1.5 等腰三角形 题型专练-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过“典例+举一反三”分层设计，覆盖等腰三角形性质与判定全知识点，梯度从基础计算到综合证明，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等边对等角、三线合一|选择/填空题直接应用性质，如已知底角求顶角| |进阶层|性质与外角、平行线结合|解答题需多步推理，如含30°角的直角三角形计算| |拓展层|动态几何与分类讨论|探究题综合应用，如动点形成等腰三角形的多解问题|

苏科版（2024）八年级上册 1.5 等腰三角形 题型专练 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典例】已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（　　） A.70° B.55° C.40° D.110° 【举一反三1】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A.55° B.70° C.70°或55° D.70°或40° 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝28°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠BDC＝（　　） A.70° B.75° C.78° D.76° 【举一反三3】已知△ABC是等腰三角形.若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是　　　　. 【举一反三4】已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出△ABC各内角的度数.(写出所有的情况) 【题型2】等边对等角与三角形的外角 【典例】如果等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形顶角的度数是（　　） A.60° B.120° C.60°或120° D.90° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AC＝CD，∠CAB﹣∠B＝30°，则∠BAD等于（　　） A.30° B.22.5° C.10° D.15° 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 　   　． 【举一反三3】如图，若∠BAC＝37°，且AC＝BC＝AD＝DE，则∠BAE＝　   　度． 【题型3】等边对等角与平行线的性质 【典例】如图，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，点A在DE边上，DE∥BC，∠C＝40°，则∠ABC的度数为(　　) A.40°   B.50° C.60°   D.70° 【举一反三1】如图，直线AB∥CD，EF＝EG，点F，G分别在直线CD，AB上，若∠E＝30°，∠1＝50°，则∠2的度数为(　　) A.85°   B.70°   C.65°   D.55° 【举一反三2】如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝　　　　　°. 【举一反三3】如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=　　　　.  【举一反三4】如图，AB∥CD，点E是线段AC上一点，且AB＝AE，CD＝CE．求∠BED的大小． 【题型4】等边对等角与线段的垂直平分线 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　） A. AE=BE B. AC=BE C. CE=DE D. ∠CAE=∠B 【举一反三1】如图，△ABC中，AB=AC．∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【举一反三2】如图，△ABC中，DE垂直平分线段AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=______________度． 【举一反三3】如图，直线AD是线段BC的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD． 【举一反三4】补全过程或依据：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得CE＝AE.若∠B＝55°，求∠ECD的度数. 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠①＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(②)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝③°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(④)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝⑤°. 【题型5】三线合一 【典例】下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是（　　） A. 顶角的平分线 B. 底边上的中线 C. 底边上的中垂线 D. 底边上的高线 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（ ） A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是(　　) A.8   B.6   C.5   D.4 【举一反三3】已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法： （1）AD平分∠EDF； （2）△EBD≌△FCD； （3）BD=CD； （4）AD⊥BC． 正确的有            个． 【举一反三4】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，求∠EDC的度数． 【题型6】三线合一与等边对等角 【典例】已知△ABC，AB＝AC，∠B＝65°，则∠C的度数是（　　） A.50° B.65° C.70° D.75° 【举一反三1】若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A.4cm B.6cm C.4cm或8cm D.8cm 【举一反三2】等腰三角形中，已知两边的长分别是9和4，则周长为（　　） A.17 B.22 C.17或22 D.以上答案都不对 【举一反三3】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，立柱AD⊥BC，若∠BAD=55°，则∠CAD=　　　°.  【举一反三4】(1)已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m－2，n＋1，求m，n的值； (2)已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长. 【题型7】等腰三角形及其性质的综合应用 【典例】下列说法： （1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； （2）等腰三角形的两腰上的中线长相等； （3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高； （4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40． 其中不正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【举一反三1】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，其理由是（　　） A. 等腰三角形两腰等分 B. 等腰三角形两底角相等 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形的底边中线和底边上的高重合 【举一反三2】如图，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形的底边，点A在∠MCN内部，且点A到∠MCN两边的距离相等.(尺规作图) 【举一反三3】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若OM＝5，求MN的长. 【题型8】用等角对等边判定等腰三角形 【典例】△ABC中，若∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝70°，则（　　） A.AB＝AC B.AC＝BC C.AB＝BC D.AB＝AC＝BC 【举一反三1】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A=40°，∠B=50° B. ∠A=40°，∠B=60° C. ∠A=40°，∠B=70 ° D. ∠A=40°，∠B=80° 【举一反三2】如图，△ABC的点A，C在直线l上，∠B=110°，∠ACB=50°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则∠ABP的度数是　　　　　.  【举一反三3】已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　             　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，DE=DF，则AB=AC，请说明理由. 【题型9】等角对等边与三角形内角和定理 【典例】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A=50°，∠B=60° B. ∠A=30°，∠B=75° C. ∠A=20°，∠B=100° D. ∠A=40°，∠B=60° 【举一反三1】已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A. ①③④ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③ 【举一反三2】如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=_________时，△AOP为等腰三角形． 【举一反三3】如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动(D不与A，B重合)，连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E，若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是　　　　　.  【题型10】等角对等边与三角形的外角 【典例】如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【举一反三1】如图所示，共有等腰三角形（　　） A. 4个 B. 5个 C. 3个 D. 2个 【举一反三2】在下面的三角形，不可能是等腰三角形的是（　　） A. 有两个内角分别为110°，40°的三角形 B. 有两个内角分别为70°，55°的三角形 C. 有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形 D. 有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　            　． 【举一反三4】如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC.求证：AB=AC. 【题型11】角平分线+平行线等腰必呈现 【典例】如图，BD是∠ABC的角平分线，DC∥AB，下列说法正确的是（　　） A.BC＝CD B.AD∥BC C.AD＝BC D.点A与点C关于BD对称 【举一反三1】如图：若AD平分∠BAC，AD∥EC，则（　　）是等腰三角形． A. △ABD B. △ACD C. △ACE D. △ABC 【举一反三2】已知OC是∠AOB的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与OB重合，有刻度的一边分别与OA，OC交于点P，Q，若点P，Q恰好与直尺1 cm，3 cm的刻度线一端点重合，则OP的长为(　　) A.3 cm   B.2.5 cm C.2 cm   D.1 cm 【举一反三3】如图，在∠AOB中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接OP，过点P作PD∥OB交OA于点D，若OD=3，则PD的长为　　　.  【举一反三4】如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，则　    　一定是等腰三角形． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD，CE相交于点O.OB与OC相等吗？请说明理由. 【题型12】等腰三角形的性质与判定 【典例】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，AB=BD，DE⊥BC，交AC于E，则图中的等腰三角形的个数有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【举一反三1】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A. a=3，b=3，c=4 B. a：b：c=2：3：4 C. ∠B=50°，∠C=80° D. ∠A：∠B：∠C=1：1：2 【举一反三2】如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AH⊥BC于点H，若AB＝10，BH＝2，则BC＝　  　． 【举一反三3】如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形． 【题型13】等边三角形的三条边相等 【典例】已知等边△ABC的边长是6，则它的周长是（　　） A.6 B.12 C.18 D.3 【举一反三1】已知等边△ABC的一边长为10，则它的周长是（　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【举一反三2】下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形； 乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD、△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD、△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　） A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同 【举一反三3】如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y＝　 　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点，连接DF，EF. (1)求证：DF＝EF； (2)连接DE，若AC＝8，DE＝4.判断△DEF的形状，并说明理由. 【题型14】等边三角形的三个角都等于60° 【典例】如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝（　　） A.120° B.110° C.100° D.140° 【举一反三1】如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A.100° B.80° C.60° D.40° 【举一反三2】如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A. 100° B. 80° C. 60° D. 40° 【举一反三3】如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 　    　． 【举一反三4】点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为　       　． 【举一反三5】如图，等边△ABC，∠1＝∠2＝∠3，求∠BEC的度数． 【举一反三6】如图，已知△ABC、△DEF都是正三角形，D、E、G、H均在边上 （1）写出图中与∠AGF必定相等的所有角． （2）对于（1）中的几个角，请你选择一个角证明与∠AGF相等． 【题型15】等边三角形中的三线合一 【典例】如图，在等边△ABC中，BD、CE是两条中线，则∠1的度数为（　　） A. 90° B. 30° C. 120° D. 150° 【举一反三1】等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【举一反三2】如图，在等边△ABC中，AD是高，E是AC上一点，且AE＝AD，则∠EDC＝　  　度． 【举一反三3】如图，△ABC是等边三角形，AC＝4，AD⊥BC于点D，则BD＝　 　． 【举一反三4】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 【举一反三5】 如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 【题型16】等边三角形性质与平行线性质 【典例】如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝20°，则∠1＝（　　） A.80° B.40° C.60° D.70° 【举一反三1】如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A.18° B.42° C.60° D.102° 【举一反三2】如图，l1∥l2，等边△ABC顶点A，B分别在l1，l2上，∠2=45°，则∠1度数为　　　.  【举一反三3】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于　            ． 【举一反三4】如图，等边△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC．求证：DE=DB． 【题型17】等边三角形性质与垂直 【典例】如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（ ） ①点P在∠A的平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP． A. 全部正确 B. 仅①和②正确 C. 仅②③正确 D. 仅①和③正确 【举一反三1】如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【举一反三2】如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【举一反三3】Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作线段AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，DE＝1，则CD＝　　　　. 【举一反三4】如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　   　． 【举一反三5】如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF丄DE，交BC的延长线于点F．求∠F的度数． 【举一反三6】如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数. 【题型18】等边三角形的性质综合 【典例】如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 40° D. 30° 【举一反三1】如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【举一反三2】如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD=62°，则∠AEB的度数为（　　） A. 112° B. 122° C. 132° D. 128° 【举一反三3】如图，P为线段AB的中点，且AB＝9，M是AB上方一点，将线段PM绕点P顺时针旋转60°后得到线段PN，连接AM，MN，BN.当AM＋BN最小时，△PMN周长的最小值是　　　　. 【举一反三4】如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为_____． 【举一反三5】如图，△ABC中，AB=AC，∠A＜60°，△ABE为等边三角形，D在BE上，且∠ADB=∠ACB．求证：AB=BD+DC． 【题型19】用定义判定等边三角形 【典例】一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【举一反三1】用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A. 39 B. 27 C. 24 D. 25 【举一反三2】以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　） A.2，2，3． B.2，3，3 C.2，4，5 D.4，4，4 【举一反三3】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　    　． 【举一反三4】在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　     　． 【举一反三5】若a、b、c为一个三角形的三边，且满足：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0．探索这个三角形的形状，并说明理由． 【题型20】三个角都相等的三角形是等边三角形 【典例】将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝60°，则△ABC是（　　） A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【举一反三1】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　） A. 可以是顶角不为60°等腰三角形 B. 仅有等边三角形 C. 一角为60°的非等腰三角形 D. 不能确定 【举一反三2】在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【举一反三3】如图将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是　      　三角形，DM=　       　cm． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE，AD＝CD． （1）求∠EAD的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【题型21】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【典例】在△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 【举一反三1】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.正三角形 【举一反三2】在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　            　． 【举一反三3】已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． （1）求证：AD=AE． （2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【题型22】等边三角形判定的综合应用 【典例】△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三1】下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　） A. 有两个角是60°的三角形 B. 有一个角是60°的等腰三角形 C. 有两个外角相等的等腰三角形 D. 三边都相等的三角形 【举一反三2】下列三角形中： ①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有　　　　　　.(填序号)  【举一反三3】在△ABC中，AB=AC，要使△ABC是等边三角形需要添加一个条件，这个条件可以是　            　（只需写一个） 【题型23】等边三角形的性质和判定 【典例】下列关于等边三角形的说法正确的有（　　） ①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°； ②三边相等的三角形是等边三角形； ③三角相等的三角形是等边三角形； ④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【举一反三1】如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F是AB的中点．如果AB=BC=AC，那么与BD（BD除外）相等的线段共有（　　） A. 6条 B. 5条 C. 4条 D. 3条 【举一反三2】如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（　　） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 【举一反三3】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定是等边三角形的是 　   　． 【举一反三4】如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上. (1)求证：BF∥AC； (2)过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由； (3)如图2，若点D在射线CA上，且ED=EC，求证：AB=AD+BF. 【举一反三5】[问题原型]如图①，AC是四边形ABCD的对角线，CD＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，求证：AC平分∠BAD(不需证明). [解决问题](1)如图②，小明思考后，过图①中的点C分别作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，其他条件不变，根据小明的作法，解决[问题原型]中的问题； [应用](2)如图③，取图②中AC的中点G，连接EG，FG.若∠BCD＝120°，AC＝5，直接写出四边形CEGF的周长. 【题型24】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（　　） A. ∠CAD=30° B. AD=BD C. BD=2CD D. CD=ED 【举一反三1】如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　　) A.10米 B.8米 C.6米 D.4米 【举一反三2】如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若∠ABC=150°，BC长为8米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h=　　　米.  【举一反三3】如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长. 【题型25】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，BD＝6 cm，则AC的长为(　　) A. 3 B. 6 C. 6 D. 12 【举一反三1】如图，小明同学利用刻度直尺(单位： cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4.5 cm D.5 cm 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是(　　) A.20 B.12 C.16 D.13 【举一反三3】如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD＝AC，则∠B等于________． 【举一反三4】如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.6 km，则M，C两点间的距离为　　　km.  【举一反三5】已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF＝CE.求证：AD＝BC. 【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EP过点C且平行于AB.若∠BCF＝35°，求∠ACD的度数． 苏科版（2024）八年级上册 1.5 等腰三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】等边对等角与三角形内角和 【典例】已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（　　） A.70° B.55° C.40° D.110° 【答案】C 【解析】一个底角为70°时，则另一个一个底角也为70°， ∴顶角＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：C． 【举一反三1】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A.55° B.70° C.70°或55° D.70°或40° 【答案】C 【解析】当它的顶角为70°时， 它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°； 当它的底角为70°时， 它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°； ∴它的底角度数是55°或70°． 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝28°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠BDC＝（　　） A.70° B.75° C.78° D.76° 【答案】D 【解析】∵AB＝AC，∠A＝28°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣28°）＝76°， ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC＝BD， ∴∠BDC＝∠ACB＝76°． 故选：D． 【举一反三3】已知△ABC是等腰三角形.若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是　　　　. 【答案】 100°或40° 【解析】 当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°－40°－40°＝100°. 【举一反三4】已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出△ABC各内角的度数.(写出所有的情况) 【答案】解　一共有4种情况.分别求解如下： 如图①，△ABC是等腰三角形，AB=AC，线段AD过顶点A.根据题意，知△ABD，△ACD是等腰三角形，且AD=BD，AD=CD，那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C， 利用三角形内角和定理，可知， ∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， 解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°， ∠BAC=90°； 如图②，AB=AC=CD，AD=BD. 设∠B=x，则∠BAD=∠ACB=x，∴∠ADC=2x. ∵AC=CD，∴∠CAD=2x，∴∠BAC=3x， ∴x+3x+x=180°，解得x=36°， ∴∠B=∠C=36°，∠BAC=108°； 如图③，AB=AC，AD=BD=BC. 设∠A=x，则∠ABD=x，∴∠BDC=2x. ∵BD=BC，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=2x， ∴x+2x+2x=180°，∴x=36°， ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 如图④，AB=AC，BC=CD，AD=BD. 设∠A=x，则∠ABD=x，∠BDC=∠DBC=2x， ∴∠ABC=∠ACB=3x， ∴x+3x+3x=180°，∴x=， ∴∠A=，∠ABC=∠C=. 【题型2】等边对等角与三角形的外角 【典例】如果等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形顶角的度数是（　　） A.60° B.120° C.60°或120° D.90° 【答案】C 【解析】当高在内部时，顶角＝90°﹣30°＝60°； 当高在外部时，得到顶角的外角＝90°﹣30°＝60°， 则顶角＝120°． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AC＝CD，∠CAB﹣∠B＝30°，则∠BAD等于（　　） A.30° B.22.5° C.10° D.15° 【答案】D 【解析】设∠BAD＝x，则∠CDA＝∠x+∠B， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝x+∠B， 于是∠CAB＝∠2x+∠B， 又∠CAB﹣∠B＝30°， ∴2x+∠B﹣∠B＝30°， 解得x＝15°． 故选：D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 　   　． 【答案】33° 【解析】∵∠BAD＝30°，∠DAE＝72°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C39°， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝72°， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣39°＝33°， 故答案为：33°． 【举一反三3】如图，若∠BAC＝37°，且AC＝BC＝AD＝DE，则∠BAE＝　   　度． 【答案】106． 【解析】∵∠BAC＝37°，且AC＝BC＝AD＝DE， ∴∠BAC＝37°， ∴∠ACD＝37°+37°＝74°， ∴∠ADC＝74°， ∴∠CAD＝32°，∠EAD＝37°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠EAD＝106°． 故答案为：106． 【题型3】等边对等角与平行线的性质 【典例】如图，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，点A在DE边上，DE∥BC，∠C＝40°，则∠ABC的度数为(　　) A.40°   B.50° C.60°   D.70° 【答案】D 【解析】 由旋转得，BA＝BD，∠CAB＝∠D， ∴∠CAB＝∠D＝∠BAD， ∵DE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝40°， ∵∠BAD＋∠CAB＋∠EAC＝180°， ∴∠BAD＝＝70°， ∵DE∥BC， ∴∠ABC＝∠BAD＝70°. 【举一反三1】如图，直线AB∥CD，EF＝EG，点F，G分别在直线CD，AB上，若∠E＝30°，∠1＝50°，则∠2的度数为(　　) A.85°   B.70°   C.65°   D.55° 【答案】D 【解析】 ∵AB∥CD， ∴∠EFC＝∠1＝50°， ∵EF＝EG，∠E＝30°， ∴∠EFG＝∠EGF＝＝75°， ∴∠2＝180°－50°－75°＝55°. 【举一反三2】如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝　　　　　°. 【答案】 66 【解析】 ∵OC＝OE，∠C＝33°， ∴∠E＝∠C＝33°， ∴∠DOE＝∠E＋∠C＝66°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DOE＝66°. 【举一反三3】如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=　　　　.  【答案】40° 【解析】∵AE∥BD，∠ACD=110°， ∴∠EAC=∠ACD=110°，∠BCA=180°-∠ACD=180°-110°=70°， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA=70°， ∴∠EAB=∠EAC-∠BAC=110°-70°=40°. 【举一反三4】如图，AB∥CD，点E是线段AC上一点，且AB＝AE，CD＝CE．求∠BED的大小． 【答案】解：∵AB＝AE，CD＝CE， ∴∠AEB＝∠B，∠CED＝∠D， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°， ∵（∠A+∠B+∠AEB）+（∠C+∠D+∠CED）＝180°+180°＝360°， ∴2∠AEB+2∠CED+（∠A+∠C）＝360°， ∴2（∠AEB+∠CED）＝180°， ∴∠AEB+∠CED＝90°， ∴∠BED＝180°﹣（∠AEB+∠CED）＝90°． 【题型4】等边对等角与线段的垂直平分线 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　） A. AE=BE B. AC=BE C. CE=DE D. ∠CAE=∠B 【答案】B 【解析】A.根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确； B.因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误； C.根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE，AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°所以Rt△ADE≌Rt△BDE得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确； D.根据C的证明过程．故该选项正确．故选B． 【举一反三1】如图，△ABC中，AB=AC．∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°；∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠A=∠ABD=36°，∴∠ABD=∠DBC=36°，即BD是∠ABC的角平分线；因此①正确．在△BDC中，∵∠DBC=36°，∠C=72°；∴∠BDC=∠C=72°；∴BD=BC=AD；因此②正确．∵AD=BD=BC，∴BD+BC+CD=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC；因此③正确．故选B． 【举一反三2】如图，△ABC中，DE垂直平分线段AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=______________度． 【答案】50 【解析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，∴∠BCE=80°﹣30°=50°． 【举一反三3】如图，直线AD是线段BC的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD． 【答案】证明 ∵AD是线段BC的垂直平分线， ∴EB=EC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC+∠DBC =∠ACB+∠DCB，即∠ABD=∠ACD． 【举一反三4】补全过程或依据：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得CE＝AE.若∠B＝55°，求∠ECD的度数. 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠①＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(②)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝③°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(④)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝⑤°. 【答案】 解　∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝55°(等腰三角形两底角相等)， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC(三线合一定理)， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ACB＝35°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°(等腰三角形两底角相等)， ∴∠ECD＝∠ACB－∠ACE＝20°. 【题型5】三线合一 【典例】下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是（　　） A. 顶角的平分线 B. 底边上的中线 C. 底边上的中垂线 D. 底边上的高线 【答案】C 【解析】等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故选项C不符合条件，故选C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（ ） A. △ABD≌△ACD B. AD为△ABC的高线 C. AD为△ABC的角平分线 D. △ABC是等边三角形 【答案】D 【解析】∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即AD是△ABC的高，AD为△ABC的角平分线，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中∠B=∠C，∠ADC=∠ADB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，即选项A、B、C都正确，根据已知只能推出AC=AB，不能推出AC、AB和BC的关系，即不能得出△ABC是等边三角形，选项D错误，故选D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是(　　) A.8   B.6   C.5   D.4 【答案】C 【解析】 ∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵E为AC的中点， ∴DE＝AC＝5. 【举一反三3】已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法： （1）AD平分∠EDF； （2）△EBD≌△FCD； （3）BD=CD； （4）AD⊥BC． 正确的有            个． 【答案】4 【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴利用等腰三角形三线合一的性质可以得到AD平分∠EDF、BD=CD、AD⊥BC，故（1）（3）（4）正确，∵BE=CF，∴△EBD≌△FCD，∴（2）正确，故答案为4． 【举一反三4】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，求∠EDC的度数． 【答案】解 ∵AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝20°， ∴∠CAD＝∠BAD＝20°，∠ADC＝90°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝80°， ∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝10°. 【题型6】三线合一与等边对等角 【典例】已知△ABC，AB＝AC，∠B＝65°，则∠C的度数是（　　） A.50° B.65° C.70° D.75° 【答案】B 【解析】∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵∠B＝65°， ∴∠C＝65°， 故选：B． 【举一反三1】若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A.4cm B.6cm C.4cm或8cm D.8cm 【答案】A 【解析】①4cm是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，能组成三角形， ②4cm是腰长时，底边为16﹣2×4＝8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm． 故选：A． 【举一反三2】等腰三角形中，已知两边的长分别是9和4，则周长为（　　） A.17 B.22 C.17或22 D.以上答案都不对 【答案】B 【解析】当4为底时，其它两边都为9，9、9、4可以构成三角形，周长为22； 当4为腰时，其它两边为9和4，因为4+4＝8＜9，所以不能构成三角形，故舍去． 所以答案只有22． 故选：B． 【举一反三3】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，立柱AD⊥BC，若∠BAD=55°，则∠CAD=　　　°.  【答案】55 【解析】∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD=55°. 【举一反三4】(1)已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，2m－2，n＋1，求m，n的值； (2)已知等腰三角形的周长为16，其中一边为5，求腰和底边的长. 【答案】 解　(1)当2m－2与8，n＋1与10分别是对应边时，则2m－2＝8，n＋1＝10， ∴m＝5，n＝9； 当2m－2与10，n＋1与8分别是对应边时，则2m－2＝10，n＋1＝8， ∴m＝6，n＝7， 综上，m＝5，n＝9或m＝6，n＝7. (2)当腰长为5时，则另一腰长也为5，此时底边长为16－5－5＝6， 即腰长为5，底边长为6； 当底边长为5时，则腰长为×(16－5)＝5.5， 即腰长为5.5，底边长为5， 综上，腰长为5，底边长为6或腰长为5.5，底边长为5. 【题型7】等腰三角形及其性质的综合应用 【典例】下列说法： （1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； （2）等腰三角形的两腰上的中线长相等； （3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高； （4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40． 其中不正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴（1）错误； 如图：∵AB=AC，AD=DC，AE=EB，∴DC=BE，∠DCB=∠EBC．又∵BC=BC∴△BDC≌△CEB（SAS）．∴BD=CE，∴（2）正确； 如图：∵在△ABD中，∠BDA=90°，则AC=AB＞BD，∴等腰三角形的腰一定大于其腰上的高，当该三角形是等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等腰该腰上的高，∴（3）错误； ∵等腰三角形的一边长为8，一边长为16，∴只能三边是16，16，8，∴它的周长是40，∴（4）错误；故选：C． 【举一反三1】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，其理由是（　　） A. 等腰三角形两腰等分 B. 等腰三角形两底角相等 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形的底边中线和底边上的高重合 【答案】D 【解析】∵△ABC是个等腰三角形，∴AC=BC，∵点O是AB的中点，∴AO=BO，∴OC⊥AB．等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合，故选D． 【举一反三2】如图，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形的底边，点A在∠MCN内部，且点A到∠MCN两边的距离相等.(尺规作图) 【答案】解　如图，△ABC即为所求作的等腰三角形. 【举一反三3】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若OM＝5，求MN的长. 【答案】 解　如图，作PC⊥OB交OB于C， ∵PM＝PN，PC⊥OB， ∴CM＝CN， 在△OPC中，∠PCO＝90°，∠OPC＝30°，OP＝12， ∴OC＝OP＝6， ∵OM＝5， ∴CM＝OC－OM＝6－5＝1， ∴CN＝CM＝1， ∴MN＝CM＋CN＝1＋1＝2. 【题型8】用等角对等边判定等腰三角形 【典例】△ABC中，若∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝70°，则（　　） A.AB＝AC B.AC＝BC C.AB＝BC D.AB＝AC＝BC 【答案】C 【解析】∵∠A＝70°，∠C＝70°， ∴∠A＝∠C， ∴BA＝BC， 故选：C． 【举一反三1】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A=40°，∠B=50° B. ∠A=40°，∠B=60° C. ∠A=40°，∠B=70 ° D. ∠A=40°，∠B=80° 【答案】C 【解析】当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°所以D选项错误．故选C． 【举一反三2】如图，△ABC的点A，C在直线l上，∠B=110°，∠ACB=50°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则∠ABP的度数是　　　　　.  【答案】10°或80°或20°或140° 【解析】如图， 在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=20°， ①当AB=AP时，若点P1在点A左边，此时∠ABP1=∠AP1B， ∵∠ABP1+∠AP1B=∠BAC=20°， ∴∠ABP1=∠AP1B=10°； 若点P3在点A右边，此时∠ABP3=∠AP3B==80°； ②当PA=PB时，此时∠ABP2=∠P2AB=20°； ③当BA=BP时，此时∠BAP4=∠BP4A=20°， ∴∠ABP4=180°-20°-20°=140°. 综上所述，满足条件的∠ABP的度数为10°或80°或20°或140°. 【举一反三3】已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　             　． 【答案】70°或40°或20° 【解析】如图，有三种情形： ①当AC＝AD时，∠ACD＝70°． ②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为70°或40°或20° 【举一反三4】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，DE=DF，则AB=AC，请说明理由. 【答案】解　∵点D是BC的中点， ∴DB=DC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BEDRt△CFD(HL)， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC. 【题型9】等角对等边与三角形内角和定理 【典例】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A=50°，∠B=60° B. ∠A=30°，∠B=75° C. ∠A=20°，∠B=100° D. ∠A=40°，∠B=60° 【答案】B 【解析】A．∵∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=70°，即∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误； B．∵∠A=30°，∠B=75°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，即∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形，故本选项正确； C．∵∠A=20°，∠B=100°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°，即∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误； D．∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，即∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形，故本选项错误；故选B． 【举一反三1】已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A. ①③④ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③ 【答案】A 【解析】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，（1）中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；（2）不能；（3）显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；（4）中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故选A． 【举一反三2】如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=_________时，△AOP为等腰三角形． 【答案】30°或75°或120° 【解析】当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，当点P为顶点时，∠A=30°，故答案为30°或75°或120°． 【举一反三3】如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动(D不与A，B重合)，连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E，若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是　　　　　.  【答案】60°或105° 【解析】∵△CDE是等腰三角形， ①当CD=DE时， ∵∠CDE=30°， ∴∠DCE=∠DEC=75°， ∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°； ②当DE=CE时，∵∠CDE=30°， ∴∠DCE=∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°； ③当EC=CD时， ∠BCD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°， ∵∠ACB=120°， ∴此时，点D与点A重合，不符合题意. 综上，若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数为60°或105°. 【题型10】等角对等边与三角形的外角 【典例】如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，∵∠ADE=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠AED=2∠C，∴∠C=∠EAC，∴AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选C． 【举一反三1】如图所示，共有等腰三角形（　　） A. 4个 B. 5个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】根据三角形的内角和定理，得：∠ABO=∠DCO=36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB=∠COD=72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选B． 【举一反三2】在下面的三角形，不可能是等腰三角形的是（　　） A. 有两个内角分别为110°，40°的三角形 B. 有两个内角分别为70°，55°的三角形 C. 有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形 D. 有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 【答案】A 【解析】根据等腰三角形判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行判断即可． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是　            　． 【答案】6 【解析】∵∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=120°，∠B=30°，∠C=30°，∵AD，AE将∠BAC三等分，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=30°，∴∠ADE=∠AED=∠BAE=∠CAD=60°，∴AD=BD，AD=AE，AE=CE，AB=AC，AB=BE，AC=CD，∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形，∴图中等腰三角形的个数是6，故答案为：6． 【举一反三4】如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC.求证：AB=AC. 【答案】证明　∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C. ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC. ∴∠B=∠C. ∴AB=AC(等角对等边). 【题型11】角平分线+平行线等腰必呈现 【典例】如图，BD是∠ABC的角平分线，DC∥AB，下列说法正确的是（　　） A.BC＝CD B.AD∥BC C.AD＝BC D.点A与点C关于BD对称 【答案】A 【解析】∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵DC∥AB， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴BC＝CD． 故选：A． 【举一反三1】如图：若AD平分∠BAC，AD∥EC，则（　　）是等腰三角形． A. △ABD B. △ACD C. △ACE D. △ABC 【答案】C 【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵AD∥EC，∴∠AEC=∠BAD，∠ACE=∠∠DAC，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∴△ACE是等腰三角形．故选C． 【举一反三2】已知OC是∠AOB的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与OB重合，有刻度的一边分别与OA，OC交于点P，Q，若点P，Q恰好与直尺1 cm，3 cm的刻度线一端点重合，则OP的长为(　　) A.3 cm   B.2.5 cm C.2 cm   D.1 cm 【答案】C 【解析】 ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠POQ＝∠BOQ， ∵PQ∥OB， ∴∠PQO＝∠BOQ， ∴∠PQO＝∠POQ， ∴OP＝PQ＝3－1＝2(cm). 【举一反三3】如图，在∠AOB中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接OP，过点P作PD∥OB交OA于点D，若OD=3，则PD的长为　　　.  【答案】3 【解析】由作图可得OP平分∠AOB， ∴∠DOP=∠BOP=∠AOB， ∵PD∥OB， ∴∠OPD=∠BOP， ∴∠OPD=∠DOP， ∴PD=OD=3. 【举一反三4】如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，则　    　一定是等腰三角形． 【答案】△AED． 【解析】∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠EDA＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠EDA， ∴△AED是等腰三角形， 故答案为：△AED． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD，CE相交于点O.OB与OC相等吗？请说明理由. 【答案】解　OB=OC. 理由如下： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). ∵BD，CE是角平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB. ∴∠OBC=∠OCB. ∴OB=OC(等角对等边). 【题型12】等腰三角形的性质与判定 【典例】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，AB=BD，DE⊥BC，交AC于E，则图中的等腰三角形的个数有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】首先直角三角形ABC是一个；AB=BD，所以△ABD也是一个；∵DE⊥BC，∠C=45°，∴CD=DE，∴△CDE也是；∵AB=BD，∠B=45°，∴∠BAD=67.5，∴∠EAD=22.5，∠CED=45，∴∠AED=135°，∴∠EDA=22.5°，∴AE=DE，∴△ADE也是一个．所以共4个．故选B． 【举一反三1】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A. a=3，b=3，c=4 B. a：b：c=2：3：4 C. ∠B=50°，∠C=80° D. ∠A：∠B：∠C=1：1：2 【答案】B 【解析】A.∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形； B.∵a：b：c=2：3：4，∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形； C.∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，∴∠A=∠B，∴AC=BC， ∴△ABC是等腰三角形； D.∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故选B． 【举一反三2】如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AH⊥BC于点H，若AB＝10，BH＝2，则BC＝　  　． 【答案】14． 【解析】如图，延长HB到点D，使得BD＝BA， ∴∠BDA＝∠BAD， ∵∠ABC＝∠BDA+∠BAD， ∴∠ABC＝2∠BDA， ∵∠ABC＝2∠ACB， ∴∠ADB＝∠ACB， ∴AD＝AC， ∵AH⊥BC， ∴DH＝CH， ∵DH＝BH+BD， ∴DH＝CH＝BH+BA， ∴BC＝BH+CH＝2BH+BA， ∵AB＝10，BH＝2， ∴BC＝2×2+10＝14， 故答案为：14． 【举一反三3】如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形． 【答案】解 连接AG，∵DE∥BC， ∴∠ABC=∠1，∠ACB=∠2．又∵∠1=∠2， ∴∠ABC=∠ACB．又∵G为BC中点， ∴AG⊥BC． ∴AG⊥DE且平分DE，∴DG=GE． ∴△DGE是等腰三角形． 【题型13】等边三角形的三条边相等 【典例】已知等边△ABC的边长是6，则它的周长是（　　） A.6 B.12 C.18 D.3 【答案】C 【解析】∵等边△ABC的边长是6， ∴它的周长是6×3＝18． 故选：C． 【举一反三1】已知等边△ABC的一边长为10，则它的周长是（　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】∵等边△ABC的边长是10，∴它的周长是10×3=30．故选：C． 【举一反三2】下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形； 乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD、△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD、△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　） A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同 【答案】D 【解析】设等边三角形ABC的边长是a，则乙图中等边△ADB、△DEC的边长是12a，丙图中等边三角形的边长AB+DE=a，∴甲：a+a=2a，乙：4×a=2a，丙：2（AB+DE）=2a．故选D． 【举一反三3】如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y＝　 　． 【答案】3． 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∴， 解得． 那么y＝3， 故答案为：3． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点，连接DF，EF. (1)求证：DF＝EF； (2)连接DE，若AC＝8，DE＝4.判断△DEF的形状，并说明理由. 【答案】 (1)证明　∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADC＝90°， ∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，F是AC中点， ∴EF＝AC， ∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，F是AC中点， ∴DF＝AC， ∴DF＝EF. (2)解　△DEF是等边三角形， 理由如下： 由(1)知，EF＝FD＝AC＝4， ∵DE＝4， ∴EF＝FD＝DE， ∴△DEF是等边三角形. 【题型14】等边三角形的三个角都等于60° 【典例】如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝（　　） A.120° B.110° C.100° D.140° 【答案】A 【解析】在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵BD是AC边上的高， ∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， ∴∠BDE＝180°﹣∠DBE﹣∠E＝120°， 故选：A． 【举一反三1】如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A.100° B.80° C.60° D.40° 【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠1=20°，∴∠3=100°，∴∠2=100°；故选A． 【举一反三2】如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A. 100° B. 80° C. 60° D. 40° 【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠1=20°，∴∠3=100°，∴∠2=100°；故选A． 【举一反三3】如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 　    　． 【答案】120°． 【解析】∵△ABC为等边三角形， ∴∠BCA＝60°， 又∵∠2＝∠3， ∴∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2， ∴∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120° 【举一反三4】点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为　       　． 【答案】120° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠DCB=∠ABD，∴∠DBC+∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°． 【举一反三5】如图，等边△ABC，∠1＝∠2＝∠3，求∠BEC的度数． 【答案】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠2＝∠3， ∴∠2+∠BCE＝∠3+∠BCE＝∠ACB＝60°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°． 【举一反三6】如图，已知△ABC、△DEF都是正三角形，D、E、G、H均在边上 （1）写出图中与∠AGF必定相等的所有角． （2）对于（1）中的几个角，请你选择一个角证明与∠AGF相等． 【答案】（1）解：与∠AGF必定相等的角有：∠DGH、∠ADE、∠BEH； （2）证明：①∠DGH＝∠AGF（对顶角相等）； ②在△ADG中，∠AGF＝∠A+∠ADG＝60°+∠ADG， ∵∠ADE＝∠ADG+∠EDF＝∠ADG+60°， ∴∠ADE＝∠AGF； ③∵△ABC、△DEF均为正三角形， ∴∠F＝60°＝∠C， ∴∠AGF＝∠F+∠GHF＝∠C+CHE＝∠BEH． 【题型15】等边三角形中的三线合一 【典例】如图，在等边△ABC中，BD、CE是两条中线，则∠1的度数为（　　） A. 90° B. 30° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，BD、CE是两条中线，∴∠AEC=∠ADB=90°，∠A=60°，∴∠1=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°．故选C． 【举一反三1】等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】画等边三角形ABC，中线BE,CD相交于点O，根据等边三角形性质，两中线也是角平分线，所以∠EBC=∠DCB=30°，∠BOC=120°，即：∠COE=60°，故选D. 【举一反三2】如图，在等边△ABC中，AD是高，E是AC上一点，且AE＝AD，则∠EDC＝　  　度． 【答案】15. 【解析】∵△ABC为等边三角形， ∴∠DAC∠BAC＝30°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 故答案为15°． 【举一反三3】如图，△ABC是等边三角形，AC＝4，AD⊥BC于点D，则BD＝　 　． 【答案】2． 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝4， ∵AD⊥BC于点D， ∴BDBC＝2． 故答案为：2． 【举一反三4】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°. 又CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED. 又∠BCD＝∠CDE＋∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC. ∴BD＝DE(等角对等边)． 【举一反三5】 如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，即∠CAD=∠BAD=30°，∴∠BAE=∠BAD=30°，在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB∴△ABE≌△ABD（SAS），∴BE=BD． 【题型16】等边三角形性质与平行线性质 【典例】如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝20°，则∠1＝（　　） A.80° B.40° C.60° D.70° 【答案】B 【解析】过点B作BD∥AP，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵BD∥AP，AP∥CQ， ∴AP∥BD∥CQ， ∴∠BAP＝∠ABD，∠DBC＝∠1， ∵∠BAP＝20° ∴∠ABD＝20°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣20°＝40°， ∴∠1＝40°， 故选：B． 【举一反三1】如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A.18° B.42° C.60° D.102° 【答案】D 【解析】∵a∥b，∠1＝42°， ∴∠1+∠BAC＝∠2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠2＝42°+60° ＝102°， 故选：D． 【举一反三2】如图，l1∥l2，等边△ABC顶点A，B分别在l1，l2上，∠2=45°，则∠1度数为　　　.  【答案】15° 【解析】如图， ∵l1∥l2， ∴∠2=∠ABD， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵∠2=45°， ∴∠1=∠ABC-∠ABD=15°. 【举一反三3】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于　            ． 【答案】20° 【解析】过点A作AD∥l1，如图，则∠BAD=∠β．∵l1∥l2，∴AD∥l2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°． 【举一反三4】如图，等边△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC．求证：DE=DB． 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠B=60°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∵AB=AC，∴BD=CE，∴DE=DB． 【题型17】等边三角形性质与垂直 【典例】如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（ ） ①点P在∠A的平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP． A. 全部正确 B. 仅①和②正确 C. 仅②③正确 D. 仅①和③正确 【答案】A 【解析】∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴∠ARP=∠ASP=90°，∵PR=PS，AP=AP，∴Rt△ARP≌Rt△ASP，∴AR=AS，故②正确，∠BAP=∠CAP，∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确；∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，∵AQ=PQ，∴点Q是AC的中点∴PQ是边AB对的中位线，∴PQ∥AB，故③正确；∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP∴△BRP≌△QSP，故④正确；∴全部正确．故选A． 【举一反三1】如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】∵△ABP≌△CDP，∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．又∵△ABP与△CDP是两个等边三角形，∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．①根据题意，∠BPC=360°﹣60°×2﹣90°=150°∵BP=PC，∴∠PBC=（180°﹣150°）÷2=15°，故本选项正确；②∵∠ABC=60°+15°=75°，∵AP=DP，∴∠DAP=45°，∵∠BAP=60°，∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，∴AD∥BC；故本选项正确；③延长CP交于AB于点O．∠APO=180°﹣（∠APD+∠CPD）=180°﹣（90°+60°）=180°﹣150°=30°，∵∠PAB=60°，∴∠AOP=30°+60°=90°，故本选项正确；④根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，故本选项正确．综上所述，以上四个命题都正确．故选D． 【举一反三2】如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】∵△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，∴BP=CP，AP=DP，∠ABP=∠APB=∠BAC=∠CPD=60°，∵PA⊥PD，∴∠BPC=360°﹣90°﹣60°×2=150°，∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；∵PA⊥PD，∴△APD是等腰直角三角形，∴∠PAD=45°，∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，∴AD∥BC，故②正确；∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，∴直线PC与AB垂直，故③正确；综上所述，正确的有①②③共3个．故选D． 【举一反三3】Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作线段AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，DE＝1，则CD＝　　　　. 【答案】 1 【解析】 连接BD， ∵作线段AB的垂直平分线交AC于D， ∴BD＝AD. ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠DBA＝∠A＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°. ∵DE＝1，DE⊥AB， ∴BD＝AD＝2DE＝2. ∵∠C＝90°， ∴CD＝BD＝1. 【举一反三4】如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　   　． 【答案】45° 【解析】由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°． ∵ED⊥BC， ∴△EDC为直角三角形， ∴∠FDB＝30°， ∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°， ∴∠EFD＝45°． 故答案为：45° 【举一反三5】如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF丄DE，交BC的延长线于点F．求∠F的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°. 【举一反三6】如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数. 【答案】解 ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵PE⊥AC， ∴∠AEP=90°， ∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°. 【题型18】等边三角形的性质综合 【典例】如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 40° D. 30° 【答案】A 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，∴AB=BC=AC， 在△ABD和△CAE中BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC， ∴△ABD≌△CAE∴∠BAD=∠ACE， ∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACE+∠DAC=60°，∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°， ∴∠AFC=120°， ∵∠AFC+∠DFC=180°，∴∠DFC=60°．故选A． 【举一反三1】如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确），∴∠AEC=∠DBC，∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°∴∠DCE=∠ECB=60°∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC∴△EMC≌△BNC（ASA），∴CM=CN（②正确），∵AC=DC，在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以③错误，所以正确的结论有两个．故选B． 【举一反三2】如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，∠EBD=62°，则∠AEB的度数为（　　） A. 112° B. 122° C. 132° D. 128° 【答案】B 【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，又∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ECD=∠BCE+∠BCD，∴∠BCD=∠ACE，△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠CAE，即62°﹣∠EBC=60°﹣∠BAE，即62°﹣（60°﹣∠ABE）=60°﹣∠BAE，∴∠ABE+∠BAE=60°+60°﹣62°=58°，∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠BAE）=180°﹣58°=122°．故选B． 【举一反三3】如图，P为线段AB的中点，且AB＝9，M是AB上方一点，将线段PM绕点P顺时针旋转60°后得到线段PN，连接AM，MN，BN.当AM＋BN最小时，△PMN周长的最小值是　　　　. 【答案】 【解析】 如图1，将PA绕点P顺时针旋转60°得到PG，连接GN，BG， 由旋转得到PA＝PG，PM＝PN，∠GPA＝∠MPN＝60°， ∴∠APM＝∠GPN，△MPN为等边三角形， ∴△APM△GPN(SAS)， ∴AM＝GN， ∴AM＋BN＝GN＋BN≥BG， ∴当点N落在BG上时，AM＋BN最小， ∴当PN⊥BG时，PN取得最小值，则△PMN周长取得最小值，如图2， ∵∠MPN＝60°， ∴∠G＝90°－∠MPN＝30°. ∵△MPN为等边三角形， ∴MN＝MP，∠NMP＝60°， ∴∠GNM＝∠NMP－∠G＝30°＝∠G， ∴MN＝MG， ∴MP＝MG＝PG＝PA， ∵P为线段AB的中点，且AB＝9， ∴PA＝， ∴PM＝， ∴△PMN周长的最小值是×3＝. 【举一反三4】如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为_____． 【答案】a+b 【解析】∵△ABC与△DEF为等边三角形∴∠A=∠B，EF=DF∵∠BFD+∠BDF=120°，∠BFD+∠AFE=120°∴∠BDF=∠AFE∴△AEF≌△BFD（AAS）∴AF=BD，AE=BF∵△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b． 【举一反三5】如图，△ABC中，AB=AC，∠A＜60°，△ABE为等边三角形，D在BE上，且∠ADB=∠ACB．求证：AB=BD+DC． 【答案】证明 ∵△ABE为等边三角形∴∠ABD=∠E=60°，AE=AB=AC， ∵∠1+∠ABD=∠ABC=∠ACB=∠ADB=∠4+∠E，∴∠1=∠4， ∵∠3=∠2+∠ADB=∠1+∠ACB， ∴∠1=∠2∴∠2=∠4， 在△ACD和△AED中AE=AC，∠2=∠4，AD= AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴DC=DE， ∴AB=BE=CD+BD． 【题型19】用定义判定等边三角形 【典例】一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D． 【举一反三1】用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A. 39 B. 27 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】设增加x个小木棒时拼成13个等边三角形．1+x2=13x=2424+3=27故选B． 【举一反三2】以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　） A.2，2，3． B.2，3，3 C.2，4，5 D.4，4，4 【答案】D 【解析】A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意； B、2，3，3是等三角形，不符合题意； C、2，4，5是直角三角形，不是等边三角形，不符合题意； D、4，4，4是等腰三角形，是等边三角形，符合题意； 故选：D． 【举一反三3】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　    　． 【答案】等边三角形 【解析】∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点， ∴OA＝OC， ∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C， ∴AC＝AO， ∴OC＝AC＝OA， ∴△AOC的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【举一反三4】在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　     　． 【答案】等边三角形． 【解析】（法一）在△ABC中，∵∠A＝∠C， ∴BA＝BC． 又∵AB＝AC， AB＝AC＝BC． 所以△ABC是等边三角形． 故答案为：等边三角形． （法二）在△ABC中，∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 又∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C． 所以△ABC是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【举一反三5】若a、b、c为一个三角形的三边，且满足：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0．探索这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】解：∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， 又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， ∴a＝b＝c， ∴这是一个等边三角形． 【题型20】三个角都相等的三角形是等边三角形 【典例】将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝60°，则△ABC是（　　） A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】∵BC∥NM， ∴∠ACB＝∠1＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形． 故选：D． 【举一反三1】有一个外角是120°，另外两个外角相等的三角形（　　） A. 可以是顶角不为60°等腰三角形 B. 仅有等边三角形 C. 一角为60°的非等腰三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】∵有一个外角是120°∴该角对应的角为60°又∵另外两个外角相等∴另外两个外角对应的内角也相等∵有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形∴该三角形一定为等边三角形．故选B． 【举一反三2】在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A+∠B=120°，∴∠C=60°；而∠C=∠A，∴∠A=60°，△ABC是等边三角形．故选D． 【举一反三3】如图将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是　      　三角形，DM=　       　cm． 【答案】等边 3 【解析】∵AB∥DE，∴∠MEC=∠B，∠CME=∠A，∵△ABC是等边三角形，∴∠MEC=∠EMC=∠ACB，∴△MEC是等边三角形，沿BC向右平移3cm，∴BE=3cm，EC=2cm，∴DM=DE﹣EM=5﹣2=3cm． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE，AD＝CD． （1）求∠EAD的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【答案】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AE＝BE，AD＝CD， ∴∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠EAB﹣∠DAC ＝120°﹣30°﹣30° ＝60°． （2）∵∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝60°，∠ADE＝∠C+∠DAC＝60°， ∴∠EAD＝∠AED＝∠ADE， ∴△ADE是等边三角形． 【题型21】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【典例】在△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形. 【举一反三1】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A.钝角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.正三角形 【答案】D 【解析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形． 故选：D． 【举一反三2】在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　            　． 【答案】此题答案不唯一，如AB=AC或AB=BC或AC=BC 【解析】∵在△ABC中，∠A=60°，∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB=AC或AB=BC或AC=BC．故答案为：此题答案不唯一，如AB=AC或AB=BC或AC=BC． 【举一反三3】已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． （1）求证：AD=AE． （2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明 ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，∵AE⊥AB，∴∠E=90°=∠ADB，∵AB平分∠DAE， ∴∠1=∠2，在△ADB和△AEB中，∠ADB=∠E，∠1=∠2，AB=AB， ∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE； （2）解：△ABC是等边三角形．理由：∵BE∥AC， ∴∠EAC=90°， ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠BAC=∠1+∠3=60°， ∴△ABC是等边三角形． 【题型22】等边三角形判定的综合应用 【典例】△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】①三边相等的三角形是等边三角形，正确；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；则正确的有4个．故选D． 【举一反三1】下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　） A. 有两个角是60°的三角形 B. 有一个角是60°的等腰三角形 C. 有两个外角相等的等腰三角形 D. 三边都相等的三角形 【答案】C 【解析】A.有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形，正确； B.有一个角是60°的等腰三角形是等腰三角形，正确； C.有两个外角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误； D.三边都相等的三角形是等腰三角形，正确；故选：C． 【举一反三2】下列三角形中： ①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有　　　　　　.(填序号)  【答案】①②③④ 【解析】①已知三角形中有两个角等于60°，则该三角形的三个内角都相等，是等边三角形； ②已知等腰三角形中有一个角等于60°，则该三角形三个角都为60°，是等边三角形； ③已知三角形的三个角都相等，则该三角形是等边三角形； ④已知三角形的三边都相等，则该三角形是等边三角形. 综上，①②③④都是等边三角形. 【举一反三3】在△ABC中，AB=AC，要使△ABC是等边三角形需要添加一个条件，这个条件可以是　            　（只需写一个） 【答案】∠A=60°或AB=BC（只需写一个） 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴要使△ABC是等边三角形，只需添加AB、AC的夹角∠A=60°或AB=BC即可．故答案可以是：∠A=60°或AB=BC． 【题型23】等边三角形的性质和判定 【典例】下列关于等边三角形的说法正确的有（　　） ①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°； ②三边相等的三角形是等边三角形； ③三角相等的三角形是等边三角形； ④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】根据等边三角形的每个角都是60°；故①正确．根据等边三角形的概念：三边相等的三角形是等边三角形． 故②正确；根据等边对等角；故③正确；根据等边三角形的判定；故④正确．故选D． 【举一反三1】如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F是AB的中点．如果AB=BC=AC，那么与BD（BD除外）相等的线段共有（　　） A. 6条 B. 5条 C. 4条 D. 3条 【答案】B 【解析】∵AB=BC=AC，且点D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴AF=BF=AE=EC=CD=BD，∴与BD（BD除外）相等的线段共有5条，故选B． 【举一反三2】如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（　　） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 【答案】A 【解析】∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是一个等边三角形故选A． 【举一反三3】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定是等边三角形的是 　   　． 【答案】①②③． 【解析】①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定2，故正确； ③根据等边三角形三线合一性质，故正确． 所以能判定是等边三角形的是①②③． 故答案为：①②③． 【举一反三4】如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上. (1)求证：BF∥AC； (2)过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由； (3)如图2，若点D在射线CA上，且ED=EC，求证：AB=AD+BF. 【答案】(1)证明　∵△ABC和△EFC都是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC， ∴∠ACE=∠BCF， 在△ACE与△BCF中， ∴△ACE△BCF(SAS)， ∴∠CBF=∠A=60°， ∵∠ACB=60°， ∴∠CBF=∠ACB， ∴AC∥BF. (2)解　△AEG是等边三角形，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°， ∵EG∥BC， ∴∠AEG=∠ABC=60°，∠AGE=∠ACB=60°， ∴∠A=∠AEG=∠AGE=60°， ∴△AEG是等边三角形. (3)证明　如图，过E作EM∥BC交AC于M， 由(2)可得△AEM是等边三角形， ∴AE=EM=AM，∠EAM=∠AME=60°， ∴∠DAE=∠EMC=120°， ∵DE=CE， ∴∠D=∠MCE， 在△ADE和△MCE中， ∴△ADE△MCE(AAS)， ∴AD=MC， ∴AC=AM+CM=AM+AD， 由(1)得△ACE△BCF， ∴BF=AE， ∴BF=AM， ∴AC=BF+AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∴AB=AD+BF. 【举一反三5】[问题原型]如图①，AC是四边形ABCD的对角线，CD＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，求证：AC平分∠BAD(不需证明). [解决问题](1)如图②，小明思考后，过图①中的点C分别作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，其他条件不变，根据小明的作法，解决[问题原型]中的问题； [应用](2)如图③，取图②中AC的中点G，连接EG，FG.若∠BCD＝120°，AC＝5，直接写出四边形CEGF的周长. 【答案】 解　(1)由题意知∠F＝∠BEC＝90°， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠FDC＋∠ADC＝180°， ∴∠CDF＝∠B， 又CD＝BC， ∴△CDF△CBE， ∴CF＝CE， 又CF⊥AD，CE⊥AB， ∴AC平分∠BAD. (2)∵△CDF△CBE， ∴∠DCF＝∠BCE， ∴∠DCF＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠FCE＝∠DCB＝120°， 在Rt△ACF和Rt△ACE中， ∴Rt△ACFRt△ACE(HL)， ∴∠FCA＝∠ECA＝∠FCE＝60°， ∵CF⊥AD，G是AC的中点， ∴FG＝CG＝AC＝， ∴△FCG是等边三角形， ∴FC＝FG＝， 同理EC＝EG＝， ∴四边形CEGF的周长为FC＋FG＋EG＋EC＝10. 【题型24】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（　　） A. ∠CAD=30° B. AD=BD C. BD=2CD D. CD=ED 【答案】D 【解析】在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，∴BD=2CD，根据已知不能推出CD=DE，只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．故选D． 【举一反三1】如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　　) A.10米 B.8米 C.6米 D.4米 【答案】C 【解析】如图， 根据题意得∠BAC=30°，∠ACB=90°，BC=2米， ∴AB=2BC=4(米)， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=6(米). 【举一反三2】如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若∠ABC=150°，BC长为8米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h=　　　米.  【答案】4 【解析】如图所示，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则∠BEC=90°， ∵∠ABC=150°， ∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°， ∴在Rt△BCE中，CE=BC=×8=4(米)， ∴点B到点C上升的高度h=4米. 【举一反三3】如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长. 【答案】解 延长AD、BC交于点E, 在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°, 又∵∠CDE=180°-120°=60°,∴∠DCE=60°.∴△CED是等边三角形.设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,在Rt△ABE中，∵∠A=30°,∴AE=2BE.即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2. 【题型25】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，BD＝6 cm，则AC的长为(　　) A. 3 B. 6 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】∵∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，∴AC＝2BD，∵BD＝6cm，∴AC＝12cm，故选D. 【举一反三1】如图，小明同学利用刻度直尺(单位： cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4.5 cm D.5 cm 【答案】B 【解析】由题意得，∠BAC=90°，BC=8-2=6(cm)， ∵点D为线段BC的中点， ∴AD=BC=3(cm). 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是(　　) A.20 B.12 C.16 D.13 【答案】D 【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，CD=BC=3， ∵AD⊥BC，点E为AC的中点， ∴DE=EC=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+EC=13. 【举一反三3】如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD＝AC，则∠B等于________． 【答案】30° 【解析】∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝AD，又CD＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°. 【举一反三4】如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.6 km，则M，C两点间的距离为　　　km.  【答案】1.6 【解析】∵公路AC，BC互相垂直， ∴∠ACB=90°， ∵点M是AB的中点， ∴CM=AB=AM=1.6 km. 【举一反三5】已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF＝CE.求证：AD＝BC. 【答案】证明　∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°.∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°. ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴CE＝AB，AF＝CD. ∵AF＝CE，∴CD＝AB. 在Rt△CDA和Rt△ABC中，AC=CA，CD=AB， ∴Rt△CDA≌Rt△ABC. ∴AD＝BC. 【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EP过点C且平行于AB.若∠BCF＝35°，求∠ACD的度数． 【答案】解　∵AB∥EF， ∴∠B＝∠BCF＝35°， ∵DC是斜边AB上的中线， ∴DC＝DB， ∴∠DCB＝∠B＝35°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°－35°＝55°. 学科网（北京）股份有限公司 $