精品解析：河北省沧州市献县第一中学2025-2026学年高二年级上学期开学考数学试题

献县一中2025-2026学年下学期开学检查性考试 高二数学试卷 一.单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 6种 D. 12种 2. 已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. －2 B. 2 C. 3 D. 2或－2 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，则向量与的夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（ ） A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 二.多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）. A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的焦距为 C. D. 的周长为 9. 已知函数，则（ ）． A. 函数在点处的切线方程是 B. 函数的递减区间为 C. 函数存在最大值和最小值 D. 函数有三个实数解，则 三．填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10. 已知数列中，若是等差数列，则___________． 11. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________． 四．解答题：本题共4小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 13. 如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面. （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值 14. 已知双曲线过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程： （2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 献县一中2025-2026学年下学期开学检查性考试 高二数学试卷 一.单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 6种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】三个人排成一排，即3个元素的一个全排列，由公式即可得到答案. 【详解】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有 种 故选：C 2. 已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程求得，即得到结果. 【详解】将点代入，可得， 故的焦点到其准线的距离为1． 故选：B. 3. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. －2 B. 2 C. 3 D. 2或－2 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，即可求出公比. 【详解】设数列的公比为，因为为等比数列， 所以，所以， 所以，解得． 故选：B． 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再代入原函数进而求出. 【详解】因为，，所以， 所以，即，所以. 故选：A. 5. 已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出向量，然后利用点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又点在平面内，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，则向量与的夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆的方程：可以化为，圆心，半径，画出图象，结合图象，求得点在圆上运动时，向量与的夹角最值. 【详解】圆的方程：可以化为， 圆心，半径， 画出图象： 由图可知：向量与的夹角为， 当运动到与圆相切的位置时，最小， 当运动到与圆相切的位置时，最大， 又由图可得， ， ， . 向量与的夹角的取值范围是 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握圆的基础知识和向量夹角定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（ ） A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 【答案】B 【解析】 【分析】 观察数列的前4项，可得，将代入即可得解. 【详解】由题意得，，， 观察规律可得， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律. 二.多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）. A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的焦距为 C. D. 的周长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】解方程组求出即可判断选项，再利用通径公式判断选项，结合椭圆的定义判断选项. 【详解】由题意得，解得， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 因为焦点，在轴上，所以椭圆的方程为，故选项A正确； 因为，所以，则焦距，故选项B正确； 由通径长公式可得，，故选项C正确； 因为的周长，故选项D错误. 故选：ABC. 9. 已知函数，则（ ）． A. 函数在点处的切线方程是 B. 函数的递减区间为 C. 函数存在最大值和最小值 D. 函数有三个实数解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得，求得，利用导数进而得到函数的单调性与极值，画出函数的图象，结合图象，逐项求解判定，即可得结论. 【详解】由，得, 所以，又， 所以函数在点处的切线方程是， 即，故A正确； 令，可得，解得； 令，解得或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 且，， 当时，, 作出函数的图形，如图所示，可得A、B正确； 所以，无最大值，故C错误； 若方程有三个实数解，即与的图象有三个不同的交点， 可得，故D正确. .故选：ABD. 三．填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10. 已知数列中，若是等差数列，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】已知，则，则，所以； 因为是等差数列，其首项为，公差，可得； 即，由，可得，则. 11. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数和函数单调性的关系，转化为不等式，恒成立，再根据正弦函数的性质求最值. 【详解】，因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立．即在区间上恒成立，所以，， 因为，所以，当时，取得最大值， 所以，则的最小值为. 四．解答题：本题共4小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用化简可知，即可得证. （2）由（1）可知，所以，利用分组求和法计算即可求得. 【小问1详解】 由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列. 所以，即:. 所以数列的前n项和为： . 13. 如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面. （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，可知，，即可得到面，从而得证； （2）建立空间直线坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】解：（1）取的中点，连接、，因为与是全等的等边三角形，所以，，因为，面，所以面，因为面，所以 （2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则 14. 已知双曲线过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程： （2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义可求参数，再结合，从而可求双曲线标准方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，把向量问题转化为坐标问题，从而可化简求解为定值. 【小问1详解】 依题意，双曲线的左焦点为，由双曲线定义知， 双曲线的实轴长， 因此， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 由过点的直线与双曲线的右支交于两点， 则直线的斜率存在，且， 设直线的方程为：， 由，消去并整理得， 设，则， 而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以为定值． 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，没有极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值； （2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，得到函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最大值. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的极大值为，没有极小值. 【小问2详解】 由题意得. 若，当时，，在区间上单调递增， 此时的最大值为； 若，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 此时的最大值为； 若，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 此时的最大值为； 若，则，当时，，在区间上单调递增， 此时的最大值为. 综上可得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $