1.3 全等三角形的判定 题型专练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 苏科版八年级上册全等三角形判定同步练，以“基础判定—计算证明—综合应用”分层，梯度清晰，通过典例引导与变式训练，强化推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|SAS、ASA等单一判定|典例示范+选择填空，直接应用判定条件| |提升层|判定与线段角计算|条件开放题+推理证明，强化逻辑推理| |综合层|实际应用与模型|测量情境+动态问题，体现应用意识与创新思维|

苏科版（2024）八年级上册 1.3 全等三角形的判定 题型专练 【题型1】用SAS证明三角形全等 【典例】程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图. 有以下结论： ①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ②当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ③当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ. 其中所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【举一反三1】如图，在△ABF 和△DCE 中，点E、F在BC上，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（　　） A.BE＝CF B.∠B＝∠C C.∠A＝∠D D.AB＝DC 【举一反三2】下列与图1三角形全等的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.只有① 【举一反三3】如图，在△ABE和△DCF中，∠B＝∠C，AB＝DC，若要证明△ABE△DCF，还需要添加一个条件：　　　　　.(写出一种即可) 【举一反三4】如图，AC∥EF，AB＝DF，添加条件　　　　　，可以根据“SAS”得到△ABC△FDE. 【举一反三5】如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF．求证：△ADE≌△CBF． 【题型2】SAS与线段、角的计算和证明 【典例】如图，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论正确的个数为(　　) ①△ABD△ACD；②AB=AC；③∠B=∠C；④AD是△ABC的角平分线. A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3的度数为(　　) A.60° B.90° C.135° D.180° 【举一反三2】如图所示，若AD＝AB，AC＝AG，∠DAE＝∠GAC＝60°，则∠DOC＝　　. 【举一反三3】如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝35°，∠ADC＝100°，则∠ACB＝　    　°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，点D在AC上，延长DB至点E，使得DE＝AB，连接AE，若∠DAE＝∠ABD，AE＝AC．求证：AD＝BC． 【举一反三5】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF． （1）求证：∠D＝∠2； （2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 【题型3】SAS的应用 【典例】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”.后来随着造纸术的发明.人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的风筝图案中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE.则可以直接判定(　　) A.△AEG△ABC B.△AEG△ACF C.△ABF△ADG D.△ABC△ADE 【举一反三1】如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　） A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【举一反三2】如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，由△ABC和△DEC全等得到DE＝AB．那么判定其全等的依据是 　   　（用三个字母表示）． 【举一反三3】有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长为50m，则锥形小山两端A、B的距离为　  　m． 【举一反三4】如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度AB，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量．已知BP为垂直于AB的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案． （1）请在图中画出测量示意图并写出测量数据（线段长度可用a、b、c…表示）；（不要求写出测量过程） （2）根据你的测量方案数据，计算出这个人工湖的长度AB． 【题型4】用ASA证明三角形全等 【典例】如图，小明练习册上一个三角形破损了，他运用所学知识重新画了一个一模一样的三角形，他画图的依据是(　　) A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【举一反三1】如图，已知AB=AD，使用“ASA”能直接判定△ABC△ADE的是(　　) A.∠B=∠D B.AC=AE C.BC=DE D.∠ACB=∠AED 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，则△ABD≌△ACD的根据是　  　． 【举一反三3】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． 求证：△AEC≌△BED． 【题型5】ASA与线段、角的计算和证明 【典例】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　） A.3 B.6 C.8 D.12 【举一反三1】如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E.若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是(　　) A.3   B.6 C.12   D.24 【举一反三2】如图，△ABC的面积为8，AP与∠ABC的平分线BP垂直，垂足为P，连接PC，则△PBC的面积为(　　) A.4 B.3.5 C.3 D.4.5 【举一反三3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB>BC，点D在边BC上，且DC＝3BD，点E，F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝24，则S△ABE＋S△CDF＝　　　　　. 【举一反三4】如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC∥DF，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC＝DF； （2）若∠EOC＝80°，∠F＝36°，求∠B的度数． 【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB，求证：BE＝DF，DE＝CF． 【题型6】ASA的应用 【典例】打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　） A.带①②去 B.带②③去 C.带③④去 D.带②④去 【举一反三1】如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃(　　) A.① B.② C.③ D.无法确定 【举一反三2】综合实践活动小组为测量池塘两端A，B的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使DC＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长即为A，B的距离． 小欣：如图②，先过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，再过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则量出DE的长即为A，B的距离． 小彤：如图③，过点B作AB的垂线BE，在BE上取一点D，连接AD，然后在AB的延长线上取一点C，连接CD，使∠BDC＝∠BDA．这时只要量出BC的长即为A，B的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是（　　） A.小华和小欣 B.小欣和小彤 C.小华和小彤 D.三个人的方案都可以 【举一反三3】如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD=∠ACB，这时量得AD=120 m，则水池宽AB的长度是　　　m.  【举一反三4】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【题型7】用AAS判定三角形全等 【典例】在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是(　　) A.   B. C.   D. 【举一反三1】如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是(　　) A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.都不是 【举一反三2】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝DE，便能得到△ABC△AED，这所依据的是(　　) A.SSS   B.AAS C.ASA   D.SAS 【举一反三3】如图，已知AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，则由“角角边”能直接判定两个三角形全等的是 　            　（用全等符号写）． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：△AEF≌△DEB； 【题型8】AAS与线段、角的计算和证明 【典例】如图，已知AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=55°，则∠ABE的度数为(　　) A.155° B.125° C.135° D.145° 【举一反三1】如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A.a+c B.b+c C.a﹣b+c D.a+b﹣c 【举一反三2】如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为 　  　． 【举一反三3】如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【举一反三4】如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B． （1）求证：BF＝EF； （2）若AB＝6，DE＝3CE，求CD的长． 【题型9】AAS的应用 【典例】小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（　　） A.1m B.1.6m C.1.4m D.1.8m 【举一反三1】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是45cm，当小敏从水平位置CD下降20cm时，小明离地面的高度是（　　） A.20cm B.45cm C.25cm D.65cm 【举一反三2】如下图，地面上有一根旗杆AO，小明两次拉住从顶端垂下的绳子OB到OC，OD的位置（OC，OA，OD在同一平面内），测得∠COD＝90°，且C、D两点到OA的水平距离CE、DF分别为1.4m和1.8m，则F、E两点的高度差即FE的长 为 　   　m． 【举一反三3】小乐在十一假期期间去方特乘坐海盗船游玩，如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝10m，小乐在乘坐的过程中，当海盗船的A时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE＝7m；当船头从A处摆动到A'处时，A′B⊥AB．求点A'到BD的距离． 【举一反三4】已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN. (1)如图1，求∠AEB的度数； (2)如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC＋BD＝AB； (3)如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝2，求△BDE的面积. 