专题12 二次函数角相关存在性问题（6种类型48道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦二次函数与角存在性的6类综合问题，通过48道典例系统覆盖角相等、倍数、度数等核心考法，强化数形结合与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角相等|8道|抛物线上找点使两角相等|二次函数性质与几何角度关系的转化，通过坐标运算构建方程求解| |角成倍数|8道|探究角的2倍等倍数关系|结合三角函数或构造对称转化倍数关系，建立代数模型| |已知角度数|8道|给定角度（如30°、45°）找点|利用特殊角三角函数值，将角度条件转化为坐标关系| |互余和互补|8道|角的互余或互补存在性|通过角度和差关系列方程，结合二次函数图像性质求解| |角平分线|8道|角平分线相关角度问题|利用角平分线性质（如距离相等）构建等量关系| |角的和差|8道|角的和差关系存在性|通过图形分割或拼合，将和差关系转化为方程求解|

专题12 二次函数角相关存在性问题 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 存在性角相等】 1 【类型2 存在性角成倍数关系】 4 【类型3 存在性已知角的度数】 8 【类型4 互余和互补】 11 【类型5 角平分线相关的角度问题】 16 【类型6 角的和差关系】 19 【类型1 存在性角相等】 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出的值和，两点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图（2），点，是抛物线对称轴上两点，直线，分别交抛物线于点，，设点，的纵坐标分别为，，，求点到直线的距离的最大值． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 6．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线上一点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标．此时点保持不动，将线段沿直线继续平移，求平移过程中的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，得到抛物线，的对称轴与轴交于点，线段上有一点，连接，过点作交抛物线于点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【类型2 存在性角成倍数关系】 9．已知抛物线，且与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点P在抛物线上运动（P点异于点A）． ①当的面积等于的面积时，求点P的坐标； ②当时，求直线的解析式． 10．抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，平行于x轴交抛物线于另一点D，点M是x轴上一动点，连接，过点M作交y于点K（点K在线段上，不与点O重合）， (1)求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）． (2)若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M， ①求抛物线的解析式 ②如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作于点Q，连接，是否存在点P使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 11．抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，满足 求点坐标； (3)如图2，是第一象限内一点，过点的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为、，探究直线 是否过定点，求这个定点的坐标． 12．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 13．抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 14．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 15．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 16．如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)请求出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案） 【类型3 存在性已知角的度数】 17．如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接，． (1)若 ①求直线的表达式； ②求证：； (2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围． 18．如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 19．已知抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，把直线向下平移，平移后的直线交轴于点，交轴左侧的抛物线于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，且位于第四象限，当时，求点的坐标． 20．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，对称轴为直线，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)动点和动点同时出发，点从点以每秒2个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 23．已知抛物线与轴交于点，点在该抛物线上 （1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示； （2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式； （3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交直线于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)如图1，若已知点A的横坐标为，求点B的横坐标； (2)如图2，连接、． ①当，且时，求k的值； ②试判断是否恒成立？请说明理由． 【类型4 互余和互补】 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 26．如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点、两点，与轴的正半轴交于点．已知点，点，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 31．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型5 角平分线相关的角度问题】 33．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 34．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点（点A 在点 B 的左侧），交y轴于点C，． (1)下列说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③该抛物线可表示为． (2)求抛物线的解析式． (3)若D 为抛物线在第一象限内的点，且平分 ，求点 D 的坐标． 35．如图1，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点P为线段上不与端点重合的一个动点，过点P作轴，垂足为E，交抛物线于点D，已知点A、B的坐标分别为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在点P的移动过程中，若射线平分，求的长； (3)若点M为线段上一点，请问在坐标系内是否存在点N，使得以O、C、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 36．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标； (3)设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)抛物线上有一点P，其横坐标为5． ①点Q为第四象限内抛物线上一点，连接．若射线平分，求点Q的坐标； ②连接，将线段沿着射线平移得到线段，点A的对应点为M，点C的对应点为N，若线段与抛物线无交点，请直接写出点N的横坐标的取值范围． 39．已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 40．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【类型6 角的和差关系】 41．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． (1)求三点的坐标； (2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． (3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 43．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，若点P是位于直线上方抛物线上的一点，点Q、G是抛物线对称轴上的两点，连接、、、、．若，当面积取得最大值时，求的最小值及此时点Q的坐标； (3)将抛物线向左平移3个单位，向下平移5个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴的交点为点E．点M为新抛物线上的一个动点，连接，，当，直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是直线上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交与x轴分别为点F与点G，点P，Q为抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点E的坐标及周长的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到，点H为点E的对应点，点M为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 45．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求a，b的值； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，抛物线的对称轴为直线，作点C关于x轴的对称点D，连接交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点P为直线上方抛物线上一动点，连接，过点O作直线的平行线交抛物线于点F、G，点M、N为直线上的动点（点M在点N的左边）且，连接．当面积最大时，此时点P的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q在新抛物线上，点W为直线与抛物线y的交点（异于B），若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 47．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求a，b的值； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 48．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 二次函数角相关存在性问题 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 存在性角相等】 1 【类型2 存在性角成倍数关系】 31 【类型3 存在性已知角的度数】 56 【类型4 互余和互补】 78 【类型5 角平分线相关的角度问题】 113 【类型6 角的和差关系】 137 【类型1 存在性角相等】 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点K的坐标为或 【分析】（1）把A，B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，，如图1，设直线交直线于点D，根据，可知点P与点D的纵坐标相等，则，计算的长，计算，连接，作关于y轴的对称点，连接，当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是的长，即可解答； （3）先求平移后抛物线解析式，再求抛物线与轴的交点坐标，可得的长，求出，当点K在x轴的上方，设，则，得，解方程求出的值，即可得点K的坐标；同理可求当点K在x轴的下方时点K的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴是：直线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图1，设直线交直线于点D，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，点P与点D的纵坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，有最大值，此时点P的坐标为， 把点P的坐标为向下平移个单位得， 连接，作关于y轴的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是； （3）解：， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：或 设点为函数与轴正半轴的交点， ∴， 分两种情况： ①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得或（此时与点重合，不合题意，舍去） ∴, ∴ ②点K在x轴的下方时，同理可得，， ∴， 综上，点K的坐标为或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 点的横坐标为2， ． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， ， 设在直线上，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出的值和，两点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图（2），点，是抛物线对称轴上两点，直线，分别交抛物线于点，，设点，的纵坐标分别为，，，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入求出，得到抛物线，然后令求出，； （2）根据题意分两种情况讨论：点E在x轴上方和点E在x轴下方，然后分别求出所在直线表达式，然后和抛物线联立求解即可； （3）首先得到，，可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后分别于抛物线联立求出，，然后结合表示出所在直线表达式，设，得到，然后求出所在直线过定点，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得 ∴抛物线 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：如图，当点E在x轴上方时，设与y轴交于点F， ∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 如图，当点E在x轴下方时，设与y轴交于点F， 同理可得，所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线 ∵设点，的纵坐标分别为，， ∴， ∵ ∴可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为， ∴联立和得， 整理得， ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ 同理可得， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴所在直线表达式为 设 ∴ ∴当时，即时， ∴所在直线过定点 ∵是定点 ∴当时，点到直线的距离取得最大值 ∵ ∴点到直线的距离的最大值为． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 6．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)， 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点D，求出直线的解析式为，得到，设，则，则，即可求解； （3）求出直线的表达式为，将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，得到，进一步得到，联立上式和直线的表达式得，得到点，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点Q作轴于点D，如图： 当时，，即， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4，此时； （3）解：设直线的表达式为：， 把，代入得：， 解得： ， ∴直线的表达式为：， 将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位， 则， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：或（舍去）， ∴点， 当点M在下方时，如图，此时点的位置为， ∵， ∴， 则直线的表达式为：， 联立和新抛物线的表达式得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴； 当点M在上方时，令点关于直线的对称点为，作直线交新抛物线于， 由轴对称的性质可得， ∴，即点即为所求，且点和点的中点在直线上，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立和新抛物线的表达式得， 解得：或（不符合题意，）， ∴； 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数的平移等知识，掌握相关知识是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线上一点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标．此时点保持不动，将线段沿直线继续平移，求平移过程中的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，得到抛物线，的对称轴与轴交于点，线段上有一点，连接，过点作交抛物线于点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)点的坐标为或， ∵，， ∴沿射线平移等同于向右和向上同时移动相同的单位长度， 设抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线， 由平移规律可得， 将点代入，得， ， 解得（负值舍去）， ∴，对称轴为直线， ∴点的坐标为， 设点的坐标为，点的坐标为， ①当点在右侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，，，， ∴， 解得或， ∵点在线段上， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点在左侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， 同理可得， ∴，， ∵，，，， ∴， 解得或， ∵， ∴，，此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【分析】（1）根据对称轴公式和点坐标，构造方程组并求解即可； （2）先计算出点、、的坐标，直线与直线的解析式．延长交于点，交于点，作，垂足为，设点的坐标为，根据线段关系容易判断出和是等腰直角三角形，则为定值，因此当最大时，的面积最大，此时点的坐标为．根据线段公理可知，在平移过程中，当时，最小，最小值为．可证明此时点与点重合，使用勾股定理可计算出，进而得到的最小值； （3）沿射线平移，可设抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，结合过点，可求出，则．容易判断出是等腰直角三角形，则点有左右两种情况，需要分类讨论．当点在右侧时，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，构造一线三直角模型。可证明，则，．设点的坐标为，点的坐标为，表示出对应边之后，构造方程组并求解；当点在左侧时，使用同样的方法构造方程组并求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，延长交于点，交于点，作，垂足为，设点的坐标为， ∵轴， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∵两点之间，线段最短， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， 又∵垂线段最短， ∴当时，最小，此时点、、恰好共线， ∴当时，取得最小值，如图， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴点与点重合， 在直角中，， ∴， ∴的最小值为． 综上所述，的面积最大时，点的坐标为；平移过程中，的最小值为． （3）略 【点睛】本题是二次函数与三角形结合的综合题，考查面积最值问题，周长最小值问题，角度存在问题，运用转化思想和分类讨论思想是解题关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的函数解析式，设点，，表示出后，求出最大值时，，从而得到点的坐标．根据象限的角平分线的性质求出点的坐标，再将点向右平移构造平行四边形，则．根据线段公理，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可； （3）根据题意，平移路径为，即向右个单位，向上个单位，从而求出抛物线的解析式．分两类讨论，当点在轴下方时，作直线交轴于点，容易证明，从而得到点．用待定系数法求出的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标；当点在轴上方时，使用同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入中，得， ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在的平分线上， ∴， 设点，代入，解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， 如图，将点向右平移1个单位，得到，连接． 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． （3）解：由（2）可得，点的坐标为， 根据题意可知，平移路径为从点到点，即向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴新抛物线， ①当点在轴下方时，如图，作直线交轴于点， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，如图，作直线交轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴点的坐标为， 将，代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【类型2 存在性角成倍数关系】 9．已知抛物线，且与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点P在抛物线上运动（P点异于点A）． ①当的面积等于的面积时，求点P的坐标； ②当时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)①P坐标为或或；② 【分析】（1）由抛物线过点，，运用待定系数法求出a，b的值，从而求得抛物线的解析式； （2）①分两种情况进行讨论，Ⅰ．当点P在x轴的上方时，过点A作，交抛物线于点P，则有，先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，最后将直线与抛物线联立，即可求得点P坐标；Ⅱ．当点P在x轴的下方时，由直线向下平移2个单位长度，交抛物线于点，，求出直线的解析式，最后将直线与抛物线联立，即可求得点P坐标；②延长交x轴于点Q，设，先证，再由相似三角形的性质得到，求出点Q坐标，最后求得直线：． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）①解：Ⅰ．如图，当点P在x轴的上方时，过点A作，交抛物线于点P，则有， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴， 设直线：， ∴解得：， ∴直线：， 故设直线：， ∵直线：经过， ∴， 解得：，即直线：， 由解得：或 ∴； Ⅱ．如图，当点P在x轴的下方时， 设直线：与y轴交于点E，则， 则， 由直线向下平移2个单位长度，交抛物线于点，．得， 此时直线：， 由， 解得：或， ∴，， 综上，P坐标为或或； ②解：如图，延长交x轴于点Q， ∵，，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴，即， 设直线：， 将，代入中， ∴解得： ∴直线：． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合运用，包括待定系数法求函数解析式，函数相关的图形面积关系，角度存在性问题等，灵活运用相关知识是解题的关键． 10．抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，平行于x轴交抛物线于另一点D，点M是x轴上一动点，连接，过点M作交y于点K（点K在线段上，不与点O重合）， (1)求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）． (2)若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M， ①求抛物线的解析式 ②如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作于点Q，连接，是否存在点P使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；②存在两个点P，点P的横坐标是2或 【分析】（1）分别令和可得，，三点的坐标，将抛物线的解析式配方成顶点式可知对称轴是直线，根据对称性可得点的坐标； （2）①先作辅助线，构建相似三角形，证明，则，列方程，根据，可得的值，求出抛物线的解析式； ②当中某个角恰好等于的2倍时，存在两种情况：当时，延长交轴于，确定点的坐标，设的解析式为：，联立方程组可得的横坐标；当时，作，证明和，表示的坐标，代入抛物线的解析式中可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵平行于x轴交抛物线于另一点D， ∴； （2）解：①∵点是线段存在唯一一点M， 如图2，过D作轴于E， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵只有一个M点，所以方程只有一个解， ∴， ∴， ∴； ②（i）当时，延长交x轴于F，如图 ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 设的解析式为：， 则，解得：， ∴的解析式为：， 联立， 解得：（舍），， ∴点P的横坐标为2； （ii）当时，如图4，作， 设， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 过Q作x轴的平行线交y轴于G，同时过P作于H， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴ 代入抛物线的解析式中得：， 解得：（舍），， ∴P的横坐标为， 综上，存在两个点P，点P的横坐标是2或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论和数形结合思想的运用是解答的关键． 11．抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，满足 求点坐标； (3)如图2，是第一象限内一点，过点的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为、，探究直线 是否过定点，求这个定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】(1)用待定系数法求二次函数的解析式； (2)延长交轴于，在上取点，使，可得，根据等角对等边可得，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，解方程即可求出点的坐标； (3)设点的坐标是、点的坐标是，可得直线的解析式是，根据直线、、抛物线有公共交点，可得点的坐标是，从而可得，即直线的解析式是，根据解析式可知直线过定点． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 点的坐标是， ， 如下图所示，延长交轴于，在上取点，使， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ， ，， ， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 直线的解析式是， 联立， 解得：， 点的坐标是； （3）解：设点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是 联立 ， 直线与抛物线只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 直线的解析式是， 同理可得直线的解析式是， 解方程， 可得：， 点的坐标是， 点的坐标是， ， ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程、勾股定理，解决本题的关键是根据二次函数与一元二次方程的关系求解． 12．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 13．抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令，求出x的值，从而求得点B的坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，设，由勾股定理和两点间距离公式得出的长度，和的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当N为直角顶点时，利用勾股定理求得t的值，即可求得点N的坐标； （3）延长交y轴于F，在上取点E，使，设，则， 利用勾股定理列出方程求得t的值，即可得到，，通过角度和差关系及等边对等角可得到点F的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，最后联立抛物线解析式即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，，解得：（舍），， ∴． （2）解：∵对称轴， ∴设， ∵，， ∴，，， ①当A为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ②当C为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ③当N为直角顶点时，， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：如图，延长交y轴于F，在上取点E，使， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标是， 点A的坐标是、点F的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， ∴直线的解析式是， 联立，解得：（舍），， ∴点D的坐标是． 14．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）确定直线的解析式为：，设，确定直线的解析式为，得到点D的横坐标为，根据题意，得，解答即可． (3) 作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，， 故，过点A作，交于点，， 解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得， 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， 令，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 故或． （3）解：作点关于y轴的对称点M， 根据题意，得，， 故， 过点A作，交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式， 得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得， 故； 15．如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或． 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）①设，由点和点可得的表达式，分两种情况：当时和当时根据相似三角形的性质求解即可； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为，求出点M的坐标，得出直线的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点． 【详解】（1）解：将、两点坐标代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①设， 由点和点可得的表达式：， 则， ， 轴，轴， ， （Ⅰ）当时，， 则， ， ； （Ⅱ）当时， ， 则， ， ， ∴当与相似时，点的坐标为或； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，过作交于，在x轴的下方作，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为， 由作图可知，M与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 同理可得点的坐标为， 综上点P的坐标为或． 16．如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)请求出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案） 【答案】(1)，， (2)或 (3)． 、【详解】（1）解：在中，当时，， 解得或， 当时，， ，，； （2）解：∵， ∴顶点的坐标为， ①当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点， ，，， ，， 由抛物线的对称性可得， ， ， ， 又∵， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为（），将、两点坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为； ②点在轴下方时， 同理可求得直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设，，， 设直线的解析式为， 联立得， 由根与系数关系可知，， 直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 直线的解析式为， ，即， 直线经过定点， ， 整理得， 将代入中，得， 整理得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 【类型3 存在性已知角的度数】 17．如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接，． (1)若 ①求直线的表达式； ②求证：； (2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围． 【答案】(1)①， ②连接， ∵， ∴，，，． ∵，． ∴． ∴， ∵A，关于直线对称， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）①当时，，则当时，，当时，，解得：，，得到，，，利用待定系数法求出直线的表达式即可； ②连接，，，，，由，则可得到，则，得到．则，求得，则，即可求得，，则由，即可得到结论； （2）设在二次函数第四象限的图象上存在一点，使得，连接，交轴于点，求得，，由得，即可得到，则得到，进步求得a的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 当时，， 解得：，， ∴，，， 设直线的表达式为：，则 ， 解得：， ∴直线的表达式为： ② 略 （2）如图，设在二次函数第四象限的图象上存在一点，使得，连接，交轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 解得：， ∵， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形、解一元一次不等式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 18．如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． 19．已知抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，把直线向下平移，平移后的直线交轴于点，交轴左侧的抛物线于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，且位于第四象限，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）连接，求出，由平移的性质得到，点到的距离等于点，到的距离，进而得到，求出，再求出，令，即可解答； （3）过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，由题意易得，证明，推出，进而得到，求出，令，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， 设抛物线解析式为， 将代入，， 解得， ，即； （2）解：连接， 设， 将代入得，解得， ， 平移， ， 点到的距离等于点，到的距离， ∴， 解得， ， 设，将代入得， ， 令， 解得（舍去）， 把代入， 此时； （3）解：如图：过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，则四边形是矩形，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，将代入得：， 解得， ， 令， 解得（舍）， 将代入得， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数与面积问题，二次函数与特殊三角形问题，涉及待定系数法，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式等，构建全等三角形是解题的关键． 20．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入直线，解方程求出的值即可； （2）把代入直线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （3）分在上方和下方两种情况，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：由（1）可知，， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得：， ∴， 将、代入中得， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （3）解：存在，的坐标为或 ①当点在直线上方时，设交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②如图，当点在直线下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， 所以； 综上所述：存在点，使得，的坐标为或． 21．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)有最大值为，此时； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得， 解得， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； （3）解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴①当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ②当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，对称轴为直线，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)动点和动点同时出发，点从点以每秒2个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键 （1）利用对称性求出点A的坐标，利用待定系数法解答即可； （2）求出，得到，得到，，即可得到，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）求出平移后的解析式为，得到抛物线的对称轴为直线，分两种情况：当点G在直线下方时，当点G在直线上方时，分别画图进行解答即可． 【详解】（1）∵对称轴为直线，点的坐标为， ∴ 将点A和点B的坐标代入得到 解得 ∴ （2）当时， ∴点C的坐标为， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵点从点以每秒2个单位长度的速度沿运动到点， ∴ ∴， ∵点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点， ∴ ∴ ∴， ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为 （3）∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线向x轴负方向平移2个单位，向y轴负方向平移2个单位， ∴平移后的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线 当点G在直线下方时，如图1， 设与x轴交于点E， ∵， ∴ ∴ ∴， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 当时， ∴G点坐标为 当点G在直线上方时，如图2， 设与x轴交于点F， ∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得直线为 当时， ∴点G的坐标为， 综上可知，点G的坐标为或 23．已知抛物线与轴交于点，点在该抛物线上 （1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示； （2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式； （3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）直接根据对称轴为代入a，b计算即可得出答案； （2）首先根据点B的坐标及等边三角形求出AC，OC的长度，然后利用勾股定理求出AO的长度，从而得出c的值，最后将点B代入解析式中即可求解； （3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P的位置从而可确定出点P的坐标． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵为等边三角形，轴，， ∴，， 在中， ∴ 把代入，得， ∴． （3）如图，由（2）知为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点为圆心，为半径作圆，经过点． ∵在轴上， ∴点即为圆与轴的交点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称性可知，． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交直线于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)如图1，若已知点A的横坐标为，求点B的横坐标； (2)如图2，连接、． ①当，且时，求k的值； ②试判断是否恒成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②恒成立，理由如下： 由①可得：，，，， 而，， ∵， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴； ∴． 【分析】（1）先求解，直线为，可得，再进一步求解即可； （2）①求解，联立，整理得：，可得，，可得，再结合面积公式建立方程求解即可； ②由①可得：，，，，而，，可得，，再证明即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交直线于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标为， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴； （2）解：①∵抛物线， 当时，， ∴， ∵， 整理得：， ∴，， ∴ ， ∵当，且时， ∴， ∴， 解得：（舍去）；经检验符合题意； ②略 【类型4 互余和互补】 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 26．如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点、两点，与轴的正半轴交于点．已知点，点，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为16，此时点的坐标为 (3)或 【分析】（1）代入，到抛物线，求出a、b的值即可； （2）作轴交轴于G，交直线于E，利用等腰和等腰的性质，转化的最大值为的最大值，再利用抛物线的顶点坐标公式求出点的坐标即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式为，由得，以为斜边作等腰直角，设，根据勾股定理建立方程组，求得点的坐标，进而求得直线的解析式，联立平移后的抛物线解析式，进而求得点，即可求解． 【详解】（1）解：代入，得， 解得：， 拋物线的解析式为． （2）如图，作轴交轴于G，交直线于E， 令，则，即， ，， ， 又， ， 轴， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设， 则， 当时，有最大值8，即，此时， ， ， 的最大值为16，此时点的坐标为． （3），， 抛物线沿着射线的方向平移个单位，， 抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位， 新抛物线的解析式为：， 由（2）中的结论得，，即， ， ； 如图，以为斜边作等腰直角，设 ∴ ， ∴ ∴ 由得，代入方程组 解得：或 ∴或 设直线的解析式为，代入，或 ∴或 解得：或 ∴直线的解析式为或 联立，解得或（结合函数图象，舍去） 联立，解得或（结合函数图象，舍去） 的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的平移规律，学会通过作垂线构造直角三角形，能够利用等腰直角三角形的性质转化线段关系，能够利用直角边的比例证明相似三角形是解题的关键，本题属于二次函数综合题，需要较强的数形结合和推理能力，适合有能力解决难题的学生． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)点K的坐标为或 【分析】（1）利用三角形的面积公式求得，得到，再待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，作交轴于，令交于，则可求出直线的解析式为，从而可得，证明，由相似三角形的性质可得，即当最大时，取得最大值，设且，则，求出的最大值即可，此时，，得出、关于轴对称，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得，即的最小值为的长，求出直线的解析式为，联立得出，再由勾股定理计算即可得解； （3）利用平移求出新抛物线解析式为，联立，得出；再分两种情况：当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则；当点在直线的下方时，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，作交轴于，令交于， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取得最大值， 设且，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为，此时的值也最大， 当时，，即， ∴， ∴、关于轴对称， 连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴的最小值为的长， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得，即， ∴，即的最小值为； （3）解：∵原抛物线为，直线的解析式为， ∴设将该抛物线沿射线方向平移（即向右平移个单位长度，向上平移的单位长度）得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 如图，当点在直线的下方时，延长交于， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， 此时； 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—角度问题、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 31．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3)存在，． 【分析】（1）根据对称轴得出，将将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 做点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴（舍去）， 综上：存在，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军遛马最值模型，以及一线三等角证明相似． 32．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）可求直线，设，则，那么，则当，最大为4，此时连接并延长至点，使得，连接，可得点关于直线对称，则，那么，当点三点共线时，取得最大值，而，则，同理可求直线，与直线联立，求出； （3）可求新抛物线，①当在轴上方抛物线上时，可得，求出直线，与抛物线解析式联立即可求解，②当在轴下方抛物线上时，记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则，则直线与抛物线交点即为点，则，同理可求直线，则与抛物线联立，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，与轴分别交于点， ∴， 对于， 当， ∴ 设直线， 代入点，则， 解得：， ∴直线， 设， ∵轴， ∴将代入， 则， 解得：， ∴， ∴， ∴当，最大为4，此时 连接并延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点关于直线对称， ∴， ∴，当点三点共线时，取得最大值， ∵，且， ∴， ∴， 同理可求直线， 则， 解得：， ∴； （3）解：存在，理由如下： 在中，， 原抛物线：， ∴设平移后的解析式为：， 代入得： 解得：或（舍）， ∴新抛物线解析式为：，即， ①当在轴上方抛物线上时， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线，代入，则， 解得：， ∴直线， 则， 解得：或（舍）， ∴ ②当在轴下方抛物线上时， 记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则， 则直线与抛物线交点即为点， ∵ ∴， 同理可求：直线， 则与抛物线联立得：， 解得：或（舍）， ∴ 综上：点的坐标为或． 【类型5 角平分线相关的角度问题】 33．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 34．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点（点A 在点 B 的左侧），交y轴于点C，． (1)下列说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③该抛物线可表示为． (2)求抛物线的解析式． (3)若D 为抛物线在第一象限内的点，且平分 ，求点 D 的坐标． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先求出，进而得到，，则可得到点A的坐标，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，从而求出点A和点B的坐标，进而求出的长，据此逐一判断即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）过点B作轴交延长线于E，过点C作于F，可证明四边形是正方形，得到；证明，得到，则；求出直线解析式为，联立，解得或，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴，故②错误 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）或（舍去）， ∴抛物线解析式为，即该抛物线可表示为，故③正确； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴，故①错误； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为； （3）解：如图所示，过点B作轴交延长线于E，过点C作于F， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴； ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴． 35．如图1，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点P为线段上不与端点重合的一个动点，过点P作轴，垂足为E，交抛物线于点D，已知点A、B的坐标分别为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在点P的移动过程中，若射线平分，求的长； (3)若点M为线段上一点，请问在坐标系内是否存在点N，使得以O、C、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点N的坐标为或或 【分析】（1）把点A、B的坐标分别为，代入列方程计算即可； （2）先求出直线解析式为，设，根据轴和角平分线可得，则，据此列方程求解即可； （3）设，，根据与是菱形的边或对角线分情况讨论，根据菱形的边长相等，再结合距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点A、B的坐标分别为，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接， 交y轴于， ∴设直线解析式为，， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 设， ∵点P为线段上不与端点重合的一个动点，过点P作轴，垂足为E，交抛物线于点D， ∴，，轴，， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，与重合，不合题意； 当时，，此时； （3）解：设，， 当与是菱形的边时，菱形如图： ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴向上平移3个单位长度得到； 当是菱形的对角线，是菱形的边时，菱形如图 ，过作轴于， ∴，向下平移3个单位长度得到， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 当是菱形的对角线，是菱形的边时，菱形如图： ∴与互相垂直平分， ∴与关于轴对称，且与纵坐标为， 即， 解得， ∴，， 综上所述，存在以O、C、M、N为顶点的四边形为菱形，点N的坐标为或或． 36．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得抛物线的表达式为，得出，求出，过点M作 轴交的延长线于点D，证明，联立抛物线和直线的表达式求出（舍去）或，即可得点，求出直线的表达式，根据轴，得出，求出点，根据，列出方程，求解即可； （3）根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下，根据点是抛物线上的两点，得出，分三种情况：①当时，即，②当时（即），③当时（即），分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：根据（1）可得抛物线的表达式为， ∴， 令，解得：或， ∴， 过点M作轴交的延长线于点D， 则， ∵恰好平分，即， ， ， 联立抛物线和直线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 当时，， 即点， 设直线的表达式为， 代入点的坐标得， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵轴，则， 当，则， 即点， ∵，由的坐标得：， 则， 解得：； （3）解：根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下， ∵点是抛物线上的两点， ∴， 分情况讨论：①当时，即， 此时，最高点为顶点， 最低点由和的较小值决定： 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（不在范围内，舍去）． 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（均不符合区间条件）． ②当时（即）， 此时y随x的增大而增大，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（正值舍）． ③当时（即）， 此时y随x的增大而减小，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（负值舍）． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的判定，勾股定理，一次函数解析式求解，二次函数最值，熟练掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标； (3)设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，通过平行西变形的性质得到点Q的坐标为，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求解即可； （3）当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作于点H，则有，证明可得，设点P坐标为，点R坐标为，由相似比得到，进而得，过点Q作轴于点K，设点Q坐标为，由得到关于m的方程求得m，进而完成解答． 【详解】（1）解：将代得， ∴点A的坐标为， 将，代入，得∶ ，解得∶ ， ∴抛物线：． （2）解：如图，设点P的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 则点Q的坐标为， 将代入，得： ，解得或， 因为时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为； （3）解：当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方， 过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P作于点H，则有， 由平分，得，则， ∴， ∴， 设点P坐标为，点R坐标为， 所以有整理得：， 在中，， 过点Q作轴于点K， 设点Q坐标为， 若，则需， 所以， 所以解得∶， 所以点Q坐标为或． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)抛物线上有一点P，其横坐标为5． ①点Q为第四象限内抛物线上一点，连接．若射线平分，求点Q的坐标； ②连接，将线段沿着射线平移得到线段，点A的对应点为M，点C的对应点为N，若线段与抛物线无交点，请直接写出点N的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出点坐标，作点关于的对称点，得到，根据平分，得到，进而得到点在射线上，求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可； ②求出直线的解析式，作，进而求出的解析式，联立的解析式和抛物线的解析式，得到直线经过点，求出与抛物线刚好有交点时，即交于点或点时，的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点， ∴，把，代入，得：， ∴， ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 作点关于的对称点，则：，， ∵平分，则：， ∴点在射线上， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或； ∴； ②同①法可得：直线的解析式为， 作， ∵， ∴直线的解析式为， ∴点在射线上，点在射线上， 联立，得：或， 即：直线经过点， ∵与抛物线没有交点， ∴当点移动到点时，与抛物线交于点，此时， ∴时，满足题意， 当点于点重合时，此时与抛物线交于点， 此时点先向右移动个单位再向上移动3个单位， 故点先向右移动6个单位再向上移动3个单位得到点，即：， ∴时，与抛物线没有交点； 综上：或． 39．已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3) 解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）略 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 40．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 【类型6 角的和差关系】 41．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． (1)求三点的坐标； (2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． (3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 【答案】(1)，， (2)的最大值为1，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）令，求出的坐标，令，求出的坐标； （2）通过证明是等腰直角三角形，得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，其中，进而表示出，再利用二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数平移的性质得到新抛物线，由题意得，再分2种情况讨论：①当在轴上方时；②当在轴下方时，分别求出对应直线的解析式，再联立直线与抛物线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则，其中， 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1， 此时点的坐标为； （3）解：， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度得到新抛物线， ∴， ∵， ∴， ①当在轴上方时，记此时点为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴； ②当在轴下方时，记此时点为， 延长与交于点， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上，所有符合条件点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的最值问题、等腰直角三角形的性质与判定、求一次函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合和分类讨论能力，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 43．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，若点P是位于直线上方抛物线上的一点，点Q、G是抛物线对称轴上的两点，连接、、、、．若，当面积取得最大值时，求的最小值及此时点Q的坐标； (3)将抛物线向左平移3个单位，向下平移5个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴的交点为点E．点M为新抛物线上的一个动点，连接，，当，直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最小值为， (3)点M的横坐标为或， 解：由题意知，平移后新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为，此时点B与点E重合， ①如图，过点B作，交新抛物线于点， ∵， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与得：， 解得：（舍去，在第二象限，），； ②如图，作的垂直平分线交于点I，连接交新抛物线于点， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，C代入得：，解得， ∴直线， ∵点K为中点， ∴，即， 设与y轴交点为Q，过点K作轴交y轴于点P， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点K，Q分别代入得：，解得， ∴直线， 联立直线与直线得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，I分别代入得：，解得， ∴直线， 联立与得：， 解得：，（舍去，在第一象限，）， 综上所述，点M的横坐标为或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴求出b，再利用待定系数法求出c，即可得解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，则抛物线对称轴为直线，，，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，从而得出，利用二次函数的性质可得当时，面积取得最大值，此时，在y轴正半轴取点，使得，连接，，则四边形是平行四边形，从而得到，即当点P、G、三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，即可求出最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点Q的坐标； （3）根据题意先求出平移后的新抛物线解析式及对称轴，此时点B与点E重合，分情况讨论：①过点B作，交新抛物线于点，此时；②作的垂直平分线交于点I，连接交新抛物线于点，此时，根据不同的情况作出对应的辅助线，利用相关知识求解直线解析式并最终联立新抛物线解析式即可求得点M的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ， ， 将代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ∴抛物线对称轴为直线， 令，则， 令，则，解得：，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴当时，面积取得最大值，此时， 在y轴正半轴取点，使得，连接，， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴当点P、G、三点共线时，有最小值， ，， ， 的最小值为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点G的坐标为， ， ， ∴当取最小值时点的坐标为． （3）略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值问题及二次函数关于角度综合问题． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是直线上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交与x轴分别为点F与点G，点P，Q为抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点E的坐标及周长的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到，点H为点E的对应点，点M为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)点M的坐标为或，过程： 由二次函数的平移可得新抛物线解析式为：， ∵点H对应点E平移的坐标， ∴， 如图，作轴，延长至点N，交抛物线于点， ∴， 过点H作交于点G， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 设直线的解析式为， 得：，解得， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得（舍去），， ∴； 作关于对称的直线，交于点，延长交x轴于点F， 设， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴， 过作交于点K， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点C，F代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得（舍去），， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【分析】（1）先利用对称轴与点B的坐标求得点A的坐标，再利用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，再设，则，，表示出的表达式，此时表达式为开口向下的二次函数，化为顶点式后即可得出点E的横坐标，代入二次函数解析式即可求得点E的坐标，将点E往下平移3个单位得到，则，且，连接，得平行四边形，则，作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则，当E，Q，共线时取等，即可求得周长的最小值； （3）先根据平移情况求出新抛物线解析式和点E平移后的点H坐标，作轴，延长于点N，根据题意可得出点在上，求出的解析式后联立新抛物线解析式即可求得的坐标；作关于对称的直线，交于点，设，得出，利用导角得出，再过作交于点K，延长交x轴于点F，求得，设，，从而求得，进而得出，求得点F的坐标，设直线的解析式为，求出解析式联立新抛物线解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，A，为抛物线与x轴的交点， ∴， ∴， ∴， 将、代入， 得：， 解得，， ∴． （2）解：∵点C是抛物线与y轴交点， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， 将，代入得：，解得， ∴直线， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下有最大值， ∴在中，当时，有最大值，此时， 如图，将点E往下平移3个单位得到，则，且， 连接， 则平行四边形， ∴， 作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则， ∴ ，当E，Q，共线时取等， 即，周长最小值为． （3）略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数线段周长综合题，二次函数的平移，解直角三角形等知识点． 45．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求a，b的值； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)当时，的最大值为4，此时 (3) 【分析】本题考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键． （1）将代入中得到二元一次方程组求解即可； （2）由（1）可知抛物线的解析式为，得直线的解析式为，设，则，故，再根据二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的抛物线解析式为，再证明为等腰直角三角形，由得，过作，交移动后的抛物线于．当时，，即． 【详解】（1）解：将代入中， ， ，； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为4，此时； （3）解：设抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后经过原点， ， 解得：或（舍）， ∴平移后的抛物线解析式为， ， ， ，令，则或1， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 过作，交移动后的抛物线于， 当时，， ． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，抛物线的对称轴为直线，作点C关于x轴的对称点D，连接交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点P为直线上方抛物线上一动点，连接，过点O作直线的平行线交抛物线于点F、G，点M、N为直线上的动点（点M在点N的左边）且，连接．当面积最大时，此时点P的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q在新抛物线上，点W为直线与抛物线y的交点（异于B），若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）先根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线经过点，利用待定系数法，即可解答； （2）先求出直线的解析式为，再求出点，过点作平行于轴交抛物线于点，设，则，得出，从而可求出当时，有最大值，此时，过点作直线的平行线，交轴于点K，过点作关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则，求出，进而求出，证明四边形是平行四边形，推出，根据，结合为定值，当三点共线，即两点重合时，有最小值，最小值为，求出，即可解答； （3）先求出平移后抛物线解析式为，然后分点在点左侧和点在点右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式：； （2）解：点是点关于轴的对称点， 点， 设直线的解析式为， 则， ∴， 直线的解析式为， 与联立得，， 解得（舍去）， 直线与抛物线的交点， 过点作平行于轴交抛物线于点，设，则， ， 当时，有最大值，此时， 过点作直线的平行线，交轴于点K，过点作关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则， ∵，且直线过点， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入直线，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当三点共线，即两点重合时，有最小值，最小值为， ∵直线的解析式为， ∴直线是二、四象限的平分线， ∵两点关于直线对称， ∴点在轴负半轴上，且， ∴， ∴， ∴的最小值为， 综上所述，，的最小值为； （3）解：存在，点的横坐标为或， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线沿射线方向平移的水平距离和竖直距离相等， 设抛物线沿射线方向平移的水平距离和竖直距离都为个单位， ∴， ∴， ∴向上平移了个单位，向左平移了个单位， ∵， ∴， 设， 当点在点左侧时，过点作的平行线交轴于点M，连接，如图， ∵点W为直线与抛物线y的交点（异于B）， ∴，即， 解得， ∴点W的横坐标为，则纵坐标为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴点Q的横坐标为； 当点在点右侧时，在上取点，使得，连接，如图， 设， 则， ∴， 整理得， 解得， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴点Q的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，属中考压轴题． 47．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求a，b的值； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)当时，的最大值为4，此时 (3) 【分析】（1）将代入中得到二元一次方程组求解即可； （2）由（1）可知抛物线的解析式为，得直线的解析式为，设，则，故，再根据二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的抛物线解析式为，再证明为等腰直角三角形，由得，过作，交移动后的抛物线于．当时，，即． 【详解】（1）解：将代入中， ， ，； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为4，此时； （3）解：设抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后经过原点， ， 解得：或（舍）， ∴平移后的抛物线解析式为， ， ， ，令，则或1， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 过作，交移动后的抛物线于， 当时，， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键． 48．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出时的自变量的值，根据二次函数的对称轴分两种情况进行解答即可； （3）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、点， ∴， 解得 故答案为：，； （2）由（1）可知，二次函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值是5， ∴当时，时取得最大值，即，解得， 当时，时取得最大值，即， ∴或， 故答案为：或； （3）当时，， 即点C的坐标为， ∵点C关于抛物线对称轴对称的点为E，对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 如图，设交轴于点，交于点， ∵轴， ∴， 根据轴对称性可得，， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点E的坐标为，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由， 解得，或 ∴， 设直线交轴于点，点关于直线对称的点为，连接交于点，连接交抛物线于点，此时也满足条件， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 设，则，把代入得到① 由轴对称可得，，则， 即② 由①②得到，或（不合题意，舍去） ∴ 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 由由， 解得，或 ∴ 综上可知，点P的坐标为或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $