3.1 相似多边形 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“3.1相似多边形”新授课同步练，以“基础巩固-性质应用-综合探究”分层设计，通过概念辨析、性质计算到动态问题解决，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|成比例线段、相似多边形概念|单选1-5直接考查定义，填空9-10强化比例计算| |中档|相似性质应用|单选6-8结合矩形折叠、中点四边形规律，填空11-12涉及相似比计算| |提升|综合探究|解答15-16通过动态点、动线问题，考查相似判定与性质综合应用|

3.1 相似多边形 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．如果两个相似多边形的周长比为，则它们的面积比为（ ） A． B． C． D． 3．下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 4．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的宽为（    ） A． B． C． D． 6．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．在的地图上，若两地图上的距离为，则两地的实际距离为_______． 10．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    11．如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 ______时，矩形矩形． 12．数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 三、解答题 13．（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 14．已知线段a，b，满足． (1)求的值； (2)当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 15．如图，四边形是矩形，点F在对角线AC上运动，，．四边形和四边形一直保持相似吗？证明你的结论． 16．如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B D A C C 1．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴相似多边形的相似比为； ∴它们的面积比为； 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要考查了相似多边形．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：∵两个等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵两个直角三角形，菱形的对应角不一定相等，两个矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 5．【答案】D 【知识点】 图形的放大与缩小、成比例线段 【分析】本题考查了图形的缩放，根据等比例缩小的性质列出方程，求出缩小后的宽即可． 【详解】解：设缩小后的宽为， 由题意得，，解得， ∴缩小后的宽为， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】矩形与折叠问题、解分式方程（化为一元一次）、相似多边形的性质 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形的周长． 【详解】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形，则得正方形的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的； 顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的； 顺次连接正方形得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的； 顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的； … 故第n个正方形周长是原来的， 以此类推：正方形周长是原来的， ∵正方形ABCD的边长为1，周长为4， ∴按此方法得到的四边形的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系． 9．【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】解：由题意得，两地的实际距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 10．【答案】 【知识点】相似多边形 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 11．【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例． 先根据题意得出，，再根据相似的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形矩形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 13．【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【知识点】相似图形 【分析】（1）将原图形的每个顶点沿格点方向，使得到对应顶点的距离变为原来的2倍，然后依次连接这些新顶点，即可得到放大2倍后的图形． （2）在左边格点图中画一个直角梯形，然后在右边格点图中画出一个边长比例不同但形状相同的直角梯形，使其与左边图形相似． 【详解】（1）解：如图所示，图①是把左边的图形放大到原来的2倍的图形． （2）解：可画出两个相似梯形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查图形的放大与相似图形的绘制，掌握图形放大时各边按比例扩大，相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例线段， 对于（1），由，再代入计算即可； 对于（2），先求出b，再根据比例中项求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵线段x是a，b的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 15．【答案】四边形与四边形一直保持相似．原因是它们的角分别相等、边成比例． 【知识点】相似多边形 【分析】由，证明再证明四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例，从而可得答案. 【详解】解： ，， 即 ，， 四边形与四边形一直保持相似． 【点睛】本题考查的是四边形相似的判定，掌握“四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例的两个四边形相似”是解题的关键. 16．【答案】(1) (2)存在．或 【知识点】相似多边形的性质 【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）矩形矩形， ． 设． ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． （2）存在． 假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应， ， ． 又，， ， ，而， 依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况． 综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解题的关键是掌握相似多边形的判定． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $