3.2利用两角对应相等判定相似 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦相似三角形判定与黄金分割，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实践创新的知识进阶，适配新授课预习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一判定（两角对应相等）|单选1-5直接应用判定定理，填空9-11识别相似三角形，培养几何直观| |能力提升|综合应用（网格/黄金分割）|单选6-8结合网格计算与黄金分割，填空12-13涉及比例运算，发展推理意识| |综合应用|实践创新（作图/证明）|解答题14-18含尺规作图与实际问题证明，体现应用意识与数学语言表达|

3.2利用两角对应相等判定相似 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 4．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（　　）对． ①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°； ②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6； ③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25； ④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．下列命题中，说法正确的是（    ） A．四条边对应成比例的两个四边形相似 B．四个内角对应相等的两个四边形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 6．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的周长，表示长为，宽为的矩形的周长，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 10．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 11．如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有_______．（填序号） 12．若，点C为线段上的黄金分割点，且，则______．（结果保留根号） 13．在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 三、解答题 14．如图，在中，，点在边上，过点作，请利用尺规作图法在射线上求作点，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 15．如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明． 16．如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 17．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 18．黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D C D B D A 1．【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是顶角为，底角为的等腰三角形， A、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； B、三边相等的三角形是等边三角形，每个内角都为，与不相似，故不符合题意； C、是顶角为的等腰三角形，则底角为，与相似，故符合题意； D、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定方法是解答此题的关键．根据相似三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：A、，， ， 故A选项不符合题意； B、，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 故C选项不符合题意； D、，， 不能判定， 故D选项符合题意； 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°． ∴∠B=65°． ∵∠C=∠C′，∠B=∠B′． ∴△ABC∽△A′B′C′． ②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6． ∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′． ∴△ABC∽△A′B′C′． ③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25． ∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′． ∴△ABC∽△A′B′C′． ④∵没有指明80°的角是顶角还是底角． ∴无法判定两三角形相似． ∴共有3对． 故选：C． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 5．【答案】D 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答． 【详解】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题； B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题； C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题； D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大． 6．【答案】B 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段等于全线段乘以黄金比，直接代入计算即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，是较长线段， ∴， ∵， ∴． 7．【答案】D 【知识点】比例的性质、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，比例线段，理解和熟练掌握黄金分割定理是解题的关键． 根据黄金分割点，可得，根据比例的性质，得到，将代入，即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 根据题意可知， ． 故选：D． 8．【答案】A 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 9．【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10．【答案】1 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 11．【答案】①②④ 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 12．【答案】 / 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，解决本题的关键是设出未知数并代入求解． 根据黄金分割点的定义，点为线段的黄金分割点且，则是的较大部分，满足，设，列方程求解． 【详解】解：设，则， 由黄金分割点的性质得， 整理得， 解方程得， 取正值， 故． 故答案为：． 13．【答案】或 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分 和 两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当 时，， 即， 解得， 当 时，， 即， 解得， 故答案为：或． 14．【答案】 解：如图点即为所求， 【知识点】作线段(尺规作图)、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查尺规作图，三角形相似的判定，平行线的性质，根据题意，作即可． 【详解】略 15．【答案】；证明： ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据得出，然后根据相似三角形的判定方法可得，． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据得出，熟记相似三角形的判定方法． 16．【答案】 ．理由如下： 由题意得， ， ， ， ． 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】略 17．【答案】 相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】略 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 18．【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【知识点】作线段(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、黄金分割 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $