2.4 解直角三角形的应用教案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该教案聚焦解直角三角形的应用，涵盖仰角、俯角、坡度、坡角及方向角等核心知识点。通过秋千摆动、斜面测量等生活情境导入，衔接直角三角形知识，为实际问题解决搭建学习支架。 特色在于以情境驱动探究，如秋千踏板最大高度问题培养数学眼光，山坡种树坡度计算强化数学思维。例题分层设计，方法总结清晰，助力学生形成模型意识与应用能力，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

2.4 解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角及其他问题 【教学目标】 1.巩固解直角三角形相关知识. 2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题.（重点，难点） 【教学过程】 一、情境导入 秋千是我们生活中常见的娱乐器材，如图所示是秋千的简图，秋千拉绳（OA）的长为3m，静止时秋千踏板（B，大小忽略不计）距离地面的距离（BE）为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大的摆角（摆角是指秋千拉绳与铅垂线的夹角∠AOB或∠COB）约为52°. 你能否通过所学知识求出秋千踏板与地面最大距离约为多少？ 二、合作探究 探究点一：仰角、俯角问题 【类型一】仰角问题 如图所示，为了测量山高AC，在水平面点B处测得山顶A的仰角是（ ） A.∠A B.∠ABC C.∠ABD D.以上都不对 解析：B. 方法总结：解此类问题，要弄清仰角的概念，即视线与水平线的夹角. 【类型二】俯角问题 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是 . 解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，∴BC＝＝＝1000（m），故填1000m. 方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形. 探究点二：有关张角、夹角问题 【类型一】张角问题 如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离（CE的长度）为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是（ ） A.（8＋8）m B.（8＋8）m C.（8＋）m D.（8＋）m 解析：由题意可知，在Rt△BCE中，CE＝8m，∠ECB＝45°，∴BE＝CE·tan∠ECB＝8×tan45°＝8（m）.∴AE＝EC·tan∠ACE＝8×tan30°＝（m），∴AB＝AE＋BE＝（8＋）m.故选D. 方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形. 【类型二】夹角问题 如图所示，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值为 . 解析：在Rt△COD中，∠C＝30°，∠D＝60°，∵CD∥AB，∴∠α＝∠D＝60°，∴cosα＝.故填. 方法总结：本题考查的有关夹角的问题，解题时要灵活运用题目中的已知条件. 【板书设计】 第2课时 坡度与坡角、方向角问题 【教学目标】 1.理解并掌握坡度、坡比的定义. 2.学会用坡度、坡比解决实际问题.（重点，难点） 3.会用方向角解决实际问题.（重点） 【教学过程】 一、情境导入 在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量，从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示. 你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？ 二、合作探究 探究点一：坡度（坡比）问题 【类型一】根据已知条件求坡面距离 如图所示，在平面上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距离为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A.5m B.6m C.7m D.8m 解析：由题知，水平距离l＝4m，i＝0.75，∴垂直高度h＝l·i＝4×0.75＝3（m），∴坡面距离为＝5（m）.故选A. 方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或垂直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离. 【类型二】根据已知条件求坡度 一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s，车速是2m/s，汽车行驶的水平距离是40m，则这个斜坡的坡度是 . 解析：坡面距离为30×2＝60m，水平距离为40m，∴垂直高度为＝20（m），∴坡度i＝20∶40＝∶2. 方法总结：根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和垂直高度h，故填∶2. 探究点二：方向角问题 如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/小时的速度航行30分钟到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ） A.7海里 B.14海里 C.7海里 D.14海里 解析：作BN⊥AM，垂足为N，由题意知，在Rt△ABN中，∠BAN＝30°，AB＝14海里，∴BN＝AB·sin30°＝7（海里），∴在Rt△BMN中，∠MBN＝45°，BN＝7海里，∴MB＝＝＝7（海里）.故选A. 方法总结：这类题目，首先根据题意画出几何图形，然后将问题转化为解直角三角形问题，最后解直角三角形. 【板书设计】 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $