专题10 二次函数特殊三角形相关存在性问题（4种类型32道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊三角形存在性问题，按等腰、直角、等腰直角、等边三角形4类分层设计，32道题系统覆盖中考高频考点 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形存在性|8道|以腰为分类标准，结合抛物线对称轴或动点坐标列方程|二次函数解析式求解→坐标表示→等腰三角形性质应用，培养推理意识| |直角三角形存在性|8道|分直角顶点讨论，运用勾股定理或斜率乘积为-1|函数图像与几何图形结合，强化几何直观与运算能力| |等腰直角三角形存在性|8道|兼具等腰与直角双重条件，需结合全等或旋转转化|综合运用方程思想与图形性质，提升综合思维能力| |等边三角形存在性|8道|利用边长相等或特殊角（60°）构建等量关系|渗透数形结合，发展空间观念与创新意识|

专题10 二次函数特殊三角形相关存在性问题 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 存在性等腰三角形类】 1 【类型2 存在性直角三角形类】 4 【类型3 存在性等腰直角三角形类】 7 【类型4 存在性等边三角形类】 10 【类型1 存在性等腰三角形类】 1．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 2．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 3．抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 4．如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 5．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． (1)求该二次函数的解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 8．如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【类型2 存在性直角三角形类】 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 12．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 14．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 16．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 【类型3 存在性等腰直角三角形类】 17．如图1，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点A的坐标为，点B在第四象限，边与x轴交于点C，点M，R分别是线段的中点，过点M的抛物线（m，n为常数）的顶点为P． (1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________； (2)如图2，点N为中点，抛物线经过点N，E，点F在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标； (3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，求出m的取值范围． 18．如图，已知抛物线与轴交于、两点，其中点，对称轴为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线对称轴上一动点． a：当的周长最小值时，求的值． b：点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出所有点的坐标． 19．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 21．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 22．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 24．如图，抛物线与x轴交于A、两点（A在B的左侧），与y轴交于点，已知对称轴． (1)求抛物线L的解析式； (2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 【类型4 存在性等边三角形类】 25．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 26．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 27．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 28．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 29．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称为抛物线P的“交轴三角形”． (1)若抛物线存在“交轴三角形”． ①k的取值范围为________； ②若，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） (2)若抛物线的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系． 31．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 32．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数特殊三角形相关存在性问题 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 存在性等腰三角形类】 1 【类型2 存在性直角三角形类】 19 【类型3 存在性等腰直角三角形类】 39 【类型4 存在性等边三角形类】 61 【类型1 存在性等腰三角形类】 1．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 2．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 3．抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； （3）∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． 4．如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)点G的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，设点G的坐标为，利用勾股定理求得，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、等腰三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 5．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 6．如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． (1)求该二次函数的解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，顶点坐标，根据等腰三角形的性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据顶点坐标公式进行求解即可； （3）连接，作线段的垂直平分线交轴于点，假设，根据等边列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， ∴顶点D的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 连接，作线段的垂直平分线交轴于点， ∴, 此时，为等腰三角形， 假设， 根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 根据勾股定理得,， 分别以点为圆心，以长为半径画圆，与轴无交点， ∴点P的坐标只有． 7．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 8．如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的函数表达式为，则， ∴， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为， 设，则， ∵， ∴， ， ， 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去） ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【类型2 存在性直角三角形类】 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 11．如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可； ②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①略 ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 12．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 13．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 (3) 【分析】（1）利用直线的解析式，先求出B，C的坐标，根据确定A的坐标，再用待定系数法求解析式即可； （2）分别以B，C为直角顶点，作的垂线，垂线与抛物线的交点即为点M； （3）利用铅锤法，设出点N的坐标，作x轴的垂线，得到与的交点，用参数表示这段距离，构建的面积的二次函数求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或； （3）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∴当时，的面积最大，为． 14．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得； （2）解：存在， 理由如下： 由（1）得，二次函数解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 又， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时，如图1所示， ∵轴， ∴轴， ∴点F的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点F的纵坐标是3， ∵点F在抛物线上， ∴当时，解得（舍去）或， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， ∵点B与C的坐标分别是与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点E的坐标是； ②当时，如图2所示， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 过C作于H， ∴H为的中点， ∴， 设点E的坐标是， ∴点F的坐标是，点H的坐标是， ∴， 解得 (舍去)或， ∴点E的坐标是， 综上，点E的坐标为或， 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 16．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为（不符合题意，舍去）， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或． 【类型3 存在性等腰直角三角形类】 17．如图1，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点A的坐标为，点B在第四象限，边与x轴交于点C，点M，R分别是线段的中点，过点M的抛物线（m，n为常数）的顶点为P． (1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________； (2)如图2，点N为中点，抛物线经过点N，E，点F在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标； (3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，求出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)或或 【详解】（1）∵，等腰直角三角形的顶点的坐标为，点分别是线段的中点， ∴， ∴， 解得， 故答案为：；. （2）∵，，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴,， ∵点为中点， ∴， 代入解析式得， ∵， 解得， 故抛物线的解析式为. 设的解析式为； 把代入解析式为，得， 解得， 故的解析式为； ∵点为中点，，， ∴， ∵，，点F在线段上， 设， 当点R向左平移1个单位长度得到M时， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向左平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形； ∵点E在抛物线上， ∴， 解得(舍去), 故点； 当点M向右平移1个单位长度得到R时， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向右平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形； ∵点E在抛物线上， ∴， 解得(舍去), 故点； 综上所述，符合条件的点E的坐标为或. （3）当经过原点时， ， ∵， ∴， 此时顶点为原点，也在抛物线上，符合题意； 故； ∵， ∴抛物线的顶点， 当抛物线的顶点在M上时，也是符合题意的， 此时即； ∵，， ∴它们的中点， ∵点在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点， ∴抛物线的对称轴， ∴， 解得； 综上所述，符合题意的m取值为或或. 18．如图，已知抛物线与轴交于、两点，其中点，对称轴为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线对称轴上一动点． a：当的周长最小值时，求的值． b：点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)a：2；b：或或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，称轴为求解即可； （2）a：先求出点C和点B的坐标，如图所示，连接交对称轴于P，连接，根据轴对称最短路径可知与抛物线对称轴的交点即为点P，进一步求解即可； b：当点P为直角顶点时，由对称性可知；当点B为直角顶点时，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，证明得，，则，代入函数解析式即可求解；若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G，同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：a：当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 如图所示，连接交对称轴于P，连接， 由轴对称的性质可知， ∴的周长为， 此时的周长最短， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． ∴，， ∴； b：当点P为直角顶点时，如图， ∵点P在对称轴上， ∴此时点Q与点A重合，即； 当点B为直角顶点时， 如图，若点P在x轴的下方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， ∴． ∵． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得（舍去），， ∴． 如图，若点P在x轴的上方时，作于点H，设，对称轴与x轴交于点G， 同理可证 ∴，， ∴， ∴，代入抛物线解析式得， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或或． 19．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． 20．如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交于点D，求得直线的解析式为，设，，则，进而得到，当时，有最大值，最大值为； （3）延长交x轴于点H，若为等腰直角三角形，则，由（2）知，根据抛物线的对称轴为得到或，据此列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 因此，抛物线的解析式为； （2）解：过点P作x轴的垂线，交于点D， 将代入得， 则点， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得， 则直线的解析式为， 设，， 则， 因此， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： 延长交x轴于点H，如图： ， ， ， ， ， 轴、轴， ， 若为等腰直角三角形，则， 由（2）知，设，，且，则， 抛物线的对称轴为直线， 或， 或， 解得或（不合题意舍去）或或（不合题意舍去）， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 21．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  22．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P(1，4)、(2，3)、(，)、(，) (3)存在，Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 【分析】本题主要考查二次函数，等腰直角三角形； （1）采用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意得到直线解析式为，设，得到，计算求解即可； （3）根据P点坐标，和等腰直角三角形的性质，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：中，代入、得： ， 解得， ∴． （2）解：∵、， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得或或， 把或或，代入， 得或或， ∴点坐标为 、、； （3）解：存在， ∵，且以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， 当，时， ∴Q横坐标是点横坐标加减2，Q点纵坐标与点纵坐标相同； 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， ∴Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 23．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)点纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，则，当时，，求出；当时，，求出；当，时，，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ， （2）解：当时，， ， 设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ． （3）解：设直线的解析式为， 当时， 解得：或， ， ， 当时，， 解得：或（舍）， ； 当时，， 解得或（舍）， ； 当时，， ， 解得：或（舍）， ， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 24．如图，抛物线与x轴交于A、两点（A在B的左侧），与y轴交于点，已知对称轴． (1)求抛物线L的解析式； (2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线上，能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可得，再将三个点的坐标代入关系式，求出答案即可； （2）先求出直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标是，再求出当时，抛物线顶点落在上，当时，抛物线顶点落在上，然后结合题意可得答案； 先设点，再分两种情况：当点P在x轴上方时，点 P作，交于点M，过点B作垂直于的延长线于点N，然后根据等腰直角三角形的性质证明，可得，即可得出，接下来结合得出方程，求出解可得出答案； 当点P在x轴下方时，过点P作，于点M，过点B作，交延长线于点N，同理可得，再根据得出方程，求出解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是， ∴点． ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，经过点， ， 解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 当时，， 将抛物线L向下平移h个单位长度， ∴当时，抛物线顶点落在上， 当时，抛物线顶点落在上， ∴抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），则； （3）解：设点， 当点P在x轴上方时，过点P作，交于点M，过点B作垂直于的延长线于点N，如图所示， ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据点B的坐标可得，且， ∴， 解得或， ∴或3， ∴点或； 当点P在x轴下方时，过点P作，于点M，过点B作，交延长线于点N， 同理可得， ∴， ∴， 则， 解得或， ∴或， ∴点或． 综上所述，符合条件的点P的坐标是或或或． 【类型4 存在性等边三角形类】 25．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 26．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 【答案】(1)顶点D的坐标 (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可求解； （2）由折叠可知，，在中，，在中，，解得，即可得； （3）由（2）可知是等边三角形，证明，可得，在中，，，可求，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为G． 【详解】（1）解：将点，代入, ∴， 解得， ∴； ∵， ∴顶点D的坐标； （2）解：由折叠结合抛物线的对称性可知，， 当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设直线与对称轴的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 27．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为，得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式，根据重合后的抛物线的顶点为，求出，，即可得平移前的抛物线的解析式为，将点代入求出即可解答． （2）①根据题意得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为，将代入解析式即可求解． ②根据是等边三角形，得出，则，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 28．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 29．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)0，1；y轴 (2)或 【分析】熟悉抛物线的图象和性质、等边三角形的性质，是正确解答本题的关键． （1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可； （2）设．根据轴于B，点，是等边三角形，得，求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标，即得． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 故答案为：0，1；y轴． （2）解：设． ∵轴，垂足为B， ∴． ∵点， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴ ， 解得，． ∴ ∴点P的坐标为或．    30．如图，在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称为抛物线P的“交轴三角形”． (1)若抛物线存在“交轴三角形”． ①k的取值范围为________； ②若，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） (2)若抛物线的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系． 【答案】(1)①且；②钝角 (2) 【分析】本题考查二次函数与几何新定义的问题，准确掌握求二次函数与两个坐标轴交点方法是解题的关键． （1）①令，得到一元二次方程，根据即可求出结果； ②把代入，求得、、三点的坐标，再求出、、三边的长，根据勾股定理相关知识即可求出． （2）先用、表示出、、三点的坐标，再表示出，，得到，即可求出结果． 【详解】（1）①∵抛物线存在“交轴三角形”， ∴， 即， 解得，； 又∵抛物线 ∴ ∴且； ②当时， ， 令，得， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ∴， ∴是钝角三角形； （2）当时，，， 当时，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 31．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积取得最大值为 (3)存在，点M的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出正比例函数解析式，再联立，，求出A，过点P作轴，交于C，设点P的坐标为，则，根据，利用二次函数的最值求解即可． （3）先证明，得，然后设，则，设，则，，再根据等边三角形的定义得，所以，化简得：，求解即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：把，顶点代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 联立，得， 解得：，， ∴， 过点P作轴，交于C，如图， 设点P的坐标为，则， ∴ ∵ ∴当时，值最大，最大值为． （3）解：如图， 对于抛物线， 令，则， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴，即 在与中， ∴ ∴， ∴设，则， 设， ∴，， 当为等边三角形时， ∴， ∴， 化简得： 解得：，， 当时，则， ∴， 当时，则 ∴　 ∴存在点M，使得为等边三角形，点M的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，抛物线与一次函数交点，抛物线的图象性质，抛物线的最值，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．此题属抛物线综合题目，熟练掌握相关知识及灵活运用是解题的关键． 32．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)或 【详解】（1）将点代入得 解得， ∴抛物线表达式为 （2）如图，连交对称轴与点E，连， 由(1)知， ∴ ∴对称轴为：直线 ∴令得 ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得 ∴直线的解析式为 ∴当时 ∴ ∵线段长度不变，根据两点之间线段最短和轴对称的性质， ∴周长最小值 （3）∵，是等边三角形 ∴ ∵与关于对称轴对称 ∴ ∴ ∴Q点是的外心 ∴根据圆周角定理得 设过A,P的直线解析式为 ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵代入解析得 ∴当P点在x轴的上方时，解析式为 ∴当P点在x轴的下方时，解析式为 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $