第1章图形的相似单元检测卷（一）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

**基本信息** 湘教版九年级数学上册图形的相似单元检测卷，覆盖比例线段、相似三角形判定与性质、位似等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查几何直观、推理能力，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|比例线段、相似三角形性质、比例尺|第3题结合地图比例尺考查实际应用，体现模型意识| |填空题|4/20|比例线段计算、相似性质|第11题多解比例线段，培养分类思维| |解答题|6/60|相似判定与性质、动态问题|第10题动点相似分类讨论，第18题菱形中相似与等边三角形综合，发展推理能力与几何直观|

第1章图形的相似单元检测卷（一）湘教版2026一2027学年九年级数学上册 总分：120分时间：90分钟 姓名： 班级： 成绩： 一，单项选择题（每小题4分，满分40分） 1.下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 c.a=2,b=5,c=2W5,d=10 D.a=0.8,b=3,c=1,d=10 2.若△ABC∽△DEF,且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为() A.3:2 B.2:3 C.4:9 D.9:16 3.在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm,甲、乙两地的实际距离是7500m,则该张地 图的比例尺为() A.1:1500 B.1:15000 C.15000:1 D.1:150000 4.如图，在△ABC中，点DE分别在边ABAC上，则在下列五个条件中：① AD AE ∠AED=∠B:②DEIIBC:③AC=AB:④AD:BC=DE·AC;⑤∠ADE=∠C,能判断 △ADE∽△ACB的条件有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 DE 5.如图，△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC,则BC的值为() 2 B.3 C.1 D. 6.如果一个矩形对折后和原矩形相似，则对折后矩形的长边与短边的比是() A4:1 B2:1 C.1.5:1 D.2:1 7.已知点C是线段B的黄金分制点(1C>BC ,若4B=10,则4C的长为() A.5v5-5 B.5V5+5 c.15-5v5 D. 55-15 8.如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂OA=120cm,阻力臂OB=40cm,BD=15cm, 则AC=() A.30cm B 40cm C.45cm D.60cm 9.如图，直 线∥4W4,直线4C分别交、么、于点4，B,C,过点8的直线DE 分别交，于点D.E.者B=2,8C=4,DE=9,则线段DB的长为() D A B.4 c.5 D.6 10.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从A开始沿AB边向点B以2cms的 速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P,Q分别从A,B 同时出发，经过：时△PBO与△ABC相似，那么t的值为() 4 5 A.2 B.5或2 C. 5 D.4或2 二.填空题（每小题5分，满分20分） 11.已知三条线段的长分别是4cm,5cm和l0cm,如果再加上一条线段，使这四条线段成 比例，那么这条线段的长是 cm 12.如图，在△ABC中，DE∥BC,若AD=3,BD=5,AE=2,则AC的值为 13.如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连接AP 并延长交CD于点E.若BC=6,则CE的长为一 A D B OB 2 14,如图，△4BC与。DEF是位似图形，点O是位似中心，BE3,若Sc=4,则 S△DEF= 三.解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15.如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ABC=∠ACD D B (1)求证：△ABC△ACD. (2)若AD=2,AB=3,求AC的长. 16.如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，连接AD,过点A作AEIIBC,连接BE 分别交AD,AC于点F,G,AF2=FGEF, E B (I)求证：∠DAC=∠CBE: (2)若AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点，求BG的长. 17.在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）.（要求使 用无刻度的直尺画图) B (①以点为位似中心，在网格区域内将△1BC △AB,C 大2倍得到 (②在()的条件下，△MBC与△1B 的周长之比为」 BM 1 B)在线段AB上画一个点M,使AM3,并说明理由. 18.如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在对角线AC上，点F、G分别在边 BC、CD上，且∠FEG=60°，连接FG,延长FE交AD于点P. D A(E) D A D F B F 图1 图2 备用图 (I)如图2，当A、E重合时，求证：△EFG是等边三角形： 如图L,若cE=3ME,4P-手 3,CG=5,求BF的长： CG (3)连接PG,当CE=3AE△PEG∽△FCG时，求DG的值. 19.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E分别在边BC,AC上，且 CE=√2BD ,连接MD,BE交于点R B D D 图1 图2 (I)如图1，求证：△ABD∽△BCE: (2)如图2，连接CF,当CF⊥AF时，求AE:CE的值； 20.如图0，在A48C中，4B=4C=20an8、3 =4,点D为BC边上的动点（点D不 与点B,C重合)，以D为顶点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E,过点A作 AF⊥AD交射线DE于点F,连接CF. D B O 图① 图② (I)求证：△ABD∽aDCE: (2)当DE‖AB时（如图②），求AE的长： (3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时 BD的长：若不存在，请说明理由. 参考答案 题号 1 5 7 9 10 答案 B B D A D A C B 25 11.2或8或2 6 12.3 13.4 14.25 15.(1)证明：，在△ABC和△ACD中 ∠ABC=∠ACD,∠A=∠A, .△ABC△ACD: (2)解：：△ABC△ACD, :4B、4C ACAD” AC2=AB·AD .AC2=2×3=6 .AC=±6 (舍去负值)， ..AC 的长为V6 16.(I)证明：：AF2=FG.EF, AF EF FG AF :∠AFG=∠EFA, .△AFG∽△EFA, .∠FAG=∠FEA, .AEll BC, .∠FEA=∠CBE, ∴.∠FAG=∠CBE, 即∠DAC=∠CBE: (2)解：如图，：AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点， ·AD1BC,BD=DC=)BC=3. 2 D :4D=VAC2-CD=53-3=4 由(1)知∠DAC=∠CBE, 而∠AFG=∠BFD .18O°-∠DAC-∠AFG=180°-∠CBE-∠BFD, .∠AGF=∠BDF=90°，即BG⊥AC, S.4BC= BG=BC.AD_6x4_24 AC 55 △AB,C 17.(1)如图， 即为所求 (2)1:2 (3)如图，点M即为所求，理由如下： F B -M A C 取格点E、F,连接EF,交AB于点M, BF∥AE, .△BFM△AEM, BM BF 1 ·AMAE3, ∴点M即为所求. 18.【详解】(1)证明：在菱形ABCD中，∠B=60°， A(E) D B F .AB=CB=CD=AD,∠D=60° ∴△ABC,△ADC均为等边三角形， .AB=AC,∠ACD=60°，∠BAC=60°，即∠BAF+∠FAC=60°， :∠FEG=60°， .∠CAG+∠FAC=60°， ∴.∠BAF=∠CAG ∴.△BAF≌aCAG(ASA) ∴AF=AG, ∴△AFG是等边三角形，即△EFG是等边三角形. (2)解：如图：在CB上截取CK=CE,连接EK, A■ P D E G B K 由(1)知△ABC是等边三角形，∠ACB=∠ACD=60°， “△EKC是等边三角形， ∴.EK=EC,∠EKF=60°=∠ECG, '∠FEG=60°，∠FCG=120°， ∴.∠EFC+∠EGC=180°. :∠EFC+∠EFK=180°， ∠EFK=∠EGC, ,AEKF≌AECG(AAS) .EF=EG ∴△EFG是等边三角形， 菱形ABCD AD∥BC, .△AEP∽△CEF, .CF=3AP=4. :△EKF≌△ECG, .KF=CG=5, ..KC=KF+CF=5+4=9 :△EKC是等边三角形， ..EC=KC=9, .CE =3AE. AE=3, ∴.BC=AC=3+9=12. .BF=12-4=8 (3)解：如图：在CB上截取CK=CE,连接EK, 则△EKC是等边三角形，EK=EC, O E 由(2)知△EFG是等边三角形， .'EF=EG 根据(2)得△AEP∽aCEF, PE AE 1 EF CE3 .EF =3PE, .'EG=3PE, FC PE 1 当△PEG∽△FCG时，则CGEG3, ..CG=3FC, 设CF=a,则CG=3a, 根据(2)得KF=CG=3a, .'EC=KC=3a+a=4a, &4e-cE-等0，cD=AC=4E+cE-5.DG=D-cG 3 30 ..CG9 DG7· 19.(1)证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， :BC=VAB2+AC2=V2AB∠ABD=∠BCE=45° 又CE=V2BD, .AB_BD 'BC CE 2, :.ABD△BCE: (2)解：由(1)知△ABD∽△BCE, ∴.∠BAD=∠CBE、 ∠BAC=90°，CF⊥AF, ∴.∠BAF+∠CAF=90°，∠ACF+∠CAF=90° .∠BAF=∠ACF, ∴.∠CBE=∠ACF, '∠ABD=∠BCE=45°，即∠ABF+∠CBE=∠ACF+∠BCF=45°， .∠ABF=∠BCF, △ABF∽△BCF. :B-4F-即2 BC BF CF 2, AF AF BF 1 CF BF CF 2' :∠ABF+∠CBE=∠ABF+∠BAD=45°， .∠AFE=∠BFD=∠ABF+∠BAF=45°， 过A作AH∥CF交FE的延长线于H, B 图2 CF⊥AF .AH⊥AF, 又∠AFE=45°， .∠AHF=45°， :AH=AF, AH∥CF, .∠AHE=∠CFE,∠HAE=∠FCE .∴，AAHE∽ACFE」 .E-AH AF I CE CF CF 2 20.【详解】(1)证明：AB=AC, ,∠B=∠ACB ·∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B, ∴∠BAD=∠CDE. ∴.△ABD∽ADCE (2)解：如图所示，过点A作AM⊥BC于点M. 在R△ABM中，设BM=4k,则4M=BM,amB=4k3=3 由勾股定理，得AB=AM2+BM2, :202=(3k}+(4k) .k=4或k=-4(舍去)， AB=AC,AM⊥BC, .BC=2BM=2×4k=8k=32」 又'∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠B=∠ADE, .∠BAD=∠CDE, ∴.∠B=∠BAD=∠ACB」 .△ABDACBA, AB DB .CB AB, DB=AB=20225 CB322 ·DE I AB AE BD .AC BC, AE=AC.BD 20x25 125 BC 3216 (3)解：点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF,理由如下： 过点F作FH⊥BC于点H,过点A作AM⊥BC于点M,AN⊥FH于点N, 则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90° MD ∴.四边形AMHN为矩形， .∠MAN=90°，MH=AN :AB=AC,AM⊥BC, BM=CM=7BC-5X32=16 在R△MBM中，由勾股定理，得4M=√AB-BM=V20-16=12 :AN⊥FH,AM⊥BC, ∴.∠ANF=90°=∠AMD, ∠DAF=90°=∠MAN, ∴.∠NAF=∠MAD ∴.△AFN∽△ADM, 4N=仙=12-9. 4 4 .CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7 当DF=CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形， 又FH⊥DC, .CD=2CH=14. .BD=BC-CD=32-14=18 ∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF,此时BD=18