专题1.5 垂直平分线和角平分线的性质《知识解读·题型专练》2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦垂直平分线和角平分线性质，以题型分类构建从性质应用到综合判定的训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂直平分线|19题|含求长度、角度、面积，判定及尺规作图|从性质直接应用到逆向判定，结合作图操作，形成“性质-应用-判定”逻辑链| |角平分线|29题|含求长度、面积、角度，判定、应用及综合证明|从单一性质应用到与判定结合，融入实际情境，体现“性质-判定-综合应用”递进关系|

专题1.5 垂直平分线和角平分线的性质（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 ·题型·1·根据垂直平分线的性质求长度 1 题型·2·根据垂直平分线的性质求角度 4 题型 3·根据垂直平分线的性质求面积 7 题型·4·判断是垂直平分线 10 题型·5…尺规作垂直平分线 13 题型·7.·利用角平分线的性质求长度 17 题型·8·利用角平分线的性质求面积 21 题型·9-利用角平分线的性质求角度 26 题型·10·角平分线的判定 31 题型·11角平分线的应用 35 题型·12·角平分线的判定与性质的综合 37 ·题型·1·根据垂直平分线的性质求长度 1．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 3．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，的周长是，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到、，将周长进行等量代换得，再由求出，结合得到，相加求出周长． 【详解】解：，垂直平分，则， 的周长是， ， ，即， ， ， ， 的周长为． 4．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质，结合三角形的周长公式，推出，，即可得出结果. 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∵的周长为7，的周长为15， ∴， ∴. 题型·2·根据垂直平分线的性质求角度 5．如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握角平分线的判定；先根据角平分线的判定得到角相等，再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形得到角相等，进而得到答案； 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∵ ，， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分的性质以及全等三角形的判定与性质，先根据垂直平分，证明，即可作答． 【详解】解：因为垂直平分， 所以，， 因为， 所以， 则， 故选：B． 8．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设，根据垂直平分线的性质得到，得到，根据得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 的垂直平分线交于点D， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ． 故选D． 9．如图，中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理可得，根据垂直平分线可得，根据等边对等角可得，即可求出结果． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，求出． 题型 3·根据垂直平分线的性质求面积 10．如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长大于为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接已知的面积比的面积小，则的面积为（　　）    A．4 B．3.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据尺规作图可知点是的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线， 点是的中点， ， ， ，即的面积为4， 故选：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形的面积计算，掌握线段垂直平分线的概念、三角形的面积公式是解题的关键． 11．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点G，连结，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．18 B．20 C．22 D．36 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 12．如图，中，，，DE是BC边上的垂直平分线，的周长为，则的面积是（    ）． A．12 B．24 C．48 D．16 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得出，题目已知，即，可求出，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】DE是BC边上的垂直平分线， ， ，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积和垂直平分线的性质，注意：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 13．如图，在中，，AD平分，DE垂直平分AC，若的面积等于2，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由题意可判定≌，≌，从而由的面积可得的面积，故可得的面积 【详解】解：由题意： 中，，AD平分，DE垂直平分AC，可得： 在与中， ，，AD=AD ∴≌ 在与中 AD=CD，AE=CE，DE=DE ∴≌ ∵的面积等于2 ∴的面积等于1 ∴的面积为3 故选：B 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理 题型·4·判断是垂直平分线 14．已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【答案】证明：如图，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 同理：， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴边的垂直平分线经过点P． 【分析】如图，连接，利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即点 P在线段的垂直平分线上，从而证明结论． 【详解】略 15．如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键； （1）根据证明即可； （2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． （2）解：垂直平分，理由如下： ， ∴点D在线段的垂直平分线上． ， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 16．如图，在中，是边上一点，于点交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握是解题关键 （1）根据直角三角形全等的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 17．在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． 求证：点D在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，连接，，过点D作于E，作交的延长线于F，证明，进一步证明，从而可得结论． 【详解】证明：连接，， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点D作于E，作交的延长线于F， ， 在和中， ， ∴ ， ∴点D在的垂直平分线上． 题型·5…尺规作垂直平分线 18．如图，在中，，，． (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求线段的长． 【答案】(1) 如图，直线即为所求，    (2)线段长 【分析】按照垂直平分线的作图方法作图即可， 设，在中应用勾股定理，即可求出的长度， 本题考查了尺规作图中的垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是：根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略 （2）连接，   是的垂直平分线， ， ，，， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为：线段长． ， 19．已知：如图，在中； (1)求作的边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 证明：如图所示，连接， ∵线段和线段的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质与判定定理，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，再由线段垂直平分线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，已知，请你用尺规作图的方法在边上求作一点P，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】 解：如图，点P即为所求作．    【分析】本题考查了线段的垂直平分线的作法．作线段的垂直平分线交于点P，连接即可．解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定． 【详解】略 题型·7.·利用角平分线的性质求长度 21．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，由角平分线的性质得，，证明得，而，则，证明得，再分两种情况讨论，一是点在线段上，则，二是点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为上一点，点是线段上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图1，点在线段上， 此时； 如图2，点在线段的延长线上， ， 此时， 综上所述，的长度为或． 22．如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】过点D作于点E，首先利用三角形面积求出，然后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴． 23．如图，是中的平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先作辅助线，根据角平分线性质得到；计算的面积，用的总面积减去该面积得到的面积；最后根据三角形面积公式列方程求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴． 24．如图，在中，，平分，是边上的一点，且．若，，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质和证明三角形全等是关键．过点D作于点，证明，则，证明，得到，得到，即可得到的长． 【详解】解：过点D作于点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：C 25．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件及，可推导出且，进而得出，代入数据求解即可． 【详解】解：， ， 平分，， ， 同理，， ， 平分，， ， ， ， ， ． 题型·8·利用角平分线的性质求面积 26．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】过点D作于点E，由角平分线的定义得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∵， ∴． 27．如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知，是的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等．过作，则；的面积可拆分为与面积之和，分别用底、和高、计算相加即可． 【详解】解：过点作于． 由尺规作图过程可得：平分， ，，根据角平分线性质： ． 的面积， ， ， ． 28．如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C．10 D．15 【答案】D 【分析】因为是的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点到、的距离相等，即和的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底和的长度比，结合已知与的比例，可得到和的面积比；因为的面积是和的面积之和，所以结合总面积和两个三角形的面积比，可求出的面积． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 又∵的总面积， ∴， ∴， 解得． 29．如图，的周长是20，分别平分和于点，且3，则的面积是（   ） A．30 B．25 C．60 D．40 【答案】A 【分析】过点O作于E，于F，连接，得出，根据求出结论即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于E，于F，连接， 分别平分和，， ， 的周长是20， ， ． 30．如图，在中，和的平分线交于点，，．若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，点是和 的平分线交点，因此点到、两边的距离相等．利用的面积求出高，再代入的面积公式计算． 【详解】解：过点作于，于． ∵是和的平分线交点， ∴． 已知的面积为，， 由面积公式 得： ． 解得：． 因此． 对于，，高， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了知识点角平分线的性质、三角形面积公式，解题关键是利用角平分线的性质得到点到、的距离相等，从而通过已知面积求出高，再计算目标三角形的面积． 题型·9-利用角平分线的性质求角度 31．如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，根据角平分线的性质可得，然后分当在点右侧时，当在点左侧时两种情况，分别通过全等三角形的判定与性质即可求解，掌握以上知识点及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵是的平分线， ∴， 当在点右侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴，即， 当在点左侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或， 故选：． 32．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【详解】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．如图，平分，，，于D，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图，作于T．由，推出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于T． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．如图，在中，，是的平分线，， 垂足为点E， 点P为线段上一动点．若，点 P 为线段的垂直平分线与的交点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据点 P 为线段的垂直平分线与的交点，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，证明，得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵点 P 为线段的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 35．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 题型·10·角平分线的判定 36．如图，于点C，于点D，，Q是上一点，于点E，于点F，求证：． 【答案】 证明： ，于点C，于点D， 是的平分线， 又 于点E，于点F， ． 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键．根据角平分线的判定定理得到是的平分线，根据角平分线的性质定理证明结论． 【详解】略 37．如图，，交的延长线于点，，于点，且．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，首先利用证明，根据全等三角形的性质可证，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立． 【详解】证明：，， ， 在和中，， ， ， 是的平分线． 38．如图，中，，分别是边，延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 【答案】 证明：过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵于点，于点 ∴平分． 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键．过点P作于点，过点P作于点，过点P作于点，根据角平分线的性质得到，则，再根据角平分线的判定进行证明即可． 【详解】略 39．如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴． ∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵，， ∴是的平分线， 即平分． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定、等角对等边等知识，证明是关键．证明，得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】略 40．已知：如图，于点，于点，和交于点，．求证：点在的平分线上． 【答案】 证明：∵于点，于点， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， 又于点，于点， ∴点在的平分线上． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定，掌握证明的方法是关键； 先证明 ，得到，即可得出结论． 【详解】略 题型·11角平分线的应用 41．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 42．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（     ）种    A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的应用，三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】解：∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点，    过点P作于，于，于， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 43．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设点O到BC的距离为x，根据角平分线的性质定理可得点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，再根据，即可求解． 【详解】解：设点O到BC的距离为x， ∵O是△ABC的角平分线的交点， ∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x， ∵△ABC的面积为24，周长为24， ∴， 解得：x=2． 即点O到BC的距离为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键． 题型·12·角平分线的判定与性质的综合 44．如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明： ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； （2）根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可得的长度． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 45．如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由角平分线的判定定理即可证明； （2）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵，， ∴平分． （2）证明：∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵ ∴． 46．如图，点，分别在射线，上，点在的内部，，，，垂足分别为，，． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明： ，， ，， 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）证明出，得到，即可得到平分； （2）证明出，得到，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， ． 47．如图，在中，，，垂足为，点在上，，． (1)求证：平分； (2)若，，且的面积等于，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理． （1）根据题意先证明，再根据角平分线的判定定理即可证明的平分； （2）利用，结合，即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解： ， ，即， ． 48．如图，在四边形中，，为的中点，且平分．求证： (1)平分； (2)； (3)若，，求． 【答案】(1) 证明：过点作于， ∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； (2) 证明：由（1）得， 在和中， ∴， ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点作于，根据角平分线性质得；根据中点得进而得，再根据角平分线的判定得 平分； （2）根据“”证明和得和，根据，即可得证； （3）根据和得和，代入已知 ,即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可得，， ∴ ， ， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.5垂直平分线和角平分线的性质（专题训练) 【新教材苏科版】 题型归纳 题型1根据垂直平分线的性质求长度： .1 题型2根据垂直平分线的性质求角度， …2 题型3·根据垂直平分线的性质求面积 .4 题型4判断是垂直平分线 ..5 题型5…尺规作垂直平分线.…。 .6 题型7.·利用角平分线的性质求长度 8 题型8·利用角平分线的性质求面积. 9 题型9-利用角平分线的性质求角度.… .10 题型10角平分线的判定 .12 题型-11角平分线的应用.13 题型12·角平分线的判定与性质的综合14 题型1·根据垂直平分线的性质求长度 1.如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC,若AB=6,△ABD的周长是15，则线段AC的长是 () B A.6 B.7 c.8 D.9 1/17 2.如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,连接BE,若AB=4, AC=8,则△ABE的周长为() D A.8 B.10 c.12 D.16 3.如图，在△ABC中，BC>AC>AB,以点A为圆心，AB的长为半径作弧交BC于点D,再分别以点 D和点C为圆心，大于DC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N,作直线MN交AC于点E, 交BC于点F.若BD=6,DF=4,△ADE的周长是15，则△ABC的周长为() D A.28 B.29 C.30 D.31 4.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边AC的垂直平分线相交于点M,这两条垂直平分线分别交 BC于点D,E,连接MA,MB,MC,DA,EA,已知△ADE的周长为7，△MBC的周长为15，则 MA的长为() D M A.3 B.3.5 C.4 D.6 题型2根据垂直平分线的性质求角度 5.如图，∠C=90°，DE垂直平分AB,DC=DE,则∠ADC的度数为() 2/17 A.40° B.50° C.60 D.70° 6.如图，在△ABC中，DE,FG分别是线段AB,BC的垂直平分线，若∠ABC=100°，则∠DBF的度 数是() G D A.20 B.30° C.40° D.50° 7.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD,垂足为E,若∠BAC=36°，则∠DAC的度数是 () B Eh D A.30° B.36° C.45° D.72° 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,∠CBD=42°，则∠ADB的度 数为() A A.58° B.96° C.106° D.116° 9.如图，△ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若 3/17 ∠A=50°，∠ABD=26°，则∠ACF的度数为() D A.66° B.52° C.46° D.42° 题型3根据垂直平分线的性质求面积 10.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于号AB为半径作弧，两弧相交于点 M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.已知△CDE的面积比△CDB的面积 小4，则△ADE的面积为() 米M C D B 米W A.4 B.3.5 C.3 D.2 11.如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G,连结 AG,CG,若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为() F G 口 B E C A.18 B.20 C.22 D.36 4/17 12.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8Cm,DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为 14cm,则△ABC的面积是()cm2. D A.12 B.24 C.48 D.16 13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC,DE垂直平分AC,若△ADC的面积等于2， 则△ABC的面积为() ■ A.2 B.3 C.4 D.6 题型4判断是垂直平分线 14.已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P,垂足分别为D, E.求证：边AC的垂直平分线经过点P. B 15.如图，在△ABC中，D是BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE=DF,连 接AD,EF. 5/17 (1)求证：△ADE≌△ADF」 (2)AD是否垂直平分EF?请说明理由. 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，BD=BC,ED⊥AB于点D,CD交BE于 点F. (1)求证：Rt△BDE≌Rt△BCE: (2)求证：BE垂直平分CD.· 17.在△ABC中，点D在∠BAC的平分线所在的直线上.过点D作DE⊥AB于E,作DF⊥AC交AC 的延长线于F,且BE=CF. A E B C 求证：点D在BC的垂直平分线上. 6/17 题型5…尺规作垂直平分线 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6. (1)作图：作AB边的垂直平分线分别交AB,AC于点E,F.(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求 写作法)： 【答案】 如图，直线EF即为所求， B 19.已知：如图，在△ABC中； B (1)求作△ABC的边AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为P点.（保留作图痕迹，不写作 法) 7/17 (2)求证：点P在BC的垂直平分线上. 20.如图，己知△ABC,请你用尺规作图的方法在边AC上求作一点P,连接PB,使得PB=PC.(保留 作图痕迹，不写作法) B 题型7.利用角平分线的性质求长度 21.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点.已知 OM=4,ON=6,点D为OA上一点，若满足PD=PM,则OD的长度为() M N B A.6 B.4 c.6或8 D.4或8 22.如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=7,BD平分∠ABC交AC于点D,若△BCD的面积为7，则 AD的长为() D B 8/17 A.1 8.3 C.2 D.3 23.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,若△ABC的面积为7，DE=2, AB=4,则AC长是() D C A.2 B.3 C.4 D.5 24.如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,E是边AB上的一点，且DE=DC.若BC=6.5, AB=5,则BE的长为() B A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 25.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠ADC的平分线DE与∠DAB的平分线AE交于BC 边上的点E处，EF⊥AD于点F.若BC=12,则EF的长为() A B E A.5 B.6 c.7 D.8 题型8利用角平分线的性质求面积 26.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M, N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D, 若CD=2,AB=7,则△ABD的面积是() 9/17 B A.2 B.7 C.9 D.14 27.如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,在AB和AC上分别截取AM,AN,使AM=AN,分别以点 M,N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P,连接射线AP与BC相交于点D,过点D 作DE⊥AC于点E.若DE=2,则△ABC的面积为(). A.10 B.9 C.8 D.7 28.如图，在△ABC中，BC=3AB,∠ABC的平分线BD交AC边于点D.若△ABC的面积为25，则 1 △BCD的面积是() A.6 B.9 C.10 D.15 29.如图，△ABC的周长是20，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则 △ABC的面积是() A B D C A.30 B.25 C.60 D.40 10/17 30.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线交于点O,AB=12cm,BC=9cm.若△ABO的 面积为18cm,则△BOC的面积为() B A.13.5cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.27cm2 题型9利用角平分线的性质求角度 31.如图，OC是∠AOB的平分线，点D,P分别在射线OC和OA上，OD>DP且∠DPO=42°.Q是 射线OB上一点，若DQ=DP,则∠DQO的度数为() A D 0 B A.42° B.48° c.42°或48° D.42°或138° 32.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC,∠CED=35°，则∠EAB的度数是 () D ◇ B A.65° B.55° C.45° D.35° 33.如图，AP平分∠NAM,PC=PB,AB>AC,PD⊥AB于D,∠DBP=50°，则∠ACP的度数 为() 11/17 p D B A.50° B.150° C.130° D.120 34.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,垂足为点E,点P 为线段BD上一动点.若∠A=50°，点P为线段BC的垂直平分线与BD的交点，则∠CPE的度数 为() B A.75° B.80° C.85° D.90° 35.如图，在四边形ABCD中，BD是它的对角线，AD=CD,若BD平分∠ABC,∠A=119°，则 ∠DCB的度数为() A D B A.62 B.61° C.60° D.59o 题型10角平分线的判定 36.如图，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD,Q是OP上一点，PE⊥OA于点E, QF⊥OB于点F,求证：QE=QF. A C F 入 P F D B 12/17 37.如图，DE⊥AB,交AB的延长线于点E,BE=CF,DF⊥AC于点F,且DB=DC.求证：AD是 ∠BAC的平分线. E B 38.如图，△ABC中，D,E分别是边AB,AC延长线上的点，AP平分∠BAC,BP平分∠CBD,求 证：CP平分∠BCE. B 39.如图，在△ABC中，点P是△ABC内部一点，连接AP,BP,CP,过点P分别作PM⊥AB, PN⊥AC,垂足分别为M,N,BM=CN,∠PBC=∠PCB.求证：AP平分∠BAC. M 13/17 40.已知：如图，BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,BE和CD交于点F,BF=CF.求证：点F在 ∠A的平分线上. B D E 题型11角平分线的应用 41.上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一 座凉亭H,使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC的() H A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 42.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中 心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有()种 A.一B.二 C.三 D.四 14/17 43.如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为() 0 B A.1 B.2 C.3 D.4 题型12·角平分线的判定与性质的综合 44.如图，A、B两点分别在射线OM,ON上，点C在∠MON的内部，且AC=BC,CD⊥OM, CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE. M -N B E (1)求证：OC平分∠MON; (2)若AD=4,BO=6,求AO的长. 45.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,过点C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F且DF=BE. B 15/17 (1)求证：AC平分∠DAB: (2)求证：AB+AD=2AE. 46.如图，点A,B分别在射线OP,OQ上，点C在∠POQ的内部，CA=CB,CD⊥OP,CE⊥OQ, 垂足分别为D,E,AD=BE. P D (1)求证：OC平分∠POQ: (2)如果OD=6,OB=4,求OA的长. 47.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB,垂足为E,点F在AC上，BD=FD,BE=FC. D B (1)求证：AD平分∠BAC: (2)若AC=4,AB=5,且△ABC的面积等于6，求DE的长. 48.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证： (1)CO平分∠ACD: 16/17 (2)OA⊥OC: (3)若AB=3,CD=5,求AC. 17/17