3.1相似多边形 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级数学（上）§3.1相似多边形同步练，含选择（10题）、填空（5题）、解答（7题），覆盖成比例线段、相似图形判定与性质等核心知识点，梯度设计贴合新授课巩固需求，注重数学思维与应用意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|成比例线段概念、相似图形定义|选择1-3直接考查定义辨析，填空11-13强化比例基本计算，夯实概念理解| |中档层|相似性质（面积比、周长比）、比例应用|选择4-7结合矩形、四边形相似性质，解答16-18训练比例线段运算，培养推理能力| |提高层|综合判定、实际建模|选择8-10涉及多情况比例线段，解答21-22通过矩形温室等实际情境构建相似模型，发展应用意识与空间观念|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §3.1相似多边形 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．（本题3分）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 4．（本题3分）下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 5．（本题3分）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．（本题3分）如图，与位似，点为位似中心，，，则的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 8．（本题3分）下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 9．（本题3分）如图，已知，若，，则的长为（）． A．12 B．13 C．14 D．15 10．（本题3分）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 12．（本题3分）如图，四边形和相似，则________．      13．（本题3分）如图，五边形与五边形相似，且五边形与五边形的周长之比为．若，则的长为______． 14．（本题3分）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 15．（本题3分）如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 17．（本题7分）已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 18．（本题8分）已知线段a，b，满足． (1)求的值； (2)当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 19．（本题8分）如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 20．（本题8分）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 21．（本题9分）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 22．（本题9分）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §3.1相似多边形 一、选择题（每小题3分 共30分） 1．（本题3分）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．7 解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得．选:B 2．（本题3分）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误．选:B 3．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确．选:D 4．（本题3分）下列命题中正确的个数为（    ） （1）邻边之比为的两个平行四边形是相似形；（2）四个角都相等的四边形是相似图形；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似；（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 A． B． C． D． 解：（1）平行四边形邻边比相等但对应角不一定相等，不一定是相似形，错误； （2）四角相等均为但对应边不一定成比例，不一定是相似图形，错误； （3）等腰三角形腰上的高与腰的比等于顶角正弦值，但顶角相等或互补时比相同，而互补时三角形不相似，错误． （4）有两边及第三边上的高对应成比例，高可能在三角形内或三角形外，两三角形不一定相似，错误． （5）直角三角形两边对应成比例，则第三边可由勾股定理推导出成比例，即三边对应成比例，两三角形相似，正确． 综上，正确命题有（5）共1个． 故选：B． 5．（本题3分）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为．故选：D 6．（本题3分）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即．故选：C 7．（本题3分）如图，与位似，点为位似中心，，，则的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 解：， ， 与位似， ，， ，， ，即， 解得．故选：A 8．（本题3分）下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误．故选：B 9．（本题3分）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 10．（本题3分）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能．故选：D 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（本题3分）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 12．（本题3分）如图，四边形和相似，则________．      解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 13．（本题3分）如图，五边形与五边形相似，且五边形与五边形的周长之比为．若，则的长为______． 解：∵五边形与五边形相似，周长比为， ∴，即 ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 解：设化石的实际长度为cm， 由题意得：， 解得：． 故答案为：4． 15．（本题3分）如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． （1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴． 17．（本题7分）已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． （1）解：设， 则 ∵ ∴， 解得， ∴． （2）∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴， ∴ ∴． 18．（本题8分）已知线段a，b，满足． (1)求的值； (2)当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵线段x是a，b的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 19．（本题8分）如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． （1）解：∵四边形四边形， ， ， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴， 解得，． 20．（本题8分）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． （1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 21．（本题9分）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． （1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴，故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项，∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段，∴，即∴，故答案为：． 22．（本题9分）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． （1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴，． $