1.2 空间向量基本定理讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量基本定理及正交分解核心知识点，系统阐述基底与基向量的定义、性质（任意性、唯一性、广泛性），以及单位正交基底和向量正交分解的概念，搭建平面向量到空间向量的学习桥梁，为后续坐标运算提供基础支架。 资料通过“基底判断-定理应用-几何问题解决”三层题型设计，结合例题与跟踪训练，培养学生空间观念（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）及应用表达（数学语言）能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

1.2 空间向量基本定理 知识点一、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 注意：①任意性：用空间任意三个不共面的向量都可以线性表示出空间中的任意一个向量.②唯一性：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. ③广泛性：所有空间向量都可以用三个基向量线性表示. 知识点二、空间向量的正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2.向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型一：空间向量基底的判断 例1.已知是空间的一个基底，且，，，试判断能否作为空间的一个基底. 解：假设共面.则存在实数使得， ， 不共面，，此方程组无解， 不共面，可以作为空间的一个基底. 跟踪训练： 1.设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 解：因为，所以向量共面. 如图，令，，，则，，，. 可知向量和不共面.故选B. 2.已知空间的一个基底，，，若与共线，则 . 解：因为与共线，所以. 所以，所以，所以.故答案为：0. 3.（多选）下列命题正确的有（ ） A.若为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B.已知向量不共线，存在实数，使得()，则可以作为空间的一个基底 C.设是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则四点共面 D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 解：对于A，假设与共面，则存在实数，使得.因为与共线，，所以存在实数，使得.因为，所以，从而，所以与共面，与条件矛盾，所以与不共面，所以也可以作为空间的一个基底，A正确. 对于B，若向量不共线，存在实数，使得()，则共面，故不能作为空间的一个基底，B错误. 对于C，由不能构成空间的一个基底，知共面，且有公共点，故四点共面，C正确. 对于D，假设共面，则存在，使，即，则有 .此方程组无解，所以不共面，故也是空间的一个基底，D正确. 故选：ACD. 题型二：空间向量基本定理的应用 例1.如图，在平行六面体中，，是的中点，点在上，且，用表示以下向量：(1)；(2). 解：如图，连接. （1）. （2） . 跟踪训练： 1.如图，在三棱柱中，已知，，，点分别是的中点，试用基底表示向量. 解：连接.. . 2.如图，四棱锥的底面为一矩形，平面，设，，，E,F分别是和的中点，试用表示. 解：连接， 则. . . . 题型三：利用空间向量基本定理解决几何问题 例1.如图1-2-7，在正方体中，棱长为1，分别为的中点. （1）求和的夹角. （2）求证：. 解：(1)设， 则， ， 所以， ，所以. 又，所以，.所以和的夹角为. 证明：(2)因为， 所以， 所以，即. 跟踪训练： 1.如图所示，在三棱锥 中， 两两垂直，且 为 的中点. （1）证明：； （2）求直线 与 的夹角的余弦值. 解：（1）证明：因为 ，， 所以， 又两两垂直，且，所以，故. 解：（2）， 由，得. 所以.故直线 与 的夹角的余弦值为. 2.在长方体中，分别是的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 解：，， 所以， 又，，所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 3.如图，直四棱柱的底面是菱形，，分别是的中点. 证明：平面. 证明：设.因为分别是的中点， 所以, ,所以. 所以.所以. 又因为平面，平面，所以平面. 1.下列结论错误的是( ) A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C.若是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底 D.若不能构成空间的一个基底，则四点共面 解：由基底的概念可知A,B,D正确，对于C，因为满足，所以共面，不能构成基底，故错误.故选C. 2.已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A. B. C. D. 解：对于A，有，则共面，不能作为基底；同理可判断B,D中的向量共面.故选：D. 3.正方体中，分别是的中点，以为基底，，则( ) A. B. C. D. 解： ，对比，得.故选：C. 4.在四面体中，为的中点，为的中点，则 = (用表示). 解： .故答案为：. 5.(多选)已知三点不共线，为平面外的任一点，则“点与点共面”的充分条件是( ) A. B. C. D. 解：根据”，若，则点与点共面”， 因为， 由上可知，BD满足要求.故选：BD. 6.如图，三棱锥中，底面，，，，则与所成角的大小为( ) A. B. C. D. 解：因为底面，所以，所以， 又，所以，. 因此， 所以， 又，所以， 因此， 所以与所成角的大小为.故选：B. 7.如图，已知中，平面，且，则的长为 . 解：， ，.故答案为：7. 8.已知是空间两个向量，若，则 . 解：将化为，求得，再由求得.故答案为：. 1.设是三个非零向量；为空间的一个基底，则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解：当非零向量不共面时，可以当基底，否则不能当基底，当为基底时，一定有为非零向量，因此.故选：B. 2.已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 解：由已知得..故选：C. 3.已知四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量成的为空间的一个基底的是（） A. B. C. D. 解：对于选项A，由四点共面，知共面；对于选项B,D，易知共面，故选：D. 4.在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 解：设，则, . ,与所成的角的大小是.故选：C. 5.点是矩形所在平面外一点，且平面，分别是上的点，且，则满足的实数的值分别为（ ） A. B. C. D. 解：取的中点，连接. 则 .比较可知，故选D. 6.在三棱柱中，底面.点分别是棱的中点，则直线和所成的角是（ ） A. B. C. D. 解：因为点分别是棱的中点， 所以. 所以. 设所求异面直线的夹角为，则，所以.故选：C. 7.在空间四边形中，和为对角线，为的重心，是上一点，.以为基底，则 .     解：设的中点为，则 .故答案为：. 8.如图，平行六面体中，，则线段的长度是 .         解：. ..故答案为：. 9.如图所示，已知平面，分别是的中点，且，四边形为正方形，以为基底，则  .        解： . 10.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是 .          解：不妨设棱长为2，则， ，则.故答案为：90°. 11.如图，已知空间四边形分别是的中点，点在上，且.设，则向量  .  (用表示) 解： .故答案为：. 12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是.下列说法中正确的是  .     (填序号) ①； ②； ③向量与的夹角是； ④与所成的余弦值为. 解：以顶点为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是. 可设棱长为1，则， . 而，所以①正确. ，所以②正确. 向量是三角形，则. 所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，则③不正确. 又，. 则，， ，所以. 所以④不正确，故①②正确.故答案为：①②. 13如图，在平行六面体中，，为的中点，为与的交点. （1）用基底表示向量； （2）化简，并在图中画出化简结果. 解：(1).. . (2). 如图，连接，则即为所求. 14.如图，在正方体中，分别是的中点，正方体的棱长为1. （1）求的余弦值； （2）求证：. 解：（1）. 因为. 所以. 又，所以. （2）证明：. . 所以，所以. 15如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，. 证明：平面. 证明：设.依题意. 设. 则. . 即.所以.又，所以平面. 16.如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，为的中点，.求异面直线与所成的角余弦值. 解：设基底为.由，得. 又平面平面，平面平面. 可得平面，所以.所以. 因为.所以. 因为是等边三角形，所以. 因为. 所以.所以异面直线与所成的角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $1.2空间向量基本定理 知识点梳理-夯实基础 知识点一、空间向量基本定理 如果三个向量，b,c不共面，那么对任意一个空间向量卫，存在唯一的有序实数组 (x,y,),使得p=x十yb+zC 我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，，b,c都叫做基向量. 注意：①任意性：用空间任意三个不共面的向量都可以线性表示出空间中的任意一个向量， ②唯一性：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示 ③广泛性：所有空间向量都可以用三个基向量线性表示 知识点二、空间向量的正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正 交基底，常用{i,,飞表示。 2.向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量xi,j,z水使得= x十十z水.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交 分解. & 典例-探究重点 题型一：空间向量基底的判断 例1.已知{e1,e2,e,是空间的一个基底，且OA=c,+2e,-8,Oi=-3e,+e,+2e, OC=e,+e,-eg试判断1OA,O成，O元能否作为空间的-个基底. 跟踪训练： 1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底，给出下列向量组：① (a,b,x:②[b,c,2小：®[x,y,a+b+c}:其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线，则x+y= 3.(多选)下列命题正确的有() A.若{a,b,c}为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a,b,d}也可以作为空间的一个基 底 B.已知向量a,b不共线，存在实数入，μ，使得c=入a+μb(≠0)，则{a,b,c}可以作为空 间的一个基底 C设A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，则A,B,M,N 四点共面 D.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底 题型二：空间向量基本定理的应用 例1.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=a,AD=b,AA'=c,P是CA的中 点，点Q在CA上，且CQ:QA=4:1,用a,b,c表示以下向量：(1)AP:(2)AQ A B D 跟踪训练： 1.如图，在三棱柱ABC-ABC中，己知AA=a,AB=b,AC=c,点M,N分别是 BC,BC的中点，试用基底{a,b,c}表示向量AM,AN, 2.如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC,设OA=a,OC=b, OP=c,E,F分别是PC和PB的中点，试用a,b,c表示BF,BE,AE,E P B 3 题型三：利用空间向量基本定理解决几何问题 例1.如图1-2-7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E,F分别为BB1,BC的中 点。 (1)求AB和B,C的夹角. (2)求证：AC1LEF D B B 跟踪训练： 1.如图所示，在三棱锥A-BCD中，DA,DB,DC两两垂直，且 DB=DC=DA=2,E为BC的中点. (1)证明：AE⊥BC: (2)求直线AE与DC的夹角的余弦值， 4 E B 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC=B1B=1,M,N分别是AD,DC的中 点，求异面直线MN与BC1所成角的余弦值. D C 3.如图，直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60 E,M,N分别是BC,BB,A1D的中点 证明：MN‖平面C1DE 5 D C A B 目D 随堂演练-基础巩固 1.下列结论错误的是() A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C.若a,b是两个不共线的向量，且c=入a+μb(,μ∈R且≠0)，则a,b,c}构成空间的 一个基底 D.若OA,OB,OC不能构成空间的一个基底，则O,A,B,C四点共面 2.已知a,b,c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是() A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a C.c,a+c,a-c D.a,2b,b-c 3.正方体ABCD-ABCD中，O1,O2,O3分别是AC,AB,AD的中点，以 (AO1,AO,A0,}为基底，AC=xAO1+yAO,+2AO,则( ) Ax-y-2- B.X=y=Z= 2 C.x=y=z=1 D.X=y=Z=2 4.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，则OE (用a,b,c表示) 5.(多选)已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A,B,C共 6 面”的充分条件是( ) AOM=20A-0B-OC B.OM=OA+0B-0C c0M=0丽+oi+号0d noM-i+号i+哈oc 6.如图，三棱锥S-ABC中，SAL底面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,SA=2V2,则 SC与AB所成角的大小为( ) B90 B-60 C45 0-30 A B 7.如图，已知ABCD中，AD=4,CD=3,∠D=60°，PA1平面ABCD,且PA=6,则 PC的长为 A D C 8.已知a,b是空间两个向量，若a=2,b=2,|a-b=V7,则cos(a,b)= 课后练习-巩固加强 1.设a,b,c是三个非零向量；q:{a,b,c}为空间的一个基底，则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2AC+CB=0,则OC等于 () 7 A201-号oB 3 B.-OA+20B C.20A-OB 0i+0a D.- 3 3.已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量 MA,M硫，M元成的为空间的一个基底的是() A.0M=1Oi+1OB+1O元 3 B.MA=MB+MC C.MA=2MB-MC D.OM=OA+0B+OC 4在正三棱柱ABC-A,B,C,中，若AB=2BB,:则CA,与CB所成的角的大小是( ) A. 60 B75 D105 5.点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD,M,N分别是PC,PD上的 点，且PM=号P元，PN=PD,则满足亦=XA范+y办+2亦的实数X,y,2的值分 别为( A-2,11 B2,-11 3'6'6 3’6’6 6日 D-3,-1,月 36'6 6.在三棱柱ABC-A,B,C,中，AA11底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90点E,F 分别是棱AB,BB的中点，则直线EF和BC1所成的角是( ) A30 B45 C60 0g0 7.在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点， BE=3ED以AB,AC,AD为基底，则G壶= 8 8.如图，平行六面体ABCD-A1BC1D1中 IAB|=|AD|=|AA1I=1,∠BAD=∠BAA1=120°，∠DAA,=60, 则线段AC,的长度 是 D 9.如图所示，已知PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1,四边 形ABCD为正方形，以恋，A亦，A花)为基底，则亦= D M 10.如图，已知正三棱柱ABC-A1B,C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异 面直线AB和BM所成的角的大小是 A B C M 11.如图，已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点，点G在MN上，且 MG=2GN设O1=a,O成=b,O元=c则向量O元=一（佣a,b,c表示） A G 9 12.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B,C1D1,其中，以顶点A为端点的 三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°.下列说法中正确的是 (填序号) ①(AA+AB+AD=4AC: ②AC.(AB-AD)=0 ®向量B元与AA的夹角是60： ④BD,与AC所成的余弦值为 6 6 D C B 13如图，在平行六面体ABCD-A1B,C,D,中，A范=a,D=b,AA=C'E为A1D,的 中点，F为BC1与B1C的交点 (1)用基底(a,b,c表示向量D克1，B克，A (2)化简DB,+D克+C市：并在图中画出化简结果. C A D 10 14.如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别是C1D1,D1D的中点，正方体的棱 长为1 (1)求(CE,AF)的余弦值： (2)求证： BD,⊥E正 D E A16 Bi D A B 15如图，长方体A1BC1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. 证明：BE⊥平面EBC1 11 C D B A E D B 16.如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD,M为AB的 中点，AB=2,AD=23,∠BAD=90°求异面直线BC与MD所成的角余弦值 M D B 12