第2章 锐角的正弦、余弦、正切（复习讲义）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学单元复习讲义围绕锐角三角函数构建知识体系，通过表格呈现特殊角三角函数值，分点梳理定义、解直角三角形、实际应用等核心知识点，明确锐角三角函数定义、特殊角值、解直角三角形为重点，实际应用为难点，形成逻辑清晰的知识脉络。 讲义特色在于“题型突破+分层训练”设计，如解直角三角形应用题型结合仰角俯角实例，引导学生用数学眼光转化实际问题，培养模型意识。基础达标与能力进阶练习分层，帮助不同学生掌握方法，教师可精准实施教学，提升复习效率。

第二章 锐角的正弦、余弦、正切 复习要点 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值． 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题． 复习重难点 重点：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形． 难点：用锐角三角函数解决实际问题． 知识点 正弦、余弦和正切的定义 在直角三角形中， 锐角A的 与 的比叫作∠A的正弦，记作sinA，即sin A= 。 锐角A的 与 的比叫作∠A的余弦，记作cosA，即cos A= 。 锐角A的 与 的比叫作∠A的正切，记作tanA，即tanA= 。 注意：（1）（sinA）²简记为sin²A； （2）习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数。 要点归纳：对于任意锐角α，cosα=sin（ ），sinα=cos（ ） 要点速测 1.如图所示，在中，，，，，则下列三角函数表示正确的是(    ) A. B. C. D. 知识点 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 要点速测 2.计算：． 知识点 解直角三角形 由直角三角形中已知的元素求其余未知的元素的过程叫做解直角三角形。 注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其 中的 个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的 个未知元素. 要点归纳：解直角三角形的依据：如图，在中，，其他五个元素之间的关系如下： 三边之间的关系： ． 两锐角之间的关系： ​． 边角之间的关系： ． 要点速测 3.在中，，，，分别为的对边，，，解这个直角三角形． 知识点 解直角三角形的应用 （1）视线和水平线的夹角中，视线在水平线 的角叫做仰角，在水平线 的角叫做俯角。 （2）坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示,即i=（坡度通常写成1：m的形式）。坡面与地平面的夹角叫做坡角，记作α，所有i==tanα （3）方位角 要点速测 4.如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道点，在同一水平面上为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地出发，垂直上升米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比，则的长是          ． 知识点 一般角的三角函数值 对于一般锐角的三角函数值，可以利用计算器来求。按键，， 已知三角函数值，可以利用计算器求出它的对应锐角。按键，， 要点速测 6.求的值，按键顺序正确的是(    ) A. B. C. D. 题型1 三角函数的定义 ▌例1 如图，在中，，，，求的值． 解题要点 三角函数的定义 1. 已知边，求三角函数，可以根据所求的三角函数，找出需要求哪些边，对于未知的边，可以用勾股定理等来求。 2. 已知三角函数值求边，可以设未知数表示边长。 ▌迁移练1-1如图，已知在中，，，则的值为(    ) A. B. C. D. ▌迁移练1-2如图，是的高若，，则边的长为(    ) A. B. C. D. 题型2 特殊角的三角函数 ▌例2 （2026·北京中考） 计算： 解题要点 特殊角的三角函数 1.熟记特殊角的三角函数值。 2.看到特殊角的三角函数值，可以想到特殊角 ▌迁移练2-1在中，，则          ． ▌迁移练2-2在中，若，满足，则的度数为(    ) A. B. C. D. 题型3 解直角三角形 ▌例3 在中，，，，所对的边分别为，，，根据下列条件解直角三角形． ， ，． 解题要点 解直角三角形 1.知道两边，可以用勾股定理求第三边 2.知道一个角，一条边，可以用直角三角形的两锐角互余求另一个锐角，用三角函数求其他两边， ▌迁移练3-1已知中，，，求的其他三角函数． ▌迁移练3-2如图，在中，，，，点在上，且，求的长和的值． ▌迁移练3-3如图，在中，，，，，求及的面积． 题型4 解直角三角形的应用 ▌例4 如图，有一斜坡的长为米，坡角，则斜坡的铅垂高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 解题要点 已知三角函数值求边 1.理解仰角、俯角、坡度、坡角、方位角的概念。 2.把实际问题转化为解直角三角形。 ▌迁移练4-1如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长可以表示为(    ) A. 米 B. 米 C.  米 D. 米 ▌迁移练4-2（2026·湖南中考）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点门吸指门页打开后吸住定位的装置，于点已知，，，且，则门吸EF离墙AC的距离AE为(    ) A. B. C. D. ▌迁移练4-3在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼高米．请你帮小明求出办公楼的高度．结果精确到，参考数据：，， 难点一 构造直角三角形求锐角的三角函数值 常见题型：所给的图形中没有直角三角形，但是要求图中某个角的三角函数值，核心难点是无法直接套用三角函数公式． 解题方法：先构造直角三角形，再求出所需要的边。 难点精练 1.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，那么的值是(    ) A. B. C. D. 2．（2026·陕西中考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点E在BC的延长线上.若，则的值为(    ) A. 2 B. C. D. 3．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为(    ) A. B. C. D. 难点二 解直角三角形的综合应用 常见题型：所给的题目信息量大，出现的直角三角形有多个，核心难点是不能直接解某个直角三角形． 解题方法：认真审题，找到各个直角三角形中的联系，设未知数，利用三角函数表示出其他量，列方程解决问题。 难点精练 4.如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上处测得建筑物顶端的仰角为，沿方向前进到达处，在处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物的高度等于          ． 5．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 基础达标 1．在中，，若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 2．在中，，，，分别为的对边，下列各式成立的是(    ) A. B. C. D. 3.若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 5.如图，在坡度为的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树之间的坡面距离为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.已知，且，则          ． 7.如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为            8.如图，中，的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，那么           ． 9.计算：． 10.在中，与是锐角，，，请判断的形状，并说明理由． 11．40.本小题分 在中，，，，分别为的对边，，，解这个直角三角形． 12．某数学活动小组要测量商场外部楼面一块电子显示屏的高度，在正对电子显示屏的地方选一观测点，测得电子显示屏顶端的仰角为，底端的仰角是，测角仪支架到楼的距离是米，求电子显示屏的高度． 能力进阶 1.如图，在矩形中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.如图．将一个形状的楔子从木桩的底端点处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移如箭头所示，则木桩上升了单位：(    ) A. B. C. D. 3.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为(    ) A. B. C. D. 4.若锐角满足，则的度数是 . 5．如图，是的边上一点，过作轴于，点的横坐标为，，则 。 6.已知：在中，，于，，若，． 求 的值． 7.如图，在锐角中，，，，于点． 在中，，则 在中，          ，则          ． 所以，即， 进一步得正弦定理：此定理适合任意锐角三角形 参照利用正弦定理解答下列问题：在中，，，，求的长．  8.（2026·山西中考）项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件.如图为山西某古建筑大殿内部的藻井.某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告. 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构. 造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井. 测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图示 图1为藻井仰视平面图，其中线段AB为中间层菱形井较长的对角线点A，B在同一水平直线上；图2为测量方案示意图，其中测量点C，D在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内. 数据 在点D处测得点A的仰角为，米；在点C处测得点B的仰角为，米. 结果 … 活动反思 … 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB的长结果精确到米，参考数据： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 锐角的正弦、余弦、正切 复习要点 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值． 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题． 复习重难点 重点：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形． 难点：用锐角三角函数解决实际问题． 知识点 正弦、余弦和正切的定义 在直角三角形中， 锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sinA，即sin A= 锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cosA，即cos A= 锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tanA，即tanA= 注意：（1）（sinA）²简记为sin²A； （2）习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数。 要点归纳：对于任意锐角α，cosα=sin（90°-α），sinα=cos（90°-α） 要点速测 1.如图所示，在中，，，，，则下列三角函数表示正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】解： ，故选项A正确 ，故选项B错误 ，故选项C错误 ，故选项D错误． 故选A． 知识点 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 要点速测 2.计算：． 【详解】解： ． 知识点 解直角三角形 由直角三角形中已知的元素求其余未知的元素的过程叫做解直角三角形。 注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其 中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素. 要点归纳：解直角三角形的依据：如图，在中，，其他五个元素之间的关系如下： 三边之间的关系：+=勾股定理． 两锐角之间的关系：A+B=​． 边角之间的关系：sinA=​tanB=． 要点速测 3.在中，，，，分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【详解】解：在中，，，， ， ． 知识点 解直角三角形的应用 （1）视线和水平线的夹角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 （2）坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示,即i=（坡度通常写成1：m的形式）。坡面与地平面的夹角叫做坡角，记作α，所有i==tanα （3）方位角 要点速测 4.如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道点，在同一水平面上为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地出发，垂直上升米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D  【详解】解：根据题意可知，，米，， 米， 即、两地之间的距离为米 故选D． 5.河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比，则的长是          ． 【答案】  【详解】解：中，米，； 米， 米．故答案为． 知识点 一般角的三角函数值 对于一般锐角的三角函数值，可以利用计算器来求。按键，， 已知三角函数值，可以利用计算器求出它的对应锐角。按键，， 要点速测 6.求的值，按键顺序正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】按键+度数 题型1 三角函数的定义 ▌例1 如图，在中，，，，求的值． 解题要点 三角函数的定义 1. 已知边，求三角函数，可以根据所求的三角函数，找出需要求哪些边，对于未知的边，可以用勾股定理等来求。 2. 已知三角函数值求边，可以设未知数表示边长。 【详解】解：在中，，，， 则．  ▌迁移练1-1如图，已知在中，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：，， 设，则， 故， ． 故选：． ▌迁移练1-2如图，是的高若，，则边的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】  ，， ， 在中，由勾股定理得，，故选 D． 题型2 特殊角的三角函数 ▌例2 （2026·北京中考） 计算： 解题要点 特殊角的三角函数 1.熟记特殊角的三角函数值。 2.看到特殊角的三角函数值，可以想到特殊角 【详解】解：原式 ▌迁移练2-1在中，，则          ． 【答案】  【详解】解：在中，，， ， ， ． 故答案为． ▌迁移练2-2在中，若，满足，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】解：， ， ，， ，， ，， ． 故选：． 题型3 解直角三角形 ▌例3 在中，，，，所对的边分别为，，，根据下列条件解直角三角形． ， ，． 解题要点 解直角三角形 1.知道两边，可以用勾股定理求第三边 2.知道一个角，一条边，可以用直角三角形的两锐角互余求另一个锐角，用三角函数求其他两边， 【详解】(1)∵a=2,b=6, ∴tanA===, ∴∠A=30°, ∴∠B=90°-30°=60°, ∴c=2a=4; (2)∵∠B=45°, ∴∠A=90°-45°=45°, ∴a=b=×10=5. ▌迁移练3-1已知中，，，求的其他三角函数． 【详解】解：设的对边为，斜边为， 则的邻边为 根据定义，得， ．  ▌迁移练3-2如图，在中，，，，点在上，且，求的长和的值． 【详解】在中，，，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 解得，，， ． ▌迁移练3-3如图，在中，，，，，求及的面积． 【详解】如图：过作于， ， ，的面积为 题型4 解直角三角形的应用 ▌例4 如图，有一斜坡的长为米，坡角，则斜坡的铅垂高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 解题要点 已知三角函数值求边 1.理解仰角、俯角、坡度、坡角、方位角的概念。 2.把实际问题转化为解直角三角形。 【答案】A  【详解】解：由题意可得，，即， 米 故选A． ▌迁移练4-1如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长可以表示为(    ) A. 米 B. 米 C.  米 D. 米 【答案】B  【详解】解：在中， ，， ， ， ， 即河宽米， 故选：． ▌迁移练4-2（2026·湖南中考）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点门吸指门页打开后吸住定位的装置，于点已知，，，且，则门吸EF离墙AC的距离AE为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】解：过点F作 于点G，    ，，，  四边形AEFG是矩形，  ，，  ，  ，  在 中，，  ，  ，  ，  故选： ▌迁移练4-3在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼高米．请你帮小明求出办公楼的高度．结果精确到，参考数据：，， 【详解】由题意可知米，， ， 米． ， 米． 故办公楼的高度约为米． 难点一 构造直角三角形求锐角的三角函数值 常见题型：所给的图形中没有直角三角形，但是要求图中某个角的三角函数值，核心难点是无法直接套用三角函数公式． 解题方法：先构造直角三角形，再求出所需要的边。 难点精练 1.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，那么的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】解：如图，过点A作AB⊥x轴，垂足为B。 B 由点的坐标为，那么， ，故选：． 2．（2026·陕西中考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点E在BC的延长线上.若，则的值为(    ) A. 2 B. C. D. 【答案】B  【详解】解：连接AC， 在正方形ABCD和正方形CEFG中，，， ， ， 设，， ，， ， 故选： 3．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】解：取格点，连接根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ． 故选：． 难点二 解直角三角形的综合应用 常见题型：所给的题目信息量大，出现的直角三角形有多个，核心难点是不能直接解某个直角三角形． 解题方法：认真审题，找到各个直角三角形中的联系，设未知数，利用三角函数表示出其他量，列方程解决问题。 难点精练 4.如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上处测得建筑物顶端的仰角为，沿方向前进到达处，在处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物的高度等于          ． 【答案】  【详解】解：设，由题意可得：，， 则，5. 故， 解得： 故答案为：． 5．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【详解】（1）解：如图，过点B作BE⊥AC于点E， 设BE=x， 依题意，∠EBC=53°，∠EBD=45°，CD=10×=5， ∴∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x， ∴EC=ED+DC=x+5， 在Rt△BCE中，EC=， ∴=x+5， 解得：x=15， ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； （2）解：在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15， ∴AE=BEtan14°≈15×0.25=3.75， ∴AC=AE+DE+DC=15+3.75+5=23.75， 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16:52:30，在17:30之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 基础达标 1．在中，，若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】解：如图所示：在中，，，，故选：． 2．在中，，，，分别为的对边，下列各式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：，，，分别为的对边， ； 故成立的是选项B； 故选B． 3.若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】已知三角函数值，求锐角的度数，按键shift+tan+度数，故选A。 4.如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D  【详解】解：由已知得：， 在直角三角形中， 海里故选：． 5.如图，在坡度为的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树之间的坡面距离为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B  【详解】解：坡度为，， ，， ，故选：． 6.已知，且，则          ． 【答案】  【详解】，， ， ． 故答案为． 7.如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为            【答案】  【详解】如图，连接AB， C A B AB²=2²+1²=5 AC²=2²+1²=5 BC²=3²+1²=10 ∴AB²+AC²=BC² ∴△ABC是等腰直角三角形 ∴∠α=45° ∴sinα=  8.如图，中，的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，那么           ． 【答案】  【详解】是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9.计算：． 【详解】解：原式 ．  10.在中，与是锐角，，，请判断的形状，并说明理由． 【详解】解：是锐角三角形． 理由如下：，为锐角， ． ，为锐角， ． ， ． 是锐角三角形． 11．40.本小题分 在中，，，，分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【详解】解：在中，，，， ， ． 12．某数学活动小组要测量商场外部楼面一块电子显示屏的高度，在正对电子显示屏的地方选一观测点，测得电子显示屏顶端的仰角为，底端的仰角是，测角仪支架到楼的距离是米，求电子显示屏的高度． 【详解】作于点， 在中，，， 米， ，，，， 米． 能力进阶 1.如图，在矩形中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】四边形是矩形， ，， ， ， ， 故选：． 2.如图．将一个形状的楔子从木桩的底端点处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移如箭头所示，则木桩上升了单位：(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】解：设木桩上升了米， 由已知图形可得：， 木桩上升的高度． 故选：． 3.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】解：在和中，，，， ，， ； 故选：． 4.若锐角满足，则的度数是 . 【答案】 【详解】，， ， 5．如图，是的边上一点，过作轴于，点的横坐标为，，则 。 【答案】 【详解】解：由题图可得，可设，则， 在中，由勾股定理得，， ，  ， ， ，， ． 6.已知：在中，，于，，若，． 求 的值． 【答案】(1)在Rt△ACD与Rt△ABC中, ∵∠ABC+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠ACD, ∴cos∠ABC=cos∠ACD=; (2)在Rt△ABC中,=,令BC=4k,AB=5k,则AC=3k, 由BE∶AB=3∶5,知BE=3k, 则CE=k,且CE=,则k=,AC=3. 7.如图，在锐角中，，，，于点． 在中，，则 在中，          ，则          ． 所以，即， 进一步得正弦定理：此定理适合任意锐角三角形 参照利用正弦定理解答下列问题：在中，，，，求的长． 【解析】解：，；   在中，，， ． 是锐角三角形． 根据正弦定理，得， ． ．  8.（2026·山西中考）项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件.如图为山西某古建筑大殿内部的藻井.某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告. 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构. 造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井. 测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图示 图1为藻井仰视平面图，其中线段AB为中间层菱形井较长的对角线点A，B在同一水平直线上；图2为测量方案示意图，其中测量点C，D在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内. 数据 在点D处测得点A的仰角为，米；在点C处测得点B的仰角为，米. 结果 … 活动反思 … 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB的长结果精确到米，参考数据： 【详解】解：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F， 由题意得：，， 在中，米，， 米， 米， 在中，， 米， 米， 米， 该藻井中间层菱形井对角线AB的长约为米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $