1.4 线段垂直平分线与角平分线 题型专练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线与角平分线，以“性质-判定-应用-作图”为主线，通过典例引领、变式训练构建系统性方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段垂直平分线|5题型/5典例|性质：垂直平分线上点到两端距离相等；判定：到两端距离相等的点在垂直平分线上；作图：尺规作垂直平分线|从性质直接应用到与全等三角形结合，再到判定及作图，形成“概念-性质-判定-应用”逻辑链| |角平分线|6题型/6典例|性质：角平分线上点到两边距离相等；判定：到两边距离相等的点在角平分线上；作图：尺规作角平分线|从性质应用到内角/外角平分线综合，再到判定及与垂直平分线结合，深化“性质-判定-综合应用”认知|

苏科版（2024）八年级上册 1.4 线段垂直平分线与角平分线 题型专练 【题型1】线段垂直平分线性质的简单应用 【典例】如图，AC=AD，BC=BD，则有(　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 【举一反三1】三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ） A. 到三边距离相等 B. 到三顶点距离相等 C. 不在第三边的垂直平分线上 D. 以上都不对 【举一反三2】如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（ ） A. 16cm B. 28cm C. 26cm D. 18cm 【举一反三3】如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是　　　.  【举一反三4】如图，在△ABC中，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足，△DAF的周长为16，求BC的长. 【举一反三5】[问题发现]根据轴对称的性质我们发现当点P在线段AB的垂直平分线上时PA＝PB，那么当点P不在线段AB垂直平分线上时，PA，PB大小如何判断呢？ [自主研究](1)如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，PA<PB，请证明这个结论； [迁移研究](2)如图②，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连接AD，BC，CD，试判断BC和AD＋CD之间的大小关系，并说明理由. 【题型2】线段垂直平分线的性质与全等三角形 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，线段BC的垂直平分线交斜边AB于D，图中相等的线段有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【举一反三1】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ） A. 63 B. 43 C. 6 D. 4 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（ ） A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 【举一反三3】∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是            度． 【举一反三4】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线. (1)若AC=6，△ABD的周长是13，求△ABC的周长； (2)若△ABC中，∠B=62°，∠C=36°，求∠BAD的度数. 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD交BE于点F.求证：BE垂直平分CD. 【题型3】线段垂直平分线的性质与角平分线 【典例】如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是　　　　. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE垂直平分AB，垂足为E，若DE=3，BD=6，则CD=　　        　，AD=　    　　，∠CAD=　　　.  【举一反三2】如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数． 【举一反三3】在锐角△ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的角平分线，且l与m相交于点P．若∠A=60°，∠ACP=24°，求∠ABP的度数． 【题型4】线段的垂直平分线的判定 【典例】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（　　） A. P是∠A与∠B两角平分线的交点 B. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C. P为AC、AB两边上的高的交点 D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 【举一反三1】到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的(　　) A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三边中线的交点 【举一反三2】如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=BC+AC，则C点在线段　　　　的垂直平分线上.  【举一反三3】如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD. 【题型5】线段的垂直平分线的判定与性质 【典例】线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（　　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 【举一反三1】下列说法： ①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB； ②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC；②AC垂直平分BD；③AC平分∠BAD，∠BCD；④BD平分∠ABC，∠ADC；⑤四边形ABCD的面积S=AC·BD.正确的是　　　.(填写所有正确结论的序号)  【举一反三3】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　　　　°. 【举一反三4】如图所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC延长线上一点，点E是AB上一点，且在BD的垂直平分线上，DE交AC于点F．求证：点E在AF的垂直平分线上． 【举一反三5】已知：如图所示，△ABC 中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点 P 在边 AC 的垂直平分线上． 【题型6】作线段的垂直平分线 【典例】如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　） A. 7 B. 14 C. 17 D. 20 【举一反三1】如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论： ①BD垂直平分AC； ②AC平分∠BAD； ③AC=BD； ④四边形ABCD是轴对称图形． 其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【举一反三2】如图，已知△ABC的周长为13，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与BC，AC交于D，E两点，若AE＝2，求△ABD的周长． 【举一反三3】(1)如图①，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C，D，过C，D两点作直线l.在l上取点P，作射线AP，连接BP.判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由；(3分) (2)如图②，点A，B在直线MN的同侧，请用无刻度的直尺和圆规，在直线MN上作点P，使得∠APM=∠BPN.(保留作图痕迹，不写作法)(3分) 【题型7】作线段的垂直平分线与角的平分线 【典例】如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是(　　) A.AF＝BF B.AE＝AC C.∠DBF＋∠DFB＝90° D.∠BAF＝∠EBC 【举一反三1】用三角尺可以画角平分线，如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线.小明发现说明此画法的合理性时需要证明△POM与△PON全等，其依据是(　　) A.SAS   B.SSS C.AAS   D.HL 【举一反三2】如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，则BD　　　　AC(填“>”“<”或“=”).  【举一反三3】如图，已知：∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　　　　　　. 【举一反三4】如图，求作点P，使点P同时满足：①PM=PN；②到BA，BC的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【举一反三5】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB.（不用写作法、但要保留作图痕迹） 【题型8】角平分线的性质 【典例】如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　) A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD 【举一反三1】如图，点P是△ABC的三条内角平分线的交点，若△ABC的周长为18 cm，面积为27 cm2，则点P到边BC的距离是(　　) A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 【举一反三2】如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，将∠ABC平移使顶点B与点O重合，两边与AC分别交于点D和E，若AC=7，则△ODE的周长为　　　.  【举一反三3】如图，OB平分∠MON，A是OB的中点，AE⊥ON，垂足为E，AE＝3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，求线段CD的最小值． 【举一反三4】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB.求证：BE=FD. 【题型9】三角形内角平分线与外角平分线的性质 【典例】如图，点O是△ABC两条内角平分线BM、CN的交点，下列判断错误的是（　　） A. 点O到△ABC三边距离相等 B. ∠OBC+∠OCB= C. ∠BOC-∠OAC=90° D. ∠BNC一定是钝角 【举一反三1】已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　） A. 40° B. 50° C. 55° D. 60° 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=16°，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，连接AE，则∠AEC的度数为　　　　.  【举一反三3】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　.  【题型10】角平分线的判定 【典例】如图，AB、CD两条公路相交于点O，小芳和小明的家分别在两条公路的M、N处，并且OM=ON，而学校P恰好在∠AOC的平分线上，学了角平分线的有关知识后，同学们对PM与PN的关系作出了如下判断，其中正确的是（　　） A. 一定相等 B. 一定不相等 C. 条件不够，无法判断，既可能相等，也可能不相等 D. 以上均不对 【举一反三1】如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　　） A. ∠1=∠2 B. ∠1＞∠2 C. ∠1＜∠2 D. 无法确定 【举一反三2】如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 【举一反三3】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线． 【题型11】角平分线的性质与判定综合 【典例】如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知C村在∠BAD的角平分线上，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　） A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km 【举一反三1】如图，有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　) A. △ABC三条边的垂直平分线的交点上 B. △ABC三条角平分线的交点上 C. △ABC三条高所在直线的交点上 D. △ABC三条中线的交点上 【举一反三2】如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（　　） A. 在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等 【举一反三3】如图，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，若BD=DC，∠BAC=120°，则∠BAD的度数是　　　　　.  【举一反三4】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有________处． 【举一反三5】如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P， (1)在图1中，分别画出点P到边AC，BC，BA的垂线段PF，PG，PH，请你判断这三条线段是否相等，并说明理由． (2)在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由． 【举一反三6】如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由． 苏科版（2024）八年级上册 1.4 线段垂直平分线与角平分线 题型专练（参考答案） 【题型1】线段垂直平分线性质的简单应用 【典例】如图，AC=AD，BC=BD，则有(　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 【答案】A 【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD. 【举一反三1】三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ） A. 到三边距离相等 B. 到三顶点距离相等 C. 不在第三边的垂直平分线上 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】如图：连接OA、OB、OC， ∵O为△ABC两边BC、AC的垂直平分线的交点， ∴OB=OC，OA=OC， ∴OA=OB=OC， ∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等， 三角形的三角的平分线的交点到三角形的三边距离相等， 即选项A、C、D错误，只有选项B正确， 故选B． 【举一反三2】如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（ ） A. 16cm B. 28cm C. 26cm D. 18cm 【答案】D 【解析】因为DE是△ABC中AC边的垂直平分线， 所以AE=CE,所以△EBC的周长=BC+BE+CE=BC+BA=8+10=18cm. 故选D． 【举一反三3】如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是　　　.  【答案】40° 【解析】∵∠BAC=110°， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC=70°， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴BP=AP，CQ=AQ， ∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C， ∴∠PAB+∠QAC=∠C+∠B=70°， ∴∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠CAQ)=40°. 【举一反三4】如图，在△ABC中，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足，△DAF的周长为16，求BC的长. 【答案】解　∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线， ∴BD=AD，CF=AF， ∵△DAF的周长为16， ∴AD+DF+AF=16， ∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF=16. 【举一反三5】[问题发现]根据轴对称的性质我们发现当点P在线段AB的垂直平分线上时PA＝PB，那么当点P不在线段AB垂直平分线上时，PA，PB大小如何判断呢？ [自主研究](1)如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，PA<PB，请证明这个结论； [迁移研究](2)如图②，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连接AD，BC，CD，试判断BC和AD＋CD之间的大小关系，并说明理由. 【答案】 (1)证明　如图①，连接PB交l于点M，连接PA，AM， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∴PB＝PM＋MB＝PM＋AM， ∵PM＋AM>PA， ∴PA<PB. (2)解　如图②，AD＋CD≥BC，理由如下： 当D不在线段BC上时，连接BD， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵BD＋CD>BC， ∴AD＋CD>BC， 当D在线段BC上时，AD＋CD＝BC， 综上可知，AD＋CD≥BC. 【题型2】线段垂直平分线的性质与全等三角形 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，线段BC的垂直平分线交斜边AB于D，图中相等的线段有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】D 【解析】∵BC的中垂线交斜边AB于D，CD=BD，CE=BE，∠DEC=∠DEB=90° ，∴Rt△DCE≌Rt△DBE，∴∠B=∠BCD，又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠A=∠ACD，∴AD=CD，∴AD=BD，共4组． 故选D． 【举一反三1】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ） A. 63 B. 43 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE， ∵ED垂直平分AB于D， ∴EA=EB，AD=BD，∠EDA=∠EDB=90°， ∴Rt△EAD≌Rt△EBD，∴∠A=∠ABE， ∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6． 故选C． 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（ ） A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA=DB，EA=EB，∠AED=∠AEB=90°， ∴Rt△DAE≌Rt△DBE，∴∠B=∠BAD， ∵∠CAD：∠DAB=2：1， ∴4∠B=90°，∴∠B=22.5°，故选B. 【举一反三3】∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是            度． 【答案】115 【解析】∵AD垂直且平分BC于点，∴EB=EC，BD=CD，∠BDE=∠CDE=90°， ∴Rt△BDE≌Rt△CDE， ∴∠DBE=∠DCE， 又∵∠ABC=50°，BE为∠ABC的平分线， ∴∠C=∠EBC=12×50°=25°， ∴∠AEC=∠C+∠EDC=90°+25°=115°. 【举一反三4】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线. (1)若AC=6，△ABD的周长是13，求△ABC的周长； (2)若△ABC中，∠B=62°，∠C=36°，求∠BAD的度数. 【答案】解　(1)∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∵△ABD的周长是13， ∴AB+DA+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19. (2)在△ABC中，∠B=62°，∠C=36°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=82°， ∵DA=DC，DE=DE， ∴Rt△DAERt△DCE， ∴∠DAC=∠C=36°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46°. 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD交BE于点F.求证：BE垂直平分CD. 【答案】证明　∵∠ACB=90°，且DE⊥AB， ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ∴Rt△EBCRt△EBD(HL)， ∴EC=ED， ∴点E在CD的垂直平分线上， ∵BD=BC， ∴点B在CD的垂直平分线上， ∴BE垂直平分CD. 【题型3】线段垂直平分线的性质与角平分线 【典例】如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是　　　　. 【答案】 42 【解析】 如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OE＝OF＝OD＝4， ∵△ABC的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4， ∴S△ABC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF ＝(AB＋BC＋AC)×4 ＝×21×4 ＝42. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE垂直平分AB，垂足为E，若DE=3，BD=6，则CD=　　        　，AD=　    　　，∠CAD=　　　.  【答案】3　6　30° 【解析】根据题意得CD=DE=3(角平分线上的点到角两边的距离相等)，AD=BD=6(垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)，因为∠CAD=∠DAE=∠B，并且∠CAD+∠DAE+∠B=90°，所以∠CAD=30°. 【举一反三2】如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数． 【答案】解 ∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，DE⊥AB， ∴∠AED=∠BED， ∴△AED≌△BED， ∴∠DAE=∠B， ∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D， ∴∠DAE=（90°﹣∠B）=∠B， ∴3∠B=90°， ∴∠B=30°． 【举一反三3】在锐角△ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的角平分线，且l与m相交于点P．若∠A=60°，∠ACP=24°，求∠ABP的度数． 【答案】解 ∵直线m为∠ABC的角平分线， ∴∠ABP=∠CBP， ∵直线l为BC的垂直平分线，设垂足为D， ∴PB=PC，∠PBC=∠PCB，DB=DC， ∴Rt△BDP≌Rt△CDP. ∴∠CBP=∠BCP， ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP， 在锐角△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°， 又已知∠A=60°，∠ACP=24°， ∴∠ABP=32°. 【题型4】线段的垂直平分线的判定 【典例】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（　　） A. P是∠A与∠B两角平分线的交点 B. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C. P为AC、AB两边上的高的交点 D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等，∴点P在∠A的角平分线上， 又∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． 即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选B． 【举一反三1】到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的(　　) A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三边中线的交点 【答案】B 【解析】∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这条边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点. 【举一反三2】如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=BC+AC，则C点在线段　　　　的垂直平分线上.  【答案】AD 【解析】∵BD=BC+AC， 而BD=BC+CD， ∴AC=CD， ∴点C在AD的垂直平分线上. 【举一反三3】如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD. 【答案】证明 ∵∠AOB=∠COD，OA=OC，∠A=∠C， ∴△AOB≌△COD， ∴OB=OD，又BE=DE， ∴OE垂直平分BD. 【题型5】线段的垂直平分线的判定与性质 【典例】线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（　　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 【答案】C 【解析】由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，所以AM=BM，∠AMD=∠BMD=90°，从而可证Rt△AMD≌Rt△BMD、Rt△AMC≌Rt△BMC，所以∠ACB=2∠ACM=2（∠ADM+∠CAD）=2×（12∠ADB+10°）=2×（12×80°+10°）=100°.故本题选C. 【举一反三1】下列说法： ①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB； ②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理， ①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的； ②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合判定定理，是正确的； ③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合判定定理，是正确的； ④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合判定定理，是错误的； 所以正确的是①②③三个． 故选C． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC；②AC垂直平分BD；③AC平分∠BAD，∠BCD；④BD平分∠ABC，∠ADC；⑤四边形ABCD的面积S=AC·BD.正确的是　　　.(填写所有正确结论的序号)  【答案】①②③⑤ 【解析】∵AB=AD，CB=CD，AC=AC， ∴△ABC△ADC(SSS)， ∴∠ABC=∠ADC，①正确； ∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，即AC平分∠BAD，∠BCD，③正确； 又∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AO=AO， ∴△ABOADO(SAS)， ∴∠AOB=∠AOD=90°，BO=DO，即AC垂直平分BD，②正确； ∴四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC·BD， ⑤正确， 综上，①②③⑤正确，④BD平分∠ABC，∠ADC，无法判断. 【举一反三3】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　　　　°. 【答案】 35 【解析】 作MN⊥AD于点N. ∵∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°－∠ADC＝70°. ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC. ∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又∵MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°. 【举一反三4】如图所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC延长线上一点，点E是AB上一点，且在BD的垂直平分线上，DE交AC于点F．求证：点E在AF的垂直平分线上． 【答案】证明 ∵点E在 BD的垂直平分线上， ∴ BE=DE，∠B=∠D． ∵ ∠ACB=90°， ∴ ∠ACD=90°． ∴ ∠B+∠A=90°，∠D+∠DFC=90°， ∴ ∠A=∠DFC． 又∵ ∠DFC=∠AFE， ∴ ∠A=∠AFE， ∴ AE=EF． ∴点E在AF 的垂直平分线上． 【举一反三5】已知：如图所示，△ABC 中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点 P 在边 AC 的垂直平分线上． 【答案】证明 连接 AP，BP，CP． ∵点P在边AB的垂直平分线上， ∴ AP=BP．又点P在边 BC 的垂直平分线上， ∴ BP=CP． ∴ AP=CP， ∴点P在边AC的垂直平分线上． 【题型6】作线段的垂直平分线 【典例】如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　） A. 7 B. 14 C. 17 D. 20 【答案】C 【解析】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．∴MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△ADC的周长为10，∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，∵AB=7，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．故选C． 【举一反三1】如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论： ①BD垂直平分AC； ②AC平分∠BAD； ③AC=BD； ④四边形ABCD是轴对称图形． 其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，∴AB=BC，∴BD垂直平分AC，故此小题正确；②在△ABC与△ADC中，∵AB=AD，BC =CD，AC=AC∴△ABC≌△ADC（SSS），∴AC平分∠BAD，故此小题正确；③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；④很显然，四边形ABCD是轴对称图形，故此小题正确．故选C． 【举一反三2】如图，已知△ABC的周长为13，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与BC，AC交于D，E两点，若AE＝2，求△ABD的周长． 【答案】解 由题图可知，DE垂直平分线段AC， ∴DA＝DC，AE＝EC， ∵AB＋BC＋AC＝13，AC＝2AE＝4， ∴AB＋BC＝9， ∴△ABD的周长＝AB＋BD＋DA＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝9. 【举一反三3】(1)如图①，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C，D，过C，D两点作直线l.在l上取点P，作射线AP，连接BP.判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由；(3分) (2)如图②，点A，B在直线MN的同侧，请用无刻度的直尺和圆规，在直线MN上作点P，使得∠APM=∠BPN.(保留作图痕迹，不写作法)(3分) 【答案】解　(1)∠1=∠2. 理由如下：如图， ∵由作图可知，直线l是线段AB的垂直平分线， ∴PA=PB，l⊥AB， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2. (2)如图，作A点关于MN的对称点A'，连接BA'交MN于P点， 则P点即为所作. 【题型7】作线段的垂直平分线与角的平分线 【典例】如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是(　　) A.AF＝BF B.AE＝AC C.∠DBF＋∠DFB＝90° D.∠BAF＝∠EBC 【答案】B 【解析】 根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC的平分线， ∴AF＝BF，∠BDF＝∠ADF＝90°，∠ABF＝∠CBE， ∴Rt△ADFRt△BDF，∠DBF＋∠DFB＝90°， ∴∠DAF＝∠DBF， ∴∠BAF＝∠EBC， 综上，正确的是A，C，D选项. 【举一反三1】用三角尺可以画角平分线，如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线.小明发现说明此画法的合理性时需要证明△POM与△PON全等，其依据是(　　) A.SAS   B.SSS C.AAS   D.HL 【答案】D 【解析】 由题意得OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°， ∵OP＝OP， ∴Rt△POMRt△PON(HL). ∴∠POM＝∠PON，即OP为∠AOB的平分线. 【举一反三2】如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，则BD　　　　AC(填“>”“<”或“=”).  【答案】= 【解析】由作图步骤①可得，直线MN是线段BC的垂直平分线，∵点D在MN上， ∴BD=CD.又∵CD=AC，∴BD=AC. 【举一反三3】如图，已知：∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　　　　　　. 【答案】 【解析】 ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠F＝∠AED＝∠BED＝90°，∠FAD＝∠EAD， ∴△ADF△ADE， ∴AE＝AF， 如图，连接CD，BD， ∵DG垂直平分BC， ∴DC＝BD， 又∵DE＝DF，∠F＝∠BED＝90°， ∴Rt△CDFRt△BDE(HL)， ∴BE＝CF， ∵AB＝AE＋BE＝AF＋BE＝AC＋CF＋BE＝AC＋2BE， ∵AB＝6，AC＝3， ∴BE＝. 【举一反三4】如图，求作点P，使点P同时满足：①PM=PN；②到BA，BC的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】解 如图，点P为所作． 【举一反三5】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB.（不用写作法、但要保留作图痕迹） 【答案】解 如图，作∠A的平分线AE和线段AB的垂直平分线MN，交点即为所要求作的点P． 【题型8】角平分线的性质 【典例】如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　) A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD 【答案】B 【解析】已知OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，根据角平分线的性质可得PC=PD，A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，OP=OP，PC=PD，由HL可判定Rt△OCPRt△ODP，根据全等三角形的性质可得∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C，D正确.不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误. 【举一反三1】如图，点P是△ABC的三条内角平分线的交点，若△ABC的周长为18 cm，面积为27 cm2，则点P到边BC的距离是(　　) A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 【答案】A 【解析】过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图， ∵点P是△ABC的内角平分线的交点， ∴PE=PF=PD， 又△ABC的周长为18 cm，面积为27 cm2， ∴S△ABC=AB·PD+BC·PE+AC·PF=PE(AB+BC+AC)， ∴×18×PE=27， ∴PE=3 cm， ∴点P到边BC的距离是3 cm. 【举一反三2】如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，将∠ABC平移使顶点B与点O重合，两边与AC分别交于点D和E，若AC=7，则△ODE的周长为　　　.  【答案】7 【解析】如图，连接AO和CO， 由平移可得，OD∥AB，OE∥BC， ∴∠BAO=∠AOD，∠BCO=∠COE， ∵点O是△ABC三条角平分线的交点， ∴AO，CO分别平分∠BAC和∠BCA， ∴∠BAO=∠OAD，∠BCO=∠OCE， ∴∠OAD=∠AOD，∠OCE=∠COE， ∴DA=DO，EC=EO， ∴ODE的周长为DO+EO+DE=DA+DE+EC=AC=7. 【举一反三3】如图，OB平分∠MON，A是OB的中点，AE⊥ON，垂足为E，AE＝3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，求线段CD的最小值． 【答案】解 ∵BC∥OM， ∴∠DOA＝∠CBA. ∵A为OB的中点，∴AB＝AO. 在△ACB与△ADO中， ∴△ACB≌△ADO(ASA)， ∴AC＝AD， ∴CD＝2AD. ∴求线段CD的最小值，即求线段AD的最小值， 当AD⊥OM时，AD的值最小． ∵OB平分∠MON，AD⊥OM，AE⊥ON， ∴AD＝AE＝3， ∴CD＝2AD＝6，即线段CD的最小值为6. 【举一反三4】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB.求证：BE=FD. 【答案】证明　∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD=CE， 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ∴Rt△CBERt△CFD(HL)， ∴BE=FD. 【题型9】三角形内角平分线与外角平分线的性质 【典例】如图，点O是△ABC两条内角平分线BM、CN的交点，下列判断错误的是（　　） A. 点O到△ABC三边距离相等 B. ∠OBC+∠OCB= C. ∠BOC-∠OAC=90° D. ∠BNC一定是钝角 【答案】D 【解析】A.∵点O是△ABC两条内角平分线BM、CN的交点，∴点O到△ABC三边距离相等，故本选项正确； B.∵点O是△ABC两条内角平分线BM、CN的交点， ∴OA是∠BAC的平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠BAC），故本选项正确； C.∵点O是△ABC两条内角平分线BM、CN的交点， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠BAC）=90°-∠OAC， ∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠OAC， ∴∠BOC-∠OAC=90°，故本选项正确； D.当∠ABC是钝角时，∠BNC一定是锐角，故本选项错误． 故选D． 【举一反三1】已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　） A. 40° B. 50° C. 55° D. 60° 【答案】B 【解析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W， ∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB， ∴FZ=FW， 同理FW=FY， ∴FZ=FY，FZ⊥AE，FY⊥CB， ∴∠FCZ=∠FCY， ∵∠AFB=40°， ∴∠ACB=80°， ∴∠ZCY=100°， ∴∠BCF=50°． 故选B． 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=16°，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，连接AE，则∠AEC的度数为　　　　.  【答案】37° 【解析】如图，过点E分别作EF⊥AC于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N， ∵EC是∠ACB的平分线，EB是∠ABD的平分线， ∴EF=EN，EM=EN， ∴EF=EM， ∵EF⊥AC，EM⊥AB，EF=EM， ∴Rt△AEFRt△AEM， ∴∠EAF=∠EAM， ∴EA是∠BAC的外角平分线， ∴∠EAB==82°， ∴在△AEC中， ∠AEC=180°-(∠EAC+∠ACE)=180°-(82°+16°+45°)=180°-143°=37°. 【举一反三3】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　.  【答案】120° 【解析】∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴点O是三个角的平分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=(180°-60°)=60°， 在△BCO中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°. 【题型10】角平分线的判定 【典例】如图，AB、CD两条公路相交于点O，小芳和小明的家分别在两条公路的M、N处，并且OM=ON，而学校P恰好在∠AOC的平分线上，学了角平分线的有关知识后，同学们对PM与PN的关系作出了如下判断，其中正确的是（　　） A. 一定相等 B. 一定不相等 C. 条件不够，无法判断，既可能相等，也可能不相等 D. 以上均不对 【答案】A 【解析】连接MP，MN，∵OM=ON，∠MOP=∠NOP，OP=OP，∴△MOP≌△NOP（SAS）， ∴PM=PN．故选A． 【举一反三1】如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　　） A. ∠1=∠2 B. ∠1＞∠2 C. ∠1＜∠2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，∴∠ACP=∠BDP，∠APC=∠BPD，PA=PB，∴△ACP≌△BDP ∴CP=DP，∴OP是角AOB的平分线，∴∠1=∠2．故选A． 【举一反三2】如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 【答案】证明 ∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED=∠CFD， ∴△BDE与△CDF是直角三角形， ∵， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE=DF， ∴AD是∠BAC的平分线． 【举一反三3】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线． 【答案】证明 在Rt△PFD和Rt△PGE中，， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）， ∴PD=PE， ∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线． 【题型11】角平分线的性质与判定综合 【典例】如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，C村的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知C村在∠BAD的角平分线上，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　） A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km 【答案】B 【解析】∵C村在∠DAB的平分线上，C村到公路l1的距离为4km，∴C村到公路l2的距离也是4km．故选B． 【举一反三1】如图，有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　) A. △ABC三条边的垂直平分线的交点上 B. △ABC三条角平分线的交点上 C. △ABC三条高所在直线的交点上 D. △ABC三条中线的交点上 【答案】B 【解析】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上． 【举一反三2】如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（　　） A. 在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等 【答案】A 【解析】∵∠M=∠N=90°，BM=BN，∴BP平分∠DPE，∴∠DBP=∠EBP，∵DP∥BC，PE∥BD，∴∠DPB=∠PBE，∠EPB=∠DBP，∴∠DBP=∠EBC. 即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故选A． 【举一反三3】如图，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，若BD=DC，∠BAC=120°，则∠BAD的度数是　　　　　.  【答案】60° 【解析】∵DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC， ∴AD为∠BAC的平分线. ∴∠BAD=∠BAC=60°. 【举一反三4】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有________处． 【答案】4 【解析】如图所示，这个超市可以在△ABC三条角平分线的交点P1处及任意两外角的角平分线的交点P2，P3，P4处，共4个地方． 【举一反三5】如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P， (1)在图1中，分别画出点P到边AC，BC，BA的垂线段PF，PG，PH，请你判断这三条线段是否相等，并说明理由． (2)在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解 (1)所作垂线段PF，PG，PH如图所示， PF＝PG＝PH.理由如下： ∵AD平分∠CAB，PF⊥AC，PH⊥AB， ∴PF＝PH. ∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB， ∴PG＝PH.∴PF＝PG＝PH. (2)PE＝PD.理由如下： ∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴∠CAB＝30°. ∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝15°，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝45°. 如图，过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F，G，则∠PFE＝∠PGD＝90°. ∵∠PDG＝∠C＋∠CAD＝60°＋15°＝75°，∠PEF＝∠CAB＋∠ABE＝30°＋45°＝75°， ∴∠PEF＝∠PDG. 由(1)得PF＝PG， 在△PFE和△PGD中， ∴△PFE≌△PGD(AAS)．∴PE＝PD. 【举一反三6】如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由． 【答案】解 当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由如下： ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 在△DEB和△DFC中， ∴△DEB≌△DFC(AAS)． ∴DE＝DF. ∴AD平分∠BAC. 学科网（北京）股份有限公司 $