2.3一元二次方程的根与系数的关系&微专题5-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

©3 一元二次方程的根与系数的关系 基础在线沙知识要点分类练 6.已知m,n是一元二次方程x2一3x一2=0的两 个根，则1+1 知识点1利用根与系数的关系求两根之和 n 与两根之积 7.设x1,x2是方程x2十2x一3=0的两个实数 1.(中考·湖北)一元二次方程x2-4x十3=0的两 根，则x十x的值为 个实数根为x1,2,下列结论正确的是( ) 8.已知一元二次方程x2一6x十7=0的两实数根 A.x1十x2=-4 B.x1+x2=3 分别为m和n,不解方程，利用根与系数关系， C.x1x2=4 D.x1x2=3 求下列代数式的值： 2.若x1,x2是一元二次方程x2-2x一3=0的两 (1)m+n;mn; 个根，则x1十x2的值是 ( A.2 B.-2 C.3 D.-3 3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之 和、两根之积： (2)(m-1)(n-1); (1)x2+2x+1=0; (2)x2+√2x-3=0; (3)2x2+3=7x2+x. (3)m2+n2. 知识点3利用根与系数的关系求方程中待 定字母的取值 9.已知x1,x2是关于x的方程x2十bx一3=0的 两根，且满足x1+x2一3x1x2=5,那么b的值 为 () A.4 B.-4 C.3 D.-3 10.设x1,x2是关于x的方程x2一3x十=0的 知识点2利用根与系数的关系求相关代数 两个根，且x1=2x2,则k= 式的值 易错点已知根与系数的关系，求字母系数的 4.(中考·乐山)若方程x2一x一2=0的两个根 值时，忽视△≥0而出错 是x1和2，则xx2十x1x的值为 () 11.下列一元二次方程两实数根之和为一4的是 A.-1B.1 C.-2 D.2 () 5.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x十3-0的 A.x2十2x-4=0 B.x2-4x+4=0 两根，则℃1十x2一x1x2= C.x2+4x+10=0 D.x2+4x-5=0 37探究在线九年级数学（上）·BS ②能力在线沙方法规律综合练 3 拓展在线》 :培优拔尖提升练 12.(中考·河北)若一元二次方程x(x十2)一3 18.阅读材料： =0的两根之和与两根之积分别为m,n,则 材料1：若关于x的一元二次方程ax2十bx十 点(m,n)在平面直角坐标系中位于( c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1十x2= A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 a 13.在解一元二次方程x2十px十g=0时，小红看 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的两 错了常数项q,得到方程的两个根是一3,1. 个实数根分别为m,n,求mn十mn2的值. 小明看错了一次项系数，得到方程的两个 解：“一元二次方程x2一x一1=0的两个实 根是5，一4，则原来的方程是 数根分别为m,n, A.x2+2x-3=0B.x2+2x-20=0 .m+n=1,mn=-1, C.x2-2x-20=0D.x2-2x-3=0 则m2n十mn2=mn(m+n)=-1X1=-1. 14.已知a,b是方程x2-3x-5=0的两根，则代 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列 数式2a3-6a2十b2+7b+1的值是( ) 各题： A.-25 B.-24 (1)材料理解：一元二次方程2x2一3x一1=0 C.35 D.36 的两个根为x1,x2,则x1十x2= 15.(中考·泸州)若一元二次方程2x2一6x一1 =0的两根为a,B,则2a2一3a+33的值为 x1x2= (2)类比应用：已知一元二次方程2x2一3x 16.若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3,这 1=0的两根分别为m,n,求+”的值； m n 个二次方程的二次项系数是1，则常数项是 (3)思维拓展：已知实数s,t满足2s2一3s一1=0， 2r2-36-1=0,且s≠t,求1-号的值 17.已知关于x的一元二次方程x2一4x一2m十5=0 有两个不相等的实数根. (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数， 求整数m的值. 第二章38 微专题5 根的判别式及根与系数的关系的应用 类型① 根的判别式的应用 7.若一元二次方程x2+x一2026=0的两个根 1.一元二次方程x2+ax一1=0的根的情况为 为m,n,则代数式(m一1)(n一1)+2026的值 为 () A.有两个相等的实数根 A.0 B.2 B.实数根的个数与a的取值有关 C.2026 D.2028 C.有两个不相等的实数根 8.已知a,b是一元二次方程2x2-5x十1=0的 D.没有实数根 两个根，若以a,b为两条直角边作直角三角 2.对于任意实数a,b,定义新运算：a◇b=a2十b. 形，则斜边c的值是 例如：2◇1=22十1=5.若关于x的方程 堡型3根的判别式及根与系数的关系的 x◇(2x)=m有两个不相等的实数根，则m的 综合应用 取值范围为 9.关于x的一元二次方程(k一1)x2一8x十4=0 A.m>-1 B.m>1 有两个正实数根，则k的取值范围为() C.m<-1 D.m≤1 A.k≤5且k≠1 B.1<k<5 3.若方程(m十1)x2一4x=2无实数根，则点 C.1≤k≤5 D.1<k≤5 P(-3-m,m一1)位于第 象限， 10.已知关于x的一元二次方程x2一(2m十1)x 4.若一次函数y=kx十b(k≠0)的图象经过第一、 +m2+2=0. 二、四象限，求方程bx2一2x十k=0有几个根. (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是 13,求m的值， 堡趣②根与系数的关系的应用 5.若关于x的一元二次方程x2+kx一1=0的两 实数根互为相反数，则的值为 ) A.0 B.-4 C.±4 D.不能确定 6.下列关于x的方程中两实数根之和为1的是 ( ) A.x2+1=0 B.x2-x+1=0 C.x2+x+1=0 D.x2-x-1=0 39探究在线 九年级数学（上）·BS整理，得x2-40x十480=0， 8.D9.A △=(-40)2-4X1×480=-320<0, 能力在线 ∴该方程无实数根 10.C11.C12.C13.-1或2 .养殖园的面积不能达到120m. 14.(1)x1=2.5,x2=0.5. 9.k>-2且k≠-1 能力在线 3 °=36 (2)x1=3+6 3 10.B11.D12.k≤-1 （3)x1=-3,x2=-9. 13.1).x=23+ ,=23-6 15.(1)(x+2)(x+4)(x-10)(x+3) 3 3 (2)方程4x2-8x-5=0可分解为(2x-5)(2x十1)=0， (2)原方程无实数根. 14.(1):四边形ABCD是菱形， 2x-5=0或2x+1=0,=号函=-合 ∴AB=AD,即方程t一mx十受-冬-0有两个相等的 拓展在线 16.(1)设HG的长为xm, 实数根， ,矩形CDEF、矩形AGHE和矩形BFHG面积相等， ∴4=(-m2-4(受-）=m-2m+1=m-1y=0, CF-DE-TAE.AE-GH-BF.CD-EF-AB. .m=1. 2x,AB=34-4x .BC=3 故当m=1时，四边形ABCD是菱形， 3 把m=1代入方程，得2-x+子=0， 由题意，得受·与红-， 3 解得==分， 解得五=3，西-号（不符合题意，舍去， “此时菱形ABCD的边长是号 答：HG的长为3m. (2)嘉嘉的说法是正确的，理由如下： (2)把x=2代入原方程，得4一2m+罗-子=0， 设HG的长为ym,则BC-子ym,AB=4与m, 3 解得加=多， 由题意，得号·34与y=36, 3 把m=号代人原方程，得2-号x十1=0， 9 解得=4，=2（不符合题意，舍去)， 解得=2=名AD= 当y=4时，BC=6m,AB=6m,此时矩形ABCD是正方形； 嘉嘉的说法是正确的. “DABCD的周长是2×(2+号)=5. 微专题4一元二次方程的解法 拓展在线 1.C2.C3.C4.x1=-2+√6，x2=-2-√6. 5.D 6.（1)x1=0,x2=2. 15.(1)证明：△=(W2c)2-4ab=2c2-4ab. .a2+b2=c2, （2==号 ∴.2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0， 7.D ∴.关于x的“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0必有 实数根. 8.(1)x=7+13 6 =71E 6 (2)当x=-1时，有a-√2c+b=0, 3 (2)x1=2x=-2 ∴.a+b=√J2c. 四边形ACDE的周长是12， 9.B 10.(1)降次. .2a十2b+√2c=12,∴.2(a+b)+√2c=12, (2)设x2十x=y, .c=2√2，.a十b=4,a2+=c2=8. 原方程化为y(y-14)+24=0. 又.(a+b)2=a2+2ab+b, 解得y1=12,y2=2. .16=8+2ab,∴.ab=4, 当y=12时，x2+x=12,解得x=3或-4； Sc=7b=2. 当y=2时，x2十x=2,解得x=一2或1. .原方程的解是x1=3,x2=一4，x3=一2，x4=1. 第4课时用因式分解法解一元二次方程 11.原方程即[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=48, 基础在线 即(x2-5x+4)(x2-5x+6)=48, 1.A2.D3.x1=0,x2=4 设y=x2-5x+5,则原方程变为(y-1)(y+1)=48. 4.(1)x1=0,x2=-16. 解得y1=7,y2=-7. (2)x1=x2=1. 当x2-5x+5=7时， 5.D6.(1)①(2)④⑥(3)③⑤(4)② 7.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(r十 解得4=5+)y压，4=53 2 2 6)m.由题意，得 当x2-5x+5=-7时，x2-5x+12=0,6-4ac= π(r+6)2=2xr2, (-5)2-4×1×12=一23<0，方程无实数根. 解得n=6十6√2，r2=6-6√2<0（舍去）. 答：小圆形场地的半径为(6十6√2)m. ·原方程的实数根为=5十√3， 2=5-V33 2 20 一探究在线·九年 12.C13.B 3.(1).a=1,b=2,c=1,且b-4ac=4-4=0, 14.1)a=-3+页，，=-3,2② 3 3 函十=-合=-2，=名=1 a (2)a=1,b=√2，c=-3,且b-4ac=2+12=14>0, (2)x1=√5，x2=-√5 ∴西十=-名=-厄，w-=-3, (3)x=②+6 4 =②-6 4 (3)方程化为5x2+x-3=0, 阶段测评2(2.1一2.2) a=5,b=1,c=-3,且b2-4ac=1+60=61>0, 1.A2.C3.C4.A5.C6.D7.x2-9x-1=0 a 5西2=￡=一3 5 8.2+x-2=09.号或110.-203011.1 4.C5.16.-号7.10 3 12.-3或-合 8.(1)m十n=6,mn=7.(2)原式=2.(3)原式=22. 13.(1)直接开平方法：将原方程整理，得(4x一1)2=9，由此 9.A10.211.D 可得4x-1=3,或4x-1=-3, 能力在线 即=1a=-分 12.C13.B14.D15.1016.6 17.(1),一元二次方程x2-4x-2m十5=0有两个不相等 (2)公式法：将原方程整理，得 的实数根， 2x2+8x-1=0. 因为a=2,b=8,c=-1,所以 A=16-4(-2m+5)>0,解得m>2, 1 b2-4ac=82-4X2×(-1)=72>0, (2)设该方程的两个根分别为x,x2, 方程有两个不相等的实数根， 该方程的两个根都是符号相同的整数， x=-8±Y厘=-4±32 .x1x2=-2m+5>0,x1+x2=4, 2×2 2 <m<号， 即1=二4+32 2 x=二4-3v2 2 .m的值为1或2， (3)因式分解法：左边分解因式，得 当m=1时，方程两个根为x1=1,x2=3; 4x(2x-1)=3(1-2x). 当m=2时，方程两个根x1与x2不是整数. 将方程转化为4x(2x-1)+3(2x一1)=0. .m的值为1. 整体分解因式，得(2x-1)(4x十3)=0. 拓展在线 于是2x-1=0,或4x十3=0. 18是 -2 即=分=一是 1 (2)由题意知，n十n=号，m=-合， 3 14.(1):在方程4x2-4m.x十m2-1=0中， △=(-4m)2-4×4×(m2-1)=16>0, ”+m=m+m2-2mn=-13 m n mn 2 ∴.方程4x2一4m.x十m2一1=0有两个不相等的实数根. (3)实数5，t满足2s2-3s-1=0,2:-3t-1=0, (2)将x=2代入原方程中，得16-8m十m2一1=0， .s,t可以看作是方程2x2-3x-1=0的两个根， 即m2-8m=-15, s十t=3 1 ∴.-m2+8m-3=-(m2-8m)-3=12 ,t=-2 15(1)设t秒后点P,D的距离是点P,Q距离的2倍， ∴.PD=2PQ. (1-02=(+)2-4t=7 4 :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=90°. =9孩亚 2 .'PD2=AP2+AD2 PQ=BP2+BQ. .PD2=4PQ. 当0<t≤5时， .82+(2)2=4[(10-2t)2+]. 当一=-四时，1-上=m. 2 s t st 解得=3,2=7（舍去）. 答：3秒后，点P,D的距离是点P,Q的距离的2倍 综上所述，}-的值为VT或-7。 (2)不存在，理由如下： 微专题5根的判别式及根与系数的关系的应用 设x秒后，△DPQ的面积是16cm2, 1.C2.A3.四 'S△DPQ=S矩形ABcD-SAADP-S△BQp-S△DCQ, 4.,一次函数y=kx十b的图象经过第一、二、四象限， ∴7×8×2z+210-2a）·x+号8-0x10=80-16. .k<0,b>0..bk<0..-bk>0. :方程bx2-2x+k=0中，△=(-2)2-46k=4-4bk>0, 整理，得x2-8x十24=0 ∴方程有两个不相等的实数根 .△=(-8)2一4×24=一32<0，.该方程无解， .不存在时间t使得△DPQ的面积是16cm2. 5.A6.D7.B8.9.D 3一元二次方程的根与系数的关系 10.(1)”一元二次方程x2-(2m+1)x十m2+2=0有两个 基础在线 不相等的实数根， 1.D2.A .△=-4ac=[-(2m十1)]2-4X1×(m2+2)>0. 级数学（上）·BS一 4mr+4m十1-4m2-8>0,解得m>子 24÷2=12. 答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于 故m的取值范图是m>子。 墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米。 (2)不能 (2)设x1,x2是方程x2-(2m十1)x+m2+2=0的两个 实数根， 拓展在线 8.C 则x1十x2=2m十1，x1x2=m2+2. x+x=13,.(x十x2)2-2x1x2=13. 第2课时利用一元二次方程解决利润问题 .(2m+1)2-2(m2+2)=13. 基础在线 1.B2.B .m2+2m-8=0. 解得m1=2,m2=一4. 3.(1)100 (2)设二月份到四月份盈利的月平均增长率为x,根据题 m≥ 4心m=-4舍去。 意，得 故m=2. 100(1+x)2=121.解得1=0.1=10%，x2=-2.1(不符 4一元二次方程的应用 合题意，舍去) 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 ∴二月份到四月份盈利的月平均增长率为10%. 基础在线 4.B 1.B 5.设每台冰箱应降价x元，由题意，得 2.设需要xh缉私艇能在B处拦截住可疑船只，则 (2400-200-z)(8+0) =4800. OB=75x n mile,AB=60x n mile, 在Rt△ABO中，∠A=90°，由勾股定理，得 整理，得x2-300x+20000=0, OB2=OA2+AB2,即(75x)2=302+(60x)2, 解得x1=100,x2=200, 解得=号=一号（合去）. 要使百姓得到实惠，取x=200. 答：每台冰箱应降价200元. 答：需要子h缉私艇能在B处拦截住可疑船只。 能力在线 6.20%7.C 3.设硬化路面的宽为x米，依题意，得 8.(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x, (80-4x)(60-2x)=5×80×60. 根据题意，得 8 1000(1十x)2=1440,解得x1=0.2,x2=-2.2, 解得x1=5,x2=45. 经检验，x=0.2=20%符合本题要求. 当x=5时，80-4x=80-4×5=60>0.符合题意； 答：该市改造老旧小区投人资金的年平均增长率为20%， 当x=45时，80-4x=80一4×45=一100<0，不符合题 (2)设该市在2022年可以改造y个老旧小区，由题意，得 意，舍去。 80×(1+15%)y≤1440×(1+20%)， 答：硬化路面的宽为5米. 4.设AB=x米，则AD-242-(12-号)米，依题意，得 解得<188 y为正整数，最多可以改造18个小区 (12-号=40，解得五=4=20， 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区， 9.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b,将点(1， 又，0<x≤18， ∴x2=20应舍去，只取x1=4. 110),(3,130)代入一次函数关系式，得 答：要围成面积为40平方米的自行车棚，那么AB的长为 110=k+b,解得 k=10, 130=3k+b, b=100, 4米， 5.(1)2t(5-t) 故函数的关系式为y=10x十100， (2)存在.由题意可得 (2)由题意，得(10x+100)×(55-x一35)=1760， 2t(50=4,解得=1,2=4（不符合题意，舍去）， 整理，得x2-10x-24=0. 2 解得x1=12,x2=一2（舍去）.所以55一x=43 .当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2 答：这种消毒液每桶实际售价43元. 能力在线 拓展在线 6.(1)设原正方形空地的边长为xm,依题意，得 10.(1)设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量 (x-4)(x-5)=650, 为(2x-100)吨，由题意，得 解得x1=30,x2=一21（不合题意，舍去）. x+(2.x一100)=800，解得x=300, 答：原正方形空地的边长为30m. ∴.2x-100=500 (2)设小道的宽度为ym,依题意，得 答：4月份再生纸的产量为500吨. (30-y)(30-1-y)=812, (2)由题意，得 解得y=1,2=58(不合题意，舍去) 答：小道的宽度为1m. 500(1+m%)·1000(1+2%）=660000, 7.(1)设每个生态园垂直于墙的边长为x米，根据题意，得 解得m%=20%或m%=-3.2(不合题意，舍去)， x(33+1.5×2-3.x)=48×2, .m=20,.m的值为20. 整理，得x2-12x十32=0， (3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5 解得x1=4,x2=8(不合题意，舍去)， 月份再生纸的产量为a吨， 当x=4时，33+1.5×2-3x=24, 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+y)·a, 一探究在线·九年 .1200(1+y)2=1500. 则x-2=士2W2,.x1=2十22，x2=2-2√2； 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元 ④因式分解，得(x十2)(x一2)=0， 微专题6一元二次方程的应用 则x十2=0或x-2=0,解得x1=-2,x2=2. 1.C2.9 6.C7.k≤18.3 3.(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,由题意，得 9.(1)由题意可得△=(2m)2-4(m2+m)≥0， 125(1-x)2=80,解得x=0.2=20%或x=1.8(舍去). 解得m≤0，即实数m的取值范围是m≤0. 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2)由x+x号=12可得(x1+x2)2-2x1x2=12. (2)设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件， x1十x2=-2m,x1x2=m2十m, 由题意，得 .(-2m)2-2(m2+m)=12, (125-25×2)m+80(100-m)≤7800. 解得m=3或m=一2. ∴.75m+8000-80m≤7800，解得m≥40， :m≤0，.m=一2，即m的值为-2. .m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件. 10.A 答：最少购进甲种商品40件. 11.(1)由题意可知，y是x的一次函数. 4.A 设y与x的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 5.设小路的宽度为xm,由题意，得 把(52,760)，(53,740)分别代入，得 (20-4知)14-4知)=24X9,解得x=2或x=8(舍去). 805政十解号伦1心 答：小路的宽度为分m y与x的函数表达式为y=-20x+1800(50≤x≤ 75). 6.(1)28 (2)根据题意，得(x一50)y=6000: (2)在运动过程中△DPQ的面积不能为26cm.理由如下： ∴.(x-50)(-20x+1800)=6000.解得x1=60,x2=80. 根据题意，得AP=t,BQ=2t, .50≤x≤75，.x=60. .BP=AB-AP=4-t,CQ=BC-BQ=12-2t. 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元 当SADPQ=S矩形AcD-SAcQ一SADP一SAPBQ=26时， 12.(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为 6X12-2×6×(12-20- x12-合(6-0×2=26， (35+x)m,宽为(15十x)m,根据题意，得 (35+x)(15十x)=800, 整理，得t一6t十10=0， 整理，得x2十50x一275=0. △=6-4ac=36-40=-4<0, 解得x1=5,x2=一55（不符合题意，舍去）， ∴.方程无实数根.∴△DPQ的面积不可能为26cm2. .35+x=35+5=40,15+x=15+5=20. (3)6或号 答：新的矩形绿地的长为40m、宽为20m. (2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为 7.B8.C (35十y)m、宽为(15十y)m,根据题意，得 9.(1)设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得 (35+y):(15+y)=5:3, 1十x十x(1十x)=81,解得=8,2=一10（不合题意，舍去）. 即3(35+y)=5(15+y),解得y=15, 答：每轮感染中平均1人会感染8人 .(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500. (2)81×(1+8)=729(人)，729>700. 答：新的矩形绿地面积为1500m2, 答：若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的人会超 核心素养提升 过700人 13.(1)设所求方程的根为y,则y=一x, 10.13 所以x=一y. 11.设共有x个队参加比赛， 把x=一y代入已知方程x2十x-2=0, 根据题意可知，x(x一1)=45， 得(-y)2+(-y)一2=0， 化简，得y2-y一2=0. 解得x=10或x=-9(舍去). 故所求方程为y2-y-2=0. 答：共有10个队参加比赛. 12.84 (2)设所求方程的根为，则之=子，所以x=子 13.设这个最小数为x,根据题意，得 把x=上代入方程ax2+bx十c=0,得 之 x(x+8)=65. 解得x1=5,x2=一13（不符合题意，舍去）. a(2)》+6:2+=0, 答：这个最小数为5. 去分母，得a十bz十c22=0. 单元综合复习（二）一元二次方程 若c=0,则ax2十bx=0,于是方程ax2十bx十c=0有一个 热门考点突破 根为0，不符合题意。 1.D2.13.D4.A 所以c≠0， 5.①移项，得x2+2x=1, 故所求方程为cz2+bz十a=0(c≠0). 配方，得x2+2x+1=1十1，即(x+1)2=2, 第三章图形的相似 则x十1=±√2， 1 相似多边形 ∴.x1=-1十√2，x2=-1-√2； 第1课时相似多边形的定义 ②因式分解，得x(x-3)=0,则x=0或x一3=0， 基础在线 解得x1=0,x2=3; ③配方，得x2-4x十4=4十4，即(x-2)2=8, 1.号2.A3B4A5.46.B7D 级数学（上）·BS 21