专题07 等腰三角形的性质与判定（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以9大题型为框架，系统整合等腰三角形性质与判定的解题方法，形成从基础应用到综合迁移的完整训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|求线段长/角度（各1典例+3变式）|核心性质（等边对等角、三线合一）、常用工具（线段和差、全等）、角度计算依据（内角和、外角）|从性质直接应用到结合平行线、折叠等条件的等量转化| |判定与综合|判定/综合应用（各1典例+3变式）|等角对等边、两边相等判定法，性质与判定结合全等、动点分类讨论|从单一判定到性质判定综合，构建“判定→性质应用→新判定”逻辑链| |易错与应用|分类讨论/实际应用（各1典例+3变式）|边长/角度分类验证（三边关系、内角合理性）、建模抽象（实物→等腰三角形）|针对易错点（分类漏解）和实际场景，强化数学语言表达与模型意识|

专题07 等腰三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用等腰三角形的性质求线段长 题型02 利用等腰三角形的性质求角度 题型03 等腰三角形中的多结论判断问题 题型04等腰三角形的分类讨论问题 题型05 利用等腰三角形的性质证明 题型06 等腰三角形中的个数问题 题型07等腰三角形的判定 题型08 等腰三角形的实际应用 题型09 等腰三角形的性质与判定的综合应用 ▌题型01 利用等腰三角形的性质求线段长 1. 核心性质：等腰三角形两腰相等，可直接等量代换线段； 2. 三线合一：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合，中线平分底边，能得到底边一半的长度； 3. 常用工具：线段和差、中点等分线段、全等三角形对应边相等； 4. 等量转移：结合平行线、折叠等条件，转换相等线段进行计算。 【典例1】如图，在中，和的平分线交于点O，过O点作，交于E，交于F，若，则线段的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B． 【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8， ∴BD+CD＝8﹣3＝5， ∵AD＝BD， ∴AD+DC＝5， ∴AC＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， ∵AD＝DB，DE⊥AB， ∴AEAB＝2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝12，BD＝CE，进而得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝12， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中 ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝12，BD＝CE， ∵BD＝4， ∴CE＝BD＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． 【答案】(1) 证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌题型02 利用等腰三角形的性质求角度 1. 基础定理：等边对等角，两底角相等； 2. 三线合一衍生角度：顶角平分线平分顶角，高与底边形成直角 90°； 3. 角度计算依据：三角形内角和 180°、平角 180°、外角等于不相邻两内角和、对顶角相等； 4. 辅助推导：平行线同位角、内错角相等，结合互余、互补列式求解。 【典例2】如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先求出，再根据等腰三角形性质求出结论即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）梯形中，，，，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，再由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，点是边上的一点，且，延长至点，使得．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与外角性质，由等边对等角得到，，再由三角形外角得到，结合，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1-3】如图，中，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转可得，根据等腰三角形的性质求出，结合，再求出，根据即可解答． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ▌题型03 等腰三角形中的多结论判断问题 1. 基础储备：等腰性质、判定、三线合一、全等三角形、角度线段关系； 2. 分类型判断思路： · 线段相等：找两腰相等、三线合一、全等对应边； · 角度相等：等边对等角、角平分线、全等对应角； · 垂直 / 平分：验证三线合一条件； · 图形判定：判断是否为等腰、直角三角形； 3. 做题技巧：逐个结论单独推导，动点题可取端点特殊值快速排除错误结论。 【典例3】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（　　） A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【答案】B． 【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形． 【详解】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C72°， 故①正确； ∵DM是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°， ∴BD是∠ABC的平分线， 故②错误； ∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°． 故③错误； ∵DM是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD ∴△ABD是等腰三角形； 故④正确； ∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵∠A＝∠ABD＝36°， ∴∠CBD＝36°， ∴BD＝BC， ∴AD＝BD＝BC，故⑤正确． 故选：B． 【详解】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题． 【详解】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90° ∴DE＝DF ∴AD垂直平分EF ∴（4）错误； 又∵AD所在直线是△ABC的对称轴， ∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF． 故选：C． 【点睛】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”） 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【详解】解：∵DE∥AC， ∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA， ∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M， ∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA， ∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM， ∴DA＝DM，ME＝EC， 即△ADM和△CEM都是等腰三角形； 故①正确； ∴DE＝DM+EM＝AD+CE， ∵AC＞DE， ∴AD+CE＜AC，故④错误； ∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确； 根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 【变式1-3】如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D． 【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论； ②根据角平分线的性质即可得到结论； ③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：①∵AP平分∠BAC， ∴∠CAP＝∠BAP， ∵PG∥AD， ∴∠APG＝∠CAP， ∴∠APG＝∠BAP， ∴GA＝GP，故①正确； ②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P， ∴点P也位于∠BCD的平分线上， ∴∠DCP＝∠BCP， 故②正确； ③∵BE＝BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． ▌题型04 等腰三角形的分类讨论问题 1. 边长分类：已知两边求周长，分两种情况 ——①已知边为腰 ②已知边为底，最后用三角形三边关系（两边之和大于第三边）舍去不合理情况； 2. 角度分类：已知一个内角求另外两角，分两种情况 ——①已知角是顶角 ②已知角是底角，底角不能≥90°； 3. 动点存在性分类：动点构成等腰三角形，分三条边分别为底边三种情况讨论； 4. 核心步骤：分类列举→验证三边关系 / 内角合理性→得出最终答案。 【典例4】已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；首先根据等腰三角形的性质可分为两种情况讨论：当为腰或者当为底边长． 【详解】解：当是腰时，底边是，即另外两边是，，能构成三角形； 当底边是时，腰长是，即另外两边是，，能构成三角形． 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中线分周长的差、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长，底边，根据中线分周长差为，可得，代入底边长，得到腰长为或，但腰不能构成三角形，据此即可解答． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴． 设腰长，底边． 则一部分周长为，另一部分为． 两部分的差为． 依题意，， ∴或，解得：或． 当时，三边为，由，不满足三角形三边关系，舍去． 当时，三边为，可以构成三角形． ∴周长． 故选B． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ACD为直角三角形，则∠BAD的度数为（　　） A．10° B．10°或50° C．40° D．10°或40° 【答案】B． 【分析】根据三角形内角和为180°知道等腰三角形的底角∠C不可能为直角，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：根据三角形内角和为180°知道等腰三角形的底角∠C不可能为直角， 当∠ADC是90°时，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°； 当∠CAD＝90°时， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝100°﹣90°＝10°； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键． 【变式1-3】【已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【答案】D． 【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案． 方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况． 【详解】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC， 如图（1），∠ABD＝60°， 则∠A＝30°； 如图（2），∠ABD＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°． 故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°． 方法2：①当为锐角三角形时可以画图， 高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°， ②当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°， ∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． ▌题型05 利用等腰三角形的性质证明 1. 证线段相等：等边对等边、三线合一平分底边、全等三角形对应边相等； 2. 证角相等：等边对等角、三线合一平分顶角、全等对应角相等； 3. 证垂直 / 平分线段 / 平分角：证明是等腰三角形，再用三线合一； 4. 通用思路：题目给出等腰，直接提供相等边、相等角，作为全等的条件完成证明。 【典例5】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ，即． 在和中， ， ． ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，先证明得出，再由等角对等边即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 【变式1-1】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC． 【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC． 【详解】解：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F． （1）求证：∠CBE＝∠BAD； （2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD． 【分析】（1）根据∠CBE+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，得出∠CBE＝∠CAD，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD＝∠BAD即可得证结论； （2）根据AAS证△BCE≌△AFE，得出AF＝BC，根据BC＝2BD，即可得证结论． 【详解】证明：（1）∵∠CBE+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠CAD， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CBE＝∠BAD； （2）由（1）知∠CBE＝∠CAD， 在△BCE和△AFE中， ， ∴△BCE≌△AFE（AAS）， ∴AF＝BC， ∵BC＝2BD， ∴AF＝2BD． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，AE⊥CD于点E． 求证：DC﹣DB＝2DE． 【分析】在CD上截取CM＝BD，AB与CD交于点O，只要证明△ABD≌△ACM，推出AD＝AM，再根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：如图，在CD上截取CM＝BD，AB与CD交于点O． ∵∠1＝∠BAC，∠DOB＝∠AOC， ∴∠ABD＝∠ACM， 在△ABD和△ACM中， ， ∴△ABD≌△ACM， ∴AD＝AM， ∵AE⊥DM， ∴DE＝EM， ∴CD﹣BD＝CM+DM﹣CM＝2DE． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． ▌题型06 等腰三角形中的个数问题 1. 找点构造等腰：定点 + 定线段，分三类找点：分别以线段两端点为顶点、以线段为底边找点； 2. 计数规则：按顺序分类查找，避免重复、漏数； 3. 判断依据：找到的点需满足三边能构成三角形，排除共线无效点； 4. 网格 / 坐标轴题型：利用距离相等、垂直、对称快速定位符合条件的点。 【典例6】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 【变式1-1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， 点、分别是和的中点，， 又，， ，， 、、是等腰三角形，， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为4个， 故选B． 【变式1-3】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． ▌题型07 等腰三角形的判定 1. 等角对等边：三角形两个内角相等，则这两个角对的边相等，三角形为等腰三角形（最常用）； 2. 两边相等：三角形两条边长相等，直接判定等腰三角形； 解题技巧 1. 先通过平行线、外角、全等推出一组角相等，再用等角对等边证等腰； 2. 通过线段等量代换，证明两条边相等判定等腰。 【典例7】（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）中，，的高与角平分线交于点F．    (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1) 证明：是的高， ， ， ， ， ． (2) 证明：由（1）得：， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的高、等腰三角形的判定： （1）利用角的等量代换即可求证结论； （2）根据角平分线的定义及等腰三角形的判定即可证结论； 熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】如图，已知 ，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1) 证明： ， ， 即 在和中， (2) 证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型08 等腰三角形的实际应用 1. 建模思路：将生活实物（支架、屋顶、河道、测量工具）抽象为等腰三角形； 2. 工具：等腰等边对等角、三线合一、三角形内角和； 3. 解题步骤：提取图中等腰条件→标注相等边、相等角→列等式计算长度 / 角度； 4. 实际限制：答案需符合现实长度、角度逻辑，舍去负数、不合理数值。 【典例8】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个“三等分角仪”由两根有凹槽的木条组成，两根木条在点O处相连，并可绕点O转动，点C固定，，点可在凹槽中滑动．图②是图①的简化图，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，解一元一次方程，等腰三角形性质等．根据题意设，继而得，，利用三角形内角和定理得，列式求解，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 【变式1-1】如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来 【答案】C． 【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，可得∠C＝∠NAC，即可证得BC＝AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里）， ∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°， ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°， ∴∠C＝∠NAC， ∴BC＝AB＝30海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式1-2】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为__________． 【答案】 【分析】作交于点，结合角平分线的判定定理得平分，结合平行线性质推得，即可根据等角对等边得解． 【详解】解：作交于点， 依题得：，，， 点在的平分线上，即平分， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的判定定理、平行线的性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 【变式1-3】如图，大海中有两个岛屿A与B，∠BEQ＝30°，在海岸线PQ上的点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°． （1）求证：AE＝AB； （2）若在海岸线PQ上的点E处测得∠AEP＝74°，求∠BAE的度数． 【分析】（1）根据条件可知∠AFB＝60°，进一步可证△FEA≌△FBA（SAS），即可得证； （2）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠BAE的度数． 【详解】（1）证明：∵∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°， ∴∠AFB＝60°， ∴∠AFE＝∠AFB， ∵∠BEQ＝30°， ∴∠EBF＝30°， ∴∠BEQ＝∠EBF， ∴FE＝FB， 在△FEA和△FBA中， ， ∴△FEA≌△FBA（SAS）， ∴AE＝AB； （2）解：∵∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°， ∴∠AEB＝76°， ∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB＝76°， ∴∠BAE＝28°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． ▌题型09 等腰三角形的性质与判定的综合应用 1. 完整逻辑链：判定等腰（等角对等边 / 两边相等）→使用等腰性质（等边对等角、三线合一）； 2. 常结合考点：全等三角形、平行线、折叠、动点； 3. 综合题型套路：先证等腰得到等角等边，再利用等角等边证明新的等腰三角形或求解线段角度； 4. 同时兼顾分类讨论，出现边长、角度不唯一时分类验证。 【典例9】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意可根据“”得到，然后问题可求证； （2）由题意可根据“”得到，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 【答案】(1) 证明： 平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． (2) 证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，推出，即可得证； （2）作，交于点，进而得到，三线合一，得到，证明，得到，进而推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）作，交于点， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC． （1）如图1，填空∠A＝　 　°，∠C＝　 　°． （2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E． ①求证：△BNE是等腰三角形； ②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DBA＝∠DBC∠ABC∠C，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD＝36°，根据垂直的定义得到∠BHN＝∠EHB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②由①知，BN＝BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠A＝∠DBC， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠DBA， ∴∠A＝∠DBA＝∠DBC∠ABC∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°，∠C＝72°； 故答案为：36，72； （2）①∵∠A＝∠ABD＝36°， ∠B＝∠C＝72°， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°， ∵BH⊥EN， ∴∠BHN＝∠EHB＝90°， 在△BNH与△BEH中， ， ∴△BNH≌△BEH， ∴BN＝BE， ∴△BNE是等腰三角形； ②CD＝AN+CE， 理由：由①知，BN＝BE， ∵AB＝AC， ∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE， ∵CE＝BE﹣BC， ∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC， ∴CD＝AN+CE． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 等腰三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用等腰三角形的性质求线段长 题型02 利用等腰三角形的性质求角度 题型03 等腰三角形中的多结论判断问题 题型04等腰三角形的分类讨论问题 题型05 利用等腰三角形的性质证明 题型06 等腰三角形中的个数问题 题型07等腰三角形的判定 题型08 等腰三角形的实际应用 题型09 等腰三角形的性质与判定的综合应用 ▌题型01 利用等腰三角形的性质求线段长 1. 核心性质：等腰三角形两腰相等，可直接等量代换线段； 2. 三线合一：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合，中线平分底边，能得到底边一半的长度； 3. 常用工具：线段和差、中点等分线段、全等三角形对应边相等； 4. 等量转移：结合平行线、折叠等条件，转换相等线段进行计算。 【典例1】如图，在中，和的平分线交于点O，过O点作，交于E，交于F，若，则线段的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求线段的长度． ▌题型02 利用等腰三角形的性质求角度 1. 基础定理：等边对等角，两底角相等； 2. 三线合一衍生角度：顶角平分线平分顶角，高与底边形成直角 90°； 3. 角度计算依据：三角形内角和 180°、平角 180°、外角等于不相邻两内角和、对顶角相等； 4. 辅助推导：平行线同位角、内错角相等，结合互余、互补列式求解。 【典例2】如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）梯形中，，，，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，点是边上的一点，且，延长至点，使得．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，中，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌题型03 等腰三角形中的多结论判断问题 1. 基础储备：等腰性质、判定、三线合一、全等三角形、角度线段关系； 2. 分类型判断思路： · 线段相等：找两腰相等、三线合一、全等对应边； · 角度相等：等边对等角、角平分线、全等对应角； · 垂直 / 平分：验证三线合一条件； · 图形判定：判断是否为等腰、直角三角形； 3. 做题技巧：逐个结论单独推导，动点题可取端点特殊值快速排除错误结论。 【典例3】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（　　） A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ▌题型04 等腰三角形的分类讨论问题 1. 边长分类：已知两边求周长，分两种情况 ——①已知边为腰 ②已知边为底，最后用三角形三边关系（两边之和大于第三边）舍去不合理情况； 2. 角度分类：已知一个内角求另外两角，分两种情况 ——①已知角是顶角 ②已知角是底角，底角不能≥90°； 3. 动点存在性分类：动点构成等腰三角形，分三条边分别为底边三种情况讨论； 4. 核心步骤：分类列举→验证三边关系 / 内角合理性→得出最终答案。 【典例4】已知等腰三角形的一边长为，周长为，则另两边长为（    ） A． B． C． D．或 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ACD为直角三角形，则∠BAD的度数为（　　） A．10° B．10°或50° C．40° D．10°或40° 【变式1-3】【已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° ▌题型05 利用等腰三角形的性质证明 1. 证线段相等：等边对等边、三线合一平分底边、全等三角形对应边相等； 2. 证角相等：等边对等角、三线合一平分顶角、全等对应角相等； 3. 证垂直 / 平分线段 / 平分角：证明是等腰三角形，再用三线合一； 4. 通用思路：题目给出等腰，直接提供相等边、相等角，作为全等的条件完成证明。 【典例5】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【变式1-1】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC． 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F． （1）求证：∠CBE＝∠BAD； （2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，AE⊥CD于点E． 求证：DC﹣DB＝2DE． ▌题型06 等腰三角形中的个数问题 1. 找点构造等腰：定点 + 定线段，分三类找点：分别以线段两端点为顶点、以线段为底边找点； 2. 计数规则：按顺序分类查找，避免重复、漏数； 3. 判断依据：找到的点需满足三边能构成三角形，排除共线无效点； 4. 网格 / 坐标轴题型：利用距离相等、垂直、对称快速定位符合条件的点。 【典例6】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式1-2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-3】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌题型07 等腰三角形的判定 1. 等角对等边：三角形两个内角相等，则这两个角对的边相等，三角形为等腰三角形（最常用）； 2. 两边相等：三角形两条边长相等，直接判定等腰三角形； 解题技巧 1. 先通过平行线、外角、全等推出一组角相等，再用等角对等边证等腰； 2. 通过线段等量代换，证明两条边相等判定等腰。 【典例7】（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）中，，的高与角平分线交于点F．    (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 【变式1-1】如图，已知 ，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【变式1-3】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． ▌题型08 等腰三角形的实际应用 1. 建模思路：将生活实物（支架、屋顶、河道、测量工具）抽象为等腰三角形； 2. 工具：等腰等边对等角、三线合一、三角形内角和； 3. 解题步骤：提取图中等腰条件→标注相等边、相等角→列等式计算长度 / 角度； 4. 实际限制：答案需符合现实长度、角度逻辑，舍去负数、不合理数值。 【典例8】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个“三等分角仪”由两根有凹槽的木条组成，两根木条在点O处相连，并可绕点O转动，点C固定，，点可在凹槽中滑动．图②是图①的简化图，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（　　） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．求不出来 【变式1-2】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为__________． 【变式1-3】如图，大海中有两个岛屿A与B，∠BEQ＝30°，在海岸线PQ上的点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°． （1）求证：AE＝AB； （2）若在海岸线PQ上的点E处测得∠AEP＝74°，求∠BAE的度数． ▌题型09 等腰三角形的性质与判定的综合应用 1. 完整逻辑链：判定等腰（等角对等边 / 两边相等）→使用等腰性质（等边对等角、三线合一）； 2. 常结合考点：全等三角形、平行线、折叠、动点； 3. 综合题型套路：先证等腰得到等角等边，再利用等角等边证明新的等腰三角形或求解线段角度； 4. 同时兼顾分类讨论，出现边长、角度不唯一时分类验证。 【典例9】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： (1)为等腰三角形； (2)． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，过延长线上一点作于点，交于点，已知为的中点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC． （1）如图1，填空∠A＝　 　°，∠C＝　 　°． （2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E． ①求证：△BNE是等腰三角形； ②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 等腰三角形的性质与判定 （题型突破·举一反三） 题型01 利用等腰三角形的性质求线段长 题型02 利用等腰三角形的性质求角度 题型03 等腰三角形中的多结论判断问题 题型04等腰三角形的分类讨论问题 题型05 利用等腰三角形的性质证明 题型06 等腰三角形中的个数问题 题型07等腰三角形的判定 题型08 等腰三角形的实际应用 题型09 等腰三角形的性质与判定的综合应用 ▌题型01 利用等腰三角形的性质求线段长 【典例1】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】C． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌题型02 利用等腰三角形的性质求角度 【典例2】【答案】A 【变式1-1】【答案】C． 【变式1-2】【答案】C． 【变式1-3】【答案】C． ▌题型03 等腰三角形中的多结论判断问题 【典例3】【答案】B 【变式1-1】【答案】C． 【变式1-2】【答案】C． 【变式1-3】【答案】D． ▌题型04 等腰三角形的分类讨论问题 【典例4】【答案】D． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】D． ▌题型05 利用等腰三角形的性质证明 【典例5】 【答案】 证明：， ，即． 在和中， ， ． ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，先证明得出，再由等角对等边即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 【变式1-1】 【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC． 【详解】解：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【变式1-2】 【分析】（1）根据∠CBE+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，得出∠CBE＝∠CAD，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD＝∠BAD即可得证结论； （2）根据AAS证△BCE≌△AFE，得出AF＝BC，根据BC＝2BD，即可得证结论． 【详解】证明：（1）∵∠CBE+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠CAD， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CBE＝∠BAD； （2）由（1）知∠CBE＝∠CAD， 在△BCE和△AFE中， ， ∴△BCE≌△AFE（AAS）， ∴AF＝BC， ∵BC＝2BD， ∴AF＝2BD． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1-3】 【分析】在CD上截取CM＝BD，AB与CD交于点O，只要证明△ABD≌△ACM，推出AD＝AM，再根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：如图，在CD上截取CM＝BD，AB与CD交于点O． ∵∠1＝∠BAC，∠DOB＝∠AOC， ∴∠ABD＝∠ACM， 在△ABD和△ACM中， ， ∴△ABD≌△ACM， ∴AD＝AM， ∵AE⊥DM， ∴DE＝EM， ∴CD﹣BD＝CM+DM﹣CM＝2DE． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． ▌题型06 等腰三角形中的个数问题 【典例6】【答案】D 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】C ▌题型07 等腰三角形的判定 【典例7】    【答案】(1) 证明：是的高， ， ， ， ， ． (2) 证明：由（1）得：， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的高、等腰三角形的判定： （1）利用角的等量代换即可求证结论； （2）根据角平分线的定义及等腰三角形的判定即可证结论； 熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1) 证明： ， ， 即 在和中， (2) 证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型08 等腰三角形的实际应用 【典例8】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【分析】（1）根据条件可知∠AFB＝60°，进一步可证△FEA≌△FBA（SAS），即可得证； （2）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠BAE的度数． 【详解】（1）证明：∵∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°， ∴∠AFB＝60°， ∴∠AFE＝∠AFB， ∵∠BEQ＝30°， ∴∠EBF＝30°， ∴∠BEQ＝∠EBF， ∴FE＝FB， 在△FEA和△FBA中， ， ∴△FEA≌△FBA（SAS）， ∴AE＝AB； （2）解：∵∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°， ∴∠AEB＝76°， ∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB＝76°， ∴∠BAE＝28°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． ▌题型09 等腰三角形的性质与判定的综合应用 【典例9】 【答案】(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意可根据“”得到，然后问题可求证； （2）由题意可根据“”得到，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1-1】 【答案】(1) 证明： 平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． (2) 证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，推出，即可得证； （2）作，交于点，进而得到，三线合一，得到，证明，得到，进而推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）作，交于点， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DBA＝∠DBC∠ABC∠C，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD＝36°，根据垂直的定义得到∠BHN＝∠EHB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②由①知，BN＝BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠A＝∠DBC， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠DBA， ∴∠A＝∠DBA＝∠DBC∠ABC∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°，∠C＝72°； 故答案为：36，72； （2）①∵∠A＝∠ABD＝36°， ∠B＝∠C＝72°， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°， ∵BH⊥EN， ∴∠BHN＝∠EHB＝90°， 在△BNH与△BEH中， ， ∴△BNH≌△BEH， ∴BN＝BE， ∴△BNE是等腰三角形； ②CD＝AN+CE， 理由：由①知，BN＝BE， ∵AB＝AC， ∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE， ∵CE＝BE﹣BC， ∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC， ∴CD＝AN+CE． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $