第12章压轴题专项练习2026-2027学年沪科版数学八年级上册

2026年沪科版八年级上册数学第12章压轴题专项练习 【压轴题型一】图形动点的函数图象问题 例1.如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为(    ) A. B. C. D. 【对应练习】 1.如图所示，在直角梯形中，，动点从点出发，沿梯形的边由运动设点运动的路程为，三角形的面积为把看作的函数，函数的图象如图所示，则三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在四边形中，动点从点开始沿的路径匀速前进到为止．在这个过程中，的面积随时间的变化关系用图象表示正确的是(    ) A. B. C. D. 【压轴题型二】含参函数与几何图形的交点问题 例1.如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，当直线与有交点时，的取值范围是    ． A. B. C. D. 例2.如图，在平面直角坐标系中有点，，一直线函数解析式为试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 【对应练习】 1.如图，，，，动点从点出发，沿轴以每秒个单位的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是    ． A. B. C. D. 【压轴题型三】一次函数中含参的利润最值问题 例1.商店销售台型电脑和台型电脑的利润为元，销售台型电脑和台型电脑的利润为元，该商店计划一次购进这两种型号的电脑共台型电脑都买，其中型电脑的进货量不超过型电脑的进货量的倍设购进型电脑台，销售这台电脑的利润为元． 求关于的函数表达式该商店购进型、型电脑各多少台，才能使利润最大 实际进货时，厂家对型电脑的出厂价下调了元，且限定商店最多购进型电脑台若该商店保持同种电脑的售价不变，请你设计销售这台电脑的利润最大的进货方案． 【对应练习】 1.某段时间内，某商场体育用品的需求量略有增加，采购员计划到厂家采购篮球和足球共个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购个篮球． 品名 厂家批发价元个 商场零售价元个 篮球 足球 求该商场采购费用元关于采购数量个的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 该商场把这个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润． 受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元个，同时足球的批发价下调了元个．该商场决定不调整零售价，商场经理发现将个球全部卖出获得的最低利润是元．求的值． 2.某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如表： 化肥种类 化肥单价元 所需化肥数量亩 每亩地增产 甲 乙 设该种农作物每千克元，已知，施肥前每亩产量为． 若施甲种化肥每亩利润为元，施乙种化肥每亩利润为元，求出，与之间的函数表达式． 选用哪种化肥合算 为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则的最小值为          ． 【压轴题型四】一次函数图象中的线段最值问题 例1如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． 求直线的函数表达式 求点的坐标 设点的坐标为，是否存在的值，使得的值最小若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 【对应练习】 1.如图，直线与坐标轴交于两点，与过点的直线交于点，且． 求点的坐标及直线的解析式； 若点在线段上，点在直线上，求的最小值； 在轴上是否存在一点，使最大．若存在，请直接写出点的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【压轴题型五】一次函数图象中行程问题 例1。为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程与自行车队离开甲地时间的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题： 自行车队行驶的速度是_____； 邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？ 邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？ 【对应练习】 1.货车和轿车分别沿同一路线从甲地出发去乙地，已知货车先出发分钟，轿车才出发当轿车追上货车分钟后，轿车发生了故障，花了分钟修好，然后轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，表示两车之间的距离米与货车出发的时间分之间的关系的部分图象如图所示． 货车的速度是          米分，轿车故障前的速度是          米分 求的值 求货车出发多长时间，两车相距米． 【压轴题型六】铅锤法解决一次函数图象中的面积问题 例1.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点 直接写出正比例函数与一次函数的表达式 如图，点是直线上的一动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为，用含的式子表示的长，并求出当时的值 如图，在的条件下，是线段上一动点与点，不重合，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分若能，请求出点的坐标若不能，请说明理由． 例2.如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，且直线经过点，与直线：相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． 求直线的解析式； 请直接写出当时，的解集； 若点在直线：的图象上，且满足，求出点的坐标． 【对应练习】 1.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿着直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处 求直线的表达式 在直线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 2.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点 点的坐标为          ． 求直线的表达式． 直线上是否存在动点，使得的面积等于面积的若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【压轴题型七】新定义函数问题 例1.定义：对于一次函数，，我们称函数为函数，的“星辰函数”． 已知函数为函数，的“星辰函数”，求，的值． 在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，过点作轴的垂线，交函数，的“星辰函数”的图象于点． 若，函数，的“星辰函数”图象经过点，求的值 若，点在点的上方，求的取值范围． 【对应练习】 1.【了解概念】对于给定的一次函数其中，是常数，且，则称函数为一次函数其中，是常数，且的“相关函数”，此“相关函数”的图象记为． 【理解运用】已知一次函数． 这个一次函数的“相关函数”是           若点在这个一次函数的“相关函数”图象上，则           若过点且平行于轴的直线与图象有两个交点，，当时，则的取值范围为           在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，连接，我们发现：线段与一次函数的“相关函数”的图象的交点个数随着值的改变而改变，请你探究线段与图象有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 【压轴题型八】一次函数的材料探究题 例1.材料一：如图，由函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移个单位长度得到由此我们得到正确的结论一：在直线与直线中，如果且，那么反过来，也成立． 材料二：如图，由函数与的图象可知，这两条直线是互相垂直的由此我们得到正确的结论二：在直线与直线中，如果，那么反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： 请写出一条直线的表达式，使它与直线平行． 如图，已知点的坐标为，点是直线上一动点，当点运动到什么位置时，线段的长度最小画出图形，并求出此时点的坐标． 【对应练习】 1.在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． 特例探究如图，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值 一般证明 ，时，直接写出            求出的值 类比推广如图，已知，，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标如果否，请说明理由． 【压轴题型九】一次函数中恒成立问题 例1.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． 求，的值 当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出的取值范围． 【对应练习】 1.在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． 求，的值； 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【压轴题型一】图形动点的函数图象问题 例1.【答案】  【对应练习】 1.【答案】  2.【答案】  【解析】【分析】本题考查函数图象，解题的关键是根据点到直线的距离来判断与的关系，本题属于基础题型．根据点的运动过程可知：的底边为，而且始终不变，点到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断与的函数图象． 【解答】 解：设点到直线的距离为， 的面积为：， 当在线段运动时， 此时不断增大，也不端增大 当在线段上运动时， 此时不变，也不变， 当在线段上运动时， 此时不断减小，不断减少， 又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间 故选． 【压轴题型二】含参函数与几何图形的交点问题 例1.【答案】  例2.【答案】  【解析】解：直线， 直线经过定点， 当时， 直线经过点，， ， ， ； 当时， 直线经过点，， ， ， ； 综上，直线与线段有交点时，猜想的取值范围是：或． 故选：． 利用临界法求得直线和的解析式即可得出结论． 本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 【对应练习】 1.【答案】  【解析】当直线过点时，，解得，解得当直线过点时，，解得，解得，故的取值范围是故选C． 2.【答案】  【解析】本题考查一次函数的综合应用及数形结合的思想． 如图，对于直线，当时，，直线经过点时，将代入直线中，可得，解得；直线经过点时，将代入直线中，可得，解得故的取值范围是故选B． 【压轴题型三】含参的利润问题 例1.【答案】【小题】 解：设销售台型电脑的利润为元，销售台型电脑的利润元． 由题意，得 解得 所以， 即． 由题意，得， 解得， 所以，且为整数． 所以，且为整数． 因为，， 所以随的增大而减小． 因为，且为整数， 所以当时，取得最大值， 则， 即该商店购进台型电脑和台型电脑，才能使利润最大． 【小题】 由题意，得，即，． 当时，，随的增大而减小， 所以当时，取得最大值，则． 此时该商店购进台型电脑和台型电脑，利润最大． 当时，，． 此时该商店购进型电脑的数量满足的整数时，均获得最大利润． 当时，，随的增大而增大，所以当时，取得最大值，则． 此时商店购进台型电脑和台型电脑，利润最大． 【对应练习】  1.【答案】【小题】 ． 【小题】 元． 【小题】．  .2.【答案】【小题】 【解】根据题意得， ， 所以与之间的函数表达式为， 与之间的函数表达式为． 【小题】 当时，即，解得 当时，即，解得 当时，即，解得． 综上所述，当时，选择乙化肥更合算 当时，选择甲、乙化肥一样合算 当时，选择甲化肥更合算． 【小题】  【解析】根据让利后施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥列出不等式，得出即可求解． 根据题意得， 整理得． 因为， 所以当时，取最大值， 所以， 所以的最小值为故答案为． 【压轴题型四】一次函数图象中的线段最值问题 例1.【答案】【小题】 【解】因为点，点在直线上，所以解得 所以直线的函数表达式为． 【小题】 联立得方程组解得 所以点的坐标为 【小题】 存在如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 所以直线垂直平分， 所以， 所以，此时的值最小，且最小值为的长， 则点即为所作，由题意知，其坐标为， 因为直线与轴相交于点， 所以，所以． 设直线的函数表达式为， 则解得 所以直线的函数表达式为． 因为在直线上， 所以，解得， 所以当的值为时，的值最小．  【对应练习】 1.【答案】解： 对直线，令得，即；令得，即。 且共线，是中点，设，则，，解得，即。 设直线解析式为，代入、得，解得，故的解析式为。 点在线段上，故，，点在上，故，则。 ，随增大而减小，当时，取最小值，代入得最小值为。 存在符合条件的点。当三点共线时，最大，最大值为的长度，直线即，令得，故，，即的最大值为。  【压轴题型五】一次函数图象中的行程问题 例1.【答案】解：； 由题意得 邮政车的速度为：． 设邮政车出发小时两车相遇，由题意得 ， 解得：． 答：邮政车出发小时与自行车队首次相遇； 由题意，得 邮政车到达丙地的时间为：， 邮政车从丙地出发的时间为：， ，． 自行车队到达丙地的时间为：， ． 设的解析式为，由题意得 ， 设的解析式为，由题意得 解得： ． 当时， ， 解得：． ． 答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地．   【对应练习】 1.【答案】【小题】 【解析】  【解】由图象可知，当时，轿车发生故障． 由题意可知当轿车追上货车分钟后，轿车发生了故障，则货车出发分钟时，轿车追上了货车． 设货车速度为米分，轿车故障前的速度为米分． 根据题意，得解得 所以货车的速度为米分，轿车故障前的速度是米分， 故答案为． 【小题】 由题意知从到共用时分钟，货车走的路程为米，轿车分钟走的路程为米， 米，所以点坐标为 因为轿车从开始追赶货车直到时两车相遇，轿车现在的速度为米分， 所以，解得，即的值是． 【小题】 易得， 令，则． 设轿车出发分时，两车相距米． 在段，，解得，所以． 在段，，解得，所以． 在段，，解得，所以． 答：货车出发分钟或分钟或分钟或分钟时，两车相距米．   【压轴题型六】铅锤法解决一次函数图象中的面积问题 例1.【答案】【小题】 【解】正比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． 【小题】 根据题意得点，，， 则． 因为，所以， 解得舍去或． 【小题】 能理由： 若直线能把分成面积之比为的两部分，则或， 因为点在线段上， 所以，且． 所以或，解得或， 则点的坐标为或   例2.【答案】 ；  【解析】解：由条件可知：， ， ． 在上，且点的纵坐标为， ， ， ． ，在上， 时，，则， 时，，则， ，在轴负半轴， ． 将和代入中得： ， 解得， 直线的解析式为． ， ， ． 由条件可知，，到轴的距离为，， ． ， ． 设， 当点在点上方时，如图所示， ，， ， ， ， ， ． 当点在点下方时，如图所示， ，， ， ， ， ， ． 【对应练习】 1.【答案】【小题】直线与轴、轴分别交于点、点， ，， ，， 由题意得：， ， 由折叠可得：，， ， ， 设长为，则， 在中，， ， 解得：， ， ， 设直线的表达式为：， ， 解得：， 直线的表达式为： 【小题】作轴交直线于点， 设点，则， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 点在点的上方， ， 解得：， ， 点在点的下方， ， 解得：， ， 综上，点的坐标为：或   2.【答案】【小题】 【小题】 因为直线与轴交于点，所以设直线的表达 式为将代入，得，解得，所以直线的表达式为． 【小题】 存在． 设点 当点在射线上时，即点处，如图． 因为， 所以， 所以， 解得， 所以，解得， 所以 当点在射线上时，即点处，如图． 因为， 所以， 所以，解得， 所以，解得， 所以 综上所述，点的坐标为或   【压轴题型七】新定义函数问题 例1.【答案】【小题】 【解】由题意可知，， 整理得， 所以解得 故，． 【小题】 解方程组解得 所以点坐标为． 函数，的“星辰函数”为，化简得． 将点坐标代入“星辰函数”得， 整理得． 因为，所以． 在中， 当时，， ， 整理得． 因为，所以， 所以，即， 所以的取值范围是．   【对应练习】 1.【答案】【小题】 【小题】或 因为点在一次函数的“相关函数”图象上，所以当时，，解得当时，，解得综上，或． 【小题】 如图，作直线与图象交于点，，点在点的左侧当时，，所以所以当时，，所以所以所以又因为，所以，解得对于，当时，，所以图象与轴交于点所以当时，直线才与图象有两个交点，所以． 【小题】 设线段的表达式为，将点，的坐标分别代入，得解得所以线段的表达式为． 当时，，所以线段与轴的交点坐标为 当时，联立解得 要使交点在内，则， 解得 当时，联立解得 要使交点在内，则， 解得． 综上，当或时，线段与图象有一个交点，当时，线段与图象有两个交点．   【压轴题型八】一次函数的材料探究题  例1.【答案】【小题】 【解】该直线可以为答案不唯一 【小题】 过点作直线于点，此时线段的长度最小，如图所示． 因为直线与直线垂直， 所以设直线的表达式为． 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线的表达式为． 联立得解得 所以当线段的长度最小时，点的坐为   【对应练习】 1.【答案】解：直线分别交轴和轴于点和，则点，的坐标分别为，， 则，， 则， 的值为； ； 将点的坐标代入一次函数表达式得：，当，时，即，则，  过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和， 点，的坐标分别为：、， 则，，则； 由知，，即，，， 则， 的值为； 由，可得，直线的表达式为， 设直线的表达式为， 联立上述两式得，， 解得，，则点， 由点，的坐标得，，则， 由直线的表达式知，点，则， ，即， 解得，， 则， 当时，， 即直线过定点．  【压轴题型九】一次函数中恒成立问题 1.【答案】【小题】 【解】在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，解得 【小题】 ． 由可得函数的表达式为，函数的表达式为． 当时，有， 当时，有． 当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，，且，． 当，时，和恒成立，故符合题意． 当时，则且， 当，即时，有， 解得，符合题意，． 当，即时，有， 解得，此时不符合题意． 综上所述，．  【对应练习】 1.【答案】【小题】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ， 一次函数的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； 【小题】 解：由可知函数的解析式为， ， ， 当时，， 可得：， 时，函数的值小于函数的值恒成立， 当时，函数的关系式为， 当时，恒成立， 当时，， 可得：， 不成立， 函数的值小于函数时，； 当时， 整理可得：， 当，即时， 可得：， ， ， 解得：， 当，即时， 可得：， 时，成立， 当时， 可得：， 不成立； 综上所述，且．   学科网（北京）股份有限公司 $