第03讲 1.2 空间向量基本定理（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底与基向量概念、空间向量正交分解及坐标表示，构建从定理理解到基底辨析再到正交分解的学习支架，为向量表示、线线关系证明及距离夹角计算等应用奠定基础。 资料以思维导图整合知识体系，知识梳理结合即学即练强化理解，题型精讲通过典例与变式分层训练，培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达向量关系的能力。课中辅助教师教学，课后题型精练助力学生查漏补缺，提升空间观念与推理意识。

第03讲 1.2 空间向量基本定理 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练1】（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第三部分 题型精讲 题型01空间向量基底的概念及辨析 【典例1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 题型02用空间基底表示向量 【典例1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·云南曲靖·期末）如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·福建三明·期末）如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（   ） A． B． C． D． 题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系 【典例1】（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【典例2】（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【变式1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【变式2】已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 【变式3】如图，在空间中，将平移到，连接对应顶点，是的中点．    (1)用，，表示； (2)设平面与平面相交于直线，判断与直线的位置关系，并说明理由． 题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角 【典例1】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【变式1】（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【变式2】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【变式3】（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 题型05空间向量的基本定理 【典例1】（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【变式1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式3】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 5．（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 8．（25-26高二上·河北保定·期中）在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高二上·上海静安·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，，则的长为______. 10．（24-25高二上·安徽·期中）如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为________. B能力提升 1．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南怀化·三模）在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 1.2 空间向量基本定理 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练1】（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第三部分 题型精讲 题型01空间向量基底的概念及辨析 【典例1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 【典例2】（多选）（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据基底的概念分别判断各选项. 【详解】A选项：设，即， 解得，即， 所以，，不能作为空间向量的基底，A选项正确； B选项：设，即，方程无解， 所以向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，B选项错误； C选项：设，即， 解得，即， 所以向量，，不能作为空间向量的基底，C选项正确； D选项：设，即，方程无解， 即向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，D选项错误； 故选：AC. 【变式1】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 题型02用空间基底表示向量 【典例1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为为中点， 所以 . 故选：A 【典例2】（25-26高二上·云南曲靖·期末）如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算结合条件即得. 【详解】. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可. 【详解】由为的中点，得， 所以. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·福建三明·期末）如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的几何体及空间向量的基底，利用空间向量的线性运算求解判断. 【详解】在空间四边形中，是的中点，， 则. 故选：B 题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系 【典例1】（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2) ， 所以． 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2）略 【典例2】（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】(1) 由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2) 由，，， 得 ， 所以； (3) 由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2) 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）略 （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 【变式2】已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 【答案】证明见解析 【分析】设，由空间向量的运算证明，. 【详解】证明：设 则 ， ， ， ， ， 又 ，同理可证， 这个四面体相对的棱两两垂直. 【变式3】如图，在空间中，将平移到，连接对应顶点，是的中点．    (1)用，，表示； (2)设平面与平面相交于直线，判断与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 解法1：，在直线上取一点，因为在平面内， 所以可设， 又因为在平面内， 所以可设， 根据空间向量基本定理的唯一性可得： ，，，所以，即， 所以． 解法2：因为，不在平面内，平面， 所以平行于平面, 因为在平面内且平面与平面相交于直线， 所以． 【分析】（1）利用中点公式和向量加法可以表示向量. （2）解法1利用空间向量基本定理的唯一性，用向量法解决；解法2直接利用线面平行的判定定理和性质定理解决. 【详解】（1）因为是的中点，所以是和的中点向量，即 ， 所以 （2），理由略. 题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角 【典例1】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 【变式1】（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 【变式2】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 【变式3】（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 题型05空间向量的基本定理 【典例1】（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 【典例2】（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理用表示后即得. 【详解】由题意， ， 又， 所以. 【变式1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 【变式2】（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 【变式3】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在梯形中，， 所以， 所以. 3．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 【答案】B 【分析】根据向量共面的定义逐项分析即可. 【详解】对于A，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故A错误； 对于B，设， 由与是不共面的向量，则，方程组无解， 所以向量、、不共面，故B正确； 对于C，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故C错误； 对于D，设， 由与是不共面的向量，则， 当时，方程组有解为，此时向量、、共面， 当时，方程组无解，此时向量、、不共面， 所以向量、、不一定共面，故D错误. 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 5．（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得：，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意得：， 所以 ， 所以， 故选：C. 6．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据列出方程组即可求解． 【详解】设， 则 ， 又，则，解得，，， 所以． 故选：A． 7．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量，再利用计算即可. 【详解】由题可知，，且， 故，， 则， 所以，即的长为. 故选：A. 二、多选题 8．（25-26高二上·河北保定·期中）在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D． 【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点， 所以，A正确，C错误. 因为，且，， 所以，B正确. ，D错误. 故选：AB． 三、填空题 9．（25-26高二上·上海静安·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，，则的长为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，用向量表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】在四棱柱中，不妨设，，， ， ，， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二上·安徽·期中）如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为________. 【答案】/0.25 【分析】利用平面向量基本定理得到，利用向量数量积运算法则和得到方程，求出答案. 【详解】长方体中，， ， ， ， 故 ， 解得或， 因为，所以满足要求，不合要求，舍去. 故答案为： B能力提升 1．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 2．（2026·湖南怀化·三模）在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为.    3．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 【答案】ABD 【分析】根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A，根据空间向量加法规则可知，A正确； 对于B，因为点满足，且，所以根据共面向量定理得点四点共面，B正确； 对于C，因为， ， 与不共线，故不共线，因此不可能共线，C错误； 对于D，因为 因为，所以，则，D正确. 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为， 所以 ， ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $