第1章 图形的相似（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学第一章图形的相似单元卷，以非遗剪纸、《海岛算经》等文化素材及物理光学跨学科情境为载体，融合几何直观、推理能力等核心素养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似图形概念（非遗剪纸）、比例线段、相似判定|结合文化传承，基础概念与图像辨析结合| |填空题|6/18|比例尺、平行线分线段成比例、中线交点性质|生活情境（书法格线）与几何性质应用| |解答题|8/72|比例计算、相似证明、《海岛算经》测量、动点问题|跨学科（物理光学）、数学文化及动态探究，体现模型意识与推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 2．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，如果，，则下列比例式中不正确的是(    ) A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图，已知，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（    ） A．2 B． C． D． 7．（21-22八年级下·山东威海·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E 的横坐标为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 9．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 10．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为________． 13．（2025·湖南怀化·一模）如图，的两条中线交于点O，则__________． 14．（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 15．（2024·湖南永州·一模）如图，在中，E，F分别是的中点，连接分别交对角线于点G，H，I，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为________． 16．（22-23八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过_____ 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    三、解答题（共8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 19．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 20．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 21．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以原点为位似中心，在第一象限画一个与位似，相似比为2； (2)若点坐标为，点坐标为．则点对应的点的坐标为__________；点对应的点的坐标为__________． 22．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 23．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 24．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，点P关于点C的对称点为点Q，当点P不与点A，点B，点C重合时，过点P作的垂线交于点N，以，为邻边作平行四边形，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)点P在上运动时，当平行四边形为菱形时，求的长； (3)当点M在内部时，求t的取值范围； (4)为的中线，当点M落在中线上时，直接写出t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 2．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，如果，，则下列比例式中不正确的是(    ) A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图，已知，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（    ） A．2 B． C． D． 7．（21-22八年级下·山东威海·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E 的横坐标为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 9．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 10．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为________． 13．（2025·湖南怀化·一模）如图，的两条中线交于点O，则__________． 14．（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 15．（2024·湖南永州·一模）如图，在中，E，F分别是的中点，连接分别交对角线于点G，H，I，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为________． 16．（22-23八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过_____ 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    三、解答题（共8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 19．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 20．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 21．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以原点为位似中心，在第一象限画一个与位似，相似比为2； (2)若点坐标为，点坐标为．则点对应的点的坐标为__________；点对应的点的坐标为__________． 22．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 23．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 24．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，点P关于点C的对称点为点Q，当点P不与点A，点B，点C重合时，过点P作的垂线交于点N，以，为邻边作平行四边形，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)点P在上运动时，当平行四边形为菱形时，求的长； (3)当点M在内部时，求t的取值范围； (4)为的中线，当点M落在中线上时，直接写出t的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 建议用时：120分钟，满分：120分 数学·答案及评分参考 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 5 6 8 0 10 D A D C E B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.20 A年 B 12.6 D 13.2 D 14.12 15.10 4 16.2或7 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D <2 3 B Q 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) a c (1)解：，a=3cm,b=12cm,c=2cm,bd’ 32 12a(2分) 解得：d=8cm (2)解：依题意，k2=ab=364分) .k=6cm(6分) 18.(6分) D (1)略 (2)解：FF=3,(6分) EF 3 AE 5 :△DEF与△ADE同高， S.DEE =EF=3 S.ADE AE-5 SADEF =3 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷.S.AE=5 :F、AE FECE· AE 2 CE 3 :4E2 AC 5 .△ADE∽△ABC、 AC25, 125 .S△Bc= 4· 19.(8分) E M B F (1)解：：四边形ABCD是平行四边形， ,AD∥BC. .∠B=180°-∠A=180°-130°=50° ABCDEMFC. .∠M=∠B=50°： 故答案为：50；(4分) (2)解：四边形ABCD是平行四边形，(8分) ∴.AD=BC,AB=CD :ABCD∽EMFC, CE ME AD AB AB=4,BC=6,ME=3, AD=6,CE3 6=4, 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CB=9 :.DE-CE-CD-2 9 1 4= 2 20.(8分) B (1)解：略： (2)解：如图，连接AD,AE.(2分) E D 由(I)知，△ABD,△ACE为黄金三角形， AD 5-1 .∠BDA=∠CEA=72°，AB2,(4分) 0-5 2 ,AE=AD,∠DAE=180°-72°-72°=36°，(6分) DE 5-1 ∴，△ADE为黄金三角形，可得AD2,(7分) DE5-1 即5-1AB 2, DE5-123-V5 AB2= 21.(10分) 4/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)解：以原点0为位似中心，相似比为2， 延长40到使得40-240，延KB0到使符B0-280 AB 连接 A(2,4)B(6,2) (2)解：由网格图可知： 5分) (2,4)(6,2) 故答案为： (10分) 22.(10分) AM B A E D B YN B 图1 图2 (1)解：、AB‖AB .∠A=∠A,∠B=∠B',(2分) .△AOB∽△A'OB,(4分) 5/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A'B'OF A'B'16 ·AB0E,即24=20，(6分) AB=96 cm,(8分) 96 答：像AB的长为5cm;(9分) (2)略(10分) 23.(12分) F D 图1 图2 图3 (1)解：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠FDC=90°，AD=DC, .∠AED+∠ADE=90°， DE⊥CF ∠DFC+∠ADE=90°， ∠AED=∠DFC, ∴.△AED≌△DFC(AAS) ..DE=CF, DE = (2)解：：四边形ABCD是矩形，(6分) ∠A=∠FDC=90°，DC=AB=3, .∠AED+∠ADE=90°， .DE⊥CF ∠DFC+∠ADE=90°， ∴∠AED=∠DFC, .△AED∽△DFC, 6/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE AD5 CF DC 3: (3)略(12分) 24.(12分) M A B 3 (1)解：由题意可知，点p在运动到点C时，所需时间t-5:点p在运动到点B时，所需时间：-， 如图1，当点n在4C上运动时、AP=5,此时，满足0<1号 5, 在R△MBC中，4C=3,BC=4,则4B=V3+4=5 M M B 图1 图2 在RteAPN和Rt△ABC中， ∠PAN=∠BAC ∠ANP=∠ACB=90°， .∴△APNr△ABC， PN AP PN 5t BC=AB,即4=5， ∴.PN=4t. 3 如图2，当p在BC上运动时，4C+CP=5'此时51<。 则BP=AC+BC-5t=7-5t, 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理可证△BPN∽△BAC, PN BP PN 7-5t ACAB,即3= 5 PW=21-15 5 综上可知，当01<时，Pw=:当写1<写时，PN-21 3 3 7 5 (2)解：如图3，当点P在AC上运动时，AP=5t,则CP=3-5t,(4分) M 点、点关于点对称， 图3 o C ∴.PQ=2CP=2(3-5t) 当平行四边形PQMN为菱形时，则有PN=PO,即4t=2(3-5), 解得=7 P0=4x312 7=7: (3)解：如图4，当点P在AC上运动，点M恰好落在边BC上时，则有MN=P№=23-5)，(8分) 图4 在RteAPN中，AN=VAP2-PW2=3 .BN=5-3t」 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 POMN 四边形 为平行四边形， ..POll MN .∴△BNM∽△BAC BN MN 5-3t=26-50 AB=AC,即5 3 解得t15 41； 如图5，当点P在BC上运动，点M恰好落在边AC上时，则有MN=PO,此时CP=51-3, 0 M 点、点关于点对称， B N 图5 .P0 ∴.MW=PQ=2CP=2(5t-3) 在R△BNP中，BN=VBP2-PW=4(7-50 5 AW=5-47-5) 5 同理可知△AMN∽△ACB, AN_MN,即 -4(7-5) 5 2(5t-3) AB BC 5 4 解得169 85, 综上可知，当<1<g 15 <85时，点M在AABC内部， 由于点p不与点C重合，则t≠ 5 9/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15 即，的取值范围为41 169 85且t 5 (4)解：如图6，当点P在AC上运动，点M恰好落在AD上时，过点D作DH⊥AB于H,设PN交AD 于点G,(12分) 0 D◇ M 是中点， ■ B H 图6 D BC BD=2, 在Rt△BDH和Rt△BAC中， ∠DBH=∠ABC ∠DHB=∠ACB=90°， .△BDH∽△BAC, BH DH BD BH DH 2 BC=AC=AB,即4=3= 5, 0n-g朗 5 AH =AB-BH=5, PN⊥AB,DH⊥AB :PNDH ∴，△ANG∽AAHD 3t GN AN GN, 即 176 AH DH 5 .PG=PN-GN=41-18 50 7 = 17, 10/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 POMN 四边形 为平行四边形， .PN∥M, ∴.△APG∽△AQM 50 PG AP t 5t OM0 即17 4t6-5t 30 .t= 59； 如图7，当点P在BC上运动，点M恰好落在AD上时， D M G B N H 图7 由前文已知AW=5-4(7-50 5 同上一种情况的方法可知△ANG∽△AHD, 5-47-50 5= GN ,ANGN,即17 6, AH DH Gw=6(201-3) 85 ∴PG=PN-GN=21-15_6(20t-3)_75-75r 5 85 17, 由前文已知CP=5t-3, 则DP=2-(5t-3)=5-5t,D0=5t-1, 同理可知△DPG∽aDQM, 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 75-75t 5-5t 17 DP_PG,即5t-121-15t, DO OM 5 124 35· 综1可，当9皮若，点M路在安D上 12/12 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖南望城剪纸是国家级非物质文化遗产，内容淳朴秀美，具有浓郁的生活气息．剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的特征，掌握相似图形的特征是解题的关键，即相似图形强调形状相同而大小可变，而平移、轴对称和旋转均不改变图形大小．根据图案造型完全一致，仅尺寸放大或缩小，这符合图形相似的定义，即形状相同但大小不同，即可得解． 【详解】解： 图形形状相同但大小改变， 图形相似，即体现了数学中图形的相似． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段的定义，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】A、， 长分别为，，，的四条线段是成比例线段，符合题意； B、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； C、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； D、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，如果，，则下列比例式中不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．根据平行四边形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例判断各项即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D不正确，符合题意． 故选：D． 5．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图，已知，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定方法，判定两个三角形相似的一般方法有：两对角对应相等；一对角对应相等，角的两边对应成比例；三对边对应成比例． 根据相似三角形的不同判定方法，逐一判断即得． 【详解】如图，已知，添加下列条件 A、，能判定； B、，能判定； C、，不能判定； D、，能判定． 故选：C． 6．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的性质，如图，标记点E，F，则长方形长方形，根据对应边成比例列等式即可求解． 【详解】解：如图，标记点E，F，则长方形长方形， ， ， 长方形长方形， ， ， （负值舍去）， ， 故选：B． 7．（21-22八年级下·山东威海·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E 的横坐标为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标为， 故选：B． 8．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）如图，是平行四边形边上一动点，点分别为的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的边上的高；④和的面积和；⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（   ） A．②③ B．②⑤ C．④⑤ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，即可判断①；得到的周长，即可判断②；证明出，得到的边上的高边上的高，即可判断③；求出和的面积和即可判断④；由三角形内角和定理即可判断⑤． 【详解】解：①∵是平行四边形边上一动点，点分别为的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴线段的长不会随点P的移动而变化； ②∵点分别为的中点， ∴，， ∴的周长 ∵，会随点P的移动而变化 ∴的周长会随点P的移动而变化； ③∵ ∴ ∴边上的高边上的高 ∴的边上的高边上的高， ∵边上的高是平行线和间的距离，不会随点P的移动而变化 ∴的边上的高不会随点P的移动而变化； ④∵ ∴和的面积和 ∴和的面积和不会随点P的移动而变化； ⑤∵，会随点P的移动而变化 ∴的大小会随点P的移动而变化． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤． 故选：B． 9．（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 10．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 【答案】B 【分析】根据折叠后点与点重合，可得折痕是线段的垂直平分线，可得，结合为斜边的直角三角形判定条件，用勾股定理列方程求长度，验证是否符合甲的计算结果；再根据是的平分线，，先求得，再由是的平分线，可得，利用相似三角形求出长度，进而得到长度，验证是否符合乙的计算结果． 【详解】，，， ， 设，则． 甲的方法：∵点与点关于对称， 垂直平分， ， 在中，， 在中，， ，即， 解得， 即，， ， ， ， ； 在中，， ， ， 为等腰直角三角形，且， 甲的折叠方法及计算结果正确； 乙的方法：如解图，连接， 平分，， ，， ，，， ，，， 是公共边， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 甲、乙两人确定的点是相同位置的点， 为等腰直角三角形，且， 乙的折叠方法正确，计算结果不正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 【答案】20 【分析】本题考查了两条线段的比．设两地的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设两地的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， ∴． 故答案为：20． 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为________． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 本题主要考查平行线所截线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：由题意， ， ， 故答案为：6． 13．（2025·湖南怀化·一模）如图，的两条中线交于点O，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据中线得出是中位线，得出平行线和线段的数量关系，证明，根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由题可知，点D、E分别是的中点，即是中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14．（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 15．（2024·湖南永州·一模）如图，在中，E，F分别是的中点，连接分别交对角线于点G，H，I，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，过点B作于点P，先证明可得计算出再求解再相加即可得出答案， 【详解】如图，过点B作于点P， ∵四边形为平行四边形， ， E，F分别是BC，AD的中点， 四边形为平行四边形， 的面积为6， ， ， ∵， ∴， 同理可得， 故答案为：10 【点睛】如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，EF，CF分别交对角线BD于点G，H，I，若△ABE的面积为6，则图中阴影部分的面积为 16．（22-23八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过_____ 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    【答案】或 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，    ①当时，有， ∴，即， 解得； ②当时，有， ∴，即， 解得， ∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成比例线段． （1）将已知数据代入比例式，即可求解； （2）根据比例中项的定义列式，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得： （2）解：依题意， ∴ 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 19．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． 20．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 21．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以原点为位似中心，在第一象限画一个与位似，相似比为2； (2)若点坐标为，点坐标为．则点对应的点的坐标为__________；点对应的点的坐标为__________． 【答案】(1) 则即为所求， (2)， 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是根据位似变换的定义作出变换后的对应点； （1）延长到使得，延长到使得，连接，则即为所求； （2）根据网格图写出、的坐标即可. 【详解】（1）解：以原点为位似中心，相似比为2， 延长到使得，延长到使得，连接. （2）解：由网格图可知：，. 故答案为：，. 22．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 23．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 24．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，点P关于点C的对称点为点Q，当点P不与点A，点B，点C重合时，过点P作的垂线交于点N，以，为邻边作平行四边形，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)点P在上运动时，当平行四边形为菱形时，求的长； (3)当点M在内部时，求t的取值范围； (4)为的中线，当点M落在中线上时，直接写出t的值． 【答案】(1)当，；当时，． (2) (3) 且 ； (4)或 【分析】（1）由题意可知，分点在上和当在上两种情况讨论，通过相似三角形的判定和性质即可求解； （2）当平行四边形为菱形时，根据邻边相等列方程即可求解； （3）观察图形可知，当点沿运动时，点M与的位置关系依次为在三角形外部→在三角形边界上→在三角形内部→在三角形边界上→在三角形外部，因此只要确定点M位于三角形边界上时对应的t值即可求解； （4）分点在上和当在上两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质以及前面得到的结论即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，点在运动到点时，所需时间；点在运动到点时，所需时间， 如图1，当点在上运动时，，此时满足， 在中，，，则， 在和中， ， ， ，即 ， ， 如图2，当在上运动时，，此时， 则， 同理可证， ，即 ， ， 综上可知，当时，；当时，； （2）解：如图3，当点在上运动时，，则， 点、点关于点对称， ， 当平行四边形为菱形时，则有，即， 解得， ； （3）解：如图4，当点在上运动，点恰好落在边上时，则有， 在中，， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，即 ， 解得 ； 如图5，当点在上运动，点恰好落在边上时，则有，此时， 点、点关于点对称， ， 在中，， ， 同理可知， ，即 ， 解得 ， 综上可知，当时，点在内部， 由于点不与点重合，则 ， 即的取值范围为 且 ； （4）解：如图6，当点在上运动，点恰好落在上时，过点作于，设交于点， 是中点， ， 在和中， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，即 ， ； 如图7，当点在上运动，点恰好落在上时， 由前文已知 ， 同上一种情况的方法可知， ，即 ， ， ， 由前文已知， 则 ，， 同理可知， ，即 ， ． 综上可知，当或时，点落在中线上． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $