专题09 二次函数相关应用题分类训练（6种类型48道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦二次函数6大应用场景，48道题系统覆盖拱桥、喷水等实际问题，以题载法构建从建模到性质应用的逻辑链条，发展模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |拱桥问题|8道|结合桥梁对称美学，涉及坐标系建立、中心对称变换|二次函数建模→对称性应用→交点计算| |喷水问题|8道|以喷泉、消防水柱为背景，求最大高度、落地点|顶点式设解析式→最值求解→实际场景验证| |最大利润问题|8道|含销售单价、销量关系，结合函数最值与取值范围|利润公式→二次函数表达式→最值及限制条件分析| |动点问题|8道|三角形、矩形中双动点，求面积最值或特定条件|动态变量表示→面积公式→二次函数最值讨论| |最大面积问题|8道|矩形围栏、分割区域，含墙长限制或门宽因素|边长关系表示→面积函数→二次函数最值及定义域| |物理应用|8道|水火箭飞行、电阻功率等跨学科问题|物理公式转化→二次函数模型→最值与参数分析|

专题09 二次函数相关应用题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 二次函数拱桥问题】 1 【类型2 二次函数喷水问题】 14 【类型3 最大利润问题】 29 【类型4 动点问题】 41 【类型5 最大面积问题】 54 【类型6 二次函数在物理中的应用】 64 【类型1 二次函数拱桥问题】 1．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 【答案】(1)16，，， (2) (3) 【分析】（1）由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线，的解析式； （2）由和所在抛物线关于点对称可得和，再将代入解析式即可得解； （3）先确定直线与交于最高点时，由此确定此时直线与必有交点，最后再确定和直线有交点时，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，顶点在轴上， ∴即，即， 设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵和关于原点中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：设所在抛物线为 和所在抛物线关于点对称， ， 且的顶点和顶点也关于点对称， 即， 恰好经过的顶点， ，即， 解得， 在轴左侧， ， 所在抛物线为； （3）解：观察图3可知， 和直线至少要有一个交点， 直线与最高可交于点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， 当时，， ， 当时，和直线必有交点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 的取值范围为． 2．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 3．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 4．如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 【答案】(1) (2)解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下： ， 在中，当时，， ∵， ∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥； ②应往集装箱内至少注入水的质量为800千克 【分析】（1）以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为，根据题意可得点A和点C的坐标，据此利用待定系数法求解即可； （2）①求出时，y的值，再与此时集装箱在水上的高度比较即可得到答案；②可求出集装箱在水上的部分最高为，那么需要增加的吃水深度最少为，再根据浮力等于重力和浮力计算公式建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设此抛物线的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此抛物线的函数表达式为； （2）解：①略； ②在中，当时，， 当水面上涨到警戒水位时，集装箱在水上的部分最高为， 设应往集装箱内注入水的质量为t千克， 由题意得，， 解得， ∴t的最小值为800， 答：应往集装箱内至少注入水的质量为800千克． 5．“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）设，则，得出纵坐标为：，即，确定，再根据题意得出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， ， 解得： 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 设， ∴， ∴点E的横坐标为x， ∴纵坐标为：，即， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴． 6．某城市计划在公园内新建一座景观拱桥，桥体设计为抛物线型．已知拱高，拱桥的跨度，满足，．以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)为满足行人通行需求，需在拱桥下方搭建矩形框架（A，D在抛物线上，沿铺设），若建造该矩形框架垂直于部分的建材费用为100元/米（按立柱高度计算长度，不考虑立柱自身宽度），当矩形的周长为21米时，求建造该矩形框架垂直于部分购买建材所需要的费用． 【答案】(1)； (2)该矩形框架垂直于部分购买建材所需要的费用为元． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，，据此即可求解； （2）设，求出，，，进而得到，结合矩形的周长为21米，求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，则， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （2）解：∵，矩形框架中， 设， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，即点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的周长为21米， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴（元） 答：该矩形框架垂直于部分购买建材所需要的费用为元． 7．如图是某个温室大棚门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，，为的中点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)为支撑温室大棚门的结构，在抛物线上的点、处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 【答案】(1) (2)这三条撑杆长度和的最大值为 【分析】（1）由题意可知，顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入求解即可； （2）设，则，，然后表示出这三条撑杆的长度和，然后根据二次函数得性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，顶点， ∵，， ∴， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数解析式为； （2）解：设，则， 则这三条撑杆的长度和， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 8．综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． 【答案】(1)①；②44米 (2)98米 【分析】（1）①待定系数法求函数表达式；②根据题意可得点的纵坐标，代入解析式，解方程可得点的横坐标，即可求解； （2）设点的横坐标为，表示出矩形的周长，根据二次函数的图象和性质求出最值． 【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为，纵坐标为9，即顶点坐标为． 设函数表达式为， 将原点代入上式，得， 解得， ∴该桥拱抛物线的函数表达式为； ②平台距离桥面的垂直距离为5米，即点的纵坐标， 将其代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴（米）． 答：该水平作业平台的长度为44米； （2）解：设点的横坐标为， 由抛物线的对称性可知，点的横坐标为， ∴， 矩形的高即为点的纵坐标，． 设矩形的周长为， ∴ ， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数随的增大而减小， 根据题意，边到桥墩距离不小于11米，即． ∴当取最小值11时，周长取得最大值． 当时，（米）． 答：单块宣传牌的周长最大值为98米． 【类型2 二次函数喷水问题】 9．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 10．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 11．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 12．综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，为水上滑梯，滑梯顶端点离地面4米（即米），水平长度米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端，处喷泉离滑梯的距离为米（即米），如图所示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离轴米． (1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式． (2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉落地位置到滑梯立柱的水平距离，以此确定排水槽的位置． (3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离． 【答案】(1)水柱所在抛物线的表达式为 (2)喷泉落地位置D到滑梯立柱OA的水平距离为米 (3)当时， 【分析】（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，，得出抛物线与y轴交点C的坐标为，设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）当时，求解方程，根据题意得出合适的解即可； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法得出，然后设喷泉水柱与滑梯滑道的竖直距离为d，得出相应的函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，， ∵， ∴抛物线与y轴交点C的坐标为， ∵， ∴抛物线经过点； 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 由对称轴得， 将点代入得， 将代入上式得： 解得， ， ∴喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 整理得， 解得， 且 (舍去)， 答：喷泉落地位置D到滑梯立柱的水平距离为米； （3）解：设直线的解析式为， 将代入得： 解得， ∴直线的解析式为， 设喷泉水柱与滑梯滑道的竖直距离为d，则： ， ∴当时，d有最大值，最大值为 答：全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离为米． 13．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】（1）依据题意，由水平距离x与时间t的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出时，x的值，然后根据时间距离速度，即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，当时，，当时，，分别求出的值，最后下结论即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 由表格得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且， ∴当水落在花盆最左边时，，此时，解得； 当水落在花盆最右边时，时，，解得； ∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为． 14．综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能， 理由：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∵， ∴水柱不能喷中该目标顶端． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）中函数解析式求出点M的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，然后把代入直线的解析式，求出函数值，最后与目标高度对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式为； （2）略 15．为庆祝校园艺术节，学校在中心广场安装了一处音乐喷泉．如图1，喷泉的喷头垂直于地面安装，喷头离地面高度为米．从喷头喷出的水柱在空中形成一条抛物线，以喷头正下方的地面点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水柱在离喷头水平距离米处达到最高点，最高点离地面高度为米．水柱最终落在地面上的点处（假设水柱运动轨迹为抛物线，忽略空气阻力）． 【建立模型】 (1)求该抛物线的函数表达式． 【数据计算】 (2)一名同学站在离喷头水平距离米处，其身高为米，问该同学是否会淋到水？请说明理由． 【解决问题】 (3)喷泉设计时，通过调节喷头角度，可以产生一系列不同的抛物线水柱，所有这些水柱的顶点都在同一条直线上（如图3）．设这些抛物线均可表示为（其中，且它们都与水平直线相交．其中某一条抛物线与直线相交于点，且点的横坐标为．经测算，当时，喷泉的观赏效果最好．请直接写出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)不会淋到水，理由如下： 当时，， 说明水柱在处落至地面以下，实际高度为，而同学身高米，故不会淋到水． （或求落地点：令，得，解得，同样结论） (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，选用顶点式设解析式，代入喷头处已知点求出二次项系数，整理得函数表达式； （2）将水平距离代入抛物线，计算该位置水柱竖直高度，与学生身高米比较，高度低于身高则不会淋水； （3）由顶点在得，直线与抛物线交于，结合分析函数单调性，得到的取值范围． 【详解】（1）已知抛物线顶点，设抛物线函数表达式为， 抛物线过点， 将代入得， 即， 解得， 抛物线函数表达式为． （2）求水柱落地，令，则， ， 解得，（舍去负根） ， 说明在处水柱已经落地，高度为， 该同学不会淋到水． （3）抛物线顶点在直线上， ，抛物线表达式为， 当时，①， 整理得，， 则， 抛物线必须经过喷头， ， 可得， 已知点横坐标满足， 当时，（取负根情况）， 可得， 两边平方得，， ， ， 又，两者矛盾， 说明时，抛物线与的交点在喷头上方； 当时， 此时点在抛物线上， ， ， 两式相减， 解得，， 又， ， 交叉相乘得， ， ， 解得，， 且， ， ， ， （舍去）， 将代入， 当从变为时，是递减，且， 因此． 16．在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． (1)求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)手心到台面的高度h的取值范围是 【分析】（1）抛物线的顶点坐标为，且过，再求解析式即可； （2）由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为．先求出当洗手液恰好落到手心左端M或手心右端N时的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的表达式为，将代入表达式可得， 解得， 故抛物线的表达式为． （2）解：由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∴手心到台面的高度h的取值范围是． 【类型3 最大利润问题】 17．茂名市某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，店主发现消毒液每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润销售价进价） (3)由于物价部门规定每桶消毒液的销售价格不能超过75元，销售价格x（）定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润销售价进价） 【答案】(1)； (2)销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元； (3)销售价格定为元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式． （1）设y与x之间的函数表达式为，将点，代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设y与销售单价x之间的函数关系式为：， 将点，代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：； （2）解：设药店每天获得的利润为w元，由题意得： ， ∵，函数有最大值， ∴当时，w有最大值，此时最大值是1800， 故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴在对称轴左侧，随增大而增大， ∵， ∴当时，有最大利润元． 即销售价格定为元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是元． 18．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ (3)为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，方案一：每件商品涨价不超过a元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由． 【答案】(1)售价为30元，进价为24元 (2)售价为47元时，商品的销售利润最大，最大为2645元 (3)解：当时，方案二最大利润更高；当时两种方案最大利润一样；当时，方案一最大利润更高； 理由：方案二：每件商品的利润至少为24元，则有 解得， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，利润最大，最大利润为（元）； 方案一：每件商品涨价不超过a元，即， 当时，∵，且对称轴为， ∴在的范围内，w随x的增大而增大，最大值在处， ∴， 当时，w在处取得最大值，元， 当时，， ∴方案二利润更高； 当时，，与方案二利润相等， 当时，， ∴方案一利润更高； 当时，， ∴方案一利润更高， ∴当时，方案二最大利润更高；当时两种方案最大利润一样；当时，方案一最大利润更高． 【分析】（1）设售价为元，进价为元，根据“售价比进价多6元”和“5件进价4件售价”列方程组，进行求解即可； （2）由题意得，单件利润为元，销量为件，利润函数为（，由销量非负得），再根据二次函数的性质求解即可； （3）方案二：利润元得，即；在内，随增大而减小，故时利润为2640元；方案一：，分（最大值在处，）和（最大值为2645元），将两种方案进行分类对比即可得到解答． 【详解】（1）解：设该商品的售价m元，进价为n元， 由题意得， 解得， 答：商品的售价为30元，进价为24元； （2）解：∵每天最少卖出0件商品， ∴ 解得， 由题意得， ， ∵， ∴当每件商品涨价17元，即售价为元时，商品的销售利润最大，最大为2645元； （3）略 19．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 【答案】(1) 函数关系式为，最大利润为元 (2) 定价为元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润=单件利润×数量，即可解答，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）分两种情形①当销售量每月不小于150件，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价-成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运用二次函数性质求出结果．②当销售量每月小于150件，求出W的最大值，比较两种情形的最大值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ∴当时，有最大值为2250， 即与之间的函数关系式，最大利润为元； （2）解：①当销售量每月不小于150件时，即， 解得：， 由题意，得： ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元； ②销售量每月小于150件时，， 解得， 由题意 ， ∵， ∴时，w的最大值为1960， ∵， ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元． 20．某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】(1) (2)第35天时，最大利润为4050元 (3)2 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． 【详解】（1）当时，； （2）当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； （3）解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 21．端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润=每盒利润×销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）求出销售利润最大时两种礼盒的销量，再根据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元， 由题意得： ∴当时，元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元； （3）由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒， 则， ， ， ． 22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现，该商品的周销售量（单位：件）是售价（单位：元／件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（单位：元）的三组对应值如下表： 售价（元／件） 60 70 80 周销售量件 100 80 60 周销售利润元 2000 2400 2400 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②求该商品的进价； ③当售价定为多少时，周销售利润最大？最大利润是多少元？ (2)由于某种原因，该商品进价提高了元／件（），物价部门规定该商品售价不得超过70元／件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1440元，求的值． 【答案】(1)①；②商品的每件进价为元；③售价为75元/件时，周销售利润最大，最大为2450元． (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系正确列出函数解析式是解题的关键． （1）①设与的函数关系式为，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可；②设进价为a元，根据利润售价进价，列方程可求得a的值，③根据“周销售利润周销售量（售价进价）”可得w关于x的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可得； （2）根据“周销售利润周销售量（售价进价）”可得，进而利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①设与的函数关系式为，将，分别代入得， ， 解得，， ∴与的函数关系式是； ②设进价为a元，由售价60元时，周销售是为100件，周销售利润为2000元，得 ， 解得：， ∴商品的每件进价为元； ③依题意有， = ∵， ∴当时，w有最大值为2450， 即售价为75元/件时，周销售利润最大，最大为2450元． （2）解：依题意有， ∵， ∴对称轴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时， ∴有最大值， ∴， ∴． 23．某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出．现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：每涨价1元，月销售量就减少． (1)填空：设每千克水产品涨价元，则每千克水产品的销售利润可以表示为 元，月销售量可以表示为 ，月销售利润（单位：元）与之间的函数关系式为 ． (2)若商店计划销售利润达到元，并且希望尽量减少库存，则销售价应定为多少？ (3)当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)；； (2)销售价应定为元/ (3)当销售价定为元/时会获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数在销售问题中的应用，关键是利润公式“利润=每千克利润×销售量”，以及二次函数的最值求解． （1）根据涨价后的售价与成本的差表示每千克利润，根据涨价对销售量的影响表示月销售量，再结合利润公式得到函数关系式； （2）通过列方程求解利润为元时的涨价金额，结合“减少库存”的需求选择更优解； （3）利用二次函数的顶点式求最值，确定最大利润对应的销售价． 【详解】（1）解：∵原售价为元/，成本为元/，涨价元， ∴每千克利润为元； ∵每涨1元，月销售量减少， ∴月销售量为kg； 月销售利润； 故答案为：；；． （2）解：根据题意，得， 展开整理得， 因式分解得， 解得，； ∵要尽量减少库存，即需要销售量尽可能大， ∴选择， 销售价为元/； （3）解：， ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，当时，取得最大值， 此时销售价为元/． 答：当销售价定为元/时会获得最大利润，最大利润是元． 24．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 【类型4 动点问题】 25．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 26．如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出； （2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】（1）解：当，同时出发后经过时，，， 又， ∴； （2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，， 则． ∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为． 27．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 【答案】(1)当或时，的长度等于 (2)当时，的面积等于 (3) 解：不能等于，面积的最大值为，理由如下， 根据题意，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴面积的最大值不能等于， ， ∴当时，面积的最值，最大值为， ∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为． 【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可； （2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可； （3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为， ∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴当或时，的长度等于； （2）解：， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，的面积等于； （3）略 28．如图，在长方形中，，，点是对角线的中点．动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，连接并延长交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)的长为 ，的长为 ； (2)当为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据线段间的关系表示即可； （2）根据矩形的性质证出，利用等腰三角形的性质即可得解； （3）证明，得出四边形是平行四边形，再证明和，即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）解：四边形是矩形， ， ， 点是对角线的中点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ． （3）解：四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 由（2）知，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 同理， 矩形的面积的面积的面积， 即y与t之间的关系式为． 29．在 中，，，，点由点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为 ． (1)求四边形的面积S与t的关系式，并求出t为何值时，S最大，并求出S的最大值． (2)当t为何值时的面积是？ (3)是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，时，最大为 (2) (3)存在，； (4)存在，． 【分析】（1）利用列式运算即可； （2）利用三角形面积公式运算求解即可； （3）利用垂直平分线的性质得到，再利用勾股定理列式运算即可； （4）过点作于点，利用等面积法列式运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵，，， ∴，， ∴， 整理可得：， 又∵，函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值， 把代入可得：， ∴时，最大为； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， 解得：或； ∵， ∴时的面积是； （3）解：当点在线段的垂直平分线上时，如图所示： 则此时， ∴在中，， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴存在，； （4）解：当为的角平分线时，过点作于点，如图所示： ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴存在，． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的实际应用，勾股定理，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟悉掌握各性质是解题的关键． 30．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 31．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3) (4)存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的运用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； （3）由（2）可知，， ； （4）存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 32．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求几秒后，的面积等于． (2)、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1)1秒 (2)存在，当时，面积最大为 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质，会求二次函数的最值是解题的关键． （1）设经过秒以后△面积为6，根据题意，得，求出即可； （2）由题意得，再求最大值即可． 【详解】（1）解：设经过秒以后面积为6， ，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ． 或； 当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ．． ． 答：1秒后的面积等于； （2）解：存在时间，使得的面积最大， 理由如下： 由题意得：， 当时，面积最大为． 【类型5 最大面积问题】 33．课堂上，老师提出这样一个问题：如图，学校有一块邻墙的空地，现计划利用长为的绳子围起来，开辟一块矩形空地用作劳动实践，其中一边靠墙（墙的长度不限）．试确定三条边长，使得绳子围出的面积最大．小睿想了想，说在绳子的长度一定的情况下，正方形的面积最大呀！你认同小睿的观点吗？如果认同，求出正方形的边长及最大面积；如果不认同，那么当矩形的长与宽分别为多少时，围成的空地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】不认同，当矩形的长与宽分别为，时，围成的面积最大，最大面积是 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确理解题意、准确列出二次函数关系式是解题的关键．根据题意，小睿说的正方形的边长为，面积为；再设矩形中与墙平行的边的长度为，空地的面积为，则与墙垂直的两条边等长，均为．列出关系式，利用二次函数的性质求出矩形的最大面积，比较即可求解． 【详解】解：不认同． 根据题意，小睿说的正方形的边长为，面积为． 设矩形中与墙平行的边的长度为，空地的面积为， 则与墙垂直的两条边等长，均为． ． ∵， ∴当时，围成的空地面积最大，最大面积为， ∵， ∴小睿的观点不正确． 答：当矩形的长与宽分别为，时，围成的面积最大，最大面积是． 34．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 35．某校规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为米，设矩形的一边长为x米． (1)用含x的代数式表示矩形的另一边的长． (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米． 【分析】本题考查了列代数式及二次函数的实际应用（最值问题）；解题的关键是根据木栏总长、门的宽度列出的表达式，结合墙的长度确定自变量取值范围，再利用二次函数性质求面积最大值． （1）根据木栏总长米、两处门共2米宽，以及垂直于墙的木栏共3段及中间分隔栏），列出等式推导的表达式； （2）根据矩形面积公式列出二次函数，结合墙的最大长度确定x的取值范围，利用二次函数开口方向和对称轴求最大面积． 【详解】（1）解：∵ 长为x米，中间用垂直于墙的木栏隔开，故垂直于墙的木栏共3段，每段长x米； 两处门各1米宽，木栏总长米， ∴ 木栏总长满足， 解得 即． （2）解：∵ 墙最大可用长度为12米，且， ∴ ， 解不等式，得； 解不等式，得， ∴ 的取值范围为． 矩形面积， ∵ 二次项系数，抛物线开口向下， 对称轴为． ∵ 对称轴在取值范围的左侧， ∴ 函数在上单调递减， ∴ 当时，面积最大， 最大面积（平方米）． 答：当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米． 36．某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的矩形水池，且需保证总种植面积为，试确定的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ (3)方案三：如图③，在图中所示三处位置各留宽的门，且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】(1)22.2m； (2)应设计为总种植面积最大，此时最大面积为； (3)应设计为总种植面积最大，此时最大面积为． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，然后可设水池的长为，则水池的面积为，进而根据题意列出方程求解即可； （2）设长为，则长度为，则根据题意可得总种植面积为，进而根据二次函数的性质可进行求解； （3）设长为，则长度为，然后根据题意可得总种植面积为，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为， 设水池的长为，则水池的面积为， ， 解得， ， ， 即的长为． （2）解：设长为，则长度为， 总种植面积为， ， 当时，总种植面积有最大值为， 即应设计为总种植面积最大，此时最大面积为． （3）解：设长为，则长度为， 总种植面积为， ， 当时，种植面积随的增大而减小， 当时，总种植面积有最大值为， 即应设计为总种植面积最大，此时最大面积为． 37．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好． 小组讨论后，同学们做了以下试验：    请根据以上图案回答下列问题： (1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______； (2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？ (3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积． 【答案】(1) (2)长为时，窗框的面积最大，最大为 (3) 解：设长为时，窗框的面积为，则 ， ∵， ∴当时，y有最大值， 令， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积． 【分析】（1）当时，得出，再由长方形面积公式计算即可； （2）设长为时，窗框的面积为，则，然后根据二次函数的最值求解方法求解即可； （3）图案③：设长为时，窗框的面积为，则，根据二次函数的最值求解方法得当时，y有最大值，即当时，即可得出窗框的面积为；图案④：当时，根据，则此方程无解，则图案④不能达到这个面积． 【详解】（1）解：当时，则， ∴窗框的面积． 故答案为：； （2）解：设长为时，窗框的面积为，则 ， ∵， ∴当时，y有最大值1， 即当长为时，窗框的面积最大，最大为． （3）略 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握矩形的面积和二次函数对最值，根的判别式是解题的关键． 38．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)能， (3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 39．如图，在中，，，．点为边上的任意一点，过点分别作、的平行线，与、的交点分别为、，设． (1)用含的式子表示平行四边形的面积． (2)当为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，平行四边形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据勾股定理，先求得，，通过平行，推出，那么， ，，通过得出答案； （2）先化成顶点式，从而得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 当时，平行四边形的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的面积，平行的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 40．数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为． (1)的长为___________；（用含的代数式表示） (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少． 【答案】(1) (2)能，12 (3)当时，花园面积最大，最大值为 【分析】（1）根据列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程解答即可求解； （3）根据矩形的面积公式列出S与x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：的长为； （2）解：根据题意，得． 整理，得．解得． ∵墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和， ∴． ∴． ∴的值为12． （3）解：由题意得：． ∵． ∴当时，花园面积最大，最大值为． 【类型6 二次函数在物理中的应用】 41．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 【答案】(1) (2)持续时间秒 (3)当水平距离为20米时，最大高度差为4米 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）令，解出x的值求解即可； （3）设高度差为h，，根据二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：设，将、、代入，得 ， ； （2）解：令，， ，， 将，代入得， 得，， 持续时间秒． （3）解：设高度差为， ， 当水平距离为20米时，最大高度差为4米． 42．物理实验课小明做一个实验： 在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度（单位：）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间ts 0 1 2 3 运动速度 10 9 (1)小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 　 　． (2)求出滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式，并求出黑球滚动的最远距离．[提示：本题中，距离，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度] 【答案】(1) (2)滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式为，黑球滚动的最远距离为 【分析】（1）设关于t的函数解析式为，由表中数据得出二元一次方程组，求出a、b的值即可． （2）先求出，再根据求出，然后由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）设关于t的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， 故关于t的函数解析式为． （2）∵，=10，， ∴， ∵， ∴， 故滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式为， 当时，黑球滚动的最远距离为， 答：滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式为，黑球滚动的最远距离为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 43．综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想； 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 【答案】（1）； （2）； 【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大． 证明：设第一个数为x，则另一个数为，它们的积为y， 则有． ∵，则抛物线开口向下， ∴当时，y取最大值，为225， 此时这两数分别为15及，两数相等， ∴当这两数相等时，它们的乘积最大． （3）证明：设Ω，则Ω，，设总电流为I，则 ． 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小． 设． ∵，则抛物线W开口向下，且， ∴当时，W取最大值为25，此时I取最小值为（A），两支路电阻分别为（Ω）和（Ω），两支路电阻相等， ∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A． 【分析】本题考查了二次函数的性质和分式的加法运算． （1）分别计算即可发现规律； （2）分别计算即可发现规律； 由题意，建立数学模型，利用二次函数知识解答即可； （3）设Ω，利用物理知识和分式加减知识，求出总电流为I，与x的函数关系式，再利用二次函数知识求最值即可． 【详解】解：（1）由，，…，，可知，当的值最大， 故答案为：； （2）由，，，，，…，，， 可知，当的值最大， 故答案为：； 【初步探讨】略 （3）略 44．数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） (3)在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； (4)我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)如图，即为总阻值的线段长 (3)存在， (4) 【分析】（1）根据，代数值进行计算即可； （2）根据题意在边取，边取，连接，交于点，过点作于点F，即为所求； （3）根据两条支路的电阻分别为，，总电流，再根据二次函数的性质求出最小值即可； （4）先用题目给出的不等式公式求出的最小值，再代入​取值范围的两个边界值比较大小，得到的最大值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：，总电阻为，， ， 解得 （2）略 （3）解：电路中，两条支路的电阻分别为，， ， 设，其中， 总电流， 分母是关于的二次函数，开口向下，当时取得最大值，， 当分母最大时，总电流取最小值， 故； （4）解：串联总电阻：， 并联总电阻：， 则， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 此时， 当时，， 当时，， 综上所述，． 45．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当______A时，取得最大值为______W． 【答案】(1) (2) (3)2，220 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可设与之间的函数关系式为，然后把点、代入解析式进行求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：图象是经过原点的一条抛物线， 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，； 当时，的值为． （3）解：由（1）可知：与之间的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故答案为2，220． 46．【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 【答案】【情景导入】；【尝试探索】；【实际应用】不能得以生存 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意确定出二次函数的解析式是解题的关键，注意实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义． [情景导入]依据表格中的数据进行计算，即可得到的值，进而得到与的关系式； [尝试探索]把代入关系式，即可得到的值； [实际应用]根据楼高的值，得到的值，进而得出结论． 【详解】解：[情景导入]根据题意，当时， ，解得 与的关系式为． [尝试探索] 当时， 下落点到地面的距离为． [实际应用]当时，， 解得 不能得以生存． 47．当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为； (1)求液滴距离圆心处的沉积厚度； (2)直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用及解一元二次方程，无理数比较大小，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）当，，分别求出对应的x值，进而可得和的值，再比较即可． 【详解】（1）解：将 代入得： ， ， ， 将代入得：， 液滴距离圆心处的沉积厚度为； （2）解：当时，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， 当，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， ∵，， ∴，即， 故答案为：． 48．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1)抛物线的表达式为y＝ (2)石块不能飞越城墙 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用． （1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答； （2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设石块运行的函数关系式为， ∵ ∴点C的坐标为， ∵抛物线过点， ∴，代入，得， 解得： ∴抛物线的表达式为， 即； （2）∵， ∴点D的横坐标为75， 将代入函数，得， 即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为， ∵，， ∴， ∴石块不能飞越城墙． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数相关应用题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 二次函数拱桥问题】 1 【类型2 二次函数喷水问题】 5 【类型3 最大利润问题】 10 【类型4 动点问题】 13 【类型5 最大面积问题】 16 【类型6 二次函数在物理中的应用】 19 【类型1 二次函数拱桥问题】 1．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 2．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 3．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 4．如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 5．“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 6．某城市计划在公园内新建一座景观拱桥，桥体设计为抛物线型．已知拱高，拱桥的跨度，满足，．以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)为满足行人通行需求，需在拱桥下方搭建矩形框架（A，D在抛物线上，沿铺设），若建造该矩形框架垂直于部分的建材费用为100元/米（按立柱高度计算长度，不考虑立柱自身宽度），当矩形的周长为21米时，求建造该矩形框架垂直于部分购买建材所需要的费用． 7．如图是某个温室大棚门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，，为的中点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)为支撑温室大棚门的结构，在抛物线上的点、处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 8．综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． 【类型2 二次函数喷水问题】 9．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 10．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 11．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 12．综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，为水上滑梯，滑梯顶端点离地面4米（即米），水平长度米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端，处喷泉离滑梯的距离为米（即米），如图所示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离轴米． (1)数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式． (2)解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉落地位置到滑梯立柱的水平距离，以此确定排水槽的位置． (3)游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离． 13．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 14．综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 15．为庆祝校园艺术节，学校在中心广场安装了一处音乐喷泉．如图1，喷泉的喷头垂直于地面安装，喷头离地面高度为米．从喷头喷出的水柱在空中形成一条抛物线，以喷头正下方的地面点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水柱在离喷头水平距离米处达到最高点，最高点离地面高度为米．水柱最终落在地面上的点处（假设水柱运动轨迹为抛物线，忽略空气阻力）． 【建立模型】 (1)求该抛物线的函数表达式． 【数据计算】 (2)一名同学站在离喷头水平距离米处，其身高为米，问该同学是否会淋到水？请说明理由． 【解决问题】 (3)喷泉设计时，通过调节喷头角度，可以产生一系列不同的抛物线水柱，所有这些水柱的顶点都在同一条直线上（如图3）．设这些抛物线均可表示为（其中，且它们都与水平直线相交．其中某一条抛物线与直线相交于点，且点的横坐标为．经测算，当时，喷泉的观赏效果最好．请直接写出此时抛物线中的取值范围． 16．在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． (1)求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 【类型3 最大利润问题】 17．茂名市某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，店主发现消毒液每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润销售价进价） (3)由于物价部门规定每桶消毒液的销售价格不能超过75元，销售价格x（）定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润销售价进价） 18．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ (3)为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，方案一：每件商品涨价不超过a元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由． 19．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 20．某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 21．端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 22．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现，该商品的周销售量（单位：件）是售价（单位：元／件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（单位：元）的三组对应值如下表： 售价（元／件） 60 70 80 周销售量件 100 80 60 周销售利润元 2000 2400 2400 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②求该商品的进价； ③当售价定为多少时，周销售利润最大？最大利润是多少元？ (2)由于某种原因，该商品进价提高了元／件（），物价部门规定该商品售价不得超过70元／件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1440元，求的值． 23．某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出．现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：每涨价1元，月销售量就减少． (1)填空：设每千克水产品涨价元，则每千克水产品的销售利润可以表示为 元，月销售量可以表示为 ，月销售利润（单位：元）与之间的函数关系式为 ． (2)若商店计划销售利润达到元，并且希望尽量减少库存，则销售价应定为多少？ (3)当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 24．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【类型4 动点问题】 25．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 26．如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 27．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 28．如图，在长方形中，，，点是对角线的中点．动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，连接并延长交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)的长为 ，的长为 ； (2)当为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与之间的关系式． 29．在 中，，，，点由点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为 ． (1)求四边形的面积S与t的关系式，并求出t为何值时，S最大，并求出S的最大值． (2)当t为何值时的面积是？ (3)是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 30．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 31．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 32．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求几秒后，的面积等于． (2)、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；若不存在，说明理由． 【类型5 最大面积问题】 33．课堂上，老师提出这样一个问题：如图，学校有一块邻墙的空地，现计划利用长为的绳子围起来，开辟一块矩形空地用作劳动实践，其中一边靠墙（墙的长度不限）．试确定三条边长，使得绳子围出的面积最大．小睿想了想，说在绳子的长度一定的情况下，正方形的面积最大呀！你认同小睿的观点吗？如果认同，求出正方形的边长及最大面积；如果不认同，那么当矩形的长与宽分别为多少时，围成的空地的面积最大，最大面积是多少？ 34．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 35．某校规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为米，设矩形的一边长为x米． (1)用含x的代数式表示矩形的另一边的长． (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 36．某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的矩形水池，且需保证总种植面积为，试确定的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ (3)方案三：如图③，在图中所示三处位置各留宽的门，且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 37．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好． 小组讨论后，同学们做了以下试验：    请根据以上图案回答下列问题： (1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______； (2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？ (3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积． 38．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 39．如图，在中，，，．点为边上的任意一点，过点分别作、的平行线，与、的交点分别为、，设． (1)用含的式子表示平行四边形的面积． (2)当为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？ 40．数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为． (1)的长为___________；（用含的代数式表示） (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少． 【类型6 二次函数在物理中的应用】 41．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表： 照相机频闪时间/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … (1)根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式； (2)根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； (3)乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 42．物理实验课小明做一个实验： 在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度（单位：）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间ts 0 1 2 3 运动速度 10 9 (1)小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 　 　． (2)求出滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式，并求出黑球滚动的最远距离．[提示：本题中，距离，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度] 43．综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想； 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 44．数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） (3)在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； (4)我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 45．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当______A时，取得最大值为______W． 46．【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 47．当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为； (1)求液滴距离圆心处的沉积厚度； (2)直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）． 48．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $