1.3 《勾股定理的应用》（2）课堂分层训练2026-2027学年北师大版八年级上册数学

**基本信息** 本练习通过基础应用、能力提升、综合拓展三层设计，实现勾股定理从单一应用到综合创新的巩固路径，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|勾股定理直接应用（圆柱/长方体最短路径、直角三角形计算）|选择/填空/解答结合生活情境（筷子、华表），夯实空间观念| |能力提升|复杂立体图形路径（多情况展开）、实际问题（超速判断、测量距离）|含分类讨论与应用题，提升推理能力与应用意识| |综合拓展|赵爽弦图证明、最短路径作图与应用|融合数学史与跨情境问题，培养创新意识与模型观念|

1.3 《勾股定理的应用》（2）课堂分层训练 一、基础应用 1．如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 3．如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 4．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　） A． B． C． D． 5．长方体的长宽高分别是3、4、2，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从点爬到点，最短路径长为　 　． 6．如图所示：分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，若，，则的长为　 　． 7．如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是12，底面圆周长是10，则蚂蚁爬行的最短路径为　 　． 8．请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 二、能力提升 9．解决下列几个问题，并说明它们与本节课问题的区别与联系. （1）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? （2）如图， 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm， 8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点 A 处沿盒的外表面爬到盒顶的点 B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁爬行的最短路程是多少? （3）为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带.已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m.如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米? 10．如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（　　）米 A．5 B． C． D．3 11．如图，长方体的所有棱长和为，长、宽、高的比为，若一只蚂蚁从顶点沿长方体表面爬行到顶点，从点爬行到点的最短路程是（　　）． A． B． C． D． 12．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　） A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米 13．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜（杯壁厚度不计），此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（　　） A． B． C． D． 14．如图，有一个高为8cm ，底面周长为6 cm的圆柱形容器，在外壁距下沿3c m的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A 处到蜂蜜 B 处所走的最短路径长为　 　. 15．如图，是一个四级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5，1.5 和1.5，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去觅食，则蚂蚁从 B 点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路径长为　 　. 16．如图，在棱长为2 的正方体中，蚂蚁从正方体下方一边 AB 的中点 P 出发爬到顶点( 处，若蚂蚁选择的路径是最短的，则最短路径长为　 　. 17．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由． 18．小明为了测量池塘两端C，D的距离，想了如下办法：在平地上寻找到两点A，B，测得．请你帮小明求出C，D两点的距离． 三、综合拓展 19．著名的赵爽弦图（如图1），其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. （1）在图2中，四边形是正方形，利用两种不同的方法表示出四边形的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2推导勾股定理； （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）在第（2）问中，若，如图4，，千米，千米，千米，求的长. 20．阅读下列材料并完成任务：“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点(垂直河边的等距离点)，然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短(两点之间直线距离最短)． 任务： （1）请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点P（画出草图即可）； （2）如图2， ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，-1)，B(-3，4)，C(3，2)．请你在x轴上找一点Q，使得QB+QC最小（保留作图痕迹）； （3）应用： 如图3，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm．在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm处的点A处，点A与B的水平距离等干底面直径，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， ∴的取值范围是． 故选：D． 【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意和柱体的展开性质，可得如下图： 其中点E、F分别是AD和BC的中点，展开图四边形ABCD是矩形，AB=6米； ∵点E是AB的中点， ∴AE=AD=×16=8米， ∵四边形ABCD是矩形， ∴=90°， ∴在中，BE==10米， ∵点E、F是AD、BC的中点， ∴DF=BE=10米， ∴雕刻在石柱上的巨龙的最短距离=DF+BE=10+10=20米. 故选：A． 【分析】根据柱体的性质将其侧面展开，可得矩形ABCD；根据线段中点的性质，可得AE的长度；根据勾股定理，可得BE的长度；根据两点之间线段最短即可直接计算. 3．【答案】C 【解析】【解答】根据题意可得：∠ACB=90°，BC=12，AB=15， ∴AC=， 故答案为：C. 【分析】利用勾股定理求出AC的长即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：，，， 则， 即该竹竿的顶端A离地竖直高度为， 故答案为：C． 【分析】直角利用勾股定理计算即可. 5．【答案】 【解析】【解答】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和2， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和4， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是3和6， 所以走的最短线段； ∵ ∴三种情况比较而言，第二种情况最短． 故答案为： 【分析】蚂蚁从到有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可． 6．【答案】4． 【解析】【解答】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c， ∴S1=a2=25，S2=b2，S3=c2=9， ∵△ABC是直角三角形， ∴c2+b2=a2，即S3+S2=S1， ∴S2=S1-S3=25-9=16， ∴BC=4， 故答案为：4． 【分析】先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S2的值，即.再开方求出BC的值。 7．【答案】13 【解析】【解答】解：根据题意，将圆柱展开如下： ∴， ∴， ∴最短路程为13， 故答案为：13． 【分析】根据题意将圆柱展开，得出，，再利用勾股定理即可求出答案. 8．【答案】解：由题意可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得， 即折断处离地面（即）的高度是4尺． 【解析】【分析】先设，再求出， 在Rt△AOB中，利用勾股定理可得，最后计算求解即可。 9．【答案】（1）解：如图所示，将圆柱侧面从点A开始垂直向上剪开，展开侧面，连接AB，则AB即为最短路程， ∵(cm)，BC=13-1=12(cm)， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=52+122=169=132. ∴AB=13cm，即蚂蚁沿圆柱侧面从点A到点B，最短路程为13cm. （2）解：蚂蚁沿长方体的侧面爬行的两条路线如以下展开图所示： 如图1，在Rt△ABC中， (cm) 如图2，在Rt△ABD中， (cm) ∵， ∴图1所示的路程最短，且爬行的最短路程是20cm. （3）解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高6米，底面周长2米， x2=(2×4)2+62=64+36=100， ∴彩带长至少是10m. 【解析】【分析】(1)将圆柱侧面沿母线展开为长方形，把立体空间中蚂蚁爬行的最短路径问题，转化为平面上两点之间线段最短的问题，再利用勾股定理a2+b2=c2(a，b为直角边，c斜边)计算该线段长度； (2)将长方体盒子的侧面展开，利用勾股定理求出不同展开方式下的路径长度，比较得出最短路程； (3)要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：A． 【分析】过作于，连接，根据两点之间线段最短，在Rt△BGP中，用勾股定理求解即可． 11．【答案】C 【解析】【解答】解：∵所有棱长和为， ∴一组长、宽、高的和为12cm， 又∵长、宽、高的比为 ∴长方体的长为，宽为，高为 蚂蚁有三种爬法： 如图1：蚂蚁爬行的路径 如图2：蚂蚁爬行的路径 如图2：蚂蚁爬行的路径 ∵ ∴蚂蚁从A爬到B最短的距离是，故答案选C. 【分析】先求出长方体的长、宽、高，根据侧面积展开分三种情况，利用勾股定理计算，然后比较大小解题即可. 12．【答案】A 【解析】【解答】解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）． 故答案为：A． 【分析】根据题意得到直角三角形，再由勾股定理求出梯脚与墙角的距离. 13．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，则A'F=AF=3cm， 易得，四边形CDBN是矩形，CD=32÷2=16cm， ∴，， ∴， ∴， 即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：A． 【分析】圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为长方形，作点关于的对称点，过点作于点，连接，则A'F=AF=3cm，易得，四边形CDBN是矩形，CD=32÷2=16cm，由矩形的性质得，，进而根据线段和差算出A'N的长，在Rt△A'NB中，利用勾股定理求出A'B的长，由此即可得． 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：如解图，作点A 关于CD的对称点 A'，连接A'B，∵圆柱底面周长为6cm，∴CD=3cm，此时A'B为最短的路径，h 【分析】由于蚂蚁要从外壁前进到内壁，因此可利用轴对称的性质先作点A关于圆柱上底面的对称点，再构造直角三角形，最后遭际应用勾股定理即可. 15．【答案】13 【解析】【解答】解：如解图，将台阶展开，∴ AC=4× ∴蚂蚁爬行的最短路径长为13(两点之间，线段最短). 【分析】可将楼梯抽象成一个几何体，再将其展开可构造直角三角形，最后再应用勾股定理即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：找模型：是否存在立体图形： 正方体，立体图形上是否存在两点：点P 和点 C'，是否求两点间的最短路径：PC'的最短路径.抽离模型：如解图.用模型：如解图①，最短路径为 如解图②，根据勾股定理得 ∴最短路径长为 【分析】利用正方体的侧面展开图构造直角三角形，再应用勾股定理计算并比较即可. 17．【答案】解：由题意知，AB＝130米，AC＝50米， 且在Rt△ABC中，AB是斜边， 根据勾股定理AB2＝BC2+AC2， 可以求得：BC＝120米＝0.12千米， 且6秒＝时， 所以速度为＝72千米/时， 故该小汽车超速． 答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时． 【解析】【分析】由勾股定理直接求出BC的长，即可求出速度 ，即可判断是否超速. 18．【答案】解：连接， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴ 【解析】【分析】连接，结合已知条件和根据勾股定理求出的长，再根据角之间的数量关系即可求出，最后再次利用勾股定理即可求出C，D两点的距离． 19．【答案】（1）证明：由题意知， ∵，， ∴， ∴. （2）解：设千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得：， 即千米， ∴（千米）， 答：新路比原路少0.1千米. （3）解：设千米， ∴（千米）， ∵， ∴，千米，千米，千米， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴千米. 答：的长是0.8千米. 【解析】【分析】（1）根据S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=S△ADB+S△DEB，列出关系式，化简即可； （2）设AB=AC=x千米，则AH=（x-0.8）千米，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出方程，解方程求出CA的值，即可求解； （3）设AH=x千米，则BH=（2.1-x）千米，在Rt△ACH与Rt△BCH中，分别利用勾股定理表示出CH2，从而可建立方程，解方程求出AH的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出CH的值即可. 20．【答案】（1）解：如图，马饮水处如下图所示 （2）如图，点Q如图所示 （3）如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， ， 答：蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是20cm． 【解析】【分析】（1）根据题意，通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L对称点，对称点与另一个对称点的连线与河边先的交点即所作的点； （2）找出点C的对称点C'，连接BC'，与x轴交点即点Q； （3） 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离。 1 学科网（北京）股份有限公司 $