【题型10】用SSS判定三角形全等 【典例】下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（　　） A.三个内角分别对应相等的两个三角形 B.两条边和第三边上的中线对应相等的两个三角形 C.两条边和其中一个角对应相等的两个三角形 D.两条边和第三边上的高对应相等的两个三角形 【举一反三1】如图所示，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定(　　) A.△ABD△ACD B.△ABE△ACE C.△BDE△CDE D.以上都不对 【举一反三2】如图，已知AB＝DE，AC＝DF，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“SSS”得到△ABC≌△DEF，则需要添加的条件是（　　） A.BE＝EC B.EC＝CF C.BE＝CF D.DE＝AC 【举一反三3】如图，已知AC＝AD，BC＝BD，CE＝DE，则全等三角形共有　　　　对. 【举一反三4】如图，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上的三角形叫格点三角形.除格点△ABC外，在网格中可画出与△ABC全等的格点三角形共有　　　个.  【举一反三5】已知，如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF. 求证：△ABC△DEF. 【举一反三6】如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC． 【题型11】SSS与线段、角的计算和证明 【典例】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE；若∠1+∠2+∠3＝94°，则∠3的度数为（　　） A.49° B.47° C.45° D.43° 【举一反三1】如图，已知AB=DC，AD=BC，E，F是DB上两点且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF的度数为(　　) A.150° B.40° C.80° D.70° 【举一反三2】如图，AD＝BC，AE＝CF，E，F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为(　　) A.30°   B.60° C.70°   D.80° 【举一反三3】已知△ABC和△A1C1B1，∠B=∠B1=30°，AB=A1B1=5，AC=A1C1=3，已知∠C=n°，则∠C1=　　　　.  【举一反三4】如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，直线BC与AD，DE分别交于点F，G，且∠DGB＝65°，∠EAB＝120°，则∠CAD的度数为　　　　　. 【举一反三5】已知：如图，点A，D，C，B在同一直线上，AC＝BD，AE＝BF，CE＝DF. (1)求证：△AEC△BFD； (2)求证：DE∥CF. 【举一反三6】数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”(有两组邻边分别相等的四边形)仪器，如图①，AB=AD，BC=DC，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接AC. (1)求证：AC平分∠BAD； (2)如图②，在△ABC中，∠BAC=80°，∠ABC=40°.若点E，F分别是边AB，BC上的动点(点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合)，当四边形AEFC为“筝形”时，求出∠EFB的度数. 【题型12】SSS的应用 【典例】康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【举一反三1】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA 【举一反三2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是　   　． 【举一反三3】如图①是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．如图②，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC 的平分线吗？请给出判断并说明理由． 【举一反三4】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放正，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，请说明它的道理． 【题型13】添加适当条件证明三角形全等 【典例】如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“ASA”，则需要添加的条件是（　　） A.∠A＝∠F B.AC＝DF C.AC∥DF D.AB＝DE 【举一反三1】如图：OB＝OD，添加下列条件（　　）不能保证△AOB≌△COD． A.OA＝OC B.AB＝CD C.∠A＝∠C D.∠B＝∠D 【举一反三2】如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　.(不添加辅助线，只需写出一个)  【举一反三3】如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请你选择其中一个加以证明． 【题型14】三角形的稳定性 【典例】教室的凳子坏了，工人给凳子按如图所示的位置钉了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是（　　） A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.三角形的稳定性 【举一反三1】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，根据是（　　） A.三角形稳定性 B.三角形灵活性 C.三角形全等性 D.三角形对称性 【举一反三2】下列五边形具有稳定性的图形是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 　       　（填写序号）． 【举一反三4】如图生活中的事实运用了“三角形的稳定性”的有 　    　（填写序号）． 【举一反三5】举出你观察到的应用三角形稳定性的例子． 【举一反三6】举出应用三角形稳定性和四边形不稳定性的实例． 【题型15】用HL判定三角形全等 【典例】如图，已知AB＝AD，若能用“HL”判定△ABC≌△ADC，需添加条件（　　） A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90° 【举一反三1】如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的直接理由是（　　） A.SSS B.AAS C.HL D.ASA 【举一反三2】如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，要根据“HL”直接证明Rt△ABCRt△DCB，应添加的条件是　　　　.  【举一反三3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 　     　． 【举一反三4】如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【举一反三5】求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等． 【题型16】用HL证明边或角相等 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边AB上一点，延长CB至点E，使EB=AB=5，连接DE.若DE=AC，且△ABC的面积为7，则BD的长为(　　) A.4 B. C. D.7 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，CB⊥AB，垂足分别是D，B，CD=CB.求证：Rt△ADCRt△ABC.以下是排乱的证明过程： ①∴∠D=∠B=90°；②∴Rt△ADCRt△ABC(HL)；③∵CD⊥AD，CB⊥AB；④∵在Rt△ADC和Rt△ABC中，证明步骤正确的顺序是(　　) A.③②④① B.③①④② C.①②③④ D.①③④② 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确的有（　　） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【举一反三3】如图所示，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝30°，则∠2＝　   　°． 【举一反三4】已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，且AE＝BF． 求证：（1）△ADE≌△BCF； （2）AE∥BF． 【举一反三5】已知，如图，∠BAC＝∠CDB＝90°，AC＝DB．求证：AB＝DC． 【题型17】HL的应用 【典例】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（　　） A.60° B.90° C.120° D.150° 【举一反三1】如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部B到墙角C的距离为1.2 m.若梯子底部B沿水平方向向右滑动至点D，梯子顶部A落在竖直墙体的E处，此时梯子与水平地面的夹角为32°，点E到墙角C的距离为1.2 m，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为(　　) A.58° B.54° C.48° D.32° 【举一反三2】如图，CD为△ABC的中线，点E在DC的延长线上，连接BE，且BE＝AC，过点B作BH⊥CD于点H，连接AH，若CE＝BH，S△ABH＝18，则DH的长为　　　　. 【举一反三3】如图，点D，A，E在直线l上，AB=AC，BD⊥l于D点，CE⊥l于E点，且BD=AE.若BD=2，DE=7，则CE=　　　.  【题型18】找全等三角形 【典例】如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，AB、CD相交于O点，AO＝BO，CO＝DO，则图中全等三角形共有（　　） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【举一反三2】如图，AB∥CD，AD∥BC，AC和BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【举一反三3】如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC，则图中的全等三角形共有　 　对． 【举一反三4】如图，AC与BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，则图中全等三角形共有_________对.  【举一反三5】如图1，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE交于点F． （1）求∠ACB+∠DAE的度数； （2）如图2，连接AF，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形．（不包括已知全等三角形） 【题型19】中线倍长模型 【典例】如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上（E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（　　） A.BE+CF＞EF B.BE+CF＝EF C.BE+CF＜EF D.BE+CF与EF的长短关系不确定 【举一反三1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2，CD＝8，E为AD的中点，连接BE，∠CBE＝45°，则BC的长为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三2】如图，在△ABC中，AC＝6，中线AD＝4，则AB边的取值范围是 　          　． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是　　　　　　. 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点.若AE是∠BAD的平分线.试探究AB，AD，DC之间的等量关系，并证明你的结论. 【题型20】三垂直模型 【典例】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　   　． 【举一反三1】如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.直线l经过点A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F.若BE＝2，CF＝5，则EF＝　　　　　. 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，G是BC的中点，连接BD，CD. (1)求证：BD=CD； (2)如图，DE⊥AB交于点E，AB=8，AC=5，求BE的长. 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【题型21】一线三等角模型 【典例】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝　    　． 【举一反三1】如图，在四边形ABEF中，AB＝4，EF＝6，点C是BE上一点，连接AC、CF，若AC＝CF，∠B＝∠E＝∠ACF，则BE的长为 　   　． 【举一反三2】如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB． 【举一反三3】如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α，且BD＝BE．求证：△ADB≌△CEB． 【题型22】全等三角形与动点问题 【典例】已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时．△ABP和△DCE全等． A.1 B.1或3 C.1或7 D.3或7 【举一反三1】如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6 cm，BC＝10 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC向点C运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，当△ABP与△PQC全等时，v的值为(　　) A.2.4   B.2.4或2 C.2.4或2.5   D.2或2.5 【举一反三2】如图，AB∥CE，AB＝10 cm，点D是BC的中点，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2 cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿射线CE以1 cm/s的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，当线段PQ经过点D时，点Q的运动时间为　　　　. 【举一反三3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为2 cm/s和3 cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t s，则当t＝　　　　　　时，△PEC与△QFC全等. 【举一反三4】如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5． （1）PC＝　      　cm（用含t的代数式表示）． （2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 苏科版（2024）八年级上册 1.3 全等三角形的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】用SAS证明三角形全等 【典例】程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图. 有以下结论： ①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ②当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ③当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ. 其中所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】B 【解析】①当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误； ②当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确； ③当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确. 【举一反三1】如图，在△ABF 和△DCE 中，点E、F在BC上，AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（　　） A.BE＝CF B.∠B＝∠C C.∠A＝∠D D.AB＝DC 【答案】A 【解析】A、由BE＝CF，得到BF＝CE，又AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，由SAS能判定△ABF≌△DCE，故A符合题意； B、∠B＝∠C，又AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，由AAS能判定△ABF≌△DCE，故B不符合题意； C、∠A＝∠D，又AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，由ASA能判定△ABF≌△DCE，故C不符合题意； D、AB＝DC，AF＝DE，∠AFB，∠DEC分别是AB、DC的对角，因此不能用SAS判定△ABF≌△DCE，故D不符合题意． 故选：A． 【举一反三2】下列与图1三角形全等的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.只有① 【答案】D 【解析】由图1可得已知两边及其40°的夹角， 图①与图1满足两边及其夹角分别对应相等， ∴两个三角形全等， 而图②，③，④都不满足条件，故不符合题意. 【举一反三3】如图，在△ABE和△DCF中，∠B＝∠C，AB＝DC，若要证明△ABE△DCF，还需要添加一个条件：　　　　　.(写出一种即可) 【答案】 BE＝CF(答案不唯一) 【解析】 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE△DCF(SAS)， ∴要证明△ABE△DCF，还需要添加一个条件：BE＝CF(答案不唯一). 【举一反三4】如图，AC∥EF，AB＝DF，添加条件　　　　　，可以根据“SAS”得到△ABC△FDE. 【答案】 AC＝FE 【解析】 ∵AC∥EF， ∴∠A＝∠F， 若AC＝FE，则 在△ABC和△FDE中， ∴△ABC△FDE(SAS). 【举一反三5】如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF．求证：△ADE≌△CBF． 【答案】证明：∵AE∥CF ∴∠AED＝∠CFB， ∵DF＝BE， ∴DF+EF＝BE+EF， 即DE＝BF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． 【题型2】SAS与线段、角的计算和证明 【典例】如图，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论正确的个数为(　　) ①△ABD△ACD；②AB=AC；③∠B=∠C；④AD是△ABC的角平分线. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】∵AD⊥BC，D为BC的中点， ∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD△ACD(SAS). ∴AB=AC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD， ∴AD是△ABC的角平分线， 综上所述，正确的结论为①②③④，共4个. 【举一反三1】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3的度数为(　　) A.60° B.90° C.135° D.180° 【答案】B 【解析】如图，在△ABC和△DEA中， ∴△ABC△DEA(SAS)， ∴∠1=∠4， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°. 【举一反三2】如图所示，若AD＝AB，AC＝AG，∠DAE＝∠GAC＝60°，则∠DOC＝　　. 【答案】 120° 【解析】 ∵∠DAE＝∠GAC＝60°， ∴∠DAG＝∠BAC， 在△DAG与△BAC中， ∴△DAG△BAC， ∴∠GDA＝∠CBA， ∵∠BEO＝∠AED， ∴∠BOE＝∠BAD， ∵∠BAD＝60°， ∴∠BOE＝60°， ∴∠DOC＝120°. 【举一反三3】如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝35°，∠ADC＝100°，则∠ACB＝　    　°． 【答案】45． 【解析】∵∠DAC＝35°，∠ADC＝100°， ∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣100°＝45°， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°， 故答案为：45． 【举一反三4】如图，在△ABC中，点D在AC上，延长DB至点E，使得DE＝AB，连接AE，若∠DAE＝∠ABD，AE＝AC．求证：AD＝BC． 【答案】证明：∵∠DAE＝∠ABD，∠DAE＝∠BAE+∠BAC，∠ABD＝∠BAE+∠E， ∴∠E＝∠BAC， 在△ABC和△EDA中， ， ∴△ABC≌△EDA（SAS）， ∴AD＝BC． 【举一反三5】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF． （1）求证：∠D＝∠2； （2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 【答案】证明：（1）在△BEF和△CDA中， ， ∴△BEF≌△CDA（SAS）， ∴∠D＝∠2； （2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°， ∴∠D＝∠2＝78°， ∵EF∥AC， ∴∠2＝∠BAC＝78°． 【题型3】SAS的应用 【典例】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”.后来随着造纸术的发明.人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的风筝图案中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE.则可以直接判定(　　) A.△AEG△ABC B.△AEG△ACF C.△ABF△ADG D.△ABC△ADE 【答案】D 【解析】在△ABC和△ADE中， ∴△ABC△ADE(SAS). 【举一反三1】如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　） A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【答案】A 【解析】∵O是AA′，BB′的中点， ∴AO＝A′O，BO＝B′O， 又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角， ∴∠AOB＝∠A′OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ∵， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴A′B′＝AB， ∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准， ∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS． 故选：A． 【举一反三2】如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，由△ABC和△DEC全等得到DE＝AB．那么判定其全等的依据是 　   　（用三个字母表示）． 【答案】SAS． 【解析】由题意知CD＝CA，CE＝CB， 在△DCE和△ACB中， ， ∴△DCE≌△ACB（SAS）． 故答案为：SAS． 【举一反三3】有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长为50m，则锥形小山两端A、B的距离为　  　m． 【答案】50 【解析】在△ABC和△EDC中 ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴AB＝DE＝50． 答：锥形小山两端A、B的距离为50m． 故答案为：50． 【举一反三4】如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度AB，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量．已知BP为垂直于AB的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案． （1）请在图中画出测量示意图并写出测量数据（线段长度可用a、b、c…表示）；（不要求写出测量过程） （2）根据你的测量方案数据，计算出这个人工湖的长度AB． 【答案】解：（1）测量示意图如下所示： （2）在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴AB＝DE＝c． 答：这个人工湖的长度AB为c． 【题型4】用ASA证明三角形全等 【典例】如图，小明练习册上一个三角形破损了，他运用所学知识重新画了一个一模一样的三角形，他画图的依据是(　　) A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【答案】B 【解析】由图可知，左下角和右下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据ASA得到与原图形全等的三角形. 【举一反三1】如图，已知AB=AD，使用“ASA”能直接判定△ABC△ADE的是(　　) A.∠B=∠D B.AC=AE C.BC=DE D.∠ACB=∠AED 【答案】A 【解析】由题图可得，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠A=∠A，要根据ASA得到△ABC△ADE，就只需添加∠B=∠D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，则△ABD≌△ACD的根据是　  　． 【答案】ASA 【解析】∵AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA＝90°； 又∵AD＝AD（公共边）， ∴△ACD≌△ABD（ASA）． 故答案为：ASA． 【举一反三3】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上． 求证：△AEC≌△BED． 【答案】 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【题型5】ASA与线段、角的计算和证明 【典例】如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　） A.3 B.6 C.8 D.12 【答案】A 【解析】∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∵CE∥AB， ∴∠DCE＝∠DBA， 在△CDE和△BDA中， ， ∴△CDE≌△BDA（ASA）， ∴EC＝AB＝5， ∵7﹣5＜AE＜7+5， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6， 故选：A． 【举一反三1】如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E.若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是(　　) A.3   B.6 C.12   D.24 【答案】C 【解析】 ∵AE∥CF， ∴∠DAE＝∠DCF， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， 在△ADE与△CDF中， ∴△ADE△CDF(ASA)， ∴△CDF的面积＝△ADE的面积＝3， ∵CF是△BCD的中线， ∴△BCD的面积＝2×3＝6， ∵BD是△ABC的中线， ∴△ABC的面积＝2×6＝12. 【举一反三2】如图，△ABC的面积为8，AP与∠ABC的平分线BP垂直，垂足为P，连接PC，则△PBC的面积为(　　) A.4 B.3.5 C.3 D.4.5 【答案】A 【解析】如图，延长AP交BC于点E， ∵AP与∠ABC的平分线BP垂直，垂足为P， ∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， ∴△ABP△EBP(ASA)， ∴S△ABP=S△EBP，AP=EP， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△CPE， ∴S△PBC=S△EBP+S△CPE=S△ABC=4. 【举一反三3】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB>BC，点D在边BC上，且DC＝3BD，点E，F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝24，则S△ABE＋S△CDF＝　　　　　. 【答案】 18 【解析】 ∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠CFD＝∠FCA＋∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE△CAF(ASA)， ∴S△ABE＝S△ACF， ∴S△ABE＋S△CDF＝S△ACD， ∵DC＝3BD， ∴BC＝4BD， ∵S△ABC＝24， ∴S△ACD＝S△ABC＝18， ∴S△ABE＋S△CDF＝S△ACD＝18. 【举一反三4】如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC∥DF，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC＝DF； （2）若∠EOC＝80°，∠F＝36°，求∠B的度数． 【答案】（1）证明：∵AC∥DF，AB∥DE， ∴∠F＝∠ACB，∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AC＝DF； （2）解：∵AC∥DF， ∴∠F＝∠ACB， ∵∠F＝36°， ∴∠ACB＝36°． ∵∠EOC＝80°， ∴∠DEF＝180°﹣36°﹣80°＝64°， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF＝64°． 【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB，求证：BE＝DF，DE＝CF． 【答案】证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DF∥AB， ∴∠B＝∠CDF， ∵DE∥AC， ∴∠C＝∠BDE， 在△BDE和△DCF中，， ∴△BDE≌△DCF（ASA）， ∴BE＝DF，DE＝CF． 【题型6】ASA的应用 【典例】打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　） A.带①②去 B.带②③去 C.带③④去 D.带②④去 【答案】A 【解析】A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三1】如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃(　　) A.① B.② C.③ D.无法确定 【答案】C 【解析】∵两角及其夹边对应相等，两个三角形全等， ∴带③去就可以. 【举一反三2】综合实践活动小组为测量池塘两端A，B的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使DC＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，量出DE的长即为A，B的距离． 小欣：如图②，先过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，再过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则量出DE的长即为A，B的距离． 小彤：如图③，过点B作AB的垂线BE，在BE上取一点D，连接AD，然后在AB的延长线上取一点C，连接CD，使∠BDC＝∠BDA．这时只要量出BC的长即为A，B的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是（　　） A.小华和小欣 B.小欣和小彤 C.小华和小彤 D.三个人的方案都可以 【答案】D 【解析】小华同学的方案： 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝CD， ∴小华同学的方案可行； 小欣同学的方案： 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA） ∴AB＝DE， ∴小欣同学的方案可行； 小彤同学的方案： 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（ASA） ∴AB＝BC， ∴小彤同学的方案可行． 故选：D． 【举一反三3】如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD=∠ACB，这时量得AD=120 m，则水池宽AB的长度是　　　m.  【答案】120 【解析】∵AC⊥BD， ∴∠CAD=∠CAB=90°， 在△ABC和△ADC中， ∴△ACD△ACB(ASA)， ∴AB=AD=120 m. 【举一反三4】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【答案】解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC， ∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°， ∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC， 在△ADE与△ECB中， ． ∴△ADE≌△ECB（ASA）， ∴AD＝CE，DE＝BC， 又∵AD＝150米，BC＝350米， ∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）． 答：两个排污口之间的水平距离DC为500米． 【题型7】用AAS判定三角形全等 【典例】在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是(　　) A.   B. C.   D. 【答案】D 【解析】 A项，满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等，不符合题意； B项，满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等，不符合题意； C项，如图， ∵∠DFC＝50°＋∠EFC＝∠B＋∠BDF，∠B＝∠C＝50°， ∴∠EFC＝∠BDF， ∵BD＝CF＝2，∠B＝∠C＝50°， ∴根据ASA可知剪下的两个三角形全等，不符合题意； D项，如图， 同理可得∠EFC＝∠FDB，而∠B＝∠C＝50°， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意. 【举一反三1】如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是(　　) A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.都不是 【答案】C 【解析】甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故根据ASA可判定甲与△ABC全等； 乙三角形50°内角及其对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等.则与△ABC全等的有乙和甲. 【举一反三2】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝DE，便能得到△ABC△AED，这所依据的是(　　) A.SSS   B.AAS C.ASA   D.SAS 【答案】B 【解析】 ∵∠1＝∠2， ∴∠CAB＝∠DAE， 在△ABC和△AED中， ∴△ABC△AED(AAS). 【举一反三3】如图，已知AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，则由“角角边”能直接判定两个三角形全等的是 　            　（用全等符号写）． 【答案】△ABC≌△CDA． 【解析】∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠ACD， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（AAS）． 故答案为：△ABC≌△CDA． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：△AEF≌△DEB； 【答案】证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBF，∠FAE＝∠BDE， 在△AEF和△DEB中， ， △AEF≌△DEB（AAS）； 【题型8】AAS与线段、角的计算和证明 【典例】如图，已知AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=55°，则∠ABE的度数为(　　) A.155° B.125° C.135° D.145° 【答案】B 【解析】在△ACD和△AEB中， ∴△ACD△AEB(AAS)， ∴∠ABE=∠ADC， ∵∠CDE=55°， ∴∠ABE=∠ADC=180°-55°=125°. 【举一反三1】如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A.a+c B.b+c C.a﹣b+c D.a+b﹣c 【答案】D 【解析】∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C，∵AB＝CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵EF＝c， ∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c， 故选：D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为 　  　． 【答案】4． 【解析】过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于H， 在△ADE和△BDH中， ， ∴△ADE≌△BDH（AAS）， ∴AE＝BH， ∴AE+CF的最大值是BH+CF的最大值， 由题意可知：BH+CF≤BC， ∴AE+CF的最大值为4， 故答案为：4． 【举一反三3】如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【答案】24 【解析】∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠D， 在△BAF和△EDF中， ， ∴△BAF≌△EDF（AAS）， ∴S△BAF＝S△DEF， ∴图中阴影部分的面积＝S四边形ACEF+S△AFB＝S△ACD＝＝＝24． 故答案为：24． 【举一反三4】如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B． （1）求证：BF＝EF； （2）若AB＝6，DE＝3CE，求CD的长． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠DEF，∠BAF＝∠D， ∵ ∴△AFB≌△DFE（AAS）， ∴BF＝EF； （2）解：∵△AFB≌△DFE， ∴AB＝DE＝6， ∵DE＝3CE， ∴CE＝2． ∴CD＝CE+DE＝2+6＝8． 【题型9】AAS的应用 【典例】小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（　　） A.1m B.1.6m C.1.4m D.1.8m 【答案】D 【解析】∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m， ∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m， ∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m）， ∵∠BDO＝∠BOC＝90°， ∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°， ∴∠OBD＝∠COD， 又由题意可知，OB＝OC， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.7m，CE＝OD， ∴CE＝OD＝OE+DE＝1.7+0.1＝1.8（m）， ∴点C到OA的距离CE为1.8m， 故选：D． 【举一反三1】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是45cm，当小敏从水平位置CD下降20cm时，小明离地面的高度是（　　） A.20cm B.45cm C.25cm D.65cm 【答案】D 【解析】在△OCF与△ODG中， ， ∴△OCF≌△ODG（AAS）， ∴CF＝DG＝20（cm）， ∴小明离地面的高度是45+20＝65（cm）， 故选：D． 【举一反三2】如下图，地面上有一根旗杆AO，小明两次拉住从顶端垂下的绳子OB到OC，OD的位置（OC，OA，OD在同一平面内），测得∠COD＝90°，且C、D两点到OA的水平距离CE、DF分别为1.4m和1.8m，则F、E两点的高度差即FE的长 为 　   　m． 【答案】∵CE⊥OA，DF⊥OA， ∴∠CEO＝∠OFD＝90°， ∵∠AOD＝90°， ∴∠AOE+∠OCE＝∠COE+∠DOF， ∴∠OCE＝∠DOF， 在△COE与△ODF中， ， ∴△COE≌△ODF（AAS）， ∴OF＝BE＝1.4m，OE＝DF＝1.8m， ∴EF＝DE﹣DF＝0.4（m）， 答：FE的长为0.4m， 故答案为：0.4． 【举一反三3】小乐在十一假期期间去方特乘坐海盗船游玩，如图，当静止时海盗船位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝10m，小乐在乘坐的过程中，当海盗船的A时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE＝7m；当船头从A处摆动到A'处时，A′B⊥AB．求点A'到BD的距离． 【答案】解：如图，过点A′作A′F⊥BD于点F， ∵A′B⊥AB，AC⊥BD， ∴∠FBA′+∠FBA＝∠CAB+∠FBA， ∴∠FBA′＝∠CAB， 在△ACB与△BFA′中， ， ∴△ACB≌△BFA′， ∴FA′＝BC， ∵AC⊥BD，AE⊥ED，DE⊥BD， ∴CD＝AE＝7m， ∴FA′＝BC＝BD﹣CD＝BD﹣AE＝10﹣7＝3（m）． 【举一反三4】已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN. (1)如图1，求∠AEB的度数； (2)如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC＋BD＝AB； (3)如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝2，求△BDE的面积. 【答案】 (1)解　∵AM∥BN， ∴∠BAM＋∠ABN＝180°， ∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN， ∴∠BAE＝∠BAM，∠ABE＝∠ABN， ∴∠BAE＋∠ABE＝(∠BAM＋∠ABN)＝90°， ∴∠AEB＝90°. (2)证明　在AB上截取AF＝AC，连接EF，如图， ∵AE平分∠BAM， ∴∠CAE＝∠FAE， 在△ACE与△AFE中， ∴△ACE△AFE(SAS)， ∴∠AEC＝∠AEF， ∵∠AEB＝90°， ∴∠AEF＋∠BEF＝∠AEC＋∠BED＝90°， ∴∠FEB＝∠DEB， ∵BE平分∠ABN， ∴∠FBE＝∠DBE， 在△BFE与△BDE中， ∴△BFE△BDE(ASA)， ∴BF＝BD， ∵AB＝AF＋BF， ∴AC＋BD＝AB. (3)解　延长AE交BD于F，如图， ∵∠AEB＝90°， ∴∠FEB＝90°， ∵BE平分∠ABN， ∴∠FBE＝∠ABE， 在△ABE与△FBE中， ∴△ABE△FBE(ASA)， ∴AB＝FB，AE＝FE， ∵AB＝5， ∴FB＝5， ∵AM∥BN， ∴∠C＝∠EDF， 在△ACE与△FDE中， ∴△ACE△FDE(AAS)， ∴FD＝AC＝3， ∵FB＝5， ∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x， ∵S△ABE－S△ACE＝2， ∴5x－3x＝2， ∴x＝1， ∴S△BDE＝S△BEF＋S△DEF＝8x＝8， ∴△BDE的面积为8. 【题型10】用SSS判定三角形全等 【典例】下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（　　） A.三个内角分别对应相等的两个三角形 B.两条边和第三边上的中线对应相等的两个三角形 C.两条边和其中一个角对应相等的两个三角形 D.两条边和第三边上的高对应相等的两个三角形 【答案】B 【解析】A．如图所示： 在△ADE和△ABC中，∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，但是△ADE和△ABC不全等，故本选项不符合题意； B．如图：延长BD到E，使BD＝DE，连接CE，延长B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，连接C′E′， ∵BD是△ABC的中线，B′D′是△A′B′C′的中线， ∵AD＝CD，A′D′＝C′D′，BE＝B′E′， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴∠ABD＝∠E，CE＝AB， 同理∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′， ∵AB＝A′B′， ∴CE＝C′E′， 在△BCE和△B′C′E′中 ， ∴△BCE≌△B′C′E′（SSS）， ∴∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′， ∵∠ABD＝∠E′，∠A′B′D′＝∠E′， ∴∠ABD＝∠A′B′D′， 即∠ABC＝∠A′B′C′， 在△ABC和△A′B′C′中 ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故本选项符合题意； C．如图所示： 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但是△ABC和△ABD不全等，故本选项不符合题意； D．如图所示： 在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝高A′D′， 此时△ABC和△A′B′C′不全等，故本选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】如图所示，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定(　　) A.△ABD△ACD B.△ABE△ACE C.△BDE△CDE D.以上都不对 【答案】B 【解析】 因为AB＝AC，EB＝EC，AE＝AE， 所以△ABE△ACE(SSS). 【举一反三2】如图，已知AB＝DE，AC＝DF，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“SSS”得到△ABC≌△DEF，则需要添加的条件是（　　） A.BE＝EC B.EC＝CF C.BE＝CF D.DE＝AC 【答案】C 【解析】∵AB＝DE，AC＝DF， ∴利用“SSS”得到△ABC≌△DEF，还需BC＝EF， A、B、D中的条件都不一定得到BC＝EF，故A、B、D不符合题意； C、由BE＝CF得到BC＝EF，故C符合题意． 故选：C． 【举一反三3】如图，已知AC＝AD，BC＝BD，CE＝DE，则全等三角形共有　　　　对. 【答案】 3 【解析】 全等三角形共有3对，△ACE△ADE，△ACB△ADB，△ECB△EDB， 理由：在△ECB和△EDB中， ∴△ECB△EDB(SSS)， 在△ACE和△ADE中， ∴△ACE△ADE(SSS)， 在△ACB和△ADB中， ∴△ACB△ADB(SSS). 【举一反三4】如图，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上的三角形叫格点三角形.除格点△ABC外，在网格中可画出与△ABC全等的格点三角形共有　　　个.  【答案】3 【解析】如图， 图中与△ABC全等的格点三角形是△DHG，△BAE，△HDF，共3个. 【举一反三5】已知，如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF. 求证：△ABC△DEF. 【答案】证明　∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC. 即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC△DEF(SSS). 【举一反三6】如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC． 【答案】证明：∵C是BD的中点， ∴BC＝DC， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SSS）． 【题型11】SSS与线段、角的计算和证明 【典例】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE；若∠1+∠2+∠3＝94°，则∠3的度数为（　　） A.49° B.47° C.45° D.43° 【答案】B 【解析】 在△ABC和△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， 在△ABC中，由三角形的外角性质得，∠3＝∠ABC+∠BAC＝∠1+∠2， ∵∠1+∠2+∠3＝94°， ∴2∠3＝94°， ∴∠3＝47°． 故选：B． 【举一反三1】如图，已知AB=DC，AD=BC，E，F是DB上两点且BF=DE，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF的度数为(　　) A.150° B.40° C.80° D.70° 【答案】D 【解析】在△ABD和△CDB中， ∴△ABD△CDB(SSS)， ∴∠ADE=∠CBF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE△CBF(SAS)， ∴∠BCF=∠DAE， ∵∠DAE=∠AEB-∠ADE=100°-30°=70°， ∴∠BCF=70°. 【举一反三2】如图，AD＝BC，AE＝CF，E，F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为(　　) A.30°   B.60° C.70°   D.80° 【答案】C 【解析】 ∵BE＝DF， ∴BE＋EF＝DF＋EF， ∴BF＝DE， 又∵AD＝CB，AE＝CF， ∴△AED△CFB(SSS)， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB－∠ADB＝100°－30°＝70°， ∴∠BCF＝70°. 【举一反三3】已知△ABC和△A1C1B1，∠B=∠B1=30°，AB=A1B1=5，AC=A1C1=3，已知∠C=n°，则∠C1=　　　　.  【答案】n°或180°-n° 【解析】当BC=B1C1时，△ABC△A1B1C1(SSS)， ∴∠C1=∠C=n°； 当BC≠B1C'1时，如图， ∵A1C'1=A1C1， ∴∠A1C'1C1=∠C1=n°， ∴∠A1C'1B1=180°-n°. 【举一反三4】如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，直线BC与AD，DE分别交于点F，G，且∠DGB＝65°，∠EAB＝120°，则∠CAD的度数为　　　　　. 【答案】 10° 【解析】 ∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE， ∴△ADE△ABC， ∴∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC， ∵∠DFG与∠AFB是对顶角， ∴∠DFG＝∠AFB， ∴∠BAD＝∠DGB＝65°， ∴∠DAE＋∠CAD＝∠BAD＝65°， ∴∠CAD＝∠BAD＋∠CAE－∠EAB＝10°. 【举一反三5】已知：如图，点A，D，C，B在同一直线上，AC＝BD，AE＝BF，CE＝DF. (1)求证：△AEC△BFD； (2)求证：DE∥CF. 【答案】 证明　(1)在△AEC和△BFD中， ∵ ∴△AEC△BFD(SSS). (2)∵△AEC△BFD， ∴∠ACE＝∠BDF， 即∠DCE＝∠CDF， 在△DCE和△CDF中， ∴△DCE△CDF(SAS)， ∴∠CDE＝∠DCF， ∴DE∥CF. 【举一反三6】数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”(有两组邻边分别相等的四边形)仪器，如图①，AB=AD，BC=DC，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接AC. (1)求证：AC平分∠BAD； (2)如图②，在△ABC中，∠BAC=80°，∠ABC=40°.若点E，F分别是边AB，BC上的动点(点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合)，当四边形AEFC为“筝形”时，求出∠EFB的度数. 【答案】(1)证明　在△ABC和△ADC中， ∴△ABC△ADC(SSS)， ∴∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD. (2)解　∵∠BAC=80°，∠ABC=40°， ∴∠C=180°-80°-40°=60°， 当AE=AC，EF=CF时，如图1， 在△AEF和△ACF中， ∴△AEF△ACF(SSS)， ∴∠AEF=∠C=60°， ∴∠EFC=360°-80°-60°-60°=160°， ∴∠EFB=`180°-160°=20°. 当AE=FE，AC=FC时，如图2， 同理可得△AEC△FEC(SSS)， ∴∠EFC=∠A=80°， ∴∠EFB=180°-80°=100°， 综上所述，∠EFB的度数为20°或100°. 【题型12】SSS的应用 【典例】康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【答案】D 【解析】∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED与△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）． 故选：D． 【举一反三1】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA 【答案】D 【解析】根据图形，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：D． 【举一反三2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是　   　． 【答案】SSS． 【解析】由图可知，CM＝CN，又OM＝ON， ∵在△MCO和△NCO中， ∴△COM≌△CON（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 即OC是∠AOB的平分线． 故答案为：SSS． 【举一反三3】如图①是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．如图②，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC 的平分线吗？请给出判断并说明理由． 【答案】解：AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． 【举一反三4】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放正，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，请说明它的道理． 【答案】解：△ABC与△ADC中， ∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC． 即AE平分∠BAD． 不论∠DAB是大还是小，始终有AE平分∠BAD． 【题型13】添加适当条件证明三角形全等 【典例】如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“ASA”，则需要添加的条件是（　　） A.∠A＝∠F B.AC＝DF C.AC∥DF D.AB＝DE 【答案】C 【解析】A、若∠A＝∠F，不是对应角相等，显然不能证明△ABC≌△DEF，不符合题意； B、∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∵AC＝DF， ∴不符合全等三角形的判定定理，不符合题意； C、∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∵AC∥DF， ∴∠F＝∠ACB， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA），符合题意； D、∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS），不符合题意， 故选：C． 【举一反三1】如图：OB＝OD，添加下列条件（　　）不能保证△AOB≌△COD． A.OA＝OC B.AB＝CD C.∠A＝∠C D.∠B＝∠D 【答案】B 【解析】A、OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，OB＝OD，由SAS判定△AOB≌△COD，故A不符合题意； B、AB＝CD，∠AOB，∠COD分别是AB和CD的对角，不能判定△AOB≌△COD，故B符合题意； C、∠A＝∠C，又∠AOB＝∠COD，OB＝OD，由AAS判定△AOB≌△COD，故C不符合题意； D、∠B＝∠D，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，由ASA判定△AOB≌△COD，故D不符合题意． 故选：B． 【举一反三2】如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　.(不添加辅助线，只需写出一个)  【答案】CA=FD 【举一反三3】如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请你选择其中一个加以证明． 【答案】解：∵∠ACB＝∠BDA＝90°，AB＝BA， ∴可以添加AC＝BD或BC＝AD利用HL判定△ABC≌△BAD； 添加∠ABC＝∠BAD或∠CAB＝∠DBA利用AAS判定△ABC≌△BAD． 证明：∵∠ACB＝∠BDA＝90°， ∴在Rt△ABC与Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． 【题型14】三角形的稳定性 【典例】教室的凳子坏了，工人给凳子按如图所示的位置钉了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是（　　） A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.三角形的稳定性 【答案】D 【解析】教室的凳子坏了，工人给凳子按如图所示的位置钉了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是三角形的稳定性， 故选：D． 【举一反三1】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，根据是（　　） A.三角形稳定性 B.三角形灵活性 C.三角形全等性 D.三角形对称性 【答案】A 【解析】加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：A． 【举一反三2】下列五边形具有稳定性的图形是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D选项中的图形都是由三角形构成. 【举一反三3】下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有 　       　（填写序号）． 【答案】①②③． 【解析】①用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性，符合题意； ②用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性，符合题意； ③在栅栏门上斜钉着一根木条，是利用三角形具有稳定性，符合题意； ④商店的推拉防盗铁门，是用四边形的不稳定性，不是用三角形具有稳定性，不符合题意； 综上所述：用到三角形稳定性的是①②③． 【举一反三4】如图生活中的事实运用了“三角形的稳定性”的有 　    　（填写序号）． 【答案】①③⑤． 【解析】运用了“三角形的稳定性”的有图①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【举一反三5】举出你观察到的应用三角形稳定性的例子． 【答案】解：应用三角形稳定性的例子：自行车的三脚架、在门的后面沿对角线钉一根木条、三角形钢架等． 【举一反三6】举出应用三角形稳定性和四边形不稳定性的实例． 【答案】解：只要三角形三边的长度确定， 这个三角形的形状和大小就完全确定， 这个性质叫做三角形的稳定性． 例如：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架， 然后扭动它，它的形状是固定的； 四边形的特性是具有不稳定性．比如：在阳台上晾晒衣物用的晾衣架；推拉式的防盗门；压缩门等． 【题型15】用HL判定三角形全等 【典例】如图，已知AB＝AD，若能用“HL”判定△ABC≌△ADC，需添加条件（　　） A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90° 【答案】D 【解析】解：∵AB＝AD，AC＝AC， ∴能用“HL”判定△ABC≌△ADC，添加的条件是∠B＝∠D＝90°， 故选：D． 【举一反三1】如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的直接理由是（　　） A.SSS B.AAS C.HL D.ASA 【答案】C 【解析】∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴∠AEP＝∠ADP＝90°， 在Rt△APD和Rt△APE中， ， ∴Rt△APD≌Rt△APE（HL）， 故选：C． 【举一反三2】如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，要根据“HL”直接证明Rt△ABCRt△DCB，应添加的条件是　　　　.  【答案】AC=DB 【解析】应添加的条件是AC=DB，理由是： ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABC=∠DCB=90°， ∵BC=CB，AC=DB， ∴Rt△ABCRt△DCB(HL)，即应添加的条件是AC=DB. 【举一反三3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 　     　． 【答案】AB＝AC． 【举一反三4】如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【答案】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠ADE＝∠BCF＝90°， ∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC， 在Rt△ADE与Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）． 【举一反三5】求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等． 【答案】解：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°， CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'，BC＝B'C'，CD＝C'D'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 证明：∵CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'， ∴∠CDB＝∠C′D′B′＝90° 在Rt△CDB与Rt△C′D′B′中， ∵， ∴Rt△CDB≌Rt△C′D′B′（HL）， ∴∠B＝∠B′． 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（ASA）． 【题型16】用HL证明边或角相等 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边AB上一点，延长CB至点E，使EB=AB=5，连接DE.若DE=AC，且△ABC的面积为7，则BD的长为(　　) A.4 B. C. D.7 【答案】B 【解析】∵∠ABC=90°， ∴∠EBD=180°-90°=90°， △ABC的面积=BC·AB=7， ∵AB=5， ∴BC=， 在Rt△EBD和Rt△ABC中， ∴Rt△EBDRt△ABC(HL)， ∴BD=BC=. 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，CB⊥AB，垂足分别是D，B，CD=CB.求证：Rt△ADCRt△ABC.以下是排乱的证明过程： ①∴∠D=∠B=90°；②∴Rt△ADCRt△ABC(HL)；③∵CD⊥AD，CB⊥AB；④∵在Rt△ADC和Rt△ABC中，证明步骤正确的顺序是(　　) A.③②④① B.③①④② C.①②③④ D.①③④② 【答案】B 【解析】∵CD⊥AD，CB⊥AB， ∴∠D=∠B=90°， 在Rt△ADC和Rt△ABC中， ∴Rt△ADCRt△ABC(HL)， 故顺序为③①④②. 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确的有（　　） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】A 【解析】解：①正确，因为角平分线上的点到两边的距离相等知； ②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC+BE＝AB； ③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE＝∠BAC； ④正确，因为由△ADC≌△ADE可知，∠ADC＝∠ADE，所以AD平分∠CDE； ⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△ABD：S△ACD＝AB：AC． 所以正确的有五个，故选：A． 【举一反三3】如图所示，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝30°，则∠2＝　   　°． 【答案】60 【解析】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中 ∵， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠1＝∠CAD＝30°， 又∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠2＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：60． 【举一反三4】已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，且AE＝BF． 求证：（1）△ADE≌△BCF； （2）AE∥BF． 【答案】证明：（1）∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠ADE＝∠BCF＝90°， ∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC， 在Rt△ADE与Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）； （2）由（1）得△AED≌△BFC， ∴∠A＝∠B， ∴AE∥BF． 【举一反三5】已知，如图，∠BAC＝∠CDB＝90°，AC＝DB．求证：AB＝DC． 【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴AB＝DC． 【题型17】HL的应用 【典例】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（　　） A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】B 【解析】∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， ∵BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠2＝∠3，∠1＝∠4， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠ABC+∠DFE＝90°． 故选：B． 【举一反三1】如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部B到墙角C的距离为1.2 m.若梯子底部B沿水平方向向右滑动至点D，梯子顶部A落在竖直墙体的E处，此时梯子与水平地面的夹角为32°，点E到墙角C的距离为1.2 m，则梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为(　　) A.58° B.54° C.48° D.32° 【答案】A 【解析】∵∠C=90°， 在Rt△ABC与Rt△DEC中， ∴Rt△ABCRt△DEC(HL)， ∴∠BAC=∠CDE=32°， ∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-32°=58°， ∴梯子滑动之前与水平地面的夹角度数为58°. 【举一反三2】如图，CD为△ABC的中线，点E在DC的延长线上，连接BE，且BE＝AC，过点B作BH⊥CD于点H，连接AH，若CE＝BH，S△ABH＝18，则DH的长为　　　　. 【答案】 3 【解析】 如图，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F， ∵CD为△ABC的中线，BH⊥CD， ∴AD＝BD，∠AFD＝∠BHD＝90°， 又∵∠ADF＝∠BDH， ∴△ADF△BDH(AAS)， ∴AF＝BH，FD＝HD， ∵在Rt△CAF和Rt△EBH中， ∴Rt△CAFRt△EBH(HL)， ∴EH＝CF， ∴EH－CH＝CF－CH，即EC＝HF， ∵BH＝EC，EC＝HF＝HD＋DF，HD＝DF， ∴BH＝HD＋DF＝2DH， ∵CD为△ABC的中线，BH⊥CD， ∴S△BHD＝S△ABH＝×18＝9， 又∵S△BHD＝HD·HB＝HD·2HD， ∴HD·2HD＝9， 解得HD＝3(负值已舍). 【举一反三3】如图，点D，A，E在直线l上，AB=AC，BD⊥l于D点，CE⊥l于E点，且BD=AE.若BD=2，DE=7，则CE=　　　.  【答案】5 【解析】∵BD⊥l，CE⊥l， ∴∠BDA=∠AEC=90°， 在Rt△BDA和Rt△AEC中， ∴Rt△BDARt△AEC(HL)， ∴AD=CE， ∵AE=BD=2， ∴CE=AD=DE-AE=7-2=5. 【题型18】找全等三角形 【典例】如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等； B、与三角形ABC有两边及其夹角相等，二者全等； C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等； D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等． 故选：B． 【举一反三1】如图，AB、CD相交于O点，AO＝BO，CO＝DO，则图中全等三角形共有（　　） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【答案】C 【解析】图中全等三角形有△AOC≌△BOD，△AOD≌△BOC，△ABD≌△BAC，△ACD≌△BDC，共4对， 故选：C． 【举一反三2】如图，AB∥CD，AD∥BC，AC和BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【答案】C 【解析】图中全等三角形有4对，是△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD， 理由是：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD，∠DAO＝∠BCO，∠ABD＝∠CDB，∠BAO＝∠DCO， 在△ADB和△CBD中， ， ∴△ADB≌△CBD（ASA）， 同理△ABC≌△CDA， ∴AD＝BC，AB＝DC， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（ASA）， 同理△AOB≌△COD． 故选：C． 【举一反三3】如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC，则图中的全等三角形共有　 　对． 【答案】4 【解析】①在△AEO与△ADO中 ∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，AO平分∠BAC， ∴∠AEO＝∠ADO＝90°，∠EAO＝∠DAO ∵AO＝AO ∴△AEO≌△ADO（AAS） ∴AE＝AD，OE＝OD； ②在△OBE与△OCD中 ∵∠OEB＝∠0DC＝90°，∠EOB＝∠DOC，OE＝OD ∴△OBE≌△OCD（AAS） ∴OB＝OC，BE＝DC，∠B＝∠C； ③在△ABO与△ACO中 ∵AE＝AD ∴AB＝AC ∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO ∴△ABO≌△ACO（SSS） ④在△AEC与△ADB中 ∵∠AEC＝∠ADB＝90°，AC＝AB，AE＝AD ∴△AEC≌△ADB（HL） 所以共有四对全等三角形． 【举一反三4】如图，AC与BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，则图中全等三角形共有_________对.  【答案】4 【解析】在△AOB和△COD中， ∴△AOB△COD(SAS)， ∴AB=CD. 同理可证△AOD△COB， ∴AD=CB. 在△ABD和△CDB中， ∴△ABD△CDB(SSS)， 同理可证△ABC△CDA. 综上，△AOB△COD，△AOD△COB，△ABD△CDB，△ABC△CDA.共4对. 【举一反三5】如图1，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE交于点F． （1）求∠ACB+∠DAE的度数； （2）如图2，连接AF，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形．（不包括已知全等三角形） 【答案】解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴∠CAB＝∠EAD， 在△ACB中，∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠CAB＝90°， ∴∠ACB+∠DAE＝90°； （2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AD＝AB，AC＝AE，BC＝DE，∠ACB＝∠AED，∠CAB＝∠EAD， ∴∠CAD＝∠EAB，∠CAF＝∠EAF， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴△ACF≌△AEF（SAS）， ∴CD＝BE，CF＝EF，DF＝BF， ∴△CDF≌△EBF（SSS），△ADF≌△ABF（SSS）． 【题型19】中线倍长模型 【典例】如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上（E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（　　） A.BE+CF＞EF B.BE+CF＝EF C.BE+CF＜EF D.BE+CF与EF的长短关系不确定 【答案】A 【解析】如图，延长ED至点G，使DG＝ED，连接CG，FG， ∵AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上， ∴BD＝CD， 又∵DE⊥DF，DG＝ED， ∴FD是EG的垂直平分线， ∴FG＝EF， 又∵∠EDB＝∠GDC ∴△EBD≌△GCD（SAS）， ∴GC＝BE， ∵GC+CF＞FG， ∴BE+CF＞EF． 故选：A． 【举一反三1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2，CD＝8，E为AD的中点，连接BE，∠CBE＝45°，则BC的长为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】如图，延长BE交CD于点F， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∵E为AD的中点， ∴AE＝DE， 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（ASA）， ∴AB＝DF＝2， ∵CD＝8， ∴CF＝CD﹣DF＝6， ∵∠BCD＝90°，∠CBE＝45°， ∴∠CFB＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠CBE， ∴BC＝CF＝6， 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AC＝6，中线AD＝4，则AB边的取值范围是 　          　． 【答案】2＜AB＜14． 【解析】延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC， 在△AEC中，AC+AE＞CE，且AE﹣AC＜CE， ∵AC＝6，AE＝2AD＝8， ∴2＜AB＜14， 故答案为：2＜AB＜14． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是　　　　　　. 【答案】 2<AD<8 【解析】 延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图所示， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ∴△BDE△CDA(SAS)， ∴BE＝CA＝6， 在△ABE中，由三角形的三边关系得AB－BE<AE<AB＋BE， ∴10－6<AE<10＋6，即4<AE<16， ∴2<AD<8. 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点.若AE是∠BAD的平分线.试探究AB，AD，DC之间的等量关系，并证明你的结论. 【答案】解　AD=CD+AB，证明如下： 延长AE，DC相交于点F，如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△ABE和△FCE中， ∴△ABE△FCE(AAS)， ∴AB=FC， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， 作DG⊥AF，由AAS可得△ADG△FDG， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB. 【题型20】三垂直模型 【典例】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　   　． 【答案】2． 【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2 故选答案为2． 【举一反三1】如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.直线l经过点A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F.若BE＝2，CF＝5，则EF＝　　　　　. 【答案】 7 【解析】 ∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB＝∠CFA＝90°. ∴∠EAB＋∠EBA＝90°. 又∵∠BAC＝90°， ∴∠EAB＋∠CAF＝90°. ∴∠EBA＝∠FAC. 在△AEB和△CFA中， ∵ ∴△AEB△CFA. ∴AE＝CF，BE＝AF. ∴AE＋AF＝BE＋CF. ∴EF＝BE＋CF. ∵BE＝2，CF＝5， ∴EF＝2＋5＝7. 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，G是BC的中点，连接BD，CD. (1)求证：BD=CD； (2)如图，DE⊥AB交于点E，AB=8，AC=5，求BE的长. 【答案】(1)证明　∵DG⊥BC于点G，G是BC的中点， ∴BD=CD. (2)解　如图，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ∴Rt△ADERt△ADF(HL)， ∴AE=AF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDERt△CDF(HL)， ∴BE=CF， ∵AE=AB-BE，AF=AC+CF， ∴AB-BE=AC+BE， ∴2BE=AB-AC=8-5=3， ∴BE=. 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【答案】 （1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【题型21】一线三等角模型 【典例】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝　    　． 【答案】70°． 【解析】在△BFD和△CDE中， ， ∴△BFD≌△CDE（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠B＝∠C，∠A＝40°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°， ∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°， ∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣110°＝70°， 故答案为：70°． 【举一反三1】如图，在四边形ABEF中，AB＝4，EF＝6，点C是BE上一点，连接AC、CF，若AC＝CF，∠B＝∠E＝∠ACF，则BE的长为 　   　． 【答案】10． 【解析】∵∠B+∠BAC＝∠ACE＝∠FCE+∠ACF，∠B＝∠ACF， ∴∠BAC＝∠FCE， 在△ABC和∠CEF中， ， ∴△ABC≌∠CEF（AAS）， ∴AB＝CE，BC＝EF， ∵AB＝4，EF＝6， ∴CE＝4，BC＝6， ∴BE＝BC+CE＝6+4＝10， 故答案为：10． 【举一反三2】如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB． 【答案】证明：∵BD∥CE， ∴∠ABD＝∠C， 在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB（SAS）， ∴AD＝EB． 【举一反三3】如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α，且BD＝BE．求证：△ADB≌△CEB． 【答案】证明：∵∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α， ∴∠ADB+∠ABD＝∠CBE+∠ABD＝180°﹣α． ∴∠ADB＝∠CBE 在△ADB和△CBE中， ∵， ∴△ADB≌△CBE（AAS）． 【题型22】全等三角形与动点问题 【典例】已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时．△ABP和△DCE全等． A.1 B.1或3 C.1或7 D.3或7 【答案】C 【解析】因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE， 由题意得：BP＝2t＝2， 所以t＝1， 因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE， 由题意得：AP＝16﹣2t＝2， 解得t＝7． 所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等． 故选：C． 【举一反三1】如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6 cm，BC＝10 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC向点C运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，当△ABP与△PQC全等时，v的值为(　　) A.2.4   B.2.4或2 C.2.4或2.5   D.2或2.5 【答案】B 【解析】 当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP△PCQ， ∵AB＝CD＝6 cm， ∴PC＝AB＝6 cm， ∴BP＝BC－CP＝10－6＝4(cm)， ∴t＝4÷2＝2(s)，CQ＝BP＝4 cm， ∴v＝4÷2＝2； 当AB＝QC，BP＝CP时，△ABP△QCP， ∵BP＝CP，BC＝10 cm， ∴BP＝CP＝5 cm， ∴t＝5÷2＝2.5(s)， ∴v＝6÷2.5＝2.4. 综上所述，v的值为2.4或2. 【举一反三2】如图，AB∥CE，AB＝10 cm，点D是BC的中点，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2 cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿射线CE以1 cm/s的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，当线段PQ经过点D时，点Q的运动时间为　　　　. 【答案】 s或10 s 【解析】 如图，当点P从点A向点B运动过程中，线段PQ经过点D，点Q的运动时间为t s，则PB＝AB－AP＝(10－2t)cm，CQ＝t cm， ∵AB∥CE， ∴∠B＝∠C，∠BPD＝∠CQD， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴△BPD△CQD(AAS)， ∴PB＝QC， 即10－2t＝t， 解得t＝； 如图，当点P从点B向点A运动过程中，线段PQ经过点D，点Q的运动时间为t s，则PB＝(2t－10)cm，CQ＝t cm， ∵AB∥CE， ∴∠B＝∠C，∠BPD＝∠CQD， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴△BPD△CQD(AAS)， ∴PB＝QC， 即2t－10＝t， 解得t＝10. 综上可知，点Q的运动时间为 s或10 s. 【举一反三3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为2 cm/s和3 cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t s，则当t＝　　　　　　时，△PEC与△QFC全等. 【答案】 2或或6 【解析】 ①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l， 由题意得，AP＝2t cm，BQ＝3t cm， ∵AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴CP＝(6－2t)cm，CQ＝(8－3t)cm， ∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°， ∴∠CPE＋∠PCE＝∠PCE＋∠FCQ＝90°， ∴∠CPE＝∠FCQ， 当△PEC△CFQ时， 则PC＝CQ， 即6－2t＝8－3t， 解得t＝2； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当△PEC△QFC， 则PC＝QC， ∴6－2t＝3t－8， 解得t＝； ③如图3，当点Q与点A重合时， △PEC△CFQ， 则PC＝CQ， ∴2t－6＝6， 解得t＝6， 综上可知，当t＝2或或6时，△PEC与△QFC全等. 【举一反三4】如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5． （1）PC＝　      　cm（用含t的代数式表示）． （2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）BP＝2t，则PC＝10﹣2t； 故答案为（10﹣2t）； （2）存在． 分两种情况讨论： ①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ． 因为AB＝6，所以PC＝6． 所以BP＝10﹣6＝4，即2t＝4． 解得t＝2． 因为CQ＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2． ②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP． 因为PB＝PC， 所以BP＝PC＝BC＝5，即2t＝5． 解得t＝2.5． 因为CQ＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4． 综上所述，当v＝2.4或2时，△ABP与△PQC全等． 学科网（北京）股份有限公司 $