1.1 空间向量及其运算＆1.2 空间向量基本定理《一隅三反》讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算、空间向量基本定理核心知识点，构建从概念辨析（如单位向量、相反向量）到共线共面判定，再到基本定理应用及与数量积综合运用的递进式学习支架。 资料通过丰富例题（如正方体中向量关系辨析）和题组练习，以数学眼光抽象空间向量属性，用数学思维推理共线共面条件，培养学生空间观念与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过“一隅三反”查漏补缺，强化知识应用。

1.1 空间向量及其运算＆1.2 空间向量基本定理 考向一 概念的辨析 【例1-1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【例1-2】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【例1-3】（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（24-25高二上·全国·单元测试）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量D．与是一对相反向量 【一隅三反】 1．（24-25高二上·山东·阶段检测）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 考向二 共线、共面判定 【例2-1】（26-27湖北）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【例2-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（25-26黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【例2-4】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2-5】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【一隅三反】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 2．（25-26黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为 4．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 考向三 空间向量的基本定理 【例3-1】（25-26重庆·期末）如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【例3-3】（2026广东）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 考向四 空间基本定理与数量积的应用 【例4-1】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【例4-2】（25-26高二·全国·寒假作业）已知平行四边形，从平面外一点O引向量． (1)求证：四点共面； (2)当时，平面平面． 【例4-3】（2026河北）如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【一隅三反】 1．（25-26天津）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 2．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 3．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【题组一 概念的辨析】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 3．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 4．（25-26高二上·全国·期末）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 5．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 6．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【题组二 共线、共面判定】 1.（2026·辽宁）设向量不共面，已知，，若三点共线，则 2．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则 3．（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 4.（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是 ①．，， ②，， ③，， ④，， 5．（25-26河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是 ①．， ②．， ③．， ④．， 【题组三 空间向量的基本定理】 1．（25-26重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【题组四 空间基本定理与数量积的应用】 1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是 2．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 3．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 4．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 5．（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）如图所示，已知正四面体的棱长为1，记，　 (1)若点分别为和的中点，求间的距离. (2)（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值. 6．（24-25高二上·河南平顶山·阶段检测）如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 7．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 空间向量及其运算＆1.2 空间向量基本定理 考向一 概念的辨析 【例1-1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【例1-2】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解析】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误；对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误.故选：C. 【例1-3】（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有.故选：A 【例1-4】（24-25高二上·全国·单元测试）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量D．与是一对相反向量 【答案】C 【解析】所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误.故选：C 【一隅三反】 1．（24-25高二上·山东·阶段检测）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题； 对于②，如图正方体中，且则得, 故有，,且方向一致，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题． 故选：B． 3．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 考向二 共线、共面判定 【例2-1】（26-27湖北）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【解析】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 【例2-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为. 因为、、三点共线，所以.所以. 故选：D 【例2-3】（25-26黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 【例2-4】．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 【例2-5】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 【一隅三反】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【解析】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 2．（25-26黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【解析】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且，所以，解得. 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为 【答案】 【解析】由条件可知，四点共面，又因为，所以，解得， 4．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 考向三 空间向量的基本定理 【例3-1】（25-26重庆·期末）如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，. 【例3-2】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此，所以. 【例3-3】（2026广东）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如下图所示， 因为，， 所以，所以． 故选：A. 【一隅三反】 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在梯形中，，所以， 所以. 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以 4．（25-26广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ，则，故C正确. 考向四 空间基本定理与数量积的应用 【例4-1】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)，长度为；(2)；(3). 【解析】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点，，， ，， ． （2）． （3），， ， 又， ， ，异面直线与所成角的余弦值为． 【例4-2】（25-26高二·全国·寒假作业）已知平行四边形，从平面外一点O引向量． (1)求证：四点共面； (2)当时，平面平面． 【答案】见解析 【解析】(1)由四边形是平行四边形，得， 而 ， 所以四点共面. (2)由，得，而，则直线， 因此，又平面，平面，则平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面. 【例4-3】（2026河北）如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）正方体中，四边形ABCD是正方形，所以. 又平面，平面ABCD，所以，. 又因为，，平面，所以，平面. 中，E，F分别为AB，BC中点， 所以，，所以，平面. （2）正方体中，四边形是正方形， 又F、M分别为、中点， 所以，，， 所以， ， 即.① 正方体中，平面，平面，所以.② 由①②及，且，平面，所以，平面， 又平面，所以，平面平面. 【一隅三反】 1．（25-26天津）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）设，， ，，， 则 . （2）， 则，则. （3）， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】见解析 【解析】(1)由，，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)由，，， 得， 所以； (3)由（2）知，所以，所以， 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 3．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【解析】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. (3)证明:因为．所以. 【题组一 概念的辨析】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解析】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 3．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【解析】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 4．（25-26高二上·全国·期末）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【解析】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 5．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【解析】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 6．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】ABC 【解析】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，由知，，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B是假命题； 对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：ABC 【题组二 共线、共面判定】 1.（2026·辽宁）设向量不共面，已知，，若三点共线，则 【答案】0 【解析】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 2．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则 【答案】 【解析】由，得， 则，由在所在平面内，得，所以. 故选：B 3．（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】-6 【解析】由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即，可得， 因为，即， 所以，解得. 4.（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是 ①．，， ②，， ③，， ④，， 【答案】④ 【解析】对于①选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于②选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于③选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于④选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 5．（25-26河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是 ①．， ②．， ③．， ④．， 【答案】③ 【解析】对于①，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于②，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于③，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于④，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 【题组三 空间向量的基本定理】 1．（25-26重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则 2．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 3．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 【题组四 空间基本定理与数量积的应用】 1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是 【答案】 【解析】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 2．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 3．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又， ． 4．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； (3)由（1）知， 所以 ， 所以. 5．（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）如图所示，已知正四面体的棱长为1，记，　 (1)若点分别为和的中点，求间的距离. (2)（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 所以 所以即间的距离为 （2）由（1）知，，，又， 所以=×=， 又|，则. 故异面直线与所成角的余弦值为. 6．（24-25高二上·河南平顶山·阶段检测）如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 【答案】(1)， (2)基底向量见解析，证明见解析 【解析】（1）因为，点是侧面的中心， 所以， . （2）以为基底， 则， ， ，， 所以，， 则，， 又平面平面平面. 同理平面，又平面， 所以平面平面. 7．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点， ，， ， ． （2）， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $