1.3 勾股定理的应用【分层练】——2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股定理应用为核心，通过实际情境、折叠问题、综合应用三层递进设计，覆盖从单一知识到综合能力的巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识点一|勾股定理实际应用|含窗户高度、旗杆测量等5道题，基础选择填空为主，强化数学眼光观察现实世界| |知识点二|折叠问题应用|2道矩形、直角三角形折叠题，需结合轴对称性质，发展推理能力| |知识点三|综合应用|7道跨情境题（无人机、台风等），融合逆定理与方程思想，提升模型意识与应用能力|

第三节 勾股定理的应用 知识点一 勾股定理的实际应用 某型号推拉式窗户如图①所示,当窗户关闭时点A与点B重合.窗户拉开时,如图②,,此时,窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了,则该窗户的高为( ) A. B. C. D. 2.如图所示,小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了,当他把绳子拉直,端点C刚好着地,下端C距离B点,则旗杆的高为_____________. 3.交通法规规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处,过了后,测得小汽车与车速检测仪间距离为,这辆小汽车超速了吗？ 4.如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上.师傅在楼底水平面上距离楼房9米的C处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到D处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度. 5.如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 知识点二 勾股定理的折叠问题 6.如图，长方形中，点E在边上，将一边折叠，使点A恰好落在边的点F处，折痕为.若，，则的长是( ) A. B.3 C. D. 7.如图，有一个直角三角形纸片，，，.现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为( ) A. B. C. D. 知识点三 勾股定理与逆定理的综合应用 8.如图,一架无人机悬停在空中点A处,点A与地面上点B之间的距离米,点A与地面上点C（点处于同一水平面上）的距离米,且米. (1)求证：为直角三角形； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处,连接,当时,求这架无人机向下飞行的距离的长. 9.渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地.如图，渭河一侧有一村庄C，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台D（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，. (1)通过计算说明，是从村庄C到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长. 10.如图，在中，，，，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则___________. 11.如图，为等腰直角三角形，，，点E为AC上一点，且，点D为AB上一点，连接DE，将沿DE折叠，使点A落在点处，若的延长线恰好经过点B，则___________. 12.如图，有一台风中心沿东西方向由A移动到B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为，.若，台风中心周围以内(包含)为受影响区域，海港C会受台风影响吗?如果会，若台风中心的移动速度为，台风影响该海港持续的时间是多长?如果不会，请说明理由. 13.我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”.他的方法大致如下：如图，，作于D，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出的面积.若，，，请根据以上信息，求的面积. 14.一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛,再从B岛沿方向航行到达C岛,A港到航线的距离是. (1)若轮船速度为,求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 答案以及解析 1.答案：B 解析：根据题意,可得,, , 令,则, 由勾股定理得, 得方程, 解得, 故选：B. 2.答案： 解析：设旗杆的高为, 由题意得,, 在中,由勾股定理得, , 解得, ,即旗杆的高为. 3.答案：超速 解析：是直角三角形,, , , ,. , 这辆小汽车超速了. 4.答案：12米 解析：设米，米， 在中，， . 在中，， . . ∴， 解得：. . ， ∴楼的高度为12米. 5.答案：煤栈应建在距A点16千米处. 解析：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处. 6.答案：C 解析：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为. 故选：C 7.答案：C 解析：因为，，， 所以，所以. 由折叠可得，，， 所以，. 设，则，. 在中，由勾股定理，得，解得，所以.故选C. 8.答案：(1)见解析 (2)米. 解析：(1),, , 是直角三角形； (2)设米,则米,米, 在中,, , 解得. 答：这架无人机向下飞行的距离（的长）为米. 9.答案：(1)见解析 (2)原来的路线的长为 解析：(1)在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄C到渭河边的最短路线； (2)设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为. 10.答案： 解析：因为，，，D是边AC的中点， 所以，所以，所以. 因为将沿DE翻折，点C落在BD上的点F处， 所以，，， 所以，. 设，则，. 在中，由勾股定理，得，解得，所以. 故答案为. 11.答案： 解析：如图.因为，所以. 因为，所以在中，，所以. 设，由折叠的性质，得，，， 所以，. 在中，由勾股定理得，所以，解得， 所以.故答案为. 12.答案：台风影响该海港持续的时间为7h. 解析：海港C会受台风影响. 如图，过点C作. 因为，，，， 所以是直角三角形， 所以，即， 所以. 因为台风中心周围以内(含)为受影响区域，， 所以海港C会受台风影响. 在AB上取两点E，F，使. 在中，，所以. 因为，且台风中心的移动速度为，， 所以台风影响该海港持续的时间为7h. 13.答案：84 解析：如图，作于D，∴， 设的长为x，则的长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴，， ∴， 解得， ∴； 即的面积是84. 14.答案：(1) (2)北偏西 解析：(1)由题意可知,. 在中,, , , , , , ,而, 轮船从岛沿返回A港所需的时间为. (2),, , , , C岛在A港的北偏西方向上. 学科网（北京）股份有限公司 $