浙江省名校协作体2026-2027学年高二上学期开学数学试题

**基本信息** 高二年级数学开学练习，覆盖集合、向量、立体几何等核心知识，通过分层题型考查数学抽象、几何直观与运算推理能力，解答题融合新能源汽车续航调查等现实情境，适配开学初学情检测与能力衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、向量共线、复数性质|基础概念辨析，如第3题结合充分必要条件考查复数分类| |多选|3/18|概率事件关系、解三角形|第10题结合图形动态分析三角形边与角关系，考查推理能力| |填空|3/15|复数虚部、正方体线面角|第13题通过正方体截面与线面平行，考查空间观念| |解答题|5/77|向量运算、统计（频率分布直方图）、立体几何体积与二面角、函数零点|第17题以新能源汽车续航调查为情境，考查数据意识；第19题函数综合题分层设问，考查逻辑推理与创新应用|

高二年级数学学科 练习 考生须知: 1. 本练习满分150分, 练习时长120分钟； 2. 答题前, 在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。 3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在练习纸上的无效； 4. 练习结束后, 只需上交答题卷。 一、单项选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合, , 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知不共线向量,满足向量与方向相同, 则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数, 则“”是“为实数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将边长为的正绕直线旋转一圈, 则所得几何体的的内切球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 5. 由斜二测画法得到的一个水平放置的的直观图是如图所示的 等腰三角形, 其中, 底角为, 则在水平放置图中, 的 边上的高为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程有实根, 则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与直线在上有且仅有个交点, 则的取值 范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中, , 则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分。 9. 已知,为同一试验中的两个事件, 则下列说法正确的是（ ） A. 若, 则 B. 若, 则,对立 C. 若, 则,不互斥 D. 若, , 则,相互独立 10. 如图, 内角,,的对边分别为,,, 为边上一点, 且, , 则下列说法正确的是（ ） A. 若, 则 B. 若, 则角 C. 若, , 则 D. 的最小值为 11. 已知定义在上的函数满足对任意实数,恒成立, 且, , 则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 至少有两个零点 D. 对任意正整数恒成立 三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分。 12. 已知复数, 则的虚部为 . 13. 已知平面经过正方体的顶点, //平面, , , 则直线与所成角的余弦值为 . 14. 已知函数 其中为实常数. 若, 则 ; 若存在直线与的图象有无穷多个交点, 则 . 四、解答题: 本题共5小题, 共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知平面向量与的夹角为, , . (1)若向量与垂直, 求实数的值; (2)求向量与的夹角的余弦值. 16. 在中, 角, , 的对边分别为, , . 已知向量, 满足. (1)求角的大小; (2)若的面积为, 外接圆面积为, 求的周长. 17. 某地交通部门为了解市民对新能源汽车的续航满意度, 随机抽取了名新能源车主进行问卷调查, 统计了他们实际驾驶中的百公里电耗（单位: 度）, 并将这个数据作为样本, 将样本分成五组: , , , , , 得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值, 并估计该地新能源车主驾驶中的百公里电耗的第百分位数; (2)已知样本数据落在的平均数是, 方差是, 落在的平均数是, 方差是, 求这两组数据合并后的平均数和方差; (3)已知在百公里电耗为和的车主中, 分别有名和名女性. 现从这两个区间的车主中各随机抽取人参加该地交通部门组织的“低碳出行”市民座谈会, 求抽取的人中恰好有名女性的概率. 18. 如图, 在四棱锥中, 底面, , . (1)若, 求证: //平面; (2)若平面平面, (i)求四棱锥体积的最大值; (ii)若二面角的正弦值是二面角的正弦值的两倍, 求. 19. 已知函数. (1)判断的零点个数; (2)若,, 且, 求证: ; (3)若,,, 且, 求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科练习 参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B A D B A 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 CD BCD ACD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 注: 第14题第一空2分, 第二空3分. 四、解答题 15. (1)由与垂直知, (2分) 再由知, (4分) , 解得. (6分) (2)由知, . (8分) 再由知, (10分) . (13分) 16. (1)由, 得. (2分) 再由余弦定理知, . (4分) 故由知, . (6分) (2)由, 得. (8分) 由外接圆面积为知, 外接圆半径. (10分) 由正弦定理知, . (12分) 再由余弦定理知, , 从而. (14分) 故的周长为. (15分) 17. (1)由题意知, , 解得. (2分) 因为前组的频率之和为, 前4组的频率之和为, 所以样本数据的第80百分位数落在中, 设其为, 则, 解得, 即样本数据的第80百分位数为. 故估计该地新能源车主驾驶中的百公里电耗的第80百分位数为17. (4分) (2)两组数据合并后的. (6分) 两组数据合并后的, (8分) 计算得. (10分) (3)已知中有6名女性, 则男性有(人); 中有14名女性, 则男性有(人). (11分) 从中抽取1人, 从中抽取1人，基本事件总数为: . (12分) 设事件=“抽取的2人中恰好有1名女性”, 则事件包含以下两种互斥情况: ①从中抽到女性, 从中抽到男性, 有, ②从中抽到男性，从中抽到女性，有, 所以事件包含的基本事件数为: . (14分) 故所求概率为. (15分) 18. (1)证明: 由平面, 平面知, . 又, , ,平面知, . 再由平面, 得. (2分) 由, 得. 故在平面中, //. (4分) 再由平面, 平面, 得//平面. 得证! (5分) (2)(i)如图, 过点作, 垂足为. 由平面平面, 以及平面平面, 得平面. 又平面知, . (7分) 再由平面, 平面知, . 又, ,平面知, 平面. 故由平面, 得. (9分) 于是, 的最大值为, 的最大值为. (11分) (ii)由, , ,平面, 得平面. 又平面知, 平面平面, 且平面平面. 如图, 过点作, 垂足为, 再过作, 垂足为, 连接, . 则平面, 且, 分别为二面角, 的平面角. (13分) 于是, 由, 得. (15分) 再由, , 得, . (17分) 19. (1)当时, . 当时, 由知, , 故. 当时, 由单调递增, 以及, 知, 存在唯一, 使得. 当时, . (2分) 综上所述, 在上有且仅有个零点. (4分) 另解: 由的零点个数即函数与的图象的交点个数, 结合下图 (2分) 知在上有且仅有个零点. (4分) (2)由基本不等式, 两边取对数得. (6分) 由知, (8分) . (10分) 于是, . 得证! (11分) 另解: 由基本不等式, 两边取对数得. (6分) 由知, . (8分) 再由知, . (10分) 于是, . 得证! (11分) (3)条件. 不妨设, 并令, 则由知, . 于是, , , , 且. (13分) 再由(2)知, (15分) , 解得, 其中取等条件为. (17分) 注: 本题导数方法行不通, 一律不给分. 1 学科网（北京）股份有限公司 $