1.3 空间向量及其运算的坐标表示讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，系统梳理空间坐标定义（基底转换）、坐标运算（加减、数乘、数量积等）及坐标系建立，形成从概念理解到运算应用再到几何建模的学习支架。 资料特色在于结合各地阶段检测真题设计例题与“一隅三反”练习，坐标系建立覆盖四棱锥、正三棱柱等多种几何体实例。通过基底转换培养抽象能力（数学眼光），运算推理提升逻辑思维（数学思维），坐标描述发展空间观念（数学语言），课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 考向一 空间坐标的定义 【例1-1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知空间向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26河南南阳）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（      ） A． B． C． D． 3．（25-26湖北·期中）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 考向二 空间向量运算的坐标表示 【例2-1】（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【例2-2】（25-26高二上·河南开封·期末）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 【一隅三反】 1．（25-26高二上·陕西安康·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 2．（24-25高二上·福建莆田·期末）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量、、不能构成空间的一组基底 3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）已知空间向量，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点E在平面ABC内 D．向量是与平行的一个单位向量 4．（25-26高二下·辽宁·开学考试）（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 考向三 建立空间坐标系 【例3-1】（25-26北京）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标； 【例3-2】（2025-2026广东深圳）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【例3-3】（2025-2026山东）如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标． 【一隅三反】 1．（26-27湖南·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，请建立适当空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。 2．（2025-2026湖南）如图在四棱锥中，，，，，，请建立适当空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。 3．（2025-2026广东云浮）如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 4．（2025-2026山东）如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 5．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【题组一 空间坐标的定义 】 1．（24-25高二上·广东珠海·期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26北京）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题组二 空间向量运算的坐标表示】 1．（25-26河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26广东深圳·期末）（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 5．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 7．（25-26高二上·江西宜春·期末）（多选）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 8．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【题组三 建立空间坐标系】 1．（2025-2026云南）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，， M为线段AD上一点，，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 2．（2025-2026广西）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 4.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方形的边长为，将沿翻折至，如图，在二面角内有一点，满足，且，二面角大小为，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 5．（25-26江苏无锡）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为，若点E位于侧棱上，且，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 6．（2026·山西朔州）如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 考向一 空间坐标的定义 【例1-1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得，所以向量在基底下的坐标为． 故选：B. 【一隅三反】 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知空间向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量以为基底时的坐标为，所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为.故选：D. 2．（25-26河南南阳）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：；设向量在基底下的坐标为， 则， 即，，解得：， 向量在基底下的坐标为. 故选：C. 3．（25-26湖北·期中）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量在基底下的坐标为，则， 设在基底下的坐标为， 则，所以，解得， 故在基底下的坐标为． 故选：A． 考向二 空间向量运算的坐标表示 【例2-1】（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 【例2-2】（25-26高二上·河南开封·期末）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 【答案】AB 【解析】对于A，由， 则，即，解得，故正确； 对于B，若，显然与不共线， 若，与共线，则， 解得，故正确； 对于C，因为在上的投影向量为， 所以，即，解得或，故错误； 对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线， 则，解得，且，即， 所以，故错误， 故选：AB. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·陕西安康·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，若，则存在实数，使，则，方程无解，从而与不平行，故B错误； 对于C，,，则，又,均不是零向量，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 2．（24-25高二上·福建莆田·期末）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量、、不能构成空间的一组基底 【答案】BCD 【解析】对于A选项，， 又因为，所以，故向量与向量的夹角为，A错； 对于B选项，， 所以，故，B对； 对于C选项，向量在向量上的投影向量为，C对； 对于D选项，设，即， 所以，解得，故，即、、共面， 所以向量、、不能构成空间的一组基底，D对. 故选：BCD. 3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）已知空间向量，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点E在平面ABC内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】BCD 【解析】对于A，因为空间向量，， 则，A错误； 对于B，在上的投影向量为，B正确； 对于C，若向量，， 可知四点共面，即点E在平面ABC内，故C正确； 对于D，设，向量， 则与平行，且 所以向量是与平行的一个单位向量，D正确； 故选：BCD. 4．（25-26高二下·辽宁·开学考试）（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【解析】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是， 点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是. 所以选项ABD正确，选项C错误. 考向三 建立空间坐标系 【例3-1】（25-26北京）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求点的坐标； 【答案】，，， 【解析】由底面ABCD是边长为的正方形，底面，且，是棱PD的中点， 由图知，，，，，，． 【例3-2】（2025-2026广东深圳）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【解析】取的中点，连接， 为正三角形，，； 在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点，则，又平面，平面， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，. 【例3-3】（2025-2026山东）如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标． 【答案】答案见解析 【解析】四边形为正方形，， 由题意知：平面， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，， 则，B(0,1,0)，，，，. 【一隅三反】 1．（26-27湖南·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，请建立适当空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。 【答案】见解析 【解析】取的中点，连接，. 因为，，所以是等腰直角三角形， ，故，. 因为，所以是等腰三角形，则有， 所以. 又，满足，所以是等腰直角三角形，且. 因为平面，且，所以平面；以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则有，，，， 2．（2025-2026湖南）如图在四棱锥中，，，，，，请建立适当空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。 【答案】见解析 【解析】证明：连结，过作，垂足为，于． ，中，，．     中，，，即， 所以，又，,平面,平面，平面如图所示以为原点，过点与垂直的直线为轴，，为，轴建立坐标系．由（1）知，， ，，．    3．（2025-2026广东云浮）如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【解析】已知平面平面，， 在平面取一向量，由于平面平面， 所以平面，又，所以，OA，OB两两垂直， 以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz， 如图所示 因为，，所以到z轴的距离为， 三棱柱的高为， 则，，，，，. 4．（2025-2026山东）如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【解析】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 侧面，侧面，，又， 平面，，平面，平面，则， 设，则， 中，由余弦定理，， 中，由余弦定理，， 中，，， 解得或，为棱上异于的一点，所以，则有. 5．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】见解析 【解析】在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 【题组一 空间坐标的定义 】 1．（24-25高二上·广东珠海·期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量在基底下的坐标为，即， 设，、、，所以， 令，解得，，；所以在基底下的坐标为． 故选：B. 2．（25-26北京）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设在基底下的坐标为， 则，所以，解得， 故在基底下的坐标为.故选：B. 3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，设， ，解得，即向量在基底下的坐标为. 故选：A. 4．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在基底下的坐标为，得， 设向量在基底下的坐标是， 则， 所以解得，所以向量在基底下的坐标是. 故选：B. 【题组二 空间向量运算的坐标表示】 1．（25-26河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知向量，，且，则，解得，故B正确. 3．（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以，所以，即，，． 4．（25-26广东深圳·期末）（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【解析】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 5．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】选项A， 根据空间向量模长公式，若，则， 得，即，故A错误； 选项B， 若存在实数使得，则对应坐标成比例 ， 由解得，此时矛盾，因此不存在这样的，故B正确； 选项C ，若，则，计算得 令，得，故C错误； 选项D， 若，即，得， 此时，符合结论，故D正确. 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 7．（25-26高二上·江西宜春·期末）（多选）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误.故选：BCD. 8．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】对于A：由模长公式得，，A正确； 对于B：由题意得，因为，则存在实数，使得，即， ，B正确； 对于C：由题知，C错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 【题组三 建立空间坐标系】 1．（2025-2026云南）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，， M为线段AD上一点，，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 【答案】答案见解析 【解析】取中点为，连接， 因为，所以， 且，所以， 所以以A为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 因为,所以, 所以 . 2．（2025-2026广西）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 【答案】证明见解析 【解析】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，，， 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 【答案】见解析 【解析】在中，，，， 由余弦定理可得，即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 4.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方形的边长为，将沿翻折至，如图，在二面角内有一点，满足，且，二面角大小为，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 【答案】见解析 【解析】取中点，连接，，，由于，，， 由等腰三角形三线合一可得，，， 又因为，面，可得面，从而， 同样的，又因为，面，可得面，从而， 又因为，面，可得平面． 由于正方形，所以，又因为， 由（1）有，所以，从而有， 以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 由于二面角的平面角即为，由（1）可知、、、共面， 又因为可得，所以，，， 5．（25-26江苏无锡）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为，若点E位于侧棱上，且，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 【答案】见解析 【解析】（1）在平面内过A作，垂足为D， 因为侧面为矩形，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以，平面，平面 平面， 所以平面. 所以，解得， 因为，所以，所以； 如图，以A为坐标原点，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为，则， 6．（2026·山西朔州）如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标。 【答案】见解析 【解析】，，是的中点，，且.         在中，同理可得，.        ，. 又平面，平面. 设与相交于点.以为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，.         设.则，可得， 1 学科网（北京）股份有限公司 $