第1章《图形的相似》单元测试卷-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 湘教版九年级上册《图形的相似》单元基础卷，以基础巩固为主，融合文化传承（赵爽弦图、墨子小孔成像）与实际应用（杠杆原理、旗杆测量），适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例中项、位似图形、黄金分割|基础概念辨析，如第4题黄金分割应用| |填空题|8/24|平行线分线段成比例、小孔成像|文化情境题，如第17题赵爽弦图计算| |解答题|8/66|相似三角形应用、测量实践|分层设计，如23-25题测高问题（镜子/标杆法），26题综合探究|

第1章《图形的相似》基础卷-2026-2027学年湘教版（新教材）数学九年级上册单元测试卷 一、选择题(共10题；共30分) 1．已知线段a=4，b=9，则a，b的比例中项线段等于（　　) A．-6 B．6 C．18 D．36 2． 已知2x=3y (y≠0)， 则下列结论成立的是 (　　) A． B． C． D． 3．如图，已知，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD>BD），AB=2，则AD的长是（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，直线 直线a，b分别交直线l1， l2， l3于点A， B， C， D， E， F。已知AB=5， BC=2， DE=4， 则EF的长为(　　) A．6 B． C． D． 6．阿基米德曾说：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理．图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力向下压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA=150cm， 阻力臂OB=50cm， BD=20cm，则AC的长度是(　　) A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm 7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点 B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC 于点M，交AB于点N；②以点C为圆心，以BN长为半径作弧，交AC于点O；③以点O为圆心，以MN长为半径作弧，在∠ACB内部交前面的弧于点P；④过点 P 作射线 CP交AB于点D.若AC=6，AD=4，则BD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8． 如图，A，B是直线上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作，垂足为点H. 与的面积之比为（　　） A． B． C． D．比值不确定，与b的值有关 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若点A（1， 1) 的对应点为A'（3， 3) ， 当BC=1时， 则线段B'C'的长度是（　　) A． B．2 C．3 D．4 10． 如图， 等腰△ABC中， AB＝AC， ∠BAC＝120°， AD⊥BC，垂足为D， 点O是线段AD上点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上；②∠APO+∠DCO＝30°；③△POC 是等边三角形；④△POA∽△CAO. 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(共8题；共24分) 11．已知 则 的值为　 　． 12． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 则 的值为　 　. 13．如图，乐器上的一根弦长AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为　 　cm.(结果保留根号) 14．如图，在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，矩形直尺的一边与BC重合，另一边与AB，AC分别交于点D，E，其中点B，C， D， E处的读数分别为8cm， 14cm， 11cm， 14cm.若矩形直尺的宽为2cm，则边AC的长为　 　cm. 15．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示.已知AC与BD交于点O，AB∥CD.若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是　 　cm. 16．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4米，BC=3米，点D是AB边上的动点，点E是BC边上定点，CE=1米，连接DE，则线段DE的最小值为　 　米. 17．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP 交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的边长为a，正方形MNPQ的边长为b.若2BE=3AE，则的值是　 　. 18． 如图，在中，为对角线上一点，线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，，与相交于点，连接，且，则四边形与的面积之比为　 　． 三、解答题(共8题；共66分) 19．已知a，b满足， （1）求的值； （2）若a＋b＝10且线段x是长为a，b的线段的比例中项，求线段x的长． 20．在下面图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与△ABO关于坐标原点O位似，且其边长是△ABO 的边长的两倍. 22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于 O， OE⊥AC与BC交于 E，连接AE，与BD交于 F. （1）找出图中与△AOF相似的三角形，并说明理由； （2）若OF=2， EF=1，求AF的长度. 23．三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期测量了三阳寺塔的高度．如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处眼睛位于处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像，经测量知：米，米，米，米．已知，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内．求三阳寺塔的高度． 24．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级(2)班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE=∠ACB.小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米.求旗杆的高度AB. （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C 和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE=1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH 与水平面平行.求旗杆的高度AB. 25．某校“综合与实践”小组的同学以“测量学校旗杆的高度”为主题，开展了综合实践活动并形成了如下活动报告． 活动主题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为1.6米的小乐的影长为2.4米，同时测得旗杆的影长为22.5米 小慧在她脚下放置镜子C，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部A．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为1.5米，小慧到镜子的距离为2.1米，旗杆到镜子的距离为21米． 反思与评价 …… …… 根据上面活动报告，解答下列问题： （1）利用方案A测得旗杆的高度为________________米； （2）请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度． 26．在矩形ABCD中， 连接BD， P为线段BD上一点， E、F分别为边AB、AD上一点， 且PF⊥PE。 （1） 已知 CD=AD， 且BP=2DP， ①如图1， 若PF∥CD， 则 ▲ ②如图2，求 的值。 （2） 如图3， 若 求 的值(用含k，m的式子表示) 。 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】4 15．【答案】3.6 16．【答案】1.6 17．【答案】 18．【答案】 19．【答案】（1）解：设 ，则a＝3k，b＝2k， ∴ （2）解：由（1）得a＝3k，b＝2k， ∵a+b＝10， ∴3k+2k＝10， ∴b＝4，k＝2，a＝6， ∵线段x是线段a，b的比例中项， ∴x2＝ab＝24， ∴x＝ 20．【答案】解：如图， 21．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90° ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B ∵AE平分∠CAB ∴∠CAE=∠EAB ∴△ACF∽△ABE （2）解：∵△ACF∽△ABE ∴AB=10 22．【答案】（1）解：与△AOF相似的三角形有△BEF， △DAF，理由如下： 如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OC. ∴∠4=∠5. ∵OE⊥AC， ∴AE=CE. ∴∠1=∠5. ∴∠1=∠4. ∵∠2=∠3， ∴△AOF∽△BEF. 又∵AD∥BC， ∴∠4=∠6. ∴△BEF∽△DAF. ∴△AOF∽△BEF∽△DAF. （2）解：由△AOF∽△BEF，得 设BF=x，则AF=2x. ∴OD=OB=x+2. ∴DF=x+4. 由△AOF∽△DAF，得 则 即 解得 或 (不符合题意，舍去). 23．【答案】解：，，， ，， ，即， ， ，，， ，， ，即， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 24．【答案】（1）解：∵∠DCE=∠ACB， ∠DEC=∠ABC=90°， ∴AB=7.5. 答： 旗杆的高度AB为7.5米. （2）解：∵DE， CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行， ∴∠CGD=∠AHD=90°， GF=BH=DE=1.5米. ∵∠CDG=∠ADH， ∴△CDG∽△ADH.∴ ∵CG=CF-GF=4-1.5=2.5(米)， DG=EF=3米， DH=BF+EF=9+3=12(米)， ∴AB=AH+BH=10+1.5=11.5(米). 答：旗杆的高度AB为11.5米. 25．【答案】（1）15 （2）解：过点C作，补全方案B的测量示意图如下所示， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为15米． 26．【答案】（1）解：① ②过P作PM⊥AB于点M， 过P作PN⊥AD于点N， ∵PM⊥AB， PN⊥AD， ∠A=90°， ∴∠MPN=90°， ∵PF⊥PE， ∴∠FPN+∠MPF=∠MPF+∠MPE， ∴∠FPN=∠MPE ， ∵∠FNP=∠EMP=90°， ∴ △PFN∽△PEM， ， ∵∠ADB=∠ABD=45°， ∴△NPD∽△MPB ， ， 即 （2）解：过P作PM⊥AB于点M， 过P作PN⊥AD于点N ∵PM⊥AB， PN⊥AD， ∠A=90°， ∴∠MPN=90°， ∵PF⊥PE， ∴∠FPN+∠MPF=∠MPF+∠MPE， ∴∠FPN=∠MPE， ∵∠FNP=∠EMP=90°， ∴△PFN∽△PEM， ， ∵PM⊥AB， ∴∠BMP=∠A=90°， ∵∠PBM=∠DBA， ∴△BMP∽△BAD， ， ， 。​​​​​​ 1 学科网（北京）股份有限公司 $