专题04 特殊四边形相关重庆中考解答高频考题分类训练（动态几何&几何压轴6类36道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦特殊四边形动态几何与压轴问题，按菱形、矩形、正方形分类训练，36道题系统覆盖重庆中考高频考法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形动点&函数图像|6道|动点路径分段，函数表达式与图像绘制|菱形性质→动态线段/面积→函数关系| |菱形几何压轴|6道|旋转、折叠、最值证明|菱形性质→全等/相似→几何变换应用| |矩形动点&函数图像|6道|双动点运动，面积/距离函数分析|矩形性质→动态几何量→函数图像性质| |矩形几何压轴|6道|折叠、旋转、存在性问题|矩形性质→图形变换→线段关系证明| |正方形动点&函数图像|6道|折线运动，面积函数分段求解|正方形性质→动点轨迹→函数建模| |正方形几何压轴|6道|旋转、最值、综合证明|正方形性质→几何模型→压轴问题突破|

专题04 特殊四边形相关重庆中考解答高频考题分类训练 （动态几何&几何压轴6类36道） 专题目录 【类型1 菱形相关动点几何&函数图像】 1 【类型2 菱形相关几何压轴题】 15 【类型3 矩形相关动点几何&函数图像】 38 【类型4 矩形相关几何压轴题】 52 【类型5 正方形相关动点几何&函数图像】 73 【类型6 正方形相关几何压轴题】 85 【类型1 菱形相关动点几何&函数图像】 1．如图，菱形中，、交于，，，动点从菱形的点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为（），的长为，的长为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出关于的函数图象，并写出它的一条性质； (3)直接写出当时的值． 【答案】(1)； (2)解：①令，则；令，则；将这两点在坐标轴中找出，并连线．　 ， 在点处取空心点，如图左侧线段所示． ②当，时，令，则；令，则；将这两点在坐标轴中找出，并连线， ， 在处取空心点，如图右侧线段所示． 性质：时，随的增大而减小；时，随的增大而增大． (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质推出和长度以及二者的位置关系，根据勾股定理即可求出的长度，结合已知条件分情况讨论，①当点在上运动时②点在上运动时，即可求出关于的函数表达式． （2）根据第（1）问的函数表达式，找出满足条件的点，在直角坐标系上描点并连线，即可画出函数图像，再根据图像的增减性即可写出其中一条性质． （3）利用菱形的性质和面积法求出中以为底对应的高，然后根据证明等腰，利用其性质求出长度，用勾股定理求出用表示的长度，最后利用面积相等，列关于的方程，解出即是长度，分情况讨论①当点在上运动时，利用即可求出的值，②点在上运动时，利用即可求出的值． 【详解】（1）解：为菱形，，， ，，，， 在中，， ． ①当点在上运动时，点的运动路程为， ， 的长为， ②点在上运动时，点的运动路程为， ， 的长为， ． （2）解：略 （3）解：①当点在线段上时，过点作，过点作，如图所示， 为菱形， ， ， ，，， ． ， ， 为等腰三角形， ， ， 在中，． ， ， ， ， 或（舍去） ， ． ②当点在线段上时，过点作，过点作，如图所示， 为菱形， ， ， ，，， ． 按照①的方法同理可证即， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，函数的图像，勾股定理，面积法，等腰三角形的判定和性质，解题的关键就是在画图和求值时要分情况讨论． 2．如图，菱形的两条对角线交于点，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)解：函数的图象如图所示； 由图象可得，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出．分两种情况：点P在上时；点P在上，根据三角形的面积公式列出函数表达式即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）求出两个函数图象交点坐标，结合函数图象，即可写出满足的x的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴在中，． 当点P在上时，，， ∵， ∴． 当点P在上时，，， ∵， ∴． 综上所述，关于的函数表达式为． （2）略 （3）解：当时， 解方程组，得． 当时， 解方程组，得． ∴函数与函数的图象交点为，， 由图象可得，时的取值范围为． 3．如图1，已知菱形的面积为20，过点作，点以每秒钟1个单位的速度沿折线方向运动，运动时间为，连接的面积为，点运动的一半路程与线段长度之和为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)；； (2) 函数图象如下所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，画一次函数图象，一次函数的性质和一次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据菱形的性质可求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再求出的长即可求出关于的函数表达式；再分点F在线段上和点F在线段上两种情况，分别求出对应的的面积，即可求出关于的函数表达式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点的横坐标，再根据函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴点A到的距离等于点A到的距离，点C到的距离等于点A到的距离； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 综上所述，； （2）解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：当时，解得， 当时，解得， 由函数图象可得，当时，的取值范围为． 4．如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图所示； 当 时，随的增大而增大； (3) 【分析】本题属于一次函数 综合题，考查了菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题. （1）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）利用图象法判断即可. 【详解】（1）∵四边形是菱形， ， ， ①当点在线段上时，过作于， ， ， ； ②当点在线段上时， 如图， ， ， 综上所述，； （2）略 （3）∵与的图象与的函数图象有两个交点， ∴当经过时， 与的图象与的函数图象有两个交点， 把代入得， ， 当与的图象经过时，即 ， ， ∴一次函数 的图象与的函数图象有两个交点，的取值范围为 5．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：图象如图： 一条性质为：当或，函数取得最大值为（答案不唯一）； (3)或 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数的图象与性质，利用图象解不等式等知识点，正确求出函数关系式是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得到，，，再分两种情况，根据三角形面积公式建立函数关系式； （2）根据两点确定一条直线，分别作出和，再由图象可得相关性质（可从函数最值，增减性，对称性等角度分析）； （3）画一条直线，在直线上方时的取值范围即为所求． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，, 由题意得， 当， ； 当， ， 综上：； （2）略 （3）解：如图，当时，或． 6．如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数图象如下： 由图象可得：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得到、、，进而求出的度数，根据含角的直角三角形的性质得到，设、，则，在中，得到，进而得到，利用勾股定理求出长，再次利用勾股定理得到关于的表达式，利用，结合二次根式的非负性求出变量的取值范围； （2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画出函数的图象，再写出该函数的性质即可； （3）结合函数图象，找出临界点，当直线的图象在直线和之间时，与函数有两个交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 、、、， ， 在中，， ， ， ， ， ， 设、，则， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （2）略 （3）解：如图，由图象可知，直线的图象在直线和之间时，与（2）中的函数图象有两个交点， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 的取值范围为． 【点睛】本题考查菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数的图象和性质，两直线交点问题等，熟练掌握相关性质定理，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【类型2 菱形相关几何压轴题】 7．菱形中，，点是菱形所在平面内一点，连接，． (1)如图1，当时，满足，垂足为点，若，求四边形的面积； (2)如图2，当时，在上取一点，连接，，若．猜想并用等号表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点在直线上运动的过程中，当的长度取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：，证明如下： 如图，连接，，设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）首先利用菱形的性质求出，然后得到，求出，，进而得到，，，然后利用四边形的面积求解即可； （2）连接，，设与交于点，证明，得到，然后证明，得到，，推出是等边三角形，得到，然后等量代换求解即可； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点H，证明，得到，然后判断出点M在垂直于的直线上运动，当时，取得最小值，此时点M为和的交点，如图，过点B作于点I，设，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴四边形的面积 ； （2）略 （3）解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点H 由旋转得，，，， ∴，即， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M在垂直于的直线上运动， ∴当时，取得最小值． ∵， ∴， ∴此时点M为和的交点，如图，过点B作于点I， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 8．如图，菱形的对角线，交于点． (1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求的面积； (2)如图2，过菱形的顶点作，且．线段交于点．交于点．当，，三点在同一直线上时，请用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，菱形中，．点为直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当线段的长度最小时，将沿直线翻折得到，若延长与、所在的直线分别交于点M，N，直接写出的值． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图，连接，在上取一点，使得，连接， ，， ， 四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． （1）证明是等边三角形，即可解决问题； （2）连接，在上取一点，使得，连接．证明，推出，，即可解答； （3）如图，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得．证明，推出，当与重合时，的值最小，此时的值最小，求得的度数，再利用折叠的性质和相似三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得． ， ， ，， ， ， 当与重合时，的值最小，此时的值最小． 四边形是菱形， ， ， ，， ，， ， ， ． 如图，过点作交于点， 根据折叠可得， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ． 9．如图，四边形和四边形均为菱形，其中点E在菱形的对角线上，． (1)如图1，若E为对角线的中点，交于点P，求的值． (2)如图2，连接交于点H，求证：． (3)如图3，，E在线段上运动，直接写出取最大值时，的值． 【答案】(1) (2) 证明：在上截取，连接， 由(1)知是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (3) 【分析】（1）连接，可证明是等边三角形，是等边三角形，然后可得，然后在中，，则，而，同理在中，，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，通过全等三角形的性质求证即可； （3）过点作于点，连接，先证明，然后得到点三点共线，可得为定值，故取最大值时取最小值即可，设菱形边长为，则，故当最小时，取最小值，当时，最小，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴同理在中，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：过点作于点，连接， 由上知，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理为等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵菱形中，， ∴以为底的高与相等，且为定值， ∴为定值， ∴取最大值时，取最小值即可， ∵菱形， ∴，， 设菱形边长为， 由是等边三角形得， ∴， ∵， ∴当最小时，取最小值， ∴当时，最小， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵菱形中， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 10．菱形的对角线交于点． (1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积； (2)如图2，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点．若、、三点共线，求证：； (3)如图3，菱形中，，，点为射线上一动点，连接．将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，垂直平分，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 如图4，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 在中， 由勾股定理得 ， 在中， ， ∵ ， ∴，则， ∴，   ， 在中， ∵ ∴，即； (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，再求出、 、 、的长，利用即可求得答案； （2）先证明和是等腰直角三角形，再证明，得到，连接，设，利用勾股定理进行证明即可； （3）以为边向下做等边，连接，在上取一点T，使得，再证明，可得，然后根据垂线段最短可知，当时，的值最小，最后解直角三角形求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴ ， 与互相垂直平分， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∴ ，， 在中，由勾股定理得 ∵ ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得 ， ∴， ∴，   ， ， ∴四边形的面积是； （2）略 （3）解：如图5，以为边向下做等边，连接，在上取一点T，使得， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ， 当时，线段有最小值，此时有最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 由勾股定理得 ， 在中，，+ 由勾股定理得 ∴ 解得， ∴ 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形、勾股定理、等边三角形、图形的旋转、全等三角形、菱形等知识点，难度较大，解题的关键在于作出正确的辅助线． 11．菱形的对角线交于点． (1)如图，过菱形的顶点作于点，交于点，若，四边形的面积为，求菱形的边长； (2)如图，菱形中，过顶点作于点，交延长线于点，线段交于点，若，求证：； (3)如图，菱形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)边长为8 (2) 证明：如图2，连接，在上取一点，使得，连接． ，四边形ABCD是菱形， ，，， ，, ∴， ∴， ∴． 四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 垂直平分线段， ， ． ， ． ， ， ， 设，   则，， ， ． ， ， ， ， ， ； (3)的最小值为 【分析】（1）证明是等边三角形，求出AE，再利用梯形的面积公式求解； （2）如图2，连接，在上取一点，使得，连接，证明，推出，，设，则，，求出，BH（用m表示），可得结论； （3）如图3，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得，证明，推出，当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小． 【详解】（1）解：如图1中，设． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ． ， 或舍去， ， 即菱形的边长是8； （2）略 （3）解：如图3，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得． ， ． ，， ≌， ， 当与重合时，的值最小，此时的值最小． 四边形是菱形， ， ． ，， ，． ， ． ， ， ， 设， 则，． ， ，   解得， ， 的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 12．菱形ABCD的对角线交于点O． (1)如图1，过菱形ABCD的顶点A作于点E，交OB于点H，若，四边形AECD的面积为，求菱形ABCD的边长； (2)如图2，菱形ABCD中，过顶点A作于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H．若，求证：； (3)如图3，菱形ABCD中，，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1中，设AD=2m．根据四边形AECD的面积，构建方程求解； （2）如图2中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH=OQ，连接HQ．证明△BEH≌△AEC（），推出BH=AC=2OC，QH=QC=OH，设OH=m，则OQ=m，HQ=CQ=m，求出OH+OC，BH（用m表示），可得结论； （3）如图3中，以AB为边向下作等边△ABT，连接PT，过点T作TH⊥AD于点H，在TH上取一点J，使得AJ=JT．证明△ABQ≌△TBT（SAS），推出AQ=PT，当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小． 【详解】（1）解：如图1中，设AD=2m． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=2m， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥CB， ∴BE=CE=m， ∴AE=m， ∵S四边形AECD=×（m+2m）×m=24， ∴m=4或-4（舍去）， ∴AD=8； （2）证明：如图2中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH=OQ，连接HQ． ∵AD⊥AD，AD=AF， ∴∠ADF=∠F=45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC=∠ADC=45°，AD∥CB， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB=∠AEC=90°， ∵DA=DC， ∴∠DAC=∠DCA=67.5°， ∴∠EAC=∠EBH=22.5°， ∴△BEH≌△AEC（ASA）， ∴BH=AC=2OC， ∵BD垂直平分线段AC， ∴HA=HC， ∴∠HCA=∠HAC=22.5°， ∵OQ=OH， ∴∠OHQ=∠OQH=45°， ∵∠OQH=∠QHC+∠QCH， ∴∠QHC=∠HCQ=22.5°， ∴QH=QC=OH， 设OH=m，则OQ=m，HQ=CQ=m， ∴OC=m+m， ∴OH+OC=m+m+m=2m+m， ∵BH=OC=（m+m）=m+2m， ∴OH=BH-OC； （3）解：如图3中，以AB为边向下作等边△ABT，连接PT，过点T作TH⊥AD于点H，在TH上取一点J，使得AJ=JT． ∵∠PBQ=∠ABT=60°， ∴∠ABQ=∠TBP， ∵BP=BQ，BA=BT， ∴△ABQ≌△TBT（SAS）， ∴AQ=PT， ∴当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥CB， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵∠ABC=45°，∠BAT=60°， ∴∠BAD=135°，∠TAH=75°， ∵∠AHT=90°， ∴∠ATH=15°， ∵JA=JT， ∴∠JAT=∠JTA=15°， ∴∠AJH=∠JAT+∠JTA=30°， 设AH=a，则AJ=JT=2a，HJ=a， ∵AT=AB=6， ∴a2+（2a+a）2=62， 解得a=， ∴， ∴AQ的最小值为． 【类型3 矩形相关动点几何&函数图像】 13．如图，矩形中，，动点、以相同的速度同时从点出发，点沿运动，点沿运动，当其中一点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，用表示点运动的路程表示矩形的面积，表示的面积，设表示的面积． (1)直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)请直接写出时的值（保留一位小数；误差不超过0.2）． 【答案】(1)，． (2) 根据题意画出函数图象如下： 性质：随x的增大而减少；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形面积、画函数图象、一次函数与方程等知识点，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，，矩形的面积，；由题意可得，再根据等高三角形可得，然后代入计算即可求得；分点F在上和上两种情况，分别利用三角形的面积公式即可求得； （2）先画出函数图象，然后根据函数图象写出性质即可； （3）如图：由函数图象可得：当时，自变量，然后联立函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，矩形的面积， 由题意可知：， ∵和等高， ∴，即，解得：， ∴，即； 如图：当点F在上时，即时， 所以的面积，即； 如图：如图：当点F在上时，即时，则， 所以的面积，即． 综上，． （2）略 （3）解：如图：当时，自变量， 则，解得：（已舍弃负值）． 14．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，线段以每秒个单位的速度沿射线方向平移，平移后的线段记为，设线段的运动时间为秒（），的面积为，的面积为． (1)直接写出，分别关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)写出当的面积不小于的面积时，线段的运动时间在哪个范围． 【答案】(1)， (2)如图： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；当时，随的增大而增大． (3) 【分析】（1）利用矩形的性质求解，结合，，，再利用面积关系可得，； （2）利用两点画函数图象即可； （3）先求解函数的交点坐标，再结合图象解题即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，对角线，相交于点，，， ∴，，，， ∴，， ∵，，设到的距离为， 而， ∴， ∴， 当时， 同理可得：， ∴， 当时，如图： 同理可得：， ， ∴， 综上：，． （2）解：列表如下： 描点画图略： 的性质： 当时，随的增大而增大； 的性质： 当时，随的增大而减少； 当时，随的增大而增大． （3）解：当时，则， 解得：， ∴结合图象可得：当的面积不小于的面积时，线段的运动时间范围为：． 15．如图，点O为矩形的对角线的中点，，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿方向运动：同时点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动，连接，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)函数，的图象如图所示 由图可知函数∶在时，y随x增大而增大；在时，y随x增大而减小；当时，y有最大值3． 函数∶在0<x<7时，y随x增大而增大． (3) 【分析】（1）分为点P在边和边两种情况讨论得出的面积，结合三角形面积公式得出的面积； （2）根据两个函数的表达式画图象，再根据图象说出函数，的性质即可； （3）观察图象可得结论． 【详解】（1）解：当点P在边上时，在上作， 点O为矩形的对角线的中点， ，． 为的中位线． ． ． ， ． 当点P在边上时，在上作， 点O为矩形的对角线的中点， ，． 为的中位线． ．． ． ， ． ． 点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动， ． （2）解：略． （3）解：由图可知，两个函数相交时， 即，解得． 时，x的取值范围． 16．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，动点P以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接．设运动时间为秒，点P和点B的距离为．的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2) 函数，的图象如图所示，当时，随的增大而减小(性质答案不唯一，合理即可) (3)结合函数图象，当时，的取值范围为 【分析】（1）根据题意知，，当时，点P在线段上，由，可得；当时，点P在线段上，可得；过O作于E， 首先，由四边形是矩形，证得是线段的垂直平分线，，再证得是的中位线，得，进而得，最后，代入化简即可； （2）由（1）知，，再利用两点确定一条直线，分别取两组坐标点，最后，在各自取值范围内描点、连线即可；根据函数的图象写出一条性质即可，答案不唯一； （3）根据题意，联立直线与直线，得关于x的方程，解方程，再结合图象得出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意知，， 当时，点P在线段上， ∵， ∴； 当时，点P在线段上， ∴， 综上，； 如图，过O作于E， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点O是的中点，是线段的垂直平分线， ∴，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由(1)知，， ∴令，代入，得； 令，代入，得，解得， ∴直线经过点； 令，代入，得； 令，代入，得， ∴直线经过点； 令，代入，，得； 令，代入，，得， ∴直线经过点， 又∵，， ∴在各自取值范围内依次描点，连线见答案； 由图象可知，当时，随值的增大而减小；(性质答案不唯一，合理即可) （3）解：根据题意，联立直线与直线，得，解得， ∴结合函数图象，得当时，的取值范围为． 17．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动．当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒（），记的面积为，的长度为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 解：函数，图象如下： 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；（答案不唯一） (3) 【分析】（）分和求出关于的函数表达式，再根据题意求出关于的函数表达式即可； （）利用两点法画出函数图象，再根据函数图象写出函数的一条性质即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了求一次函数解析式，画一次函数的图象，一次函数与不等式，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ∴， ∵点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动， ∴； （2）略 （3）解：由函数图象可知，当时，的取值范围为． 18．如图1，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动到点B停止，同时点以每秒0.5个单位的速度，从点A运动到点C，点P停止时点停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为，的面积为．    (1)直接写出，分别关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2) 图象如下： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而减小； (3)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先分、得到的面积，过作，根据，得到，再计算面积即可； （2）作出图像，直接写出相关性质即可； （3）结合函数图象，直接写出x的取值范围即可． 【详解】（1），， ， 当时，过作， ，， ，即， 解得， ， 当时，在上， ， ， 当时，一直在上，过作， ，, ，即， 解得， ； ，； （2）略 （3）当时，令，即， 解得， 当时，令，即， 解得， 结合函数图象，直接写出时x的取值范围为或（答案不唯一，合理即可）． 【类型4 矩形相关几何压轴题】 19．如图1，在矩形中，，是线段上一点，连接，以为边向右作矩形，使． (1)若，求点到直线的距离； (2)如图2，连接，分别交，于点H，K，当H为中点时，求的长； (3)当矩形中的一个顶点落在射线上时，令矩形的面积为，矩形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质定理、平行线的性质、相似三角形的性质与判定定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点E，G分别作的垂线段，垂足分别为M，N，证明，根据相似三角形的性质进行求解即可； （2）连接，过点E，G分别作的垂线，垂足分别为M，N，同（1）得，证明进行求解即可 （3）分两种情况，当分别过点F，E时，求得对应的的长，进而求得，根据矩形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：过点E，G分别作的垂线段，垂足分别为M，N，如图1所示： 四边形是矩形 ． 答：点到直线的距离为． （2）解：在矩形中，，，连接，过点E，G分别作的垂线，垂足分别为M，N，如图2所示： 同（1）可得 点H为中点 ， ， 四边形是矩形 同理可得四边形是矩形 点C，D，E三点共线 在中，， 解得． 答：的长为． （3）解：根据题意得： 第一种情况：当过点F时，如图3所示： 过点G作的垂线，交于点P，过点F作于点Q，延长交于点T，则四边形，是矩形， ， 设，则 ， 解得 在中， ； 第二种情况：当经过点E时，过点E，G分别作，，垂足分别为P，S，如图4所示： 同理可得 ∵ 在中， ， 综上所述，的值为或． 20．利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．已知矩形纸片的边，E为边上的动点（E不与B，C重合），将矩形纸片沿着对折，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在矩形的对角线交点处，求的长． (2)如图2，若的延长线恰好经过点D，，求的长． (3)如图3，若，连接，，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)3 (2) (3)的长为1或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到点是的中点，，求得；根据勾股定理得到，得到； （2）根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到的长度，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到结论； （3）①当时，过点作于，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到求得，进而求解；②当时，根据线段垂直平分线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，求得； 【详解】（1）解：如图，连接， 将矩形纸片沿对折，点落在点处，点恰好落在矩形的对角线交点处， 点是的中点，， ， ， ； （2）解：将矩形纸片沿着对折， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：①当时，过点作于，如图， 正方形沿着对折， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②当时，如图， ， 点在的垂直平分线上， 点在的垂直平分线上， ， 正方形沿着对折， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴在中，， ， 综上所述：的长为1或． 【点睛】本题核心是利用折叠的轴对称性，结合矩形/正方形性质，通过分类讨论等腰三角形的不同情况，借助勾股定理、全等三角形和三角函数求解，关键是找准折叠前后的等量关系． 21．数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，如图，四边形ABCD为矩形，，AB上有一点E，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点为F． (1)如图1．当点F正好落在对角线AC和BD的交点O处时，______； (2)如图2，若点E是AB的中点，点F落在矩形ABCD内部时，延长CF交AD边于点G． ①探究AG，GF之间的数量关系，并说明理由； ②当G分AD边的比为时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）由矩形的性质及折叠可得CB=CF=AC，令CB的长为a，则AC的长为2a， 由勾股定理求得CD，从而可求出比值； （2）①连接，由图形的翻折可知，，，证明，可得； ②分AG：DG=2：1与AG：DG=1：2两种情况讨论，通过设参令AD长为3x，CD长为y，再由折叠及勾股定理先求出y：x，再进一步求出CD：AD即可． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CO=AC，AD=BC， 由折叠可知CB=CF=AC， 令CB的长为a，则AC的长为2a， 由勾股定理可知 ， ∴， 故答案为：； （2）① 理由如下：连接 由图形的翻折可知，， ∴ ∵点E是AB的中点， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴． ②或． 理由如下：令AD长为3x，CD长为y， 由①知FG=AG，由折叠知CF=CB=AD=3x， 若AG：DG=1：2，则FG=AG=x，DG=2x， ∴CG=CF+FG=4x， 在Rt△CDG中， ∵， ∴ ∴， ∴； 若AG：DG=2：1，则FG=AG=2x，DG=x， ∴CG=CF+FG=5x， 在Rt△CDG中， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，通过设参方法解答问题是解题关键． 22．已知：如图，在矩形中，点在边上，以为边作矩形，其中经过点，连接、．   　　   (1)若点是的中点，求证：是的平分线； (2)若，，，求的长； (3)若四边形是边长为的正方形，，求出的长． 【答案】(1) 证明：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． (2) (3) 【分析】（1）根据中点的定义和矩形的性质可得，，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，推得，即可证明是的平分线； （2）根据矩形的性质可得，，平行线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，推得，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，根据线段垂直平分线的判定和性质可得，设，根据勾股定理求得，根据平行四边形的判定和性质即可求得； （3）根据等边对等角可得，根据矩形的性质可得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据正方形的性质可得，，根据平行四边形的判定和性质可得，推得，根据勾股定理求得，根据线段垂直平分线的判定和性质可得，根据三角形的面积公式求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图1中，延长交的延长线于．    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， 在中， 则有 解得：， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）解：如图2，延长交的延长线于． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 23．如图①，在矩形中，，矩形是由矩形绕点C顺时针旋转一个角度得到的，点分别是点A、B、D的对应点．在旋转过程中，直线与直线相交于点M． （1）当时，求的度数； （2）在旋转过程中，请你猜想与之间存在的数量关系，并根据所给图形证明你猜想的结论； （3）如图②，设点N在边上，且∠，在旋转过程中，当的值取最小值时，请直接写出点与点M之间的距离． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出，可得结论； （2）结论：连接CM，设AC交BM于点O，利用相似三角形的性质证明,可得结论； （3）当点落在CN上时，最小，过点作于点T，过点M作于点H，解直角三角形求出BM，即可． 【详解】（1）如图①中， ∵ ∴ ∵ ∴； （2）结论：； 理由：如图，连接CM，设AC交BM于点O， 由旋转可知， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴CM⊥， ∵ ∴ ； （3）如图，当点落在CN上时，最小，过点作于点T，过点M作于点H， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴BH=HC, 在HM上取一点J,使得JC=JM,则 ∴ ∴ ∴ ∴ 在Rt中， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会作辅助线构造直角三角形解决问题． 24．如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，将沿翻折，C点的对应点为G． (1)如图（1），若点G正好落在上．求证：； (2)如图（2），若点G落在矩形的内部，且，延长交于点H，求证：； (3)在（1）的条件下，若，．请直接写出的长度． 【答案】(1) ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G正好落在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) ∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G落在矩形的内部， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，过作，连接交于点N， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，再根据翻折的性质、垂直的定义、角平分线的定义、同角的余角相等可得，即，最后根据等角对等边即可解答； （2）先证明可得，如图：过作，连接交于点N， 可得先证明可得，，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答； （3）如图2，作于，由（1）知，，则是的平分线，则，证明，则，设，则，，由勾股定理得，，即，整理得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2，作于， 由（1）知，， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、矩形的判定、折叠的性质、勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键． 【类型5 正方形相关动点几何&函数图像】 25．如图，正方形的边长为，动点P从B点出发沿B－C－D的方向运动到点D停止，在此运动过程中，设的面积为，点P运动的路程为．    (1)写出y与x之间的函数解析式（写出自变量的取值范围），并在平面直角坐标系中，直接画出此函数的图象； (2)写出该函数图像的一条性质：______； (3)x的值为______时，为等腰三角形； (4)求当的面积等于正方形面积的时，x的值是多少？ 【答案】(1)，图象见解答； (2)当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； (3)0或1或2； (4) 【分析】（1）根据三角形的面积公式，分两种情况：P在上，P在上（P不与D重合）可得y与x之间的函数解析式，和x的取值，进而画出图象； （2）根据图象即可得函数的一条性质； （3）根据为等腰三角形分三种情况讨论可得结论； （4）根据已知列方程得x的值即可． 【详解】（1） 解：如图1，P在上，   ， 如图2，P在上， 由题意得：， ， ，    图象如图3所示：    （2）解：当时，y随x的增大而减小； 故答案为：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）分三种情况： 当P与B重合时，，此时； 当P在的中点时，如图4，，此时；    ③当P与C重合时，，此时； 综上，x的值为0或1或2时，为等腰三角形； 故答案为：0或1或2； （4）∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 的面积等于正方形面积的， ， ， ， 的面积等于正方形面积的时，x的值是． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，几何动点运动问题等知识，解题的关键是理解题意，确定点P的位置和x的值是本题的关键． 26．如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式． ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 【答案】(1) (2)当时，y随着x的增大而增大 (3) 【分析】（1）理解题意，分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：在正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点． ∴，，， 当点P在上时，如图， 则，， ∴， ∴的面积 ； 当点P在上时，，如图， 则， ∴的面积 ； 综上所述： （2）解：由（1）得， 当时； 当时； 即经过点； 当时，； 当时； 即经过点； 如图： 观察函数图象，得当时，y随着x的增大而增大， （3）解：令，则， ∴， 解得； ∴经过， 令，则， ∴经过， 如图， 由图象知，当时，x的取值范围为， 27．如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2) 如图，即为所画的函数图象， 性质：当时，y随t的增大而减小； (3) 【详解】（1）解：①当时，如图，动点P在上运动，作于H， ∵， ∴， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ②当时，如图，动点P在上运动，作， ∵， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ∴； （2）略 （3）解：∵一次函数是平行于的直线， ∴当经过时，解得：； 当经过时，解得：； ∴当时，一次函数的图象与y的图象有两个交点， 故答案为：． 28．已知正方形，，点是的中点，点沿着运动，运动到点停止，运动速度为每秒1个单位长度，的面积为，运动时间为．    (1)请直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)已知的图像如图所示，结合图像，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数的图像如下图所示，    性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大 (3)或 【分析】（1）分别根据点P在上和点P在上两种情况进行讨论即可； （2）用描点法画出函数图像，然后结合图像写出函数的一条性质即可； （3）先求出时t的值，再根据图像解答即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，， ∵， ∴， 当时，点P在上，，    ∴， ∴， 从图像可得：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， （3）解：当，时，， 解得， 当，时，， 解得， 两个函数的图像如下图所示，    ∴当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． 29．如图1，在正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，，记点运动的路程为，的面积为． (1)求与之间的函数解析式，注明自变量的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)请根据函数图象，直接写出当时，的值． 【答案】(1)，画图见解析 (2)该函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线．（答案不唯一） (3)或5 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ， ①当在线段上时，，； ②当在线段上时，．； ③当在线段上时,．． 综上，， 该函数的图象如图． （2）解：由图可得：性质：该函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线．（答案不唯一） （3）解：由图可得：当时，或5． 30．如图1，正方形的边长为4，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C后停止．连接．设点E的运动路程为x，的面积为y．    (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在图2中画出（1）中函数的图象； (3)观察函数图象，写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：当时，， ∴． 当时，如图，， ∴．    综上所述，． （2）解：函数图象如图所示．    （3）解：①当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小． ②该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线． ③该函数在自变量的取值范围内有最大值，当时，函数取得最大值8． 【点睛】本题考查了一次函数和几何的结合，正确分类、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 【类型6 正方形相关几何压轴题】 31．如图，正方形中，点是射线上一点．    (1)如图1，点在对角线上，点在边上，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，点在正方形内，点在边上，四边形是正方形，求的大小； (3)如图3，点是射线上一动点，四边形是以为对角线的正方形，是线段的中点，，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) 证明：过点作于点，交于点，    则，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形 (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，交于点，证明，由全等三角形的性质可得；再结合“有三个角为直角的四边形为矩形”证明四边形是矩形，结合即可证明四边形是正方形； （2）过点作于点，交于点，先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，即可获得答案； （3）连接，由正方形的性质可证明，易知点共圆，，进而可得点在的平分线上运动；作点关于的对称点，连接，则的最小值为的长，根据勾股定理求得，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，交于点，    则，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 如下图，连接，    ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∴点共圆， ∴， ∴点在的平分线上运动， 作点关于的对称点，连接， 则的最小值为的长， ∵点在的平分线上，点、点关于的对称， ∴点在延长线上，且， ∴， ∴的最小值为， 即周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形内角和定理、四点共圆、圆周角定理等知识，综合性较强，综合运行相关知识是解题关键． 32．已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接． (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为 ． 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ． (2) ①证明：如图中，设与相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， 又，   ， ， 矩形是正方形； ② 【分析】（1）利用正方形性质可得、，然后利用即可证明结论； （2）①根据，可得，又因为，，所以四边形是矩形，再证明可得从而证明结论；②如图：作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，然后求出的最小值即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图∶作交于点，作于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ，， 最大时，最小，即点与点重合时，， ， 由（2）①可知，是等腰直角三角形， ． 故答案为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，寻找并证明全等三角形是解题的关键． 33．在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． （1）如图1，当点和点重合时，若，求线段的长度； （2）如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当垂足在正方形的对角线上运动时，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）； 理由如下： 过点作于，如图2所示： 则四边形为矩形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ，即； （3）． 【分析】（1）证，得，由勾股定理得，证，得，则，再由勾股定理即可得解； （2）过点作于，证，得，进而得出结论； （3）连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证，得，易证，得，推出，则，，证，得，，易证是等腰直角三角形，得，推出，，则，得，得出点在线段上运动，过点作，垂足为，则当与重合时，最短，即可得出结果． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ，点和点重合， ，，， ， 在和中，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； （2） 略 （3）连接交于点，如图3所示： 则的直角顶点在上运动， 设点与点重合时，则点与点重合； 设点与点重合时，则点的落点为， ，， ， 当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接， 点在上， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折性质得：， 在和中，， ， ，， 是正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点在线段上运动； 过点作，垂足为， 则当与重合时，最短， 点为的中点， ， 在等腰中，， 的最小值为． 【点睛】此题主要考查四边形的综合性质与应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、正方形与等腰三角形的性质定理． 34．如图，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，连接AP、AQ，∠PAQ＝45°． (1)如图1，连接BD交AP、AQ于点E、F，将ABE绕A点逆时针旋转90°至，若EF＝5，＝3，求DF的长； (2)如图2，G为AP上一点，连接BG，GM⊥AQ于点M，MN⊥BG交BG的延长线于点N，连接DG交MN于点H，连接DM，若H为MN的中点，求证：BN=MN+MD； (3)如图3，若AB＝2，∠DAQ＝30°，S为AQ中点，R为AP上任意一点，将RQ沿着RS翻折到正方形ABCD所在平面得，连接，当的面积最大时，直接写出RQ的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1中，连接FE′．证明△AFE≌△AFE′（SAS），推出EF＝FE′＝5，证明∠FDE′＝90°，利用勾股定理求解； （2）过点D作DI⊥BN于点I，交GM的延长线于点K，连接AK，AI，AI交GK于点L，取BD的中点O，连接AO，OL．利用相似三角形的性质证明DK＝DI，利用四点共圆证明△AGK是等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质证明DN，DM，BG＝DK，可得结论； （3）如图3中，连接SQ′，QQ′，证明SQ′＝，推出点Q′的运动轨迹是S为圆心，为半径的圆，当SQ′⊥AQ时，△AQQ′的面积最大，如图4中，利用勾股定理求出RQ′即可； 【详解】（1）解：如图1中，连接FE′． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∠ABD＝∠ADB＝45°， ∵△ADE′是由△ABE绕点A逆时针旋转90°得到， ∴AE＝AE′，∠BAE＝∠DAE′， ∵∠PAQ＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAE′+∠DAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAE′＝45°， 在△AFE和△AFE′中， ， ∴△AFE≌△AFE′（SAS）， ∴EF＝FE′＝5， ∵∠ADE′＝∠ABD＝45°， ∴∠FDE′＝90°， ∴DF＝＝＝4； （2）证明：过点D作DI⊥BN于点I，交GM的延长线于点K，连接AK，AI，AI交GK于点L，取BD的中点O，连接AO，OL． ∵∠PAQ＝45°，GM⊥AQ， ∴∠AGM＝∠GAM＝45°， ∴MA＝GM， ∵MN⊥BI，KI⊥BI， ∴NM∥KI， ∴△GHM∽△GDK，△GHN∽△GDI， ∴＝＝， ∵MH＝HN， ∴DK＝DI， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠ABD＝45°， ∵OB＝OD， ∴OA＝OB＝OD＝OI， ∴A，B，I，D四点共圆， ∴∠AIK＝∠ABD＝45°， ∴∠AIG＝45°， ∵∠AGL＝∠KIL＝45°，∠ALG＝∠KLI， ∴△ALG∽△KIL， ∴＝， ∴＝， ∵∠ALK＝∠GIL， ∴△ALK∽△GLI， ∴∠AKL＝∠GIL＝45°， ∴∠AGK＝∠AKG＝45°， ∴AK＝AG， ∵AM⊥GK， ∴MK＝MG， ∵DK＝DI， ∴DM∥GI， ∴∠MDH＝∠NGH， ∵∠DHM＝∠GHN，HM＝HN， ∴△MDH≌△NGH（AAS）， ∴DM＝GN， ∵∠BAD＝∠GAK＝90°， ∴∠BAG＝∠DAK， ∵AB＝AD，AG＝AK， ∴△ABG≌△ADK（SAS）， ∴BG＝DK＝DI， ∵∠MNI＝∠∠I＝∠IDM＝90°， ∴四边形MNID是矩形， ∴MN＝DI＝DK， ∴BN＝BG+GN＝MN+DM， ∴BN＝MN+DM； （3）解：如图3中，连接SQ′，QQ′， ∵SA＝SQ＝SQ′， ∴∠SAQ′＝∠SQ′A，∠SQQ′＝∠SQ′Q， ∴2∠SAQ′+2∠AQQ＝180°， ∴∠AQ′Q＝90°， ∴∵RQ′＝RQ，SQ＝SQ′， ∴RS⊥QQ′， ∵AQ′⊥QQ′， ∴AQ′∥RS， ∴S△ARQ′＝S△ASQ′＝S△AQQ′， 在Rt△ADQ中，AD＝2，∠DAQ＝30°， ∴DQ＝AD•tan30°＝， ∴AQ＝2DQ＝， ∴SQ′＝， ∴点Q′的运动轨迹是S为圆心，为半径的圆， 当SQ′⊥AQ时，△AQQ′的面积最大，如图4中， 此时△AQQ′，△ARS都是等腰直角三角形， ∴AQ′＝AQ＝，AR＝AS＝ ∴RQ＝RQ′＝＝＝ ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 35．如图，在正方形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP． （1）如图1，以CD为边向内作等边CDF，延长DF恰好交CB延长线于点P，若AB＝4，求tan∠PAB的值； （2）如图2，若∠APB＝60°，以CD为边向外作等边CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE、CE．证明：PA+PC＝PE； （3）如图3，若∠APB＝45°，AB＝2，点E为正方形内一点，连接AE，CE，DE，PE，当AE+DE+EC取最小值时，直接写出PE2的值． 【答案】（1）﹣1；（2）证明见解答；（3）64+16 【分析】（1）运用正方形性质和等边三角形性质即可求出答案； （2）设PB＝a，则AB＝a，PA＝2a，过点F作FQ⊥AD于Q，作FK⊥CD于K，过点E作GH⊥BC于H，交AD于G，可求得GH＝a，设EG＝x，根据，可得出x＝a，即可证得结论； （3）将△CDE绕点C顺时针旋转60°得△CD′E′，连接EE′，由于AE+CE+DE＝AE+EE′+E′D′，所以当A、E、E′、D′在同一条直线上时，AE+EE′+E′D′最小，即AE+CE+DE最小，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵△CDF是等边三角形， ∴∠CDF＝60°， 在Rt△PDC中，＝tan∠CDF＝tan60°＝， ∴PC＝CD＝， ∴PB＝PC﹣BC＝4﹣4， ∴tan∠PAB＝＝＝﹣1； （2）证明：如图2，设PB＝a， ∵∠APB＝60°，∠ABP＝90°， ∴AB＝PB•tan∠APB＝a•tan60°＝a，PA＝2PB＝2a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝a，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， 过点F作FQ⊥AD于Q，作FK⊥CD于K，过点E作GH⊥BC于H，交AD于G， 则∠AGH＝∠DGH＝∠BHG＝∠Q＝∠DKF＝90°， ∴GH＝AB＝a， ∵△CDF是等边三角形， ∴∠CDF＝60°，DK＝CD＝a， ∴FK＝DK•tan∠CDF＝a•tan60°＝a， ∵∠CDQ＝∠DKF＝∠Q＝90°， ∴四边形DKFQ是矩形， ∴FQ＝DK＝a，DQ＝FK＝a， ∴AQ＝AD+DQ＝a+a＝a， ∵∠AGE＝∠AQF＝90°， ∴EG∥FQ， ∴ 设EG＝x， ∵DE平分∠ADC， ∴∠EDG＝∠ADC＝45°， ∴△DEG是等腰直角三角形， ∴DG＝EG＝x， ∴EH＝AG＝AD﹣DG＝a﹣x， ∴， ∴x＝， ∴EH＝BH＝AG＝a﹣x＝a﹣＝， ∴PH＝PB+BH＝a+＝， ∴PE＝， ∴PE＝×（+1）a＝（3+）a， ∵PA+PC＝PA+PB+BC＝2a+a+a＝（3+）a， ∴PA+PC＝PE； （3）如图3，将△CDE绕点C顺时针旋转60°得△CD′E′，连接EE′， 由旋转知，△CD′E′≌△CDE，∠ECE′＝60°， ∴D′E′＝DE，CE′＝CE，∠CED＝∠CE′D′， ∴△CEE′是等边三角形， ∴CE＝EE′，∠CEE′＝∠CE′E＝60°， ∴AE+CE+DE＝AE+EE′+E′D′，当A、E、E′、D′在同一条直线上时，AE+EE′+E′D′最小，即AE+CE+DE最小， 此时，∠CE′D′+∠CE′E＝180°，∠DEE′+∠AED＝180°， ∴∠CED＝∠CE′D′＝120°， ∴∠DEE′＝∠CED﹣∠CEE′＝60°， ∴∠AED＝120°＝∠CED， 将△CED沿DE翻折，EC落在EA上，由于DC＝DA，所以DC与DA重合， ∴∠CDE＝∠ADE＝45°， ∴∠DAE＝∠DCE＝15°， 过点E作GH⊥BC于H，交AD于G， 由（2）得：DG＝EG，＝2﹣， 设AG＝y，则DG＝EG＝（2﹣）y， ∵AG+DG＝AD， ∴y+（2﹣）y＝2， 解得：y＝， ∴EH＝BH＝AG＝， ∵∠APB＝45°，∠ABP＝90°，AB＝2， ∴PB＝AB＝2， ∴PH＝PB+BH＝2++＝3+， ∴PE2＝PH2+EH2＝（3+）2+（+）2＝64+16． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，矩形判定和性质，等边三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理，旋转变换的性质等知识，解题关键是利用旋转的性质得出AE+CE+DE=AE+EE′+E′D′，当A、E、E′、D′在同一条直线上时，AE+EE′+E′D′最小，即AE+CE+DE最小． 36．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） (1)如图，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； (2) (3)或 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得，进而得到，则点F与C重合，根据（1）中正方形的性质可求解； （3）分①当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2， 在中．， ∵， ∴， ∴点F与C重合， ∵四边形是正方形， ∴； （3）解：①当与的夹角为时，点F在边上，，如题干图： 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊四边形相关重庆中考解答高频考题分类训练 （动态几何&几何压轴6类36道） 专题目录 【类型1 菱形相关动点几何&函数图像】 1 【类型2 菱形相关几何压轴题】 3 【类型3 矩形相关动点几何&函数图像】 6 【类型4 矩形相关几何压轴题】 9 【类型5 正方形相关动点几何&函数图像】 11 【类型6 正方形相关几何压轴题】 14 【类型1 菱形相关动点几何&函数图像】 1．如图，菱形中，、交于，，，动点从菱形的点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为（），的长为，的长为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出关于的函数图象，并写出它的一条性质； (3)直接写出当时的值． 2．如图，菱形的两条对角线交于点，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 3．如图1，已知菱形的面积为20，过点作，点以每秒钟1个单位的速度沿折线方向运动，运动时间为，连接的面积为，点运动的一半路程与线段长度之和为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 4．如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 5．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围． 6．如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【类型2 菱形相关几何压轴题】 7．菱形中，，点是菱形所在平面内一点，连接，． (1)如图1，当时，满足，垂足为点，若，求四边形的面积； (2)如图2，当时，在上取一点，连接，，若．猜想并用等号表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点在直线上运动的过程中，当的长度取最小值时，直接写出的值． 8．如图，菱形的对角线，交于点． (1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求的面积； (2)如图2，过菱形的顶点作，且．线段交于点．交于点．当，，三点在同一直线上时，请用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，菱形中，．点为直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当线段的长度最小时，将沿直线翻折得到，若延长与、所在的直线分别交于点M，N，直接写出的值． 9．如图，四边形和四边形均为菱形，其中点E在菱形的对角线上，． (1)如图1，若E为对角线的中点，交于点P，求的值． (2)如图2，连接交于点H，求证：． (3)如图3，，E在线段上运动，直接写出取最大值时，的值． 10．菱形的对角线交于点． (1)如图1，过菱形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积； (2)如图2，过菱形的顶点作，且，线段交于点，交于点．若、、三点共线，求证：； (3)如图3，菱形中，，，点为射线上一动点，连接．将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 11．菱形的对角线交于点． (1)如图，过菱形的顶点作于点，交于点，若，四边形的面积为，求菱形的边长； (2)如图，菱形中，过顶点作于点，交延长线于点，线段交于点，若，求证：； (3)如图，菱形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 12．菱形ABCD的对角线交于点O． (1)如图1，过菱形ABCD的顶点A作于点E，交OB于点H，若，四边形AECD的面积为，求菱形ABCD的边长； (2)如图2，菱形ABCD中，过顶点A作于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点H．若，求证：； (3)如图3，菱形ABCD中，，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值． 【类型3 矩形相关动点几何&函数图像】 13．如图，矩形中，，动点、以相同的速度同时从点出发，点沿运动，点沿运动，当其中一点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，用表示点运动的路程表示矩形的面积，表示的面积，设表示的面积． (1)直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)请直接写出时的值（保留一位小数；误差不超过0.2）． 14．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，线段以每秒个单位的速度沿射线方向平移，平移后的线段记为，设线段的运动时间为秒（），的面积为，的面积为． (1)直接写出，分别关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)写出当的面积不小于的面积时，线段的运动时间在哪个范围． 15．如图，点O为矩形的对角线的中点，，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿方向运动：同时点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动，连接，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 16．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，动点P以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接．设运动时间为秒，点P和点B的距离为．的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 17．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动．当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒（），记的面积为，的长度为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 18．如图1，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动到点B停止，同时点以每秒0.5个单位的速度，从点A运动到点C，点P停止时点停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为，的面积为．    (1)直接写出，分别关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【类型4 矩形相关几何压轴题】 19．如图1，在矩形中，，是线段上一点，连接，以为边向右作矩形，使． (1)若，求点到直线的距离； (2)如图2，连接，分别交，于点H，K，当H为中点时，求的长； (3)当矩形中的一个顶点落在射线上时，令矩形的面积为，矩形的面积为，求的值． 20．利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．已知矩形纸片的边，E为边上的动点（E不与B，C重合），将矩形纸片沿着对折，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在矩形的对角线交点处，求的长． (2)如图2，若的延长线恰好经过点D，，求的长． (3)如图3，若，连接，，当是等腰三角形时，求的长． 21．数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，如图，四边形ABCD为矩形，，AB上有一点E，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点为F． (1)如图1．当点F正好落在对角线AC和BD的交点O处时，______； (2)如图2，若点E是AB的中点，点F落在矩形ABCD内部时，延长CF交AD边于点G． ①探究AG，GF之间的数量关系，并说明理由； ②当G分AD边的比为时，请直接写出的值． 22．已知：如图，在矩形中，点在边上，以为边作矩形，其中经过点，连接、．   　　   (1)若点是的中点，求证：是的平分线； (2)若，，，求的长； (3)若四边形是边长为的正方形，，求出的长． 23．如图①，在矩形中，，矩形是由矩形绕点C顺时针旋转一个角度得到的，点分别是点A、B、D的对应点．在旋转过程中，直线与直线相交于点M． （1）当时，求的度数； （2）在旋转过程中，请你猜想与之间存在的数量关系，并根据所给图形证明你猜想的结论； （3）如图②，设点N在边上，且∠，在旋转过程中，当的值取最小值时，请直接写出点与点M之间的距离． 24．如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，将沿翻折，C点的对应点为G． (1)如图（1），若点G正好落在上．求证：； (2)如图（2），若点G落在矩形的内部，且，延长交于点H，求证：； (3)在（1）的条件下，若，．请直接写出的长度． 【类型5 正方形相关动点几何&函数图像】 25．如图，正方形的边长为，动点P从B点出发沿B－C－D的方向运动到点D停止，在此运动过程中，设的面积为，点P运动的路程为．    (1)写出y与x之间的函数解析式（写出自变量的取值范围），并在平面直角坐标系中，直接画出此函数的图象； (2)写出该函数图像的一条性质：______； (3)x的值为______时，为等腰三角形； (4)求当的面积等于正方形面积的时，x的值是多少？ 26．如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式． ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 27．如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 28．已知正方形，，点是的中点，点沿着运动，运动到点停止，运动速度为每秒1个单位长度，的面积为，运动时间为．    (1)请直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)已知的图像如图所示，结合图像，当时，直接写出的取值范围． 29．如图1，在正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，，记点运动的路程为，的面积为． (1)求与之间的函数解析式，注明自变量的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)请根据函数图象，直接写出当时，的值． 30．如图1，正方形的边长为4，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C后停止．连接．设点E的运动路程为x，的面积为y．    (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在图2中画出（1）中函数的图象； (3)观察函数图象，写出该函数的一条性质． 【类型6 正方形相关几何压轴题】 31．如图，正方形中，点是射线上一点．    (1)如图1，点在对角线上，点在边上，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，点在正方形内，点在边上，四边形是正方形，求的大小； (3)如图3，点是射线上一动点，四边形是以为对角线的正方形，是线段的中点，，请直接写出周长的最小值． 32．已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接． (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为 ． 33．在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． （1）如图1，当点和点重合时，若，求线段的长度； （2）如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当垂足在正方形的对角线上运动时，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，直接写出的最小值． 34．如图，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，连接AP、AQ，∠PAQ＝45°． (1)如图1，连接BD交AP、AQ于点E、F，将ABE绕A点逆时针旋转90°至，若EF＝5，＝3，求DF的长； (2)如图2，G为AP上一点，连接BG，GM⊥AQ于点M，MN⊥BG交BG的延长线于点N，连接DG交MN于点H，连接DM，若H为MN的中点，求证：BN=MN+MD； (3)如图3，若AB＝2，∠DAQ＝30°，S为AQ中点，R为AP上任意一点，将RQ沿着RS翻折到正方形ABCD所在平面得，连接，当的面积最大时，直接写出RQ的长． 35．如图，在正方形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP． （1）如图1，以CD为边向内作等边CDF，延长DF恰好交CB延长线于点P，若AB＝4，求tan∠PAB的值； （2）如图2，若∠APB＝60°，以CD为边向外作等边CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE、CE．证明：PA+PC＝PE； （3）如图3，若∠APB＝45°，AB＝2，点E为正方形内一点，连接AE，CE，DE，PE，当AE+DE+EC取最小值时，直接写出PE2的值． 36．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） (1)如图，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $