0 马 D D c c B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 12.≤18.33-45).2号 12 11.向上 三、解答题（共9小题，共90分。15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题每题 12分) 15.【解析】解：将=3代入)=2r-5x+1.得=2x32-5x3+1=18-15+1=4 ,得 m-1≠0 16.【解析】(1)解：由题意，得m2+1=2, 解得m=-1: (2)解：由(1)得二次函数解析式为：y=-2r+4r-5=-2(x-1-3 “这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线=1，顶点坐标为仙-3) 17.【解析】（解：设函数的表达式为”=a(x-2)+9, -1,0代入得 ，解得0-1 .、0=a(-1-2)2+9 将点 故二次函数的表达式为”=-(x-2少+9 即少=-r2+4r+5 答案第1页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：少=-+4x+5 .当x=0时，y=5, C(0,5)」 :A点坐标为(-1,0)，对称轴为直线x=2, .B(5,0) 设直线BC的解析式为y=x+5, 托B(65.0)代入，符5+5=0，解得k=-1, ∴直线BC函数表达式为y=-x+5, 把x=2代入得y=3, 过点M作y轴的平行线交BC于点H,则点H(2,3), SAMcw-HMxBO-x6x5=15 y M H B 18.【解析】(1)解：把 ,00,-3)代入y=+br+C得： 和 代入 9+3b+c=0 b=-2 c=-3 ,解得c=-3, :2-2-3 2=1 :抛物线的对称轴为直线x=一2x1=1, 答案第2页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 点30关于对称轴的对称点为-1,0)，即B(-1,0) (2)解：存在， 当∠CAP=90°时，设AP交y轴于点D, 点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0，-3)， .0A=OC=3 ∴.∠0AC=∠0CA=45° ∴.∠0AD=∠CAP-∠CAO=45°， “.△AOD为等腰直角三角形， ∴.OD=OA=3, :D(0,3) 设直线4D的解折式为=+3，把1,0)代入，得k=-1, y=-x+3」 y=-x+3 x=3「x=-2 联立y=x2-2x-3,解得y=0或y=5, :P25) ∠ACP=90°=∠CAD,,ADIICP 当 时，则 ·的解析式为=-术-3 CP y=-x-3 x=0「x=1 联立y=x2-2x-3,解得y=-3或y=-4, 0-4) 综上：P(2,5或P-4) 答案第3页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 VA k-5 19.【解析】()解：：点A,2)在反比例函数y=x的图象上， :25 1 解得k=7. k-5 (2)解：：反比例函数y=x的每一支上，y随x的增大而减小， .k-5>0. 解得k>5 B (3)解：点 (3)在该函数的图象上，点 不在该函数的图象上，理由如下： 8 当k=13时，反比例函数解析式为y= 8 路=)代入少8，得y3:与点8的纵坐标相等，故点8在函数图象 将x=4代入y 1 x，得y=-32≠2，故点C不在函数图象上. 20.【解析】(1)解：由题意，得 B(6,1) 将8(6,1)代入抛物线C:y=a(-3犷+2，得 1=9a+2, 1 解得a=一9· ∴抛物线9：y=- -32, 答案第4页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=0时，y=1, c=1 (2)解：小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， ÷此时，点8的坐标范围是6，)~(，) 当抛物线C经过点 5,1) 时， 25+8x5+1+1 I=-1 8 前钓0=号 当抛物线C经过点 ,时 49+图×71+1 I=-1 8 解得-号 ≤ns到 17 n为整数， .符合条件的n的整数值为4,5， 21.【解析】(1)解：将点 (-l,0),C0,3)代入y=-r+bx+c, -1-b+c=0, [b=2 得c=3, ，解得c=3, =-x2+2x+3 ∴.抛物线的解析式为 (2)解：对于少=-x+2x+3 令=0 0,则+2x+3=0,即-2-3=0 =-1x2=3 解得 .B(3,0) 答案第5页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 结合图象可知，当点P在x轴上方时，-1<m<3: (3)解：“y=-+2x+3=-(x-+4 抛物线的对称轴为直线x=】,顶点坐标为亿4) 若m≤1，则点P右侧部分（含点P)的最高点为抛物线顶点， ∴当x=1时，-1-m=4,解得m=-5; 若m>1,则点P右侧部分（含点P)的最高点为点P, m时，-1m=m+2m+3,解得1 当术 （舍去)，m=4 综上所述，m的值为-5或4. 2.【解析1)点2(2-x2-八是“靓点”，证明如下： 点P(x)为“靓点” ..x+y=xy 2-+(2-)=4-(+)(（2-x2-y)=4-2x-2y+y=4-2(x+)+y 将+y=为代入上式，得2-2-月=4-2(x+)+(+)=4-(x+) :(2-+(2-川=(2-2-) 点02-x2-月是“银点”； (②证明：将'=+m代入x+y=,得++m=x(+m）, 整理得 x2+(m-k-1)x-m=0 k>0, ÷判别式△=(m-无--4k(←m）=(m-k-+46m =m2-2(k+1)m+(k+1)2+4km 答案第6页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =(m+k-1)2+4k (m+k-1旷≥0.k>0. :△=(m+k-1}+4k>0 .该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将x=1代入方程左边，得 .12+(m-k-1)1-m=k+m-k-1-m=-1≠0 .方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又k≠0，两个不同的x对应两个不同的y, ∴函数y=+m的图象上总存在两个不同的“靓点”： (③)解：将=r-4ar+4a+2代入x+y=y得x+ar-4ar+4a+2=(ar2-4ax+4a+2】 整理得-2ar2-3ax+2a+1)=0 :关于的二次函数'=心-4x+4如+2(“为爷数)的图象上存在三个不同的“靓点”， …令 2,则方程ar-3ar+2a+1=0有两个不相等的实数根5,5， :△=(-3a-4xax(2a+1)>0 ∴.a<0或a>4, f代入'=ar-4x+4a+2gy=4a-8a+4a+2=2 将2 得 乃++g=+写+5 ,22+y+=22+x号+x :片+坊=写+写 :方程a-3ax+2a+1=0有两个不相等的实数根，， t5=0-3,% _2a+1 a a 答案第7页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .+y=(6+x}-2x,x=32-2×2a+1_5a-2 a a 乃+⅓=2-4a+4a+2+a,2-4a+4a+2=a(x+x)-4a(x+x)+8a+4 ∴.y+⅓3=a 5a-2-4ax3+8a+4=5a-2-12a+8a+4=a+2, a …x+y=y, 2a+1 点2 a -=2a+1 a :2+⅓=(0+y-25y=(a+2y-2x2a+1) .5a-2=(a+2-2x(2a+l), :.a 整理得a+2(a-1=0 .a=1(不符合题意，舍去)或a=-2, .a的值为-2. 23.【解析】()解：设抛物线表达式为'=a(x-h)+k, :抛物线'=-r+r+C的顶点为 (1,4) .a=-1,h=1,k=4, 小抛物线的函数表达式为'=-(x-)°+4=-x2+2x+3 令=0，则 =-02+2×0+3=3 .C(0,3) 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3, 答案第8页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :(-L,0)BB,0) (2)解：设直线8C表达式为=x+b,代入B(3,0),CQ3)得 「3k+b=0 1b=3, k=-1 解得b=3, ∴.直线BC表达式为y=-x+3, 设点P横坐标为，则P收-+21+3) 如图，过点P作轴的垂线，交BC于点e.则2，-1+3) .P0=（-2+21+3)-(（-t+3)=-2+3t P0r+到=+3 2 9 2 3 这是开口向下的二次函数，当= 32时，面积取得最大值， 2<2) 3 即当。BCP面积最大时，点P的横坐标为2； (3解：B(30)DL,4) 3+10+4 :BD=3-旷+(0-4=25BD中点为22即(2,2) 答案第9页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形， N=BD=25,AN中点为2,2列 点M是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点M在x轴上时，如图， D B 设M(m,0) 则4-m利 MN=V[m-(4-m)]+(0-4)}=25 :[m-(4-m)]+(0-4)=(25 解得m=1或m=3(此时点M与点B重合，舍去)， .4-m=3, :wB,4) ②当点M在y轴上时，如图， D C 设M(0m）) N(4,4-m) 则 MN=0-4}+[m-(4-m)]=25 (0-4)}+[m-(4-m)=(25. 解得m=1或m=3, 答案第10页（共9页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当m=1时，4-m=3, 当m=3时，4-m=1, N4,3)或4，， 综上，点N的坐标为34)或4,3)或4， 答案第11页（共9页）