29.3弧长和扇形面积（第2课时 圆锥侧面积和全面积）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆锥的侧面积和全面积，涵盖圆锥结构（顶点、底面、母线等）、侧面展开图与扇形的关系及面积公式。通过圣诞装饰、生日帽等生活图片导入，结合弧长和扇形面积的复习练习，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以动手剪开圆锥侧面的探究活动，渗透转化思想和空间观念，通过蒙古包、烟囱帽等实际问题培养应用意识。真题感知环节强化知识迁移，小结梳理易错点与思想方法，助力学生发展几何直观，教师可借助其系统设计提升教学效率。

29.3 弧长和扇形面积 第2课时　 圆锥体的侧面积和全面积 第二十九章 圆 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 4 理解圆锥的结构：能准确指出圆锥的顶点、底面、侧面、高、母线，知道母线有无数条且都相等，掌握 这一关系. 理解圆锥侧面展开图：知道圆锥的侧面展开图是扇形，能说出扇形半径与母线、扇形弧长与底面周长之间的对应关系. 解决实际问题：能运用圆锥面积公式解决简单的实际问题（如蒙古包、烟囱帽等）. 3 掌握面积公式：能准确叙述并运用圆锥的侧面积公式. 5 发展核心素养：经历“立体→平面”的转化过程，体会转化思想和数形结合思想，发展空间观念和几何直观. 知识回顾 练一练 1.若扇形的半径为3， ，则 的长为( ) A A. B. C. 弧长计算公式 解：= 知识点链接 R n° O l 2.将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为， 则扇形的圆心角大小为( ) D A.B. C.D. 解： = 解得：n=120 知识回顾 练一练 扇形面积计算公式 知识点链接 3.半径为1，圆心角为 的扇形的面积为( ) B A.B. C.D. R n° O l 4.已知一个扇形的面积是 ，弧长是 ，则这个扇形的半径为( ) A A.24 B.22 C.12 D.6 由 解得： 导入新课 观察下列图片，圣诞树上的圆锥形装饰、生日帽、冰淇淋蛋筒、粮仓屋顶这些都给我们什么形象的图形？ 今天我们就来研究——如何计算圆锥的侧面积和全面积. 圆锥形 圆锥的侧面积 如果要给一个冰淇淋蛋筒的外表面贴一层包装纸，需要知道什么？ 下底一个圆 新知探究 探究点1 圆锥的结构认识 议一议 说一说圆锥由几部分组成？ 侧面 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体 新知探究 探究点1 圆锥的结构认识 议一议 圆锥可以看作是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 直角三角形绕直角边旋转形成怎样的图形？ 新知探究 探究点1 圆锥的结构认识 议一议 说一说圆锥的结构 顶点：圆锥的尖顶（旋转轴与斜边的交点）. 底面：圆锥底部的圆. 侧面：连接顶点和底面的曲面. 高（h）:连接圆锥顶点与底面圆心的线段. 顶点 底面半径 母线 高 h r l 母线（）:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段. 新知探究 探究点1 圆锥的结构认识 议一议 （1）圆锥有多少条母线？它们的长度有什么关系？ 圆锥的母线有无数条，每条母线都相等. r、h、的关系： 在由母线、高、底面半径组成的直角三角形中， 练习：已知圆锥底面半径r=3，高h=4，求母线长. 新知探究 探究点2 圆锥的侧面展开图 活动 准备一个用纸做的圆锥模型，请沿一条母线剪开圆锥的侧面，并将侧面摊平. 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开: 展开后得到一个扇形 扇形 新知探究 探究点2 圆锥的侧面展开图 议一议 这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？为什么？ h l r 扇形的半径 = 圆锥的母线长 展开时，扇形上的每一点到顶点的距离都是母线长. l 新知探究 探究点2 圆锥的侧面展开图 议一议 这个扇形的弧长与圆锥的什么有关？为什么？ 扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长 l 展开后，原来底面圆周上的点展开了，弧长对应原来的底面周长. l 新知探究 探究点2 圆锥的侧面展开图 议一议 扇形半径=母线长 扇形弧长=底面周长 h l母线 r l母线 底面圆周长 说一说圆锥的结构对应关系 新知探究 探究点3 圆锥面积公式的推导 议一议 （1）圆锥的侧面积是什么平面图形的面积？ 是展开后扇形的面积. l r O 扇形 （2）圆锥的侧面积公式怎样得到？ 圆锥侧面展开图的扇形的半径=母线的长l 圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面周长2πr == ×弧长×半径 代入对应关系：弧长 = 2πr，半径 =. == ×2πr×=πr 新知探究 探究点3 圆锥面积公式的推导 议一议 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积 圆锥的全面积 l r O 扇形 新知探究 探究点3 圆锥面积公式的推导 议一议 圆心角n°所对的弧长=底面圆的周长 已知扇形的圆心角n°和母线长，如何求底面半径r？ 得 ：r = 由 2πr = l r O 扇形 典例分析 例1 已知一个圆锥的底面半径为12 cm，母线长为20 cm，求这个圆锥的侧面积和全面积. 解：= πr=π×12×20=240π（cm²）. = + =240π+ =384π（cm²）. 答：这个圆锥的侧面积为 240πcm²，全面积为 384πcm². 【问题分析】 （1）已知r=12，=20，直接代入哪个公式求侧面积？ r=12 底面积 = πr. （2）全面积还需要加什么？ 典例分析 例2 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成。如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m²、高为3.2 m、外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？ r h1 h2 l h2 【问题分析】 蒙古包由哪两部分组成？ 搭建蒙古包需要用毛毡覆盖哪些面？ 已知底面积为12 m²，如何求底面半径r？ 圆柱的侧面积如何求？ 圆锥的母线如何求？高是多少？ 下部圆柱+上部圆锥 圆柱的侧面 + 圆锥的侧面。 底面不需要毛毡，因为铺在地上. π = 12，r= ≈1.954 m = 2πr 圆锥高= 3.2-1.8=1.4 m， h1，r，l构成直角三角形三边长 典例分析 例2 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成。如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m²、高为3.2 m、外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？ 【问题解答】 r h1 h2 l h2 解：下部圆柱：底面积 = 12 m²，高=1.8m. 上部圆锥：高=3.2-1.8=1.4 m. 底面半径：r=≈ 1.954（m）. 圆柱侧面积： = 2πr≈2 ×3.142×1.954 ×1.8≈ 22.10（m²）. 圆锥母线：（m）. 圆锥侧面积：= πr≈ 3.142× 1.954 ×2.404 ≈14.76（m²） 一个蒙古包所需毛毡：22.10+14.76≈36.86（m²）. 20个蒙古包所需毛毡：20 ×36.86 ≈738（m²）. 答：至少需要738 m²的毛毡. 新知巩固 课本P138 1. 圆锥的底面半径是6，母线长18， 求它的侧面展开图的圆心角. 答：圆锥侧面展开图的圆心角为120º. 解:∵侧面展开图的弧长=底面圆周长 ∴2πr=12π ∵侧面展开图的弧长= ∴ =12π，即 =12π ∴n = = =120 ∴120×1°=120° r=6 l=18 新知巩固 课本P138 2. 如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm,制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮(结果保留小数点最后一位) ？ 答：至少需要62.8m2的铁皮. 2000π×100=200000π(cm2)=20π(m2). 解：= 母线=（80÷2）×50=2000 (cm2) 20π≈62.8（m2). 1．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）． (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 拓展提升 （1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 真题感知 1．（2025•广安）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A． B． C． D．5 解：设圆锥底面圆的半径为r， 由题意得：2πr， 解得 r， ∴该圆锥的底面圆的半径为． A 真题感知 2．（2025•云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 解：设圆锥的底面圆的半径为r cm， 则2πr， 解得r＝10， 即圆锥的底面圆的半径为10cm． B 真题感知 3．（2025•齐齐哈尔）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　　 度． 解：根据弧长的公式l得到： 80π， 解得 n＝160． 1°×160=160° 侧面展开图的圆心角为160度． 160 真题感知 4．（25-26.赣州·期末）如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． （1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有， 解得， 即， ∴． 课堂小结 *圆锥的要素： 顶点、底面（半径r）、高（h）、母线（l）， 半径r、高h、母线l三者满足勾股定理：r²+h²=l² *侧面展开图： 扇形，扇形半径=母线l，扇形弧长 = 底面周长. *面积公式： ==πr 、 = +=πr(+r). 圆心角关系：n= （可用于逆向求底面半径）. 知识与技能 课堂小结 ►转化思想： 将立体问题转化为平面问题，将曲面面积转化为扇形面积. ►数形结合： 通过展开图理解元素对应关系，用勾股定理建立数量关系. ►建模思想： 将实际问题分解为基本几何体模型的组合. 思想与方法 课堂小结 ＊概念混淆： 母线是侧面上的线段（无数条），高是顶点到底面圆心的线段（1条），两者不同，不可混淆. ＊公式记混： 侧面积 =πr，全面积再加π， 即= +=πr(+r). ＊对应关系错位： 扇形半径=母线，扇形弧长=底面周长 ——这是推导公式的前提，务必清晰. ＊实际问题中的“面”: 计算用料时，要分析需要覆盖哪些面 （如蒙古包底面不需要毛毡）. 易错点提醒 课后练习 1(3)用一个圆心角为120º，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 . 习题 29.3 课本p138页 解：设底面圆半径为r， 由题意得： =4 == ∵==πr ∴4 πr ∴r 4. Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，BC = 4. 把Rt△ABC分别沿三边所在直线旋转一周. 求所得三个几何体的全面积. 解:由勾股定理得： AB==5 （1）当沿AC所在直线旋转一周，得到 r=4， =5 = +=πr(+r)= π×4×(+4)= 36 ∴几何体的全面积为36; （2）当沿BC所在直线旋转一周，r=3， =5 = +=πr(+r)= π×3×(+3)= 2 ∴得到几何体的全面积为24π; 课后练习 习题 29.3 课本p139页 C A ∟ B 3 4 4. Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，BC = 4. 把Rt△ABC分别沿三边所在直线旋转一周. 求所得三个几何体的全面积. 解:由勾股定理得： AB==5 （3）当沿AB所在直线旋转一周，所得几何体是两个圆锥的侧面积和 过C作CD⊥AB,垂足为D ∴CD== r=， =4，r=， =3 = + =πr + πr = ∴得到几何体的全面积为 课后练习 习题 29.3 课本p139页 ∟ C A B 3 4 D ∟ 课后练习 6. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB， AC夹角为120°，若AB的长为 30 cm， BD 的长为20 cm，求扇面BDEC的面积(结果取整数). 解:由题意得： AE= AB-BD =30-20=10 （cm） S扇= = ≈837（ ） 习题 29.3 课本p139页 答：扇面BDEC的面积约837 课后练习 7.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为 32 m，母线长7 m. 为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？ 解:S= = ×32×=112 () 答:所需油毡的面积至少是112. 习题 29.3 课本p139页 课后练习 8.如图，从一块直径是 1 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求剩余部分的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少(结果保留小数点后两位)？ 解:连接BC.易得被剪掉部分的面积= ) 剩余部分的面积－ = 设圆锥的底面圆的半径为r， ∴ =2r, 解得 r = 故圆锥的底面圆的半径为m. 习题 29.3 课本p139页 谢谢聆听 $