专题02 求一次函数解析式（举一反三专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

专题02 求一次函数解析式（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 由坐标求一次函数解析式】 1 【题型2 由面积求一次函数解析式】 4 【题型3 由几何条件求一次函数解析式】 7 【题型4 由取值范围求一次函数解析式】 12 【题型5 由平移变换求一次函数解析式】 15 【题型6 由对称变换求一次函数解析式】 18 【题型7 由旋转变换求一次函数解析式】 20 【题型8 由直线位置关系求一次函数解析式】 25 【题型1 由坐标求一次函数解析式】 【例1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象经过，两点，则一次函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设一次函数的一般形式（），利用待定系数法，将已知两点坐标代入该式，构建关于、的二元一次方程组，解方程组求得、的值后，即可确定一次函数的解析式． 【详解】解：设一次函数解析式为 ， 将，代入解析式，可得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，一次函数的图象经过，两点，则这个一次函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设一次函数的解析式是， 由函数图象得，一次函数过， ， 解得， ． 【变式1-2】已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．求： (1)一次函数的解析式； (2)△AOC的面积； (3)点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值． 【答案】(1)y＝x+2 (2)2 (3)4或﹣8 【分析】（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式组成二元一次方程组，解之即可； （2）先求出点C的坐标，利用三角形面积公式可得结论； （3）由DE⊥x轴，D（m，0），可知E（m，m+2），则DE＝|m+2|＝6，求解即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为：y＝kx+b， 将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为：y＝x+2． （2）解：如图，连接OA，过点A作AF⊥y轴于点F，    ∵一次函数y＝x+2与y轴交于点C， ∴C（0，2）， ∴AF＝2，OC＝2， ∴S△AOC＝•AF•OC＝×2×2＝2． （3）解：∵DE⊥x轴，D（m，0）， ∴E（m，m+2）， ∴DE＝|m+2|＝6， 解得m＝﹣8或4． ∴m的值为4或﹣8． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中的三角形的面积，两点间的距离等知识，熟练掌握相关内容是解题关键． 【变式1-3】已知一次函数的图象过点，． （1）求此函数的解析式． （2）求出次函数图象与轴，轴的交点，的坐标． （3）若直线与相交于点，，与轴围成的的面积为6，求出点的坐标． 【答案】（1）y=x-3；（2）A（3，0）B（0，-3）；（3）（-9，0）或（15，0）． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）在解析式中令x=0求得y，即可求得与y轴的交点坐标，在解析式中令y=0，求得x的值，即可求得与x轴的交点坐标； （3）C的坐标是m，利用三角形的面积公式即可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：（1）设函数的解析式是y=kx+b， 根据题意得： ， 解得： ， 则函数的解析式是：y=x-3； （2）在y=x-3中，令x=0，解得y=-3； 当y=0时，x=3， 则A（3，0）B（0，-3）； （3）在y=x-3中，令x=4，解得：y=1，则P的坐标是：（4，1）， 设C的坐标是m，则|m-3|×1=6， 解得：m=-9或15． 则C的坐标是：（-9，0）或（15，0）． 【点睛】此题考查一次函数图象上的坐标特点．解题关键在于先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解． 【题型2 由面积求一次函数解析式】 【例2】已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：令x=0，则y=-4，令y=0，则x=， 直线与y轴的交点坐标为（0，-4），与x轴的交点坐标为（，0）， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得k=±2． 故函数解析式为y=±2x-4． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题，要熟悉函数与坐标轴的交点的求法． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到过点P（1，-2）的直线一定过平行四边形OABC的对称中心，设平行四边形OABC的对称中心为点E，求得E（3，2），设该直线的解析式为y=kx+b，解方程组即可得到结论． 【详解】解：连接AC、OB交于点E， ∵过点P（1，-2）的直线将▱OABC分成面积相等的两部分， ∴过点P（1，-2）的直线一定过点E， 则OE=BE， ∵B（6，4）， ∴E（3，2）， 设该直线的解析式为y=kx+b， ∴ ， 解得：， ∴该直线的解析式为y=2x-4， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【变式2-2】已知直线与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过(3，0)，则这条直线的解析式为___________． 【答案】或 【分析】先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意，设与y轴交点坐标为（0，b） 则×3×|b|＝6， 解得|b|＝4， ∴b＝±4 ①当b＝4时，与y轴交点为（0，4） ∴ ，解得 ， ∴函数解析式为； ②当b＝−4时，与y轴的交点为（0，−4） ∴ ，解得 ， ∴函数解析式为． ∴这个一次函数的解析式是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况． 【变式2-3】八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式． 【详解】解：如图，直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C， ∵正方形的边长为1， ∴OB=3， ∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴三角形ABP面积是8÷2+1=5， ∴BP•AB=5， ∴AB=2.5， ∴OA=3-2.5=0.5， 由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3） 设直线方程为y=kx+b，则， 解得． ∴直线l解析式为． 故选：A． 【点睛】本题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作PB⊥y轴，作PC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABP面积是5，利用三角形的面积公式求出AB的长． 【题型3 由几何条件求一次函数解析式】 【例3】如图，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ，，以线段为边在第一象限内作等腰 ，，则过 ， 两点的直线解析式为____． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 过点C作轴，根据条件证明，先求出，即可求解． 【详解】 过点C作轴 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵一次函数 当时，，当时， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴，解得： ∴直线的解析式为 故答案为：． 【变式3-1】如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为_________． 【答案】 【分析】过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式． 【详解】解：对于直线，令，得到，即，，，    令，得到，即，，， 过作轴，可得， ， 为等腰直角三角形，即，， ， ， 在和中， ， ， ，，即， ，， 设直线的解析式为 ，， ， 解得 ． 过、两点的直线对应的函数表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 【变式3-2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解析式求出点坐标，再证明，得到，即得点的坐标，最后根据一次函数平移的性质即可求出直线的函数解析式． 【详解】解：对于直线， 当时，， ∴， ∵直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴平移以后的函数解析式为． 故选：． 【变式3-3】如图，一次函数交轴于点，交轴于点，过点作，且．连接，当点在第一象限时，直线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点和的坐标求出线段和的长，过点作轴于，由全等三角形的判定可得出，由全等三角形的性质可得，，从而求出点C的坐标，继而可求出直线的解析式． 【详解】过点作轴于，     ，， ， ， 轴， ， ， ，，， ， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是：， 根据题意，将点代入得 则直线的解析式是 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，涉及到全等三角形的判定与性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解本题的关键． 【题型4 由取值范围求一次函数解析式】 【例4】（25-26八年级下·上海·阶段检测）某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中，随的增大而增大， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中，随的增大而减小， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式是或． 【变式4-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当一次函数的自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是，则该一次函数的表达式为_____________． 【答案】或 【分析】根据一次函数的增减性分两种情况讨论：一次函数的增减性由的符号决定，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．结合和的取值范围，将对应端点值代入函数解析式，通过解方程组求出和的值，即可得到函数表达式． 【详解】解：当时，一次函数，随的增大而增大； ∵自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是， ∴当时，；当时，， 得， 解得， ∴此时一次函数的表达式为． 当时，一次函数，随的增大而减小， ∴当时，；当时，， 得，解得， ∴此时一次函数的表达式为． 综上，该一次函数的表达式为或． 【变式4-2】一次函数（，是常数，），自变量的取值范围为，对应的函数值的取值范围为，则这个函数的表达式为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．分情况讨论：①当时，随的增大而增大；②当时，随的增大而减小，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：①当时，一次函数的随的增大而增大， ，， ， 解得：， 一次函数的表达式为； ②当时，一次函数的随的增大而减小， ，， ， 解得：， 一次函数的表达式为； 综上所述，一次函数的解析式为或， 故答案为：或． 【变式4-3】一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－1 ≤x ≤3，相应函数值的取值范围是1≤y≤3，则这个一次函数的解析式为______. 【答案】或 【分析】自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数值y的取值范围是1≤y≤3，根据条件就可以得到直线经过点（-1，1）和（3，3）或（-1，3）和（3，1），根据待定系数法就可以求出函数解析式． 【详解】y随x的增大而增大时，由题意得： -k+b=1① 3k+b=3 ② 联立解得k＝， b＝． 故这个一次函数解析式为． 当y随x的增大而减小时， 得：-k+b=3③ 3k+b=1④ 联立解得：k＝−， b＝． 故这个一次函数解析式为 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，能够想到分两种情况讨论是解决本题的关键． 【题型5 由平移变换求一次函数解析式】 【例5】将直线向上平移几个单位后经过点，则平移后的直线的解析式为________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的性质，平移后一次项系数不变，设出平移后的直线解析式，将已知点的坐标代入求解参数即可得到结果. 【详解】解：设平移后的直线解析式为，为常数, 将点代入解析式得：,解得， 因此平移后的直线解析式为. 【变式5-1】（25-26八年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数平移的“左加右减，上加下减”规则，得到两种平移后的解析式，利用同一直线对应常数项相等求出的值，得到原直线解析式，再验证各选项即可． 【详解】解：根据平移规则，将直线向右平移6个单位，得平移后解析式为：， 将直线向下平移4个单位，得平移后解析式为：， 两种平移得到同一条直线， ， 解得， 原直线解析式为， 逐一验证选项： 当时，，A错误； 当时，，B错误； 当时，，C错误； 当时，，D正确． 【变式5-2】（2026·陕西铜川·一模）在平面直角坐标系中，过点和的直线向下平移5个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出原直线的解析式，再根据一次函数平移“上加下减”的规律得到平移后直线的解析式，最后将各选项坐标代入验证即可． 【详解】解∶设原直线的解析式为， ∵原直线过点和， ∴， 解得， ∴原直线解析式为， ∵直线向下平移5个单位长度，根据一次函数平移“上加下减”的规律， ∴平移后直线的解析式为， 代入选项A：当时，，满足解析式； 代入选项B：当时，，不满足； 代入选项C：当时，，不满足； 代入选项D：当时，，不满足， 因此选项A符合题意． 【变式5-3】（25-26八年级下·江西南昌·期中）按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数平移规律以及用待定系数法求函数解析式． （1）根据函数平移规律“上加下减，左加右减”，可以求得平移后的解析式； （2）设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B．先求出点A，点B的坐标，再按照坐标平移规律求出平移后的对应点坐标，最后运用待定系数法，求出平移后的函数解析式． 【详解】（1）解：； （2）解：设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B． 令，解得：， 即点； 令，解得：， 即点； ∵一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度， ∴，． 设直线对应的函数表达式为：， 将点，点代入中， 得：， 解得，， ∴直线对应的函数表达式为． 【题型6 由对称变换求一次函数解析式】 【例6】若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】先求出一次函数y=kx+3与y轴交点关于直线x=1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y=2x+b与y轴交点关于直线x=1的对称点，代入一次函数y=kx+3，求出k的值即可． 【详解】解：∵一次函数y=kx+3与y轴交点为（0，3）， ∴点（0，3）关于直线x=1的对称点为（2，3）， 代入直线y=2x+b，可得4+b=3，解得b=-1， 一次函数y=2x-1与y轴交点为（0，-1）， （0，-1）关于直线x=1的对称点为（2，-1）， 代入直线y=kx+3，可得2k+3=-1，解得k=-2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 【变式6-1】直线关于直线对称后，所得的直线过点，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质得出点（3，1）关于直线x=a对称的点（2a-3，1），代入l1的解析式，求得a=1，即可得出直线l1与y轴的交点的对称点，然后根据待定系数法即可求得直线l2的解析式． 【详解】解：由题意可知，点（3，1）关于直线x=a对称的点（2a-3，1）在直线l1：y=2x+3上， 把（2a-3，1）代入y=2x+3得，1=2（2a-3）+3， 解得a=1， 由直线l1：y=2x+3可知与y轴的交点为（0，3）， ∵点（0，3）关于直线x=1对称的点为（2，3）， ∴直线l2过点（3，1），（2，3）， 设直线l2的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴直线l2的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，关于直线对称的点的坐标特征是解题的关键 【变式6-2】已知：直线l的解析式为y=2x＋3，若先作直线l关于原点的对称直线l1，再作直线l1关于y轴的对称直线l2，最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式． 【答案】y=-2x+1 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点求出直线l1的解析式，再根据关于y轴的点的坐标特点求出直线l2的解析式，由“上加下减”的原则即可求出直线l3的解析式． 【详解】解：∵关于原点对称的点横纵坐标互为相反数， ∴直线l关于原点的对称直线l1的解析式为：-y=-2x+3，即y=2x-3； ∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴直线l1关于y轴的对称直线l2的解析式为：y=-2x-3； 由“上加下减”的原则可知，将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3的解析式为：y=-2x-3+4，即y=-2x+1． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，关于原点对称的点的坐标特点及关于y轴对称的点的坐标特点，根据题意求出直线l1，l2的解析式是解答此题的关键． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，直线与关于直线y＝1对称，若直线的表达式为y＝﹣2x＋3，则直线与x轴的交点坐标为（    ） A．（，0） B．（，0） C．（0，0） D．（1，0） 【答案】A 【分析】求得直线上的两点，进一步得到关于直线y＝1的对应点，然后根据待定系数法求得直线，把y＝0代入即可求得直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：在直线y＝﹣2x＋3中，令x＝0，则y＝3， ∴直线与y轴的交点为（0，3）， ∴直线与经过点（1，1），（0，3）， ∵点（0，3）关于直线y＝1的对称点为（0，﹣1）， ∴直线经过点（1，1）和点（0，﹣1）， 设直线的解析式为y＝kx＋b， ∴，解得， ∴直线的解析式为y＝2x﹣1， ∴直线与x轴的交点坐标为（，0）， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点坐标特征，求得对称点的坐标是解题的关键． 【题型7 由旋转变换求一次函数解析式】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点A作交于点E，过点E作轴于点F，则，可得是等腰直角三角形，再证明，可得，，从而得到，进而得到点E的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图， 过点A作交直线于E，过点E作轴于F， ∵点，， ∴， 根据题意得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． 【变式7-1】已知函数y=2x+b经过点A（2，1），将其图象绕着A点旋转一定角度，使得旋转后的函数图象经过点B（﹣2，7）．则①b=______；②旋转后的直线解析式为______． 【答案】 -3 y= 【分析】把A点的坐标代入y=2x+b，即可求出b，设旋转后的直线的解析式为y=kx+a，把A、B的坐标代入就，即可求出k、a，即可得出答案． 【详解】把A（2，1）代入y=2x+b得：1=4+b， 解得：b=﹣3， 即y=2x﹣3， 设旋转后的直线的解析式为y=kx+a， 把A、B的坐标代入得：， 解得：k=﹣，a=4， 即旋转后的直线的解析式为y=， 故答案为﹣3，y=． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的性质等知识，先求出A、B的坐标，然后根据旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质求出A、B的对应点，的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设直线绕点顺时针旋转后，A、B的对应点为，，连接，，，， 当时，，解得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，O，A三点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 即旋转后的直线函数表达式为， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论． 【详解】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点， ，， ， ，， ，， 过作交于，过作轴于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型8 由直线位置关系求一次函数解析式】 【例8】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知一次函数的图象过，且与直线垂直，则这个一次函数的表达式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，画出图形，利用数形结合思想解题是关键． 画图，直线交轴于点，交轴于点，所求一次函数交轴于点，交轴于点，得到，即可推出点，利用待定系数法即可解答． 【详解】解：如图，直线交轴于点，交轴于点，所求一次函数交轴于点，交轴于点 令，则， , ， 令，则，解得， , ， ， ， ， 所求一次函数的图象与直线垂直， ， ， ， ， ， ， 设所求一次函数的解析式为, 把，代入可得， ， 解得， 所以所求一次函数的解析式为， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）若直线与直线平行，则的值为___________； 【答案】 【分析】根据一次函数图象平行的性质，两条直线平行时一次项系数相等，常数项不相等，据此列方程和不等式求解，排除重合情况即可得到的值 【详解】解：已知两条直线的斜截式方程分别为 和 ， ∵两条直线平行， ，， 解方程 ， 由不等式得 ， ∴ ． 【变式8-2】已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设一次函数为根据两直线平行的性质先求解的值，再根据与函数的图象交y轴于同一点，求解的值，从而可得答案． 【详解】解：设一次函数为 一次函数的图象与直线平行， 所以一次函数为 由可得函数与轴的交点为： 与函数的图象交y轴于同一点， 所以一次函数的解析式为： 故选A． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握“利用待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键． 【变式8-3】已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，当l1⊥l2时，有k1•k2=﹣1． （1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，则k=______； （2）一直线经过点（2，3），且与直线垂直，求该直线的解析式． （3）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两边OA、OB分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，求线段AB的垂直平分线CD的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由y=2x+1与y=kx-1垂直可得出2k=-1，解之即可得出结论； （2）设直线l解析式为y=ax+b，根据直线l与直线y=-x+3垂直可得出-a=-1，解之即可得出a值，再根据点A的坐标利用待定系数法即可求出直线l解析式； （3）根据OA、OB的长度可得出点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，由点C为线段AB的中点可得出点C的坐标，根据AB⊥直线CD可求出直线CD解析式一次项系数，再根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式． 【详解】（1）∵y=2x+1与y=kx-1垂直， ∴2k=-1， 解得：k=-． 故答案为-； （2）设直线l解析式为y=ax+b， ∵直线l与直线y=-x+3垂直， ∴-a=-1， 解得：a=3， 将A（2，3）代入y=3x+b， 3=3×2+b，解得：b=-3， ∴直线l解析式为y=3x-3； （3）∵Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8， ∴点A（6，0），点B（0，8）， 又∵点C为线段AB的中点， ∴点C（3，4）， 设直线AB的解析式为y1=k1x+b1，直线CD的解析式为y2=k2x+b2， 将点A（6，0）、B（0，8）代入y1=k1x+b1， 得 ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y=-x+8， ∵直线AB⊥直线CD， ∴k1•k2=-1， ∴k2=， 将点C（3，4）代入y2=x+b2，得4=×3+b2， 解得：b2=， ∴直线CD的解析式为y=x+． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、线段垂直平分线的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据y=2x+1与y=kx-1垂直找出2k=-1；（2）根据直线l与直线y=-x+3垂直求出直线l一次项系数的值；（3）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 求一次函数解析式（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 由坐标求一次函数解析式】 1 【题型2 由面积求一次函数解析式】 2 【题型3 由几何条件求一次函数解析式】 3 【题型4 由取值范围求一次函数解析式】 4 【题型5 由平移变换求一次函数解析式】 4 【题型6 由对称变换求一次函数解析式】 5 【题型7 由旋转变换求一次函数解析式】 5 【题型8 由直线位置关系求一次函数解析式】 6 【题型1 由坐标求一次函数解析式】 【例1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知一次函数的图象经过，两点，则一次函数的解析式为___________． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，一次函数的图象经过，两点，则这个一次函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．求： (1)一次函数的解析式； (2)△AOC的面积； (3)点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值． 【变式1-3】已知一次函数的图象过点，． （1）求此函数的解析式． （2）求出次函数图象与轴，轴的交点，的坐标． （3）若直线与相交于点，，与轴围成的的面积为6，求出点的坐标． 【题型2 由面积求一次函数解析式】 【例2】已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（    ） A． B． C． D．或 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知直线与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过(3，0)，则这条直线的解析式为___________． 【变式2-3】八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【题型3 由几何条件求一次函数解析式】 【例3】如图，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ，，以线段为边在第一象限内作等腰 ，，则过 ， 两点的直线解析式为____． 【变式3-1】如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为_________． 【变式3-2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，一次函数交轴于点，交轴于点，过点作，且．连接，当点在第一象限时，直线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【题型4 由取值范围求一次函数解析式】 【例4】（25-26八年级下·上海·阶段检测）某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 【变式4-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当一次函数的自变量的取值范围是时，相应函数值的取值范围是，则该一次函数的表达式为_____________． 【变式4-2】一次函数（，是常数，），自变量的取值范围为，对应的函数值的取值范围为，则这个函数的表达式为__________． 【变式4-3】一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－1 ≤x ≤3，相应函数值的取值范围是1≤y≤3，则这个一次函数的解析式为______. 【题型5 由平移变换求一次函数解析式】 【例5】将直线向上平移几个单位后经过点，则平移后的直线的解析式为________． 【变式5-1】（25-26八年级下·广西玉林·期末）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·陕西铜川·一模）在平面直角坐标系中，过点和的直线向下平移5个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级下·江西南昌·期中）按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 【题型6 由对称变换求一次函数解析式】 【例6】若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式6-1】直线关于直线对称后，所得的直线过点，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知：直线l的解析式为y=2x＋3，若先作直线l关于原点的对称直线l1，再作直线l1关于y轴的对称直线l2，最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，直线与关于直线y＝1对称，若直线的表达式为y＝﹣2x＋3，则直线与x轴的交点坐标为（    ） A．（，0） B．（，0） C．（0，0） D．（1，0） 【题型7 由旋转变换求一次函数解析式】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 【变式7-1】已知函数y=2x+b经过点A（2，1），将其图象绕着A点旋转一定角度，使得旋转后的函数图象经过点B（﹣2，7）．则①b=______；②旋转后的直线解析式为______． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为_______． 【变式7-3】（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______． 【题型8 由直线位置关系求一次函数解析式】 【例8】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知一次函数的图象过，且与直线垂直，则这个一次函数的表达式为_______． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）若直线与直线平行，则的值为___________； 【变式8-2】已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，当l1⊥l2时，有k1•k2=﹣1． （1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，则k=______； （2）一直线经过点（2，3），且与直线垂直，求该直线的解析式． （3）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两边OA、OB分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，求线段AB的垂直平分线CD的解析式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $