专题08 二次函数相关压轴题分类训练（5种类型40道） 期末复习高频考题专项训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以5类40道题构建二次函数压轴题分类训练体系，覆盖图像性质、代数操作及几何综合，注重知识逻辑递进与核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |含图像综合题|8道|结合图像判断系数关系及函数性质|从图像直观到代数推理，强化几何直观| |不含图像综合题|8道|通过已知条件分析函数性质|培养符号意识与推理能力| |代数操作题|8道|整式运算与方程根的综合应用|体现代数变形与模型意识| |几何动点综合|8道|运动过程中函数关系构建|发展空间观念与应用意识| |几何最值综合|8道|利用二次函数或几何性质求最值|融合运算能力与创新意识|

专题08 二次函数相关压轴题分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 二次函数相关的综合题（含图像）】 1 【类型2 二次函数相关的综合题（不含图像）】 3 【类型3 二次函数相关的代数操作题】 5 【类型4 二次函数与几何动点综合】 7 【类型5 二次函数与几何最值综合】 10 【类型1 二次函数相关的综合题（含图像）】 1．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．二次函数的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 5．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图为二次函数的图象，则下列说法： ①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知某二次函数的图象如图所示，与轴的一个交点是，下列结论中①；②；③；④；其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型2 二次函数相关的综合题（不含图像）】 9．已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 10．关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．若抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数，总成立； ④关于的方程有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知一元二次方程有两个实数根，，且，给出下列结论：①；②抛物线的顶点坐标为；③；④当时，．其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．拋物线与轴相交于点．下列结论： ①；②对称轴；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．已知抛物线的顶点为，有下列结论： ①；②当时，随的增大而增大；③抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；④若关于的方程的一个根为3，则．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【类型3 二次函数相关的代数操作题】 17．已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个实数根 ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根 ③若二次函数的图象开口向下且，则方程一定有两个不相等的实数根 ④若是方程的一个根，则一定有成立 ⑤若一元二次方程的根为，则二次函数的对称轴为直线 其中正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 19．已知整式，其中，为正整数，，，，，为自然数，若，且．下列说法中： ①当时，所有满足条件的整式的和为； ②满足关于的二次函数与轴无交点的共有4个； ③所有满足条件的整式中，多项式一共有28个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，，…，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5；②若，则满足条件的A共有5个；③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有8个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 21．已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 22．已知整式，整式，其中为自然数，为正整数，，且． 下列说法：①满足条件的所有整式P中没有单项式；②满足条件的所有整式P共有7个；③当时，令，当x取任意实数时，则关于y的所有二次函数中的最小值是．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 24．已知二次函数 (a 为常数，且) ．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y 随x的增大而减小； ③该函数图象与x 轴有两个不同的公共点； ④若，则关于x 的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于x 的方程的正数根只有一个． 其中正确的个数是（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【类型4 二次函数与几何动点综合】 25．如图，矩形中，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动：动点Q以相同的速度，从点B出发沿边、边向终点D运动．两点同时开始运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积逐渐增大： ③动点运动过程中，的面积最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 26．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 28．如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 31．在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型5 二次函数与几何最值综合】 33．如图，E是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点P，F分别是的中点．若，则下列结论正确的序号为___________。 ①的最小值为  ②的最小值为       ③周长的最小值为6      ④四边形面积的最小值为 34．如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 35．如图，点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为直角边，在线段的上方作等腰和等腰，连接，取的中点，连接．若，则在点的运动过程中，的最小值为____________． 36．如图，矩形中，与交于点O，分别在和上取点M、N，使得．若，则的最小值为________． 37．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，． 、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最小值为______． 38．如图，点是线段上的动点，cm，°，°，连接是线段的中点，连接，则的最小值是________cm． 39．如图，已知等边，，为边上一动点，为边上一动点，且，连结，则的最小值为______． 40．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数相关压轴题分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 二次函数相关的综合题（含图像）】 1 【类型2 二次函数相关的综合题（不含图像）】 8 【类型3 二次函数相关的代数操作题】 16 【类型4 二次函数与几何动点综合】 30 【类型5 二次函数与几何最值综合】 44 【类型1 二次函数相关的综合题（含图像）】 1．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 2．二次函数的图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键． 由二次函数图象可得：，可判断①；由对称轴，可判断②；将代入函数，求得y值，判断③；抛物线与x轴有两个交点，可判断④ 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴上， ∴，即，故①正确； ∵对称轴，即， ∴，故②正确； 当时，，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④四个． 故选D． 3．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①根据对称轴得出； ②当时，结合图象进行判断； ③得出点的对称点为，当时，可得结论； ④根据图象可得增减性． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 即， 故①正确； ②当时，函数值大于零，即， 故②错误； ③∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴点的对称点为， 当时， 即， 故③正确； ④由图象可知，当时，的值随值的增大而减小， 故④正确； 综上，正确的选项为①③④，共3个． 4．已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向可判断①正确；根据对称轴的位置可判断②正确；根据抛物线与y轴的交点可判断③错误；根据时的函数值可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 5．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由抛物线开口向上、对称轴、交y轴正半轴，得、、，故、；顶点最小值为1，恒成立；将变为，结合图象即可判断四个结论． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴， ∴，对称轴为，常数项， ∴， ∴； ∴，①正确； ∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上， ∴对任意实数，都有，②正确； ∵ ∴，③正确； 由题意得， ， ∴二次函数值小于一次函数的值， ∵二次函数过点和，这两个点也在直线上， ∴两个函数的交点为和， 由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线的下方， ∴不等式成立的范围是，④正确． 综上所述，正确的个数有4个． 6．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 7．如图为二次函数的图象，则下列说法： ①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知，故①错误； ②由对称轴为， ∴， ∴，则，故②正确； ③由图象可知，当时，，则，故③正确； ④从图象知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确； ⑤由图象可知，当时，，则，故⑤正确； 综上，②③④⑤正确，共4个． 故选：D． 8．已知某二次函数的图象如图所示，与轴的一个交点是，下列结论中①；②；③；④；其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由二次函数的图象得出，，由二次函数的对称轴公式得出，即可判断①③；求出二次函数的图象与轴的另一个交点是，即可判断②；由图象可得，当时，，再结合，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴，，故③正确； ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与轴的一个交点是，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点是， ∴当时，，故②错误； 由图象可得，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有③④，共个． 【类型2 二次函数相关的综合题（不含图像）】 9．已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到的值和与的关系，再结合对称轴在轴右侧的条件，逐一判定每个结论的正确性即可. 【详解】解：将点代入，得，， 将点代入抛物线解析式，得，整理得，即，故结论③错误； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴对称轴， ∴与异号， ∴， ∵， ∴，故结论①正确. 将代入，得，解得，故结论②正确； ∵抛物线与轴已经有一个交点在轴的左侧，且对称轴在轴右侧， ∴顶点不可能在轴上， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故结论④正确； 综上，正确结论为①②④. 10．关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 11．若抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数，总成立； ④关于的方程有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由顶点横坐标推出，结合抛物线过得到与的关系，再由y轴交点范围确定的取值范围，进而逐一判断各结论． 【详解】解：∵ 抛物线顶点坐标为， ∴ 对称轴为直线， ∴ ． ∵ 抛物线过点， ∴ ， 将代入得， ∴ ． ∵ 抛物线与y轴交点在点与点之间（包含端点）， ∴ ， 将代入得，解得，故②正确； ① ， ∵ ， ∴ ，故①正确； ③ ∵ 抛物线开口向下，顶点为， ∴ 当时，函数取得最大值为， ∴ 对任意实数，有， 两边减得，故③正确； ④ ∵ 函数最大值为， ∴ 直线与抛物线仅有1个交点， ∵ ， ∴ 直线与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，故④正确． 12．已知一元二次方程有两个实数根，，且，给出下列结论：①；②抛物线的顶点坐标为；③；④当时，．其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由方程两根可得抛物线解析式，再逐一判断各结论． 【详解】解：∵方程有两根，且， ①错误； ②顶点横坐标 纵坐标 顶点为正确； ③错误； ④∵，对称轴为直线 当时， 即．故④正确， 正确结论有②④，共2个． 故选：B． 13．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点坐标和经过点，利用顶点式求出参数关系，再结合m的范围确定a的范围，最后逐一判断各结论． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴当时，， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确； ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，的值随值的增大而增大，故②错误； ∵，即， ∴， ∴，故结论④正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当时，，故③错误． 综上，正确结论有①④共2个． 故选：B． 14．已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 【详解】解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 15．拋物线与轴相交于点．下列结论： ①；②对称轴；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据抛物线与x轴的交点可判断①②；再根据抛物线的开口方向可判断③；结合抛物线的性质可判断④，进而可得本题答案． 【详解】解：∵与轴相交于点 ∴与轴两个交点，即， ∴，即①正确； ∴对称轴为直线，即②不正确； ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴时，， ∴当时，，即：， ∴③正确； ∵点在抛物线上，且， ∴比更靠近对称轴， ∴，即， 两边平方，得， 解得：，即④正确， 故选：C． 16．已知抛物线的顶点为，有下列结论： ①；②当时，随的增大而增大；③抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；④若关于的方程的一个根为3，则．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、平移规律及方程根的应用，先将抛物线化为顶点式，再逐一分析每个结论的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：∵抛物线顶点为，， ∴抛物线可写为顶点式，展开得， ∴，． ①判断： ∵，，的符号不确定（如时，时）， ∴的符号无法确定，故①错误． ②判断时的增减性： ∵，抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故②正确． ③判断平移是否正确： 原抛物线顶点为，向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为， 而的顶点为，二者顶点不匹配，故③错误． ④判断的值： 将代入方程，即， 解得，故④正确． 综上所述，正确的结论有2个，故选B． 【类型3 二次函数相关的代数操作题】 17．已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的定义、系数绝对值和的性质以及二次函数与x轴交点的条件． 对于说法①，考虑三项式时n的最小值及系数绝对值的最小值；对于说法②，枚举时所有可能的整式A；对于说法③，在，的条件下，枚举所有二次函数并与判别式条件结合． 【详解】解：说法①， 整式为三项式， 当三项式的系数绝对值为1，且最小时，最小， 即，且，，， ，说法①正确； 说法②， ，，，n为自然数， 分情况讨论：（1）当时，，， ，符合条件的有1个； （2）当时，，； （i）时，，， 或，符合条件的有2个； （ii）时，，， ，符合条件的有1个； （3）当时，，， ，，，，，， ，符合条件的有1个； （4）当时，，，与说法②矛盾，没有符合条件的情况； 综上分析，符合条件的A共有个，说法②正确； 说法③， 当，时，，即，， 二次函数与x轴有交点，即， 分情况讨论：（1）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，， 当，时，，符合条件的有2个； （iii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （2）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （3）当时，，，函数为与x轴交于原点，符合条件的有1个； 综上分析，符合条件的A共有个，说法③正确； 故选：D． 18．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个实数根 ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根 ③若二次函数的图象开口向下且，则方程一定有两个不相等的实数根 ④若是方程的一个根，则一定有成立 ⑤若一元二次方程的根为，则二次函数的对称轴为直线 其中正确结论的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系；利用得到，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；先由方程有两个不相等的实数解得到，再计算方程的根的判别式的值得到，则根据根的判别式的意义可对②进行判断；根据二次函数的性质得到，则，所以利用，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；把代入方程得到，只有时，，从而可对④进行判断；利用一元二次方程的根为得到抛物线只有一个交点，，即抛物线的顶点在轴上，然后根据二次函数的性质得到二次函数的对称轴为直线，从而可对④进行判断． 【详解】解：当， ， ， 方程一定有两个实数根，所以①正确； 若方程有两个不相等的实根， ， 即， 对于方程， ， 方程必有两个不相等的实数根，所以②正确； 若二次函数的图象开口向下， ， ， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，所以③正确； 若是方程的一个根， ， 当时，，所以④错误； 若一元二次方程的根为， 抛物线只有一个交点，即抛物线的顶点在轴上， 二次函数的对称轴为直线，所以⑤正确． 故选：D． 19．已知整式，其中，为正整数，，，，，为自然数，若，且．下列说法中： ①当时，所有满足条件的整式的和为； ②满足关于的二次函数与轴无交点的共有4个； ③所有满足条件的整式中，多项式一共有28个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，即（，为自然数）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 所有满足条件的整式的和为，故①正确； 当时， ，为正整数，，即（，，为自然数）． 、、的取值可能如下表： 3 1 0 3 0 1 2 2 0 2 0 2 2 1 1 1 3 0 1 0 3 1 2 1 1 1 2 根据上表可知，共9种可能，，，，，，，，，，均为多项式， 与轴无交点，即判别式， ，，，，符合题意，共5个，故②错误； 当时： ，为正整数，，即（，，，为自然数）． 、、、的取值可能如下表： 3 0 0 0 2 1 0 0 2 0 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 1 0 2 0 1 0 0 2 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 此时满足条件的共10个，其中多项式9个． 当时： ，为正整数，，即（，，，，为自然数）． 、、、、的取值可能如下表： 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 此时满足条件的共5个，其中多项式4个． 当时： ，为正整数，，即（，，，，，为自然数）． 只能是，，，，，，此时满足条件的共1个． 所有满足条件的共1个，为单项式． 所有满足条件的共个，其中多项式共个，故③错误； 综上，正确的有①共1个． 20．已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，，…，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5；②若，则满足条件的A共有5个；③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有8个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分类枚举法结合二次函数的判别式，对三个说法逐一计算验证即可． 【详解】解：对于说法① ∵A为三项式，为正整数，系数绝对值最小为1，要得到m的最小值，需使n最小，且非零系数绝对值最小， ∴最小情况为，三个非零系数的绝对值均为1， ∴m的最小值为 ，故①正确； 对于说法② ∵ ，即 ，为正整数，分情况讨论： （1）当时， ，得，符合条件的有1个； （2）当时， ，即 ，， 时，，，符合条件的有2个； 时，，，符合条件的有1个； （3）当时， ，即 ，得，，，符合条件的有1个； （4）当时， ，无符合条件的； 综上，符合条件的共有个，故②正确； 对于说法③ 当，时，得 ，即 ，， 二次函数与轴有交点，需 ， 分情况讨论： （1）时， ，即， 满足条件的组合有：；；；；，共得符合条件的有个； （2）时，，即， 满足条件的组合有：；； ， 共得符合条件的有个； （3）时， ，得，与轴有交点，符合，共1个； 综上，符合条件的共有个，题目说共8个，故③错误； 因此正确的说法有2个，故选B． 21．已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】令代入，求得，，即可判定①正确；由，，，得到，即，求得，，则点为“零和点”， 即可判定②正确；把代入二次函数，求得，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则即有且只有一个根，所以，求得，，从而求得，根据二次函数的增减性即可求得当或时，二次函数的最小值为，最大值为，即可求出当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是，可判定③正确． 【详解】解：把，代入，得 解得： ∴ 即点在直线上， ∴直线上存在“零和点”，故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，，， ∴，， ∴ ∴点为“零和点”，故②正确； ∵点是二次函数的图象上的“零和点”， ∴ ∴ ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点” ∴即有且只有一个根， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， ∵ ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，则， 解得：，， ∴当或时，二次函数的最小值为，最大值为， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴实数k的取值范围是，故③正确； ∴①②③都要正确，共3个正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象性质，二次函数的最值，一元二次方程根的判别式等知识．第（3）题的解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“零和点”，结合求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答． 22．已知整式，整式，其中为自然数，为正整数，，且． 下列说法：①满足条件的所有整式P中没有单项式；②满足条件的所有整式P共有7个；③当时，令，当x取任意实数时，则关于y的所有二次函数中的最小值是．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的加法，整式的乘法，二次函数的最值，分类讨论，对“自然数”和“正整数”的严格区分，是解题的关键． 结合整式定义、求二次函数最值，通过正整数乘积分解，逐一验证三个说法的正确性． 【详解】解： ①由题意知， 故整式P至少有和两项． 又∵为自然数，为正整数，且， ∴． 由于至少有两项的系数不为零， 故P不可能是单项式， 故满足条件的中没有单项式， ①正确． ②∵， ∴时，， 乘积 可取， 对应3个； 时，， 乘积 可取， 对应3个； 时，， 乘积， 可取， 对应1个； 时，， 乘积， 不合题意． ∴满足条件的共 个， ②正确． ③当时，可取 ， ，的最小值为， ，的最小值为， ，的最小值为， 故的所有可能二次函数中，其最小值的最小值为， ③正确． 综上，①②③正确，共3个， 故选：D． 23．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 24．已知二次函数 (a 为常数，且) ．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y 随x的增大而减小； ③该函数图象与x 轴有两个不同的公共点； ④若，则关于x 的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于x 的方程的正数根只有一个． 其中正确的个数是（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，分情况讨论求解判断⑤即可． 【详解】∵ ， ① 当时，， ∴ 图象经过点，故①正确； ② 当 时，， 对称轴 ， ∵ 开口向下， ∴ 当 时，随增大而减小， 又 ∵ ， ∴ 当 时，随增大而减小，故②正确； ③ ， 当 时，，有两个不同公共点； 当 时，，有一个公共点， ∴ 不一定有两个不同公共点，故③错误； ④ 当 时，由①知 是根，设另一根为， 则 ，解得， ∵ ， ∴ ，即有一个根在0和1之间，故④正确。 ⑤ 当 时，方程 即或， 时，， ，解得或，无正根； 时，， ∵ 开口向上，且当时，， ∴ 方程有一个正根和一个负根， ∴ 只有一个正根，故⑤正确； 综上，正确结论有①②④⑤，共4个． 故选：C． 【类型4 二次函数与几何动点综合】 25．如图，矩形中，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动：动点Q以相同的速度，从点B出发沿边、边向终点D运动．两点同时开始运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积逐渐增大： ③动点运动过程中，的面积最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次函数的性质，当时，分别求出的值，判断①即可；当时，点P在上，点Q在上，表示出三角形面积为，分情况当时，的面积逐渐增大，当时，的面积逐渐减小，判断结论②即可；当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在上，点Q在上，分别求出表示面积的函数进行判断即可 【详解】解：①当时，， ， ，故①正确； ②当时，点P在上，点Q在上，为直角三角形， ， 当时，的面积逐渐增大， 当时，的面积逐渐减小，故②错误； ③当时，点P在上，点Q在上， ，的面积最大值为； 当时，点P在上，点Q在上，，， ， ， 随t的增大而减小， 时， 综上所述，的面积最大值为，故③正确， 故选：C 26．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意分段讨论点的位置，分别计算的长度和的面积表达式，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解：由题意可知，点到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， 运动时间的取值范围是． 当时，点运动的路程为，即， 点在上； 点运动的路程为， ∵， ∴点在上，且， ∴，故①正确； ②当时，点在上，点在上， 此时，， ∴， 的高为， ∴， 当时，，随的增大而减小； 当时，，随的增大而增大，故②错误； ③当时，点在上，，点在上，， 此时以为底，为高， ∴，， ∴当时，取得最大值； 当时，由②知， 当时，；当时，；当时，， ∴此阶段的最大值为， 综上，的最大面积为，故③正确； ④当时，令，解得（负值舍去），符合题意； 当时，令，解得， ∴或， 解得或，均符合题意， ∴共有个不同的值满足条件，故④错误． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 27．四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】当时，点M在上，求出，，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；先将代入的面积表达式求出结果，再由可推断点M在上，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动，， ∴点M在上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时，，，， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 28．如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据提供的信息分析两点运动的时间与路程，再利用面积公式求三角形面积，根据二次函数的性质求最值，解一元二次方程． 【详解】解：①当时，，， ∴，， ∴， 故①正确； ②由题意知，，， 如图，过点作，过点A作， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大，为， ∵， ∴当时，的最大面积不是， 故②错误； ③由②知， 当的面积为时，， 解得或， 即t有两个不同的值满足的面积为， 故③正确． 综上所述，正确的有①③，一共2个． 29．如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①当时，根据题意求出，，然后求出，即可判断①正确； ②首先表示出，，然后得到，然后表示出的面积，利用二次函数的性质即可判断②错误； ③根据题意得到，解得，，即可判断③正确． 【详解】解：①当时，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据题意得，，， ∴， ∵， ∴的面积 ∵ ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积的最大值为，故②错误； ③∵的面积 ∴当的面积为时， 解得， ∴t有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是2． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，三角形面积，动点问题，解题的关键是正确表示出三角形面积． 30．正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据时，点的位置即可判断①；当时，根据点的位置表示出的面积，即可判断②；分别令时和时的面积为，根据方程解的个数即可判断③． 【详解】解：①∵四边形是正方形，， ∴； 由题意知，当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴，故此序号正确； ②由题意知，时，点到达终点，此时点在上距离处，并停止运动； ∴两动点的运动时间为； 当时，点的位置如图所示： 此时，，， 过点作交于点，则有为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，的面积随值的增大而减小；故此序号错误； ③由②知，当时，令， 解得：； 当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴， 令， 化简得：， 解得：（负值舍去）； 综上，有三个不同的值满足的面积为；故此序号错误； ∴正确的结论有一个． 故选：B． 31．在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先根据题意确定点的运动时间及位置分段点； 对于①，当时，判断点在上，利用三角形三边关系比较与的大小，进而与比较； 对于②，当时，点在上，点在上，利用平行线间距离处处相等求出的高，列出面积关于的函数关系式，利用一次函数性质求最大值； 对于③，分和两种情况，分别列出面积方程求解，判断解的个数． 【详解】解：由题意得，点到达点的时间为，到达点的时间为； 点到达点的时间为， 运动时间为． 对于①，当时，点在上， 此时，． 在中，， ，故①错误． 对于②，当时，点在上，点在上， 四边形是平行四边形， ， 点到的距离等于点到的距离． 如图，过点作于点， 在中，，， ， 的高为， ， ， ，随的增大而减小． 当时，最大，最大值为，故②正确． 对于③，当时，点在上，点在上，， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， 令，整理得， 解得， ， （舍去）， 此时有一个解． 当时，点在上，点在上， 由（2）知，令，解得， ， 此时有一个解． 综上，有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确的结论有②③，共2个． 32．如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角形的性质可得，列方程求解，当为直角三角形时，的值；证得，根据全等三角形的性质得到、，再列式计算；根据，结合面积关系列出方程求解即可． 【详解】解：是等边三角形 ，为直角三角形 ， 故①正确； 过点Q作于点H，如图： 、、 ， 、、 、 即， 故②③正确； 解得或（舍去） 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：D． 【类型5 二次函数与几何最值综合】 33．如图，E是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点P，F分别是的中点．若，则下列结论正确的序号为___________。 ①的最小值为  ②的最小值为       ③周长的最小值为6      ④四边形面积的最小值为 【答案】①②③④ 【详解】解：延长交于M，过P作直线，如图： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵P为中点， ∴P为中点， ∵E在线段上运动， ∴P在直线l上运动， 由知等边三角形的高为， ∴M到直线l的距离，P到直线的距离都为， 作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即，P，B共线时，最小， 此时，最小值，故①正确； ∵， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为的长度， ∵F为的中点， ∴， ∴为等边三角形的高， ∴的最小值为，故②正确； 过D作于K，过C作于T，如图， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为6，故③正确； 设，则， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∴当时，四边形面积的最小值为，故④正确； 所以，正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 34．如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键． 根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 35．如图，点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为直角边，在线段的上方作等腰和等腰，连接，取的中点，连接．若，则在点的运动过程中，的最小值为____________． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，构建直角坐标系，设，则，求出的坐标，进而得到，求最值即可. 【详解】解：以点为坐标原点，所在直线为轴，构建直角坐标系，如图： 则， 设，则，， ∵等腰和等腰， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值为，此时最小为. 36．如图，矩形中，与交于点O，分别在和上取点M、N，使得．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题可先根据矩形性质确定各点坐标相关条件，建立平面直角坐标系，将点M、N坐标用含变量的式子表示，再依据两点间距离公式列出的表达式，最后通过完全平方公式求其最小值． 【详解】解：在矩形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 如图，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立坐标系．过点M作于点G，则， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为2， 即的最小值为． 故答案为： 37．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，． 、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最小值为______． 【答案】 【分析】连接、，由菱形的性质得，设，则，结合直角三角形的特征和勾股定理得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】解：连接、， 四边形和四边形都是菱形， ， ， 、分别是对角线，的中点， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 当时，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理，二次函数的性质等；能用二次函数的性质求出线段的最值是解题的关键． 38．如图，点是线段上的动点，cm，°，°，连接是线段的中点，连接，则的最小值是________cm． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知条件可得、 、都是直角三角形，设，由30度直角三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的最值求出的最小值． 【详解】解：∵°，°， ∴， ∴，，， 设，则， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即：， ∴当时，取最小值为， 此时取最小值， 故答案为：． 39．如图，已知等边，，为边上一动点，为边上一动点，且，连结，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过作轴，设，则，，由等边三角形的性质得，，进而求得，根据两点间距离公式得，再利用二次函数的性质即可得解． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过作轴，设，则， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，有最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理，30度直角三角形的性质，等边三角形的性质，二次函数的性质，熟练掌握30度直角三角形的性质，等边三角形的性质及二次函数的性质是解题的关键． 40．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ________． 【答案】 【详解】解：在矩形中，，点是的中点， ，，， ，，， 直线的函数解析式为， 设点的坐标为， 点是上一动点， ， 点是的中点， ， 由两点之间的距离公式可得： ， 由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为：， 因此，的最小值为， 故答案为： 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $