专题05 特殊平行四边形高频选择填空题分类训练（12种类型60道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）及相关定理（直角三角形斜边中线、中点四边形）的选择填空分类训练，按角度、线段、面积及综合问题系统编排，共12类型60题，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形/矩形/正方形（角度/线段/面积）|各5题|基础计算与性质应用|从特殊平行四边形定义出发，结合对角线、对称性等性质，通过等腰三角形、勾股定理实现角度转化与线段求解| |直角三角形斜边中线/中点四边形/综合问题|各5题|性质综合与多知识点融合|以“性质-应用-综合”为逻辑链，从单一性质（如斜边中线等于斜边一半）到中点四边形判定，再到折叠、对称等综合情境，发展空间观念与推理意识|

专题20一元二次方程高频选择填空题分类训练 (12种类型60道) 专题目录 【类型1菱形相关角度求解】 【类型2菱形相关线段求解】 【类型3菱形相关面积求解】 9 【类型4矩形相关角度求解】 13 【类型5矩形相关线段求解】 17 【类型6矩形相关面积求解】- -21 【类型7正方形相关角度求解】 -25 【类型8正方形相关线段求解】 -28 【类型9正方形相关面积求解】 .-32 【类型10直角三角形斜边上的中线】 -36 【类型11中点四边形】-- -41 【类型12特殊平行四边形相关综合问题】 -----44 【类型1菱形相关角度求解】 1,如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点O作OE⊥CD,垂足为E,若 ∠BAD=70°，则∠DOE的度数为() B A.40° B.38o C.35 D.30° 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得出∠BCD的度数及AC平分∠BCD,结合AC⊥BD和OE⊥CD,利用同角的 余角相等即可求解， 【详解】解：四边形ABCD是菱形，∠BAD=7O°， .∠BCD=∠BAD=70°，AC平分∠BCD,AC⊥BD, ∠4CD=)∠BCD=35，∠C0D=90 2 ∴.∠ACD+∠ODC=90°， .OE LCD 第1页共60页 .∠OED=90°， ∴.∠DOE+∠ODC=90°， .∠DOE=∠ACD=35 2.如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD,∠ABC=75°，∠BCD=165°，过点B作CD的平行线，过点 D作BC的平行线，两平行线相交于点E,连接AE,则∠ADE=() E A.21.5° B.22.5° C.23.5° D.24.5° 【答案】B 【分析】先证明四边形BCDE是菱形，△ABE是等边三角形，求得∠BED=165°，∠AEB=60°，再求得 ∠AED=135°，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：，BE∥CD,DE∥BC, ∴四边形BCDE是平行四边形， ..BC=CD, ·四边形BCDE是菱形， BE∥CD,∠BCD=165°， :.∠EBC=180°-∠BCD=15°，∠BED=∠BCD=165°， :∠ABC=75°， .∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°， :四边形BCDE是菱形， ∴.BC=CD=DE=BE, ..AB=BC=CD. ∴AB=BE, ∴.△ABE是等边三角形， .AE=BE,∠AEB=60°， AE=DE,∠AED=360°-60°-165°=135°， 5∠ADE=∠D4c=2080-135)=25 第2页共60页 3.如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE、DE,AE=AB,若∠B=72°，则∠AED的 度数为() B E A.54° B.56 C.58 D.60° 【答案】A 【分析】由菱形的性质得AB=AD,AD∥BC,再由等腰三角形的性质得出∠AEB=∠B=72°，根据平行线 的性质求出∠DAE=∠AEB=72°，再根据等腰三角形的性质即可得出答案. 【详解】解：AE=AB,∠B=72°， .∠AEB=∠B=72°， ,四边形ABCD是菱形， AB=AD,AD∥BC, 、AE=AD,∠DAE=∠AEB=72°， &24ED=∠40E-0s0-∠2Da0)-08w-72）-54 4.如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连接AE、DE,若DE=DC,∠C=70°，则∠DAE的度数 为() D B E A.40° B.45° c.50° D.55° 【答案】D 【分析】由菱形的性质得AD=DC=BC=AB,ADI‖BC,，由等边对等角得∠DEC=∠C=70°， ∠DAE=∠DEA,结合平行线的性质可推出∠DEA=∠BEA,进而即可求解。 【详解】解：~四边形ABCD是菱形， 第3页共60页 .AD=DC=BC=AB,ADIl BC. .DE =DC. ∴.∠DEC=∠C=70° .∠DEB=180°-∠DEC=110°， DE =DC,AD=DC. :AD=DE, .∠DAE=∠DEA, AD‖BC, ∴.∠DAE=∠BEA, ∴.∠DEA=∠BEA. 2DEA-DE15 .∠DAE=55 5.如图，AC,BD是菱形ABCD的对角线，∠I=20°，则∠2的度数为() A.20° B.40° C.50° D.70° 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD,AB∥CD,求出∠BAC,然后可得∠2的度数. 【详解】解：：AC,BD是菱形ABCD的对角线， AC⊥BD, .∠BAC=90°-∠1=70°， :菱形ABCD中AB∥CD, ∴.∠2=∠BAC=70° 【类型2菱形相关线段求解】 6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8Cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是() cm 第4页共60页 A.4.8 B.9.6 C.5V3 D25 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到10=C0=3cm,B0-D0=4cm,根据勾股定理得到BC=V32+平=5cm 根据菱形四边相等可知BC=CD=AB=AD=5cm,根据等面积法计算即可. 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， .AO=CO,BO=DO,AC L BD, ,对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm, .'AO=CO=3cm,BO=DO=4cm, :BC=V32+4=5cm ∴BC=CD=AB=AD=5cm, 1 5AC×BD=BCx AE .2 1 ×6×8 .AE=2 5 =4.8cm. 7.如图，在菱形ABCD中，AB=5,∠BCD=120°，对角线AC的长为() C A.20 B.15 c.55 D.5 【答案】D 第5页共60页 【分析】根据菱形的性质证明△ABC为等边三角形即可. 【详解】解：在菱形ABCD中，AB=5,AB‖CD,∠BCD=120°， ∠B=180°-∠BCD=60°，AB=BC, :.△ABC为等边三角形， ∴.AC=AB=5 8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别在边AB,AC上，AE=BF=2,△DEF的周长为 3v6 6,则AD的长为() D A.6 8.2V5 c.3+1 03 【答案】C 【分析1连接BD,过点B作EM L AD,可得E=5,M=,再证明BDF≌DE,可得DEF是 DE=6 等边三角形，从而得 ,进而即可求解。 【详解】解：连接BD,过点E作EM⊥AD, ,AE=BF=2,∠A=60°， ∴.∠AEM=30° :AM=号4AE=2x}1 ·ME=VAE2-AMF=V5 D M E B 第6页共60页 :在菱形ABCD中， :AD=AB=BC=CD,∠C=∠A=60 ∴，△ABD和△BCD均为等边三角形， ∠DBF=∠A=60°，BD=AD, 又：AE=BF=2, .△BDF≌AADE, ∠BDF=∠ADE,DE=DF .∠ADE+∠BDE=6O°=∠BDF+∠BDE,即：∠EDF=6O°， “,△DEF是等边三角形， DEF 3w6 的周长为， ÷0E=x36=6 .DM=V6)-(3=5, AD=AM+DM=3+1 9.如图，四边形ABCD为菱形，AC=8,DB=6,作DH⊥AB,垂足为H,交AC于G点，则OG的长度 为() G 9 A.5 B.4 C.4-5 D.√10-1 【答案】B 【分析】连接BG,利用等积法可求得DH的长，在R△BDH中，利用勾股定理可求得BH,设 DG=BG=x,则HG=DH-DG= 24 5一x,在Rt△BHG中，由勾股定理列方程求出x,再由勾股定理求出 OG的长度. 【详解】解：如图，连接BG, 第7页共60页 B :四边形ABCD是菱形， .BDLAC:8O-DO-7BD=3.40-CO-4C4 ∴AC是BD的垂直平分线， .'DG=BG. 在RaA0B中，可得MB=VA0+B0=5。 5DH-CDDx6x8 解得DH=24 在R△BDH中，由勾股定理可得BH=VBD-DH 设DG=BG=x,则HG=DH-DG=24 在Rt△BHG中，由勾股定理可得BG2=HG2+BH, - 新胸经 DG-BG-x-15 在R1△BOG中，由勾股定理可得OG=VBG2-OB )-- 10.如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，对角线AC、BD交于点O,DE平分∠AD0交A0于点E,且 第8页共60页 OE=3 菱形的边长为() A.2+5 B.2+2V5 c.4+23 D.4+2V2 【答案】C 【分析】过点E作EF LAD EF=OE=3 于点F,首先利用角平分线的性质定理得到 ,求出 ∠AEF=90°-60°=30°，得到AE=2AF,利用勾股定理求出AF=1,得到AE=2AF=2,然后利用含 30°角直角三角形的性质求解， 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F, AF D B ,四边形ABCD是菱形 :.AC⊥BD ,DE平分∠ADO,EF⊥AD .EF=OE= .:∠BAD=120° ∠FAE 2∠BAD=600 ∴.∠AEF=90°-60°=30° ∴.AE=2AF :AF2+EP=AE,即4F2+(5=(2AF月 .AF=1 .AE=2AF=2 第9页共60页 OA=AE+E0=2+3 ,∠FAE=60°，AC⊥BD .∠AD0=90°-60°=30° AD=2A0=4+2N5 【类型3菱形相关面积求解】 11.如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD,BD=6,△ABC的周长为18，则菱形ABCD的面积为 () B A.12 B.18 C.24 D.54 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得MB=BC=CD=D4AC1BD,B0=D0=D=340=(0=4C,再设 4C=x则40=克4B=8c-18 ,然后根据勾股定理得AB2=A0+B02,求出x=8,最后根据 ABCD的面积是2AC-BD得出答案. 【详解】解：如图， B :四边形ABCD是菱形， ÷AB=BC=CD=DMHC1BD,B0=D0=BD=3,40=C0=号4C 2 3 第10页共60页 设4C=x:则40=54B=BC=18, 2 在Rt△AB0中，根据勾股定理，得AB2=AO+BO, 18-x)2 即22 +32 解得x=8, AC=8, ·菱形ABCD的面积是2AC~BD=×8×6=24 1 卫，如图，菱形4BCD的对角线4GD相交于点O,过点0作OD交B于点五者0H 2； OA=4,则菱形ABCD的面积为() B O D A.12 B.20 C.24 D.48 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得到∠AB0=∠AD0,∠AOB=90°，根据平行线的性质推出∠BOH=∠AD0,由此证 得OH=BH,根据余角的性质推出OH=AH,得到AB=2OH=5,勾股定理求出B0,根据菱形的面积等 于对角线乘积的一半求出面积. 【详解】解：：菱形ABCD的对角线ACBD相交于点O, 、∠AB0=∠AD0,∠A0B=90°， :OH∥AD .∠BOH=∠ADO, .∠BOH=∠ABO, ..OH=BH, ∠BAO+∠AB0=90°，∠BOH+∠AOH=90° .∠BAO=∠AOH=90°-∠AB0. 第11页共60页 ..OH=AH, ∴BH=AH=OH, .'AB=20H=5, .0B-AB-40-3 一菱形ABCD的面积为7×2A0x2B0=)×8x6=24 13.如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形ABCD,测得边长AB=30cm,∠ABC=60°，则菱形 ABCD的面积等于()cm A.450 B.450W2 c.450V5 D.900 【答案】C 【分析】过点A作4H上BC于点月，可求出∠B1H=30°，则可得到 BH =15cm AH =15v3cm ,再根据 菱形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H, ∠AHB=90°， :∠ABC=60°， .∠BAH=90°-∠ABH=30°， 片谢-号48=15cm, ..AH =VA4B-BH2 =15/3em 第12页共60页 :四边形ABCD是菱形， .AB=BC=30cm, :S菱形scD=BC·AH=450N5cm2 14.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.小丰家有一个菱形 中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC=16cm,BD=10cm,则菱形ABCD的面积为 D 0 B 图1 图2 A.40cm2 B.60cm2 C.80cm2 D.100cm2 【答案】C 【详解】解：菱形ABCD的面积为54C-BD-×16x10=80em 1 15.菱形ABCD边长为5，一条对角线长6，则该菱形面积为() D A.12 B.24 C.30 D.48 【答案】B 【分析】由麦形的性质得AB=5,O1=24C=3,BD=2OB,AC⊥BD,由勾股定理得 OB=A8-O,由So4C-0即可求解 第13页共60页 【详解】解：如图，设AC=6, 四边形 是菱形，且边长为5， ABCD AB=5, 4C=3 04=1 BD=2OB,AC⊥BD, ...OB=AB2-OA2=4 ∴.BD=2OB=8 六S花形Cm=24C-BD =x6x8 =24 【类型4矩形相关角度求解】 16.如图，在矩形ABCD中，∠ACB=68°，依据尺规作图的痕迹，则∠a的度数为() D 68 A.66° B.68° C.34° D.560 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得∠CAD=∠ACB=68°，由作法得：EF垂直平分AC,AE平分∠CAD,即 可求解 【详解】解：如图， 第14页共60页 680 F :四边形ABCD为矩形， AD∥BC, ,∠ACB=68° .∠CAD=∠ACB=68°， 由作法得：EF垂直平分AC,AE平分∠CAD, &ZCAE2CAD=34,40E=903 ∴∠AE0=90°-∠CAE=56°， ,∠a=∠AEO .∠a=56° 17.如图，点E在矩形ABCD的边CB的延长线上，连接BD,AE,BD=EC,若∠E=75°，则∠DBC的 度数是() E B A.20° B.25o C.30° D.35 【答案】C 【分析】连接AC交BD于点O,由矩形性质得AC=BD,OB=OC,结合已知BD=EC可得AC=EC, 利用等腰三角形性质求出∠ACB,进而求得∠DBC, 【详解】解：连接AC交BD于点O, 第15页共60页 :四边形ABCD是矩形， ·AC=BD: OA-CC-AC,O8-OD-BD. 2 ∴.OB=OC, ..BD=EC, .AC=EC, ∴∠CAE=∠E=75°. ∠ACB=180°-2×75°=30°， ..OB=OC, ∴.∠DBC=∠ACB=30°」 18.如图，在矩形ABCD中，连接BD、AC,∠ADB=40°，延长BC至点E,使得CE=BD,连接AE, 则∠E的度数为() A.20° B.25o C.30° D.35° 【答案】A 【分析】设矩形两对角线交于点O,由矩形的性质得∠OCB=40°，再利用等腰三角形的性质及三角形外 角的性质即可求解。 【详解】解：设矩形两对角线交于点O, 在矩形ABCD中，4D∥CBAC=BD,OB=BD=0C, ∠OBC=∠ADB=40°， ∴.∠OCB=∠OBC=40°. CE=BD,AC=BD. 第16页共60页 .CE=AC, ∠CAE=∠E. ,∠OCB=∠CAE+∠E=2∠E, &2E=240CB=20. 19.如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC,垂足为点E,∠ABE:∠EBC=2:3,则∠DBE的度数是() D E A.22.5° B.160 c.18° D.360 【答案】C 【分析】由矩形的性质得到∠ABC=90°，OB=OC,则∠OBC=∠OCB,再根据题意可求出∠EBC的度 数，由三角形内角和定理求出∠BCE的度数，即可求出∠OBC的度数，据此可得答案. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°，OB=OC, ∴.∠OBC=∠OCB, ,∠ABE:∠EBC=2:3,且∠ABE+∠EBC=∠ABC, 3 :.∠EBC=2+3 ABC=54° ,BE⊥AC,即∠BEC=90°， .∠BCE=180°-∠EBC-∠BEC=36°， ∴∠0BC=36°， ∴.∠DBE=∠EBC-∠OBC=I8° 20.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若∠ADB=30°，则∠E的度数是 ()· 第17页共60页 D C E A.25° B.20° C.15 D.10° 【答案】C 【分析】连接AC交BD于点O,根据矩形的性质推出∠ACB=3O°，AC=BD,再结合CE=BD,推出 ∠CAE=∠E,最后根据三角形的外角性质求解即可. 【详解】如图，连接AC交BD于点O, D C ,矩形ABCD,∠ADB=30° ADI‖BC,BO=OC,AC=BD, AD‖BC,∠ADB=30°， .∠DBC=∠ADB=30°， ..BO=OC. ·.∠ACB=∠DBC=30°」 CE=BD,AC=BD. ∴AC=CE, ∴∠CAE=LE, :∠ACB是△ACE的外角， .∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E,即2∠E=30°，∠E=15°. 【类型5矩形相关线段求解】 21.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC的中点，连接AE,则AE的长度为(） 第18页共60页 A.5 B.4 C.3 0.26 【答案】A 【分析】由于点E为BC中点，故BE=3,在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可， 【详解】解：如图， 四边形 为矩形， E ABCD ∴.∠B=90° :E为BC中点，BC=6, :.BE-1BC-3 2 在Rt△ABE中，AB=4,BE=3, .AE=VAB2+BE2=V16+9=5 22.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,若BF=3,AE=5, 则AC的长为() B A.45 8.45 C.8 D.10 【答案】B 【分析】连接AF、CE,令AC交EF于点O,由矩形的性质可得OA=OC,AD‖BC,∠B=90°，证明 △AOE≌ACOF(AAS) 得出4E=CF,结合线段垂直平分线的性质可得MF=AE=CE=CF=5,再由勾 股定理计算即可得出结果。 第19页共60页 【详解】解：如图，连接AF、CE,令AC交EF于点O, B/F ,四边形ABCD为矩形， ∴.OA=OC,AD‖BC,∠B=90°， .∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO, △AOE≌ACOF(AAS) .AE=CF, ,对角线AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F, .AE=CE,AF=CF .'AF=AE=CE=CF=5 AB-VAF-BF-4 BC=BF+CF=8 AC=AB2+BC2=45 23.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE和∠BCD的平分线CE恰好交于AD边上的点E,若 BC=4,则AB的长为() E D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】先证明△ABE和△DCE是等腰直角三角形，据此计算即可求解. 【详解】解：，矩形ABCD,BC=4, .AD=BC=4,AB=CD,∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90° :∠ABC的平分线BE和∠BCD的平分线CE恰好交于AD边上的点E, 第20页共60页 ∠4BE=LABC=45°∠DCE)∠BCD=4 2 :,△ABE和△DCE是等腰直角三角形， ∴.AE=AB,DE=DC, :AE=DE=号AD=2 2 .AB=AE=2. 24,如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，连接AE,F,G分别是AD,AE的中点，若 AB=BE=6,BC=8,则FG的长为() A B E D A.0 8.2v10 C.3 D.4 【答案】A 【分析】连接DE,根据勾服定理求出DE=CE+CD=2而，再根据三角形中位线的性质得出答案即 可 【详解】解：连接DE,如图所示： A B D :四边形ABCD是矩形， .AB=CD=6,AD=BC=8,∠B=∠C=90° ,BE=6 第21页共60页 CE=8-6=2, ∴，在Rt△DEC中，根据勾股定理得： DE=CE2+CD2=2v10 点F、G分别为AD、AE的中点， .FG=IDE-10 2 25.如图矩形ABCD,AB=8,AD=12,E为AD中点，G,H分别为EF,BF中点，则GH的长是() A.4 B.5 C.8 D.10 【答案】B 【分析】连接BE,由矩形的性质得到∠A=90°，由勾股定理求 BE=√AE2+AB=10,由三角形中位线 定理相到6H-6=5 【详解】解：如图，连接BE, E G :四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°. ,AD=12,E为AD中点， &4E=4D=6, AB=8, BE-VAB+4B-10 第22页共60页 G,H分别为EF,BF中点， 、GH是△BEF的中位线， :.GH-IBE-5 2 【类型6矩形相关面积求解】 26.如图，四边形ABCD和四边形AEFD分别是菱形和矩形，点A,F,C在同一条直线上，AB与EF 交于点P,若AP=3,PB=1,则矩形AEFD的面积为() D B A.6V2 8.7V2 c.8V5 0.9 【答案】C 【分析】根据矩形和菱形的性质得到AD=EF=4,再证明AP=PF=3,利用勾股定理求得AE即可解答. 【详解】解：：四边形ABCD和四边形AEFD分别是菱形和矩形， .AD//EF.ADI BC.AD=AB=BC=AP+BP=4. :EF I BC, .∠AFP=∠ACB, AB=BC, ∠BAC=∠ACB=∠AFP, .AP=PF=3. .AD=EF=4, .EP=EF-PF=1. 在矩形AEFD中，∠E=90°， AE=VAP2-EP2=2√2 “矩形1EFD AD×AE=8V2 的面积 27.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若∠AOD=120°，AB=3,则矩形ABCD的面积是 第23页共60页 D A.12 B.18 c.95 0.35 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出OA=OB,结合∠AOD=120°求出∠AOB=60°，判定△AOB为等边三角形， 从而求出对角线长度，再利用勾股定理求出BC长，最后计算面积即可 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠ABC=90°，OA=OB, ∠AOD=120°， .∠A0B=180°-120°=60°， ∴.△AOB是等边三角形， .OA=AB=3, .AC=20A=6, 在Rt△ABC中，BC=VAC2-AB2=V62-32=3V5 =AB·BC=3×3V5=9√5 矩形 ABCD 的面积 28.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若AC=8,∠BOC=135°，则矩形ABCD的面 积为() D A.16V2 8.16V5 c&V② D.32 【答案】A 第24页共60页 【分析】本题考查了矩形的性质.由矩形的性质推出4C=BD=8, 0-0-号8D=4,求出 S.4CD=8V2 根据矩形ABCD的面 =2S.心即可求出答案， 【详解】解：过点D作DH⊥AC交AC于点H, D 四边形 是矩形， ABCD .AC=BD=8' B0=D0=1BD=4 2 .∠B0C=135°」 .∠D0H=180°-∠B0C=45°， :H-90D=25 2 :Sm-4C-DH=×8x25=85, 2 :矩形ABCD的面积 2S4cm=16W2 故选：A 29.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点M为OD的中点，连接AM,若AB=4, BC=6,则△AOM的面积为() D M A.3 B.4 C.6 D.2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键.首先求出 第25页共60页 1 S。m=2×4x6=12,因为矩形ABCD的对角线4C、BD互相平分，则0为AC中点，所以 So0-234co=6,因为点M为OD的中点，所以5.aw=23a,进而求解即可。 2 【详解】解：由条件可知5%4m2×4x6=12, ,矩形ABCD的对角线AC、BD互相平分， .O为AC中点， 5m8m12=6, :点M为OD的中点， 7S。A0M=28a4OD=3 故选：A. 30.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,与BD 相交于点O,连接BM、DN.若AB=4,AD=8,则四边形MDNB的面积为() M B A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与 性质、勾股定理等知识.掌握菱形的判定与性质是解本题的关键. 由矩形的性质得AD∥CB,则∠ODM=∠OBN,由MN垂直平分BD得OD=OB,而∠DOM=∠BON,即 可证明△ODM≌aOBN,得DM=BN,因为DM=BM,DN=BN,所以DM=BM=DN=BN,可证明 四边形BMDN是菱形：由勾股定理得AB2+AM2=BM2,而AM=8-DM,DM=BM,所以 42+(8-DM）2=DM2 求得DM=5,从而可得答案. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， 第26页共60页 AD∥CB, ∴，∠ODM=∠OBN, ,MN垂直平分BD, .OD=OB,DM=BM,DN=BN. 在△ODM和△OBN中， ∠ODM=∠OBN OD =OB ∠DOM=∠BON' AODM≌AOBN(ASA) .DM BN. DM BM,DN BN, ∴DM=BM=DN=BN, ∴四边形BMDN是菱形 ∠D=90°，AB=4,AD=8 AB2+AM2=BM2,AM=8-DM DM BM, :4+(8-DM=DM 解得DM=5. S菱形BMDN=4DM=20 ∴.四边形MDNB的面积为20 故选：C 【类型7正方形相关角度求解】 31.如图，在ABCD中，∠C=70°，E为边AB上一点，连接DE,以DE为边作正方形DEFG,若 ∠ADE=60°，则∠BEF的度数为() 第27页共60页 G A.70° B.60° C.50° D.40° 【答案】D 【详解】在ABCD中，∠C=70°， .∠ADC=180°-∠C=110°， ∠ADE=60° ∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=110°-60°=50°， ∴，∠BED=180°-∠EDC=180°-50°=130°， 在正方形DEFG中，∠DEF=90°， .∠BEF=∠BED-∠DEF=130°-90°=40° 32.如图，点E为正方形ABCD内部的一点，△BCE为等边三角形，则∠BAE的度数为() A.45° B.55° C.65° D.75° 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可推出∠ABE=30°，AB=BC=BE,再由等边对等角和三 角形内角和定理可得答案. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90°， ,△BCE为等边三角形， :.BE=BC,∠CBE=60° ∴.∠ABE=∠ABC-∠CBE=30°： AB=BC=BE, 第28页共60页 ·∠BAE=∠BEA=180-∠ABE =75° 2 33.如图，在oABCD中，点E为边AD上一点，连接CE,以CE为边在左侧作正方形CEFG,若 ∠DCE=40°，∠AEF=20°，则∠B的大小是() A.120° B.110° C.70° D.60° 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得∠CEF=90°，求出∠DEC=70°，再结合三角形内角和定理得出∠D=70°， 即可得出结果， 【详解】解：：四边形CEFG为正方形， .∠CEF=90°， ,点E为边AD上一点，∠AEF=20°， .∠DEC=180°-∠AEF-∠CEF=70°， .∠DCE=40° ∴.∠D=180°-∠DEC-∠DCE=70°， ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.∠B=∠D=70° 34.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠AED的度数为() D A.165° B.150° C.120° D.100° 【答案】B 【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得AB=BE=CE=CD,∠ABC=∠BCD=9O°， ∠CBE=∠BCE=∠BEC=6O°，进而求出∠ABE和∠DCE的度数，利用等腰三角形性质求出∠BAE和 第29页共60页 ∠CDE,最后利用三角形内角和求解 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， ·.AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°， 又，aCBE是等边三角形， .BC=BE=CE,∠CBE=∠BCE=∠BEC=6O°， ∴AB=BE,CD=CE, ·∠ABE=∠ABC-∠CBE=90°-60°=30°， 同理∠DCE=30°， 在△ABE中，AB=BE,∠ABE=30°， :∠B4E=∠BE1=号X80e-30P)=75°， 同理∠CDE=∠CED=75°， ·∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-75°=15°，∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-75°=15°， 在△ADE中，∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=180°-15°-15°=150°. 35.如图，在正方形ABCD右侧作等边三角形CDE,连接BD,BE,∠I的度数为() D A.15° B.30° C.35° D.45° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出△BCE为顶角度数是150度的等腰三角形，进而求 出∠CBE的度数，再根据角的和差关系进行求解即可。 【详解】解：，在正方形ABCD右侧作等边三角形CDE, .BC=CD=CE,∠BCD=90°，∠DCE=60°，∠CBD=45°， ∠BCE=150e,∠CBE=∠CEB=180-,∠BCE=15 2 .∠1=∠CBD-∠CBE=30° 【类型8正方形相关线段求解】 36.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点，F是BD上一点， 连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是() 第30页共60页 E A.2v2 8.2+V2 c.4-2 D.2 【答案】A 【分析】因为△DEF与△DEC关于直线DE对称，确定DF=DC,EF=EC,结合正方形的性质，计算出 BD的长度，进而求出BF的长度，因为△BEF的周长为BE+EF+BF,结合EF=EC,可将周长转化为 BC+BF,代入对应边长计算即可， 【详解】解：，四边形ABCD为正方形 .CD=CB=2,∠BCD=90°， BD=CD+CB=2 ·△DEF与△DEC关于直线DE对称， DC=DF=2 EC=EF BF=22-2 ∴，△BEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE+EC BF+BC =22-2+2 =22 37.如图，在正方形ABCD中，AD=5,点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3,BE=DF=4 则EF的长为() D 3 A. B.1 c.5 D.2 【答案】D 第31页共60页 【分析】延长AE交DF于G,由勾股定理的逆定理可得△ABE和△DFC是直角三角形，进而可证明 Rt△ABE≌RtADFC(HL ,得到BE=DF=4,∠BAE=∠DCF,∠ABE=∠CDF 利用正方形的性质可证 △ABE≌△DAG(ASA) 明 得到BE=AG=4,AE=DG=3,∠AEB=∠DGA=90°，据此可得EG=1, FG=L,∠EGF=90°，利用勾股定理即可求解。 【详解】解：延长AE交DF于G,如图， ,四边形 是正方形， B ABCD ∴，AB=CD=AD=5,∠BAD=∠ADC=90°， AB=5,AE=3,BE=4, .AE2+BE2=32+42=25=52=AB2, ∴.△ABE是直角三角形， 同理可得△DFC是直角三角形， 在Rt△ABE和RtACFD中， AE=CF AB=CD, RtAABE≌RtACFD(HL) ∴.BE=DF=4,∠BAE=∠DCF,∠ABE=∠CDF, :∠ABE+LBAE=90°，∠DAG+∠BAE=90°， ·.∠ABE=∠DAG, 同理可得∠DCF=∠ADG, ∠BAE=∠ADG 又：AB=DA, △ABE≌△DAG(ASA) 第32页共60页 .BE=AG=4,AE=DG=3,∠AEB=∠DGA=90°， ·EG=4-3=1,FG=4-3=1,∠EGF=90°， EF=VEG2+FG==2 38.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF分别为AO、AD的中点，若EF=3,则OA的长 是() F E B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，得到OA=OD;利用三角形中位线，得到OD=2EF,结合已知求解即可： 【详解】解：正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O, ∴.OA=OD :E、F分别为AOAD的中点， ∴OD=2EF, EF=3, .0D=6. .OA=6 39.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1,则正方形ABCD的对角线的长为 () B A.32 B.4 C.8 0.85 【答案】B 第33页共60页 【分析】连接BD,由正方形的性质得到∠A=9O°，AB=AD,然后利用勾股定理求解即可： 【详解】解：如图，连接BD, B :在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1, ∠A=90°，AB=AD, .AD2=AB2=BE2-AE2=32-12=8, BD=VAB+AD=4 ∴正方形ABCD的对角线的长为4 40.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点，连接AE,AF,EF,M, N分别为AE,AF的中点，连接MN,则MN的长为() D E B.② C.2 D.2V3 【答案】B 【分析】根据点M,N分别是AE和AF的中点，即可得到MN是△AEF的中位线，故MN的长即为EF的 长的一半，在Rt△CEF中，根据勾股定理求得EF的长，即可得出结论， 【详解】解：~在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点， .CF=2,CE=2 在RtCEF中，EF=V2+2=25 :点M,N分别是AE和AF的中点， :.MN是△AEF的中位线， 第34页共60页 :MN-1EF-1x2- 2 【类型9正方形相关面积求解】 41.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，M、N是AE、AF与对角 线BD的交点.若BM=3,DN=4,则正方形ABCD的面积为() M A.60 B.64 C.72 D.98 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥AN,且使得AH=AW,连接BH,MH M B E ,四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°： :AH⊥AN, ∠HAN=90°=∠BAD, :.∠HAN-∠BAN=∠BAD-∠BAN,即∠BAH=∠DAN, △BAH≌△DAN(SAS) ∴.BH=DN=4,∠ABH=∠ADN. ,∠ABD+∠ADB=90°， ∴.∠ABD+∠ABH=90°，即∠HBM=90°， :MH=BH2+BM=5 :∠EAF=45°， 第35页共60页 .∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°， ·∠BAE+∠BAH=45° ∴.∠HAM=45°=∠NAM, 又：AH=AN,AM=AM, △AHM≌△ANM(SAS) .MN MH=5. .BD=BM+MN+DN =12: 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=AB+AD2=2AB2, .2AB2=122,即AB2=72, ∴正方形ABCD的面积为72. 42.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正方形A'B'CO的一个顶点.如果两个正 方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为() D B A.3 B.6 C.9 D.4 【答案】C 【分析】设AB与A'O交于点E,BC与CO交于点F,根据题意可得∠AOE=∠BOF,结合正方形的性质 证明△AOE≌aBO ,则两个正方形重叠部分的面积等于S.0,即正方形1BCD 面积的四分之一，已知正 方形的边长，可据此求出重叠部分的面积。 【详解】解：如图，设AB与A'O交于点E,BC与CO交于点F, 第36页共60页 正方形 、正方形 ABCD ABCO ∠AOB=∠AOC'=90°，AO=B0,∠OAE=∠OBF=45°， .∠AOE=∠BOF, 在△AOE和△BOF中， ∠OAE=∠OBF AO=BO ∠AOE=∠BOF' :.△AOE≌△BOF(ASA ∴SAOE=S△BOr, 则两个正方形重叠部分的面积为 1 1 S,B0E+SB0F=SBoE+S,4Oe=S,4OB=4SE方形1BCD=A×62=9 4 4 43.如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF.若BC=10,则正方形 ADEF的面积为() B A.10 B.15 C.25 D.100 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半和正方形面积公式求解即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，BC=l0, :.AD=-BC=5 第37页共60页 ADEF 2=25 正方形 的面积为 44.如图，四边形ABCD与四边形EFGD均为正方形，点C在FG上，过点E作PO/AB,分别交AD, BC P O ，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积() B D A.CG B.CF C.EP D.AP 【答案】A 【分】折连接EC,易得S.cr.u,进而得到Seem-SEao·推出S=CG2即 1 可 【详解】解：如图，连接EC, B E D 由题意可知，四边形PDCQ为矩形，∠G=90°， 1 S矩形poCD=S正方形EPGD S阴影=S正方形ABCD一S矩形PQcD =S正方形ABCD-S正方形ERGD CD2-DG2=CG2 故只要知道线段CG的长就可以求出阴影部分的面积. 第38页共60页 45.用“特殊化”策略解决问题：如图，有两个边长都相同的正方形，其中正方形E℉GH的顶点E与正方 形ABCD的中心重合，四边形EICJ各边的中点分别为点K、N、M、L,若阴影部分的面积和为2，则 正方形ABCD的面积为() A B M G A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】B 【分析】利用“特殊化”策略，将正方形EFGH旋转至边与正方形ABCD的边平行，此时重叠部分EIC 为正方形组面积为正方形ABCD面积的4：根据中点性质可知阴影部分面积为重叠部分面积的2，从而建 立方程求解 【详解】解：如图，当EFIAB时，设正方形ABCD的面积为S, E M G 1 由对称性可知，四边形EJCI的面积为正方形ABCD的面积的4， 1 阴影部分的面积为四边形EJCI的面积的2， 1 故阴影部分的面积为正方形ABCD的面积的8， :S=16:即正方形ABCD的面积为16 第39页共60页 【类型10直角三角形斜边上的中线】 46.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若AC=12, S签形HBCD=48 OH ,则的长为 【答案】4 【分析】由菱形的面积求出对角线BD的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出OH的长， 详解】解：片4C=12S形m=AC-BD三48 BD=2S菱形MBCD÷AC=2×48÷12=8 ,DH⊥AB,在菱形ABCD中BO=DO, :.OH-1BD=4 47.如图，在△ABC中，∠B=60°，AD为BC边上的高，M为AC边的中点，点E在AB边上， ∠EDM=60°，若BE=12,AE=20,则AC边的长为 【答案】 813 【分析】取AB的中点H,连接DH,HM,过点E作EG⊥BC于点G,根据直角三角形斜边中线性质及 ∠B=60°可证△BDH是等边三角形，利用三角形中位线定理及平行线性质求出∠DHM=60°，进而证明 △HDM≌aBDE,得出DM=DE,最后在RtAEDG中利用勾股定理求出DE的长，即可解答。 【详解】解：取AB的中点H,连接DH,HM,过点E作EG⊥BC于点G, 第40页共60页 M HE B AD⊥BC,∠B=60°， ∠BAD=30°， AB=AE+BE=20+12=32」 .BD=4B=16 :H为AB中点， .DH=BH -7AB=16. .BD=DH=BH, ∴△BDH是等边三角形 ∴.∠BDH=∠DHB=60° :M为AC中点，H为AB中点， HM是△ABC的中位线， ∴.HM‖BC ∴.∠AHM=∠B=60° :∠DHA=180°-∠DHB=120° .∠DHM=∠DHA-∠AHM=60°， ∴.∠B=∠DHM, :∠EDM=60°， ∴.∠EDM=∠BDH, ∴∠EDM-∠EDH=∠BDH-∠EDH,即∠HDM=∠BDE, 在△HDM和△BDE中， [∠DHM=∠B DH=DB ∠HDM=∠BDE' 第41页共60页 ∴.△HDM≌△BDE(ASA) .DM=DE, 在RtAEBG中，∠B=60°，BE=12, ∠BEG=30°， 6c-E=6 :EG=VBE2-BG=122-62=6N3 .DG=BD-BG=16-6=10. 在RtEDG中，DE=VDG2+EG2=V102+(63=V208=43. :AD⊥BC,M为AC边的中点， ∴.AC=2DM .AC=2DE=8v13 48.如图，菱形ABCD的面积为30，对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH, 若0A=35 OH 则 的长为 B D 5 【答案】 AC=20A=6V5 OB=OD 【分析】由菱形的对角线互相平分得到 ,再由菱形的面积等于其对角线乘积的 一半可得BD的长，最后根据直角三角形的性质可得答案， 【详解】解：，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AC=20A=6V5 OB=OD ,菱形ABCD的面积为30， 第42页共60页 1 “2ACBD=30 BD=25 ,DH⊥AB, :OH=号BD=5 2 49.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD,点E,点F分别是AC,BD的中点，EF=25,连 接AF,则AC的长为 B 【答案】50 【分析】首先利用三线合一性质得到AF⊥BD,然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：，AB=AD,点F是BD的中点， AF⊥BD, ,点E是AC的中点， .AC=2EF=50 50.如图，将△ABC竖直向上平移得到△DEF,EF与AB交于点G,G恰好为AB的中点，若AB=AC=10 BC=12,则AE的长为 D B 213 【答案】 【分析】连接BE,过A作AW⊥BC于N,交EF于M,连接NG.再根据平移的性质和勾股定理解答即 可求解 【详解】解：连接BE,过A作AN⊥BC于N,交EF于M,连接NG 第43页共60页 D :将△ABC竖直向上平移得到△DEF,AB=AC=I0,BC=12,G恰好为AB的中点， EF=BC=12. NG=BG=AG-)AB=5,EF∥BC,BE⊥EF,BELBC, 、AN⊥EF, ∴.由竖直向上平移得到BE=MN,EM=BN, RtABEG≌Rt NMG(HL) ..EG=MG. :AB=AC,AN⊥BC, BN-NC-2BC-6, ÷BM=BN=6EG=MG-EM=3, :4M=NAG2-MG2=5-3=4 4E-VAM+EM6=23 【类型11中点四边形】 51.如图，在四边形ABCD中，AC,BD为对角线，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中 点，连接EG,FH.若AC=BD=6,AC⊥BD,则线段EG的长为 第44页共60页 【答案】 3v2 【分析】根据三角形中位线定理求出EF,FG的长及位置关系，再利用勾股定理计算即可. 【详解】解：连接EF,FG如图 H 点， 分别是边 的中点， .E F AB.BC .EF是△ABC的中位线， EF∥AC,EF-4C=x6=3 2 2 同理FG是△BCD的中位线， 1 FG∥BD, FG=5BD=,×6=3 :AC⊥BD.EF∥AC,FG∥BD, ∴EF⊥FG .∠EFG=90 在RtEFG中， EG=EF2+FG2=32+32=32 52.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，连接BD与AC交于点O, 若BD=AC=6,∠AOD=120°，则四边形EHGF的周长是 D 【答案】12 【分析】由三角形中位线定理易得四边形EHGF是菱形，即可求得结果. 【详解】解：E,F,G,H分别是AB,BCCD,AD的中点， 第45页共60页 EH-D.FG-TBD.GH-TAC.EF-TAC .EH-FG-BD,GH-EF-AC. BD=AC=6. ∴EH=FG=GH=EF=3, ∴.四边形EHGF是菱形， ∴.四边形EHGF的周长是4×3=12 53.如图，E、R、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，若AC⊥BD,则四边形EFGH是 (填特殊形状). D A B F 【答案】矩形 【分析】由三角形中位线定理可得H=D,H0. 2 PG-BD,FGIBD:HG/AC,从而得出 EH=FG,EHI‖FG,进而可得四边形EFGH是平行四边形，结合题意得出EH⊥HG,即可得证. 【详解】解：E、R、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点， :.EH为△ABD的中位线，FG为△BCD的中位线，GH为△ADC的中位线， .EH-BD EHMBD.FG-RD FG‖BD?HG∥AC: .EH=FG,EHI‖FG ∴.四边形EFGH是平行四边形， ,AC⊥BD, .EH⊥HG. ∴.平行四边形EFGH是矩形 54.对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如 果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”，如图，己知四边形 ABCD是“中方四边形”，四边形MPN是它的中点四边形.若线段MN的长度为6，BD的长为 第46页共60页 【答案】6W2 △MNQ 【分析】连接BD,利用 是等腰直角三角形可得 NO=3V2 ，利用三角形中位线可得 BD=2N0=6√2 【详解】解：连接BD, ,四边形ABCD是“中方四边形”， ：四边形MPNO是正方形， ·.aMNO是等腰直角三角形， 2NO'MN2, 0骨 线段MN的长度为6， 0-音-35 :N,Q分别为CD,CB的中点， ,BD=2NQ=2x3√2=6√2 55.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD,下列结论：①EG⊥FH: ②四边形EFGH是矩形：③HF平分∠EHG；其中正确的是 第47页共60页 E B F 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD 判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键， 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据 菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断. 【详解】解：E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点， <.EF=CD,FG-TAB,GH-CD,HE-7AB. 2 21 2】 AB=CD ∴.EF=FG=GH=HE, “四边形EFGH是菱形， ∴EG⊥FH,HF平分∠EHG,故①③正确： 无法证明四边形EFGH是矩形，故②错误： 综上所述，①③共2个正确。 故答案为：①③ 【类型12特殊平行四边形相关综合问题】 56.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B与点B关于AE对称，BB与AE交于点F,连接AB', DB,FC.下列结论：①AB=AD:②△FCB为等腰直角三角形：③∠ADB'=75°：④∠CB'D=135° 其中正确的序号是 D E 【答案】①②④ 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=90°， 第48页共60页 :点E为BC边的中点，点B与点B关于AE对称， ∴AB=AB,FB=FB′，AF⊥BB, .AB=AD,故①正确： :FB=FB',点E为BC边的中点， ∴EF为△BCB的中位线， .EF∥B'C, .∠BB'C=∠BFE=90°，即△FCB是直角三角形， :∠B'BC+∠ABF=90°，∠BAF+∠ABF=90°， .∠BAF=∠B'BC, 在△ABF和△BCB'中， [∠AFB=∠BB'C=90° ∠BAF=∠B'BC AB=BC △ABF≌ABCB'(AAS) ∴BF=B'C, :.B'F=B'C,即△FCB是等腰直角三角形，故②正确： ∠CFB'=∠FCB'=45°， ∴.∠BFC=135°， ∴.∠FBC+∠FCB=45°，∠FCB+∠DCB'=90°-∠FCB'=45°， ∴.∠FBC=∠DCB', 在△BFC和△CB'D中， BF=B'C ∠FBC=∠DCB' BC=CD △BFC≌aCB'D(SAS) 、∠CB'D=∠BFC=135°，故④正确， 若∠ADB'=75°， .AB'=AD 第49页共60页 ∴.∠ADB'=∠AB'D=75° ∴.∠DAB'=180°-75°-75°=30° ∴.∠BAB=90°-30°=60° 由对将可得∠BE=兮B份=30 .·∠ABC=90° .BE-1AE 2 ,点E为边BC的中点，AB=BC :E-48 .AE=AB, 此时与Rt△ABE中，AE>AB矛盾，故∠ADB'=75°不成立， 故③错误： 综上所述：正确的结论有①②④. BCD中，BC=V5B,B为BC中点，连接M交BD BC CF 57.如图，在矩形 中， 于点F,连接，下列结论： ①ELBD,② E形HBcD=10S△cEF ;③BC=2D0.DF 正确的有 【答案】①③#③① 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键， 证明△DAB∽aABE,推出∠ABD=∠BEA,可得∠BFE=90°，判断O:过点F作FG⊥BC于点G,设 出仁-B。=5,末出5en和5g·判断@： AB=2a'则BC=2√2a'证A4 FBABFE·推出BF-BE2a- 计算出DO,DF,判断③ 【详解】解：，E为BC中点， 第50页共60页 .AD-B=2,且∠DAB=∠ABE=90, AB BE ∴.△DABP△ABE, ∴∠ABD=∠BEA, .∠BEA+∠EBD=∠ABD+∠EBD=∠ABC=90°， .∠BFE=90°， ∴AE⊥BD,①正确： 如图，过点F作FG⊥BC于点G, A B GE 设1B=2a BC=22a BE=2a 则 ∠ABD=∠BEA,∠AFB=∠BFE=90°. ∴.△AFB△BFE, AF AB 2a =V2 ·BFBE2a 设F=,则4F=2x 在RtABF中，BF2+AF2=AB,即，r+(V2x=(2a. 解相x=子o， 3 BF-a 3 在R△BFE中，由勾股定理得EF=√BB-BF-6。 30, .wCEPG 25. a= 3 3 :Sew=2a×2W5a=4W5=12S.c,放2错误： :AB=2a BC=2a 第51页共60页 BD=AC=AB+BC=2a :00-号80=5a, 3 :DF=BD-BF=年V5a 3 :BC2=(22a}'=8a2,2D0DF=25ax45a=8a2 3 ∴BC2=2D0DF,故③正确： 故答案为：①③ 58.矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4,将纸片折叠，使点B落在边CD上的B处，折痕为AE.延长 E安A理kM眼E列论：①MBM@PB-Pg955 2: ④若BP⊥CD,则四边形BPBE是菱形.四个结论中正确的有一（填序号）， B D M 【答案】②③④ 【分析】根据折叠的性质可得PB=PB,则结论②正确：连接AB,先求出BC=2,再设 BE=B6=(>0),则CE=4-x”在RBCE中，利用勾股定理求出x的值，则可得BE=BE= 2 3 CE=2,然后在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AE的长，则结论③正确：先证出△BEM∽aCEB',利用相 似三角形的性质可得EM的长，从而可得B'M≠AB',则∠M≠∠B'AM,结论①错误；先证出B'P∥BC, 则可得∠BEP=∠B'PE=∠B'EP,根据等腰三角形的判定可得BE=B'P,再根据折叠的性质可得B'E=BE 则BE=B'P,最后根据菱形的判定即可得④正确。 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=5,AD=4, 第52页共60页 :.CD=AB=5,BC=AD=4,∠D=∠C=∠ABC=90°，AB∥CD,AD∥BC,AD⊥CD, 由折叠的性质得：PB=PB,则结论②正确： 如图，连接AB, C B D P M 由折叠的性质得：∠ABE=∠ABE=90°，AB'=AB=5,B'E=BE, BD-VBA-AD=3 .'B'C=CD-B'D=2, B'E=BE=x(x>0) ,则CE=8C-BE=4- 在RtBCE中，CE+BC2=BE,即4-+22= 5 解得x=2, .B'E=BE-5 六在RIAABE中， E=a+-5+ 52_55 2,则结论③正确： :AB∥CD ∴、△BEM∽aCEB', 5 EM_2 EM_BE,即5 B'E CE 2 2 解得M=25 6 BM=B'E+EM=20 *AB 第53页共60页 ∴.∠M≠∠BAM,则结论①错误： :B'P⊥CD,AD⊥CD B'P∥AD, 又，ADI BC B'P∥BC, ∴∠BEP=∠B'PE, 由折叠的性质得：∠BEP=∠B'EP,B'E=BE, .∠B'PE=∠B'EP, ∴B'E=B'P, ∴.BE=B'P, 又BE∥B'P, ∴.四边形BPBE是平行四边形， 又，B'E=BE, ∴.平行四边形BPBE是菱形，则结论④正确： 综上，四个结论中正确的有②③④， 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形的判定、等腰三角形的 判定，熟练掌握折叠的性质是解题关键 59.如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O,CD=2OB,E为CD延长线上一点，使得DE=CD,连 接BE,分别交AC、AD于点R、G,连接OG,AE,则下列结论：①BC⊥BE:②AF=3OF:③四边形 ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.其中正确的结论有 ·(填序号) D 【答案】①③④ 【分析】根据菱形的性质得出BC=CD=AB,ABI‖CD,OB=OD,求出BC=DC=BD,根据等边三角 形的判定得出△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BCD=60°，求出∠EBC=90°，根据全 第54页共60页 等三角形的判定得出△ABG≌aDEG,根据全等三角形的性质得出AG=DG,BG=GE,求出 OG∥4B∥DE,0G=21B,OG到4B之间的距离等于OG到DE之间的距离（设距离为），求出四边 形ODEG与四边形OBAG的面积相等，根据菱形的判定求出四边形ABDE是菱形即可. 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， 、.BC=CD=AB,AB∥CD,OB=OD CD=20B ∴BC=DC=BD. :.△BDC是等边三角形， .∠BCD=60°. ..DE =CD. .DE=BD, ∴.∠DBE=∠DEB, :∠BCD=∠DBE+∠DEB=60°， .∠DBE=∠DEB=30°， ∴.∠EBC=90°， ·BC⊥BE,故O正确： 四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, ∠OBF=30°， ..BF =20F, ∠BCA=∠BAC=30°， .BF AF, ∴.AF=2OF,故②错误： .ABII CD, ∴.∠BAG=∠EDG, ..AB=CD,CD=DE. .'AB=DE, 在△ABG和△DEG中， 第55页共60页 ∠BAG=∠EDG ∠AGB=∠DGE AB=DE ∴△ABG≌aDEG(AAS). 、.AG=DG,BG=GE :BO=DO,AB∥DE :0G/4∥DE,0G=48-DE,0G到4B之间的距离等干OG到pe之的先离设施害为 :四边形ODEC的面积S-DE+0Gh,四边形OB4G的面积S-4B+0Gh,AB=DE ∴，四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故③正确： AG=DG,BG=GE ∴四边形ABDE是平行四边形， .DE =CD=BD, ∴，四边形ABDE是菱形，故④正确： ∴.正确的是①③④， 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点， 能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键 60.知图，在菱形BCD中，48=5，∠ABC=60°，点E为对角线D上一动点（不与点°重合），且 BE<BD,连接CE交D1延长线于点F ①∠AFE=∠BAE: ②当△AEF为直角三角时，BE=2: ③当△AEF为等腰三角形时，∠AFC=20°或者∠AFC=40°： ④连接BF,当BE=CE时，FC平分∠AFB. 以上结论正确的是」 .(填正确的序号) 第56页共60页 【答案】①③④ 【分析】由菱形的性质以及三角形全等的判定与性质即可判断，②分两种讨论：∠AEF=90°，∠FAE=90° ③分别设AF=EF或AF=AE两种情况，根据三角形内角和定义可求得∠AFC的度数，④证明CF垂直平 分AB,根据等腰三角形的性质得证。 【详解】解：①四边形ABCD是菱形， .AC=BC,∠ABE=∠CBE, .BE=BE, ∴.△ABE≌△CBE(SAS) ∴.∠BAE=∠BCE, :DF∥BC, .∠AFE=∠BCE, .∠AFE=∠BAE,故①正确： ②当△AFE是直角三角形时，分两种情况： 当∠FAE=90°时， DF∥CB, ∠FAB=∠ABC=60°， ∴.∠BAE=30° ∠ABE=2 ∠ABC=30°， .∠ABE=∠BAE, 设CF与AB交于点G, 第57页共60页 A B D E ∠AEF=∠AEF,∠F=∠BAE, ,∠AGE=∠FAE=90°， ∴CF是AB的垂直平分线， 8G=3 2，∠BGE=90°， ∠GBE=30°， .GE=1BE .GE2+BG2=BE2, .BE=1, 当∠AEF=90°时， ∠ABC=60°，AB=BC, ∴△ABC为等边三角形， ..AB=AC=3 ·40=3 2 第58页共60页 :0A=0C,LAEC=90°， ..EO=AO= 5 2 BO=AB-A0=3 .BE=3-V3 2， “BE=3V5 2或BE=1故@错误 ③设∠AFC=x, 当AF=EF时，则∠AFE=∠BAE=x, ∠FAE=∠FAB+∠BAE=60°+x, ,∠AEF=∠FAE=60°+x, :∠AFE+2∠FAE=180° .x+2×(60°+x)=180° x=20°， 当AF=AE时，则∠AFE=∠AEF=∠BAE=x, .∠FAE=60°+x, ∠FAE+2∠AFE=180°， ∴.60°+x+2x=180°， .x=40°， ∠AFC为20°或40°，故③正确： ④当BE=CE时，则AE=CE=BE, A B D 连接AC,BF,则点E是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴EF垂直平分AB, 第59页共60页 :BF=AF, ∴.∠BFE=∠EFA, ∴.FC平分∠AFB,故④正确， 综上所述，结论正确的有：①③④， 故答案为：①③④. 第60页共60页 专题20 一元二次方程高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 菱形相关角度求解】 1 【类型2 菱形相关线段求解】 2 【类型3 菱形相关面积求解】 3 【类型4 矩形相关角度求解】 5 【类型5 矩形相关线段求解】 6 【类型6 矩形相关面积求解】 7 【类型7 正方形相关角度求解】 8 【类型8 正方形相关线段求解】 10 【类型9 正方形相关面积求解】 11 【类型10 直角三角形斜边上的中线】 12 【类型11 中点四边形】 13 【类型12 特殊平行四边形相关综合问题】 15 【类型1 菱形相关角度求解】 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【类型2 菱形相关线段求解】 6．如图，菱形的对角线、的长分别为、，于点E，则的长是（    ）． A．4.8 B．9.6 C． D． 7．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 8．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 10．如图，菱形中，，对角线、交于点O，平分交于点E，且，菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【类型3 菱形相关面积求解】 11．如图，在菱形中，连接、，，的周长为18，则菱形的面积为（     ） A．12 B．18 C．24 D．54 12．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作交于点H，若，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．20 C．24 D．48 13．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 14．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 15．菱形ABCD边长为5，一条对角线长6，则该菱形面积为（     ） A．12 B．24 C．30 D．48 【类型4 矩形相关角度求解】 16．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 18．如图，在矩形中，连接、，，延长至点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，在矩形中，，垂足为点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 20．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【类型5 矩形相关线段求解】 21．如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 22．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为（     ） A． B． C．8 D．10 23．如图，在矩形中，的平分线和的平分线恰好交于边上的点E，若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．如图，在矩形中，点E是边上的一点，连接分别是的中点，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 25．如图矩形，，E为中点，G，H分别为中点，则的长是（     ） A．4 B．5 C．8 D．10 【类型6 矩形相关面积求解】 26．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 27．如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 28．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 29．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 30．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【类型7 正方形相关角度求解】 31．如图，在中，，为边上一点，连接，以为边作正方形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 32．如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 33．如图，在中，点为边上一点，连接，以为边在左侧作正方形，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 34．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 35．如图，在正方形右侧作等边三角形，连接，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【类型8 正方形相关线段求解】 36．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若与关于直线DE对称，则的周长是（     ） A． B． C． D． 37．如图，在正方形中，，点E、F是正方形内的两点，且，则的长为（     ） A． B．1 C． D． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，， 38．如图，正方形的对角线交于点分别为的中点，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 40．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【类型9 正方形相关面积求解】 41．如图，正方形中，、分别在边、上，且，、是、与对角线的交点．若，，则正方形的面积为（     ） A．60 B．64 C．72 D．98 42．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 43．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 44．如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 45．用“特殊化”策略解决问题：如图，有两个边长都相同的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，四边形各边的中点分别为点、、、．若阴影部分的面积和为，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【类型10 直角三角形斜边上的中线】 46．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 47．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为___________． 48．如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 49．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 50．如图，将竖直向上平移得到，与交于点G，G恰好为的中点，若，，则的长为________． 【类型11 中点四边形】 51．如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 52．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，连接与交于点，若，则四边形的周长是__________． 53．如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 54．对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形．若线段的长度为，的长为________． 55．如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是______________． 【类型12 特殊平行四边形相关综合问题】 56．在正方形中，点E为边的中点，点与点B关于对称，与交于点F，连接，，．下列结论：①；②为等腰直角三角形；③；④．其中正确的序号是____________． 57．如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连接，下列结论：①；②；③．正确的有______． 58．矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为．延长交的延长线于，折痕上有点，下列结论：①；②；③；④若，则四边形是菱形．四个结论中正确的有______（填序号）． 59．如图，菱形中，与交于点O，，E为延长线上一点，使得，连接，分别交、于点F、G，连接，，则下列结论：①；②；③四边形与四边形的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论有 ________.（填序号） 60．如图，在菱形中，，，点为对角线上一动点（不与点重合），且，连接交延长线于点． ①： ②当为直角三角时，； ③当为等腰三角形时，或者； ④连接，当时，平分． 以上结论正确的是________．（填正确的序号）    第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $