6.1 平均数与方差 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以“基础巩固—综合应用—拓展提升”分层设计，覆盖平均数、众数、方差核心知识点，通过“概念理解—运算训练—实际决策”路径巩固知识，培养数据意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|众数识别、算术平均数计算|单选题1-5直接考查概念，填空题11-13强化基础运算，培养数感| |中档|加权平均数、方差性质应用|单选题6-8结合生活情境（如尺码销售、果篮挑选），填空题14-15训练公式灵活运用，体现模型意识| |提升|数据综合分析与决策|解答题17-20通过图表（如苗高统计、射击成绩）分析平均数与方差，解决实际问题，发展应用意识与推理能力|

6.1 平均数与方差 课后同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．班主任统计了上周双休日该班名同学在家课外阅读的时间如下（单位：时）：，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 2．一商场销售的某款裤子共有5种尺码，分别是、、、、．店主想通过调查每种尺码的销量来决定多进哪种尺码．下列指标中，店主最关心的指标是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．随着人工智能的发展，智能机器人的应用越来越广泛．某工厂使用、两种型号机器人对零件进行质量检测，型机器人每检测一个零件需要3分钟，型号机器人每检测一个零件需要5分钟．某日，工厂随机抽取了型机器人检测的4个零件和型机器人检测的6个零件进行复检，则被抽检零件的平均检测时间为（   ） A．3.8分钟 B．4.2分钟 C．5分钟 D．5.25分钟 4．已知一组数据：，，，，，，的众数是，则是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．七个数的平均数是25，如果把每个数都增加x，现在这七个数的平均数是（　　） A． B． C． D． 6．已知数据的平均数是2，方差是3，则一组新数据的平均数和方差分别是（   ） A．10，3 B．10，11 C．2，3 D．2，11 7．某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 8．赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 9．数学测试满分为150分．某校对期中测试成绩和期末测试成绩赋予不同的权，计算它们的平均数作为学期期末总评成绩．如图是张老师发明的计算期末总评成绩的算图，图中点在y轴上，m代表期中测试成绩，点在直线上，n代表期末测试成绩，直线与直线相交于点．根据以上对算图的描述，下列对点P的说法正确的是（   ） A．p，分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q B．，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q C．p，分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为p D．，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为p 10．某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较与的大小 二、填空题 11．若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 12．在一次数学考试中，全班名同学，平均分为，其中女生有名，她们的平均分为，则这个班男同学的平均数为________． 13．在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据______． 14．已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 15．某班开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从全班40名同学中选取8名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，从中可以估计这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_________． 节水量/ 0.1 0.2 0.3 0.4 家庭数/个 1 3 3 1 三、解答题 16．为了解某种电动汽车的性能，某机构对这种电动汽车进行抽检，得到如下不完整的统计图，其中A、B、C、D表示一次充电后行驶的里程数分别为150千米，180千米，210千米，240千米． (1)问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图； (2)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？ 17．为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技员从两块试验田中分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成如下图所示的统计图． 请你根据统计图所提供的数据，计算样本平均数和样本方差，并比较这两种水稻的长势． 18．射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 (1)根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩； (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由； (4)若射击环数为10环可能得冠军，为了得冠军，应该选谁？ 19．甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下： 甲：87  93  88  93  89  90 乙：85  90  90  96  89  a (1)若甲、乙的平均成绩相同，求a的值； (2)已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由． 20．为了解某中学八年级250名学生考试的数学成绩，从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析，求得，下面是50名学生数学成绩的频数分布表． 频率分布表 分组 频数累计 频数 频率 上 3 a 正丨 6 正止 9 正正正丄 17 1 b 正 5 合计 50 1 根据题中给出的条件回答下列问题： (1)在这次抽样分析的过程中，样本是__________． (2)频数分布表中的数据__________，__________． (3)估计该校八年级这次考试的数学平均成绩约为__________分． (4)在这次考试中，该校八年级数学成绩在范围内的人数约为__________人． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D D A B D B C 1．【答案】D 【知识点】求众数 【分析】根据众数的定义可得答案． 【详解】解：统计各数据出现次数：出现次，出现次，出现次，出现次，出现次． 出现次数最多的是，即众数为． 2．【答案】C 【知识点】运用众数做决策 【详解】店主最关注的是哪种尺码销量最高，即哪一尺码在销售数据中出现次数最多， 又众数是一组数据中出现次数最多的数据，平均数反映数据平均水平， 中位数反映数据中间水平，方差反映数据波动程度，后三者均不符合店主需求， 所以店主最关心的指标是众数． 3．【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，需先计算两种型号机器人检测零件的总时间，再除以总零件数得到平均检测时间． 【详解】∵A型机器人4个零件总检测时间为分钟，B型机器人6个零件总检测时间为分钟， ∴检测零件的总时间为分钟，总零件数为个， ∴平均检测时间为分钟． 4．【答案】D 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，有时众数在一组数中有好几个，但是有时也可能没有众数即可解答． 【详解】解：根据题意得：在中2出现的次数最多， 则， 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查的是算术平均数，熟练掌握数据的算术平均数为：是解决此题的关键．根据算术平均数的定义计算即可． 【详解】解：七个数的平均数是25，如果把每个数都增加x，现在这七个数的平均数是． 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】本题考查方差与平均数：若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．根据平均数的变化规律可得出数据的平均数是10；根据数据的方差为3，即可求出的方差是3． 【详解】解：∵的平均数是2， ∴的平均数是； ∵的方差是3， ∴的方差是3； 故选：A． 7．【答案】B 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，比较总成绩大小后择优推荐即可． 【详解】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩： 甲的总成绩 （分）， 乙的总成绩 （分）， 丙的总成绩 （分）， ∵ ， ∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 8．【答案】D 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】从平均质量和方差两个维度依次筛选即可； 【详解】解：先比较平均质量，四个果篮平均质量：，丙和丁的平均质量最大， 满足“单果质量大”的要求，排除甲、乙， 再比较丙和丁的方差：，丁的方差更小，说明丁果篮的雪花梨大小更均匀， 因此应选丁果篮． 9．【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、求加权平均数 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，加权平均数．根据题意可得从p到10的距离为，在加权平均数中，我们可以把这两个距离看作是对应成绩的权，即可求解． 【详解】解：∵点在y轴上，m代表期中测试成绩，点在直线上，n代表期末测试成绩，直线与直线相交于点， ∴从横坐标来看，0到10的距离为10，对于点P的横坐标p，那么从0到P的距离为p， ∴从p到10的距离为，在加权平均数中，我们可以把这两个距离看作是对应成绩的权． 即期中成绩的权为，期末成绩的权为P．而点P的纵坐标q就是根据加权平均数计算出来的总评成绩， ∴ ，p分别是期中成绩、期末成绩的权，相应的总评成绩为q， 故选：B． 10．【答案】C 【知识点】求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 根据方差公式，结合题中数据代值求解即可得出结论． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为，，，，， 由题意可知， ， 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ∴， 故选：C． 11．【答案】2 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了平均数的概念和一元一次方程的解法，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 根据平均数的定义，先求出这组数据的总和，再列出关于的方程，通过解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12．【答案】分 【知识点】求加权平均数、 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】设男生的平均分为x分，根据男生总分和女生总分的和是全体学生的总分，结合全班50名同学，平均分为78.7，其中女生有20名，她们的平均分为80.5，我们可以构造出一个关于x的方程，解方程即可求出x的值． 【详解】解：设男生的平均分为x分， 则30x+80.5×20=50×78.7， 解得x=77.5. 即男生的平均分为77.5分. 故答案为77.5分. 【点睛】本题考查了加权平均数,其中根据男生总分和女生总分的和是全体学生的总分,结合已知条件,构造关于x的方程是解答本题的关键. 13．【答案】平均数 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差的计算公式即可分析求解．此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式． 【详解】∵我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：， ∴上述公式中的“38”是这组数据平均数． 故答案为：平均数． 14．【答案】 6 【知识点】标准差、已知 平均数求未知数据的值、求方差 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差，熟练掌握平均数，方差及标准差的计算方法是解答本题的关键先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解出方差，开方后即可得出标准差． 【详解】：∵平均数， ∴， ∴， ∴方差， ∴标准差为． 故答案为：，． 15．【答案】/10立方米 【知识点】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】此题考查的是根据样本估计总体．先计算这8名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数40即可解答． 【详解】解：8名同学各自家庭一个月平均节约用水是： ， 因此这40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是： ， 故答案为：． 16．【答案】(1)，图见解析 (2)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为201千米． 【知识点】求加权平均数、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）由B类的车辆数除以其占比可得答案，再求解A类车辆数，再补全图形即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：这次被抽检的电动汽车共有（辆）， A等级电动汽车的辆数为（辆）， 补全统计图如图所示： （2）电动汽车一次充电后行驶的平均里程为：（千米）， ∴估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为201千米． 【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，补全条形统计图，加权平均数的含义，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． 17．【答案】，，，甲、乙两种水稻的平均高度相同，但乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些 【知识点】求方差、求一组数据的平均数、根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查平均数和方差，解决问题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义及意义． 先根据平均数和方差的定义求出甲和乙的平均数和方差，再依据方差的意义进行分析． 【详解】解：5.2． ∴甲、乙两种水稻的平均高度相同，但乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些． 18．【答案】(1)甲的平均成绩为9；乙的平均成绩为9； (2)甲六次测试成绩的方差为；乙六次测试成绩的方差 (3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． (4)乙 【知识点】运用方差做决策、求方差、求一组数据的平均数 【分析】（1）根据图表得出甲、乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可； （2）根据方差公式求出甲、乙六次测试成绩的方差即可； （3）根据方差和平均数两者进行分析； （4）根据题意可得六次测试成绩中，甲得10环的有2次，乙得10环的有3次，即可求解． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， （2）解：甲六次测试成绩的方差为； 乙六次测试成绩的方差为； （3）略 （4）解：根据题意得：六次测试成绩中，甲得10环的有2次，乙得10环的有3次， 因为射击环数为10环可能得冠军， 所以为了得冠军，应该选乙． 【点睛】此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键． 19．【答案】(1)； (2)选甲， 理由如下： 甲的平均数， 甲的方差 ， ∵， ∴甲发挥稳定，应该选甲． 【知识点】运用方差做决策、 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】此题考查根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差是解题的关键． （1）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a； （2）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择． 【详解】（1）解：∵甲、乙的平均成绩相同， ∴甲、乙的总成绩相同， ∴； （2）略 20．【答案】(1)50名学生数学成绩 (2)，； (3) (4) 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、由样本所占百分比估计总体的数量、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）、根据数据填写频数、频率统计表 【分析】（1）根据样本是总体中抽取的一部分个体，即可得到答案； （2）根据频率频数总体，即可求出、的值； （3）利用样本估计总体的思想，即可得到答案； （4）根据题意得到该校八年级数学成绩在范围内的频率为，进而即可估算出总体在该范围内的人数． 【详解】（1）解：这次抽样分析的过程中，样本是50名学生的数学成绩， 故答案为：50名学生的数学成绩 （2）解：，， 故答案为：，； （3）解：由题意可知，抽取的50名学生的数学成绩的， 即该校八年级这次考试的数学平均成绩约为分， 故答案为：； （4）解：由题意可知，该校八年级数学成绩在范围内的频率为， （人），即该校八年级数学成绩在范围内的人数约为人， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了频数与频率，样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $