2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版九年级上册“一元二次方程的根与系数的关系”新授课同步练，以“基础巩固-综合应用-创新拓展”分层设计，通过梯度化题型构建从概念理解到问题解决的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数关系直接应用|单选题1-5题考查两根和、积计算，填空题8、11题结合几何边长，夯实概念理解| |中档|知识综合辨析与简单拓展|单选题6-7题融合判别式与错解分析，填空题9-10题引入“和谐方程”等新定义，培养推理能力| |提升|复杂情境问题解决|解答题15-17题设计“邻根方程”探究、换元法应用，综合数学思维与创新意识，适配深度学习需求|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．方程的根的情况是（　　） A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．无实根 D．以上三种情况都有可能 3．已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．方程；，其中，则以下四个结论： ①若，则方程有两个不相等的实数根；②若方程有两个不相等的实数根，则方程必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程的一个根；④若方程P和方程有相同的根，则． 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 9．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则______ 10．关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则的最大值是________． 11．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 12．写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 三、解答题 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若且为整数，求方程的根． 14．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (2)若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 16．【综合与实践】 【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系． 【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当时，则一元二次方程必有一根是． （2）当时，则一元二次方程必有一根是． 请判断两个结论的真假，并说明原因． 【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值． 17．阅读材料，解决问题。 【材料1】为了解决方程，若我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们通常把以上这种解决问题的方程叫做换元法． 【材料2】已知实数满足，且，显然是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知， 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为__________． (2)间接应用：已知实数满足，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A A C C D A 1．【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 2．【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】运用根的判别式的情况，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先利用根与系数的关系求得，则新方程的两个根为再逐项判断即可． 【详解】解：A．由根与系数的关系可得方程的，符合题意； B．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； C．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； D．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意． 4．【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是， ∴，， ∴一次函数解析式为：， 故一次函数的图象一定不经过第三象限． 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 6．【答案】D 【知识点】一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据  一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程 ，解方程可判断④． 【详解】解：①若，则方程中，则方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则，则方程的根的判断式，则方程必定也有两个不相等的实数根，故②正确； ③如果5是方程P的一个根，那么， 方程两边同时除以25，得 ，即， ∴是方程Q的一个根，故③正确； ④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么 ， 解得：，则，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：D． 7．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据张林及李冬的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵张林看错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1， ∴两根之和， ∴当时，； ∵李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：A． 8．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之和为．设方程的另一个根为，利用根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得： ， 解得， 即方程的另一个根为． 9．【答案】0 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为，再由一元二次方程根与系数的关系可得，，然后求出m、n的值，即可． 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴ “和谐”方程的一个根为1， ∵一元二次方程满足， ∴“美好”方程的一个根为， ∵一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴一元二次方程的根为1和， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10．【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，用配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可． 【详解】解：由方程有两个不相等的实根，， 可得，，， ∵，可得，，即， 化简得∶， 则， 故最大值为2． 故答案为：2． 11．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 12．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：设这个一元二次方程为， ∵这个一元二次方程的两根之和为1，两根之积为， ∴，， ∴取时，， ∴此时这个一元二次方程为（答案不唯一）． 13．【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． （2）解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 14．【答案】（1）；（2） 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案， （2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值． 【详解】解：（1）根据题意得解得 （2）当时，一元二次方程化为， 由根与系数关系得， 联成方程组得，解得 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 15．【答案】(1)或 (2)16 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是1，即可得到结果； （2）根据“邻根方程”的定义和韦达定理即可列出与的关系式，再由可列出与的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值． 本题考查一元二次方程的解，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、最小值等知识点是解决本题的关键． 【详解】（1）解：关于的方程是邻根方程， 解方程可得：，， ， ，， 或； （2）关于的方程（是常数）是邻根方程， 设两个根分别为， ， 由韦达定理：，， ， ， 此时，方程必定有解． ， 当时，有最大值，最大值为16． 答：的最大值为16． 16．【答案】 操作判断：（1）结论正确，理由如下： 令代入得，符合题意； （2）结论正确，理由如下： 令代入得：，即，符合题意； 实践探究： 【知识点】运用平方差公式进行运算、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）将代入，即可判断； （2）将代入，即可判断； 实践探究：由可推出是方程的根，设方程的另外一个根是，根据根与系数的关系可得：，进而得到；将代入可推出是方程的一个根，设方程的另外一个根为，根据根与系数的关系可得，进而得到，即可求解． 【详解】操作判断：（1）略 （2）略 实践探究： ∵ ， 是方程的根． 设方程的另外一个根是，则， ； 又， 是方程的一个根， 设方程的另外一个根为， 则， ， ． 17．【答案】(1)，，， (2) (3)15 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）利用换元法降次解决问题即可； （2）模仿例题，利用一元二次方程，根与系数的关系，解决问题即可； （3）令，，则，，再模仿例题，结合一元二次方程根与系数关系，解决问题即可． 【详解】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； （2）解：令，， ∵， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $