专题01 特殊平行四边形相关压轴题分类训练（5种类型30道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形压轴题，分5类30题系统训练，覆盖折叠、综合判断等核心考法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|6题/矩形折叠求比值|涉及图形翻折后性质转化|以轴对称性质为核心，关联特殊平行四边形边、角关系| |综合性问题|6题/菱形多结论判断|多结论辨析与性质综合应用|整合特殊平行四边形判定与性质，构建知识网络| |用字母表示角|6题/正方形中角度转化|通过几何关系表示未知角|基于角平分线、全等三角形等进行角的推理转化| |含辅助线求值|6题/正方形动点求值|需构造辅助线（如全等、直角三角形）|结合图形性质添加辅助线，建立已知与未知的联系| |最值问题|6题/菱形动点最值|利用对称、几何模型求最值|运用特殊平行四边形对称性，渗透转化与模型思想|

专题01特殊平行四边形相关压轴题分类训练 (5种类型30道) 专题目录 【类型1特殊平行四边形相关折叠问题】 1 【类型2特殊平行四边形相关综合性问题】 6 【类型3用字母表示角】 .17 【类型4特殊平行四边形相关含辅助线求值】 23 【类型5特殊平行四边形相关最值问题】 -34 【类型1特殊平行四边形相关折叠问题】 1.动手操作是学习数学的一种好方法.如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张A4纸（长宽比为 沿1折叠，使点落在D边上的点C处，再沿尸折叠，使点C落在FC边上的点”处， V2:1、ABCDAF G 则矩形GHID的长与宽的比值为() G D A B.2 c.② D.5-1 【答案】C 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形ABFG是正方形，四边形ICFH是正方形，设AB=x, 则BC=x,根据正方形的性质得到AB=BF=GF=X,FC=FH=I=(5-小，进而得到 GH GH=(2-V2)x,计算Hm的值即可. 【详解】解：矩形ABCD, ·∠BAG=∠B=∠C=90° 由折叠的性质可知∠AGF=∠B=90°，BF=GF, ∴四边形ABFG是矩形， ∴，矩形ABFG是正方形， 第1页共46页 ∠BFG=90°， ·∠CFH=180°-90°=90°. 同理可证四边形ICFH是正方形， 设B=,则 C=2x ,四边形ABFG是正方形， :.AB=BF=GF=x, .FC-(2-1)x :四边形CFH是正方形， FC=FH=HI=(2-1)x :GH=GF-HF=x-(-)x=(2-)x ,矩形 on GHID 的长与宽的比值为Ⅲ(2-)x 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点C,A分别在x轴，y轴上，OC=6,OA=4. 折叠矩形，使AB与OC重合，EF是折痕；展开后，在OC上取一点D,将△BCD沿BD折叠，使点C的 对应点P恰好落在折痕EF上，则点P的坐标为() B A.(23,2 8.(6-25,2) c.(25-62) 0.(2,6-23 【答案】B 【分析】根据第一次折叠确定EF的位置及P点纵坐标，根据第二次折叠性质得出BP=BC,在Rt△BFP中 利用勾股定理求出PF长，进而确定P点横坐标， 【详解】解：：折叠矩形使AB与OC重合，EF是折痕， 第2页共46页 、EF垂直平分OA,EFOC,F为BC中点， ,四边形OABC是矩形，OC=6,OA=4, :BC=0A=4.C(6,0)B(6,4) :.BF=BC=2,F62:P点纵坐标为2： ,将△BCD沿BD折叠，点C的对应点P落在折痕EF上， .BP=BC=4. 在Rt△BFP中，PF=VBP2-BF2=V4-2=2W5 :点P在点F左侧， :点P横坐标为 6-25 ∴点P的坐标为 6-23,2 3.将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F,G,H分别在边CD,BC,AD,AB上)， 使点A和点C在折叠后均落在BC边上的点M处.若LC=459,DE=CE,EF⊥BC于点P,则△BHM的 周长为() A.√2a 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理. 根据折叠的性质得EC=EM,AH=HM,可得HM+BH=AB,再根据菱形的性质得BH+AH=a,然后 -a 由折叠的性质得∠MEC=90°，进而根据勾股定理求出 Mcs② 2 ，进而求 H BM=a- 2“,则此题可解. 第3页共46页 【详解】解：根据题意，得EC=EM,AH=HM, ∴.HM+BH=BH+AH=AB :菱形ABCD的边长为a, .BH+AH=a ,∠C=45,DE=CE,EF⊥BC, .DE =CE=EM-CD= =2a,∠C=45=∠EMF=∠MEF=∠CEF, 、∠MEC=90°， ÷MC=Me+CE= 20, ÷BM=BC-MC=a-2 0, 六△BHM的周长为 H+AH+BM=a-2 +a=2- 2 2 故选：C, 4.如图，折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG,若 AB=2,BC=1,则AG的长为() C H B 5-1 5 3-5 A.2 B.2 D.2 【答案】A 【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得 ∠A=90,BD=V5 再根据折叠的性质可得 DH=AD=1,HG=AG,∠DHG=∠A=90°，设AG=HG=x,则BG=2-x,在Rt△BHG中，利用勾股 定理求解即可得。 【详解】解：四边形ABCD是矩形，且BC=1, 第4页共46页 .AD=BC=1,∠A=90° AB=2, .BD=AD2+AB2=5 由折叠的性质得：DH=AD=1,HG=AG,∠DHG=∠A=90°， ·.BH=BD-DH=V5-1∠BHG=90° 设AG=HG=x,则BG=AB-AG=2-x, 在Rt△BHG中，HG2+BH=BG2,即+(N5-=(2-x 解得x=-1 2 即4G=5-1 2, 故选：A 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关 键。 5.如图，将长、宽分别为12cm,3cm的长方形纸片分别沿AB,AC折叠，点M,N恰好重合于点P.若 ∠α=60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为() M A N A.(3665)mB.36125 )cm2 C.24 cm2 D.36cm2 【答案】A 【分析】过点C作CF⊥MN,过点B作BE⊥MN,根据折叠的性质求出∠PAC=La=60°， ∠EAB=∠PAB=30°，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解. 【详解】解：如图，过点C作CF⊥MN,过点B作BE⊥MN 第5页共46页 ME P ,长方形纸片分别沿AB,AC折叠，点M,N恰好重合于点P, ∠PAC=∠a=60° ∴∠EAB=∠PAB=30° C.∠B4C=90°AB-BE -6cm.AC-CF=2cm sin∠EAB sina AB·AC=6V3 :=Se形-S4c=12x3-65=(36-6V5)cm2 故选：A 【点睛】本题考查折叠的性质、解直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键， 6.如图，边长为4的正方形ABCD中，将线段BC沿着CE折叠，使得点B落在对角线AC上的点F处， 则BE的长为() E A.4V2-4 B.2 c. D.22-1 【答案】A 【分析】先连接EF,再利用正方形的性质、折叠的性质、等角对等边，以及勾股定理，进行解答即可. 【详解】解：如图，连接EF, 第6页共46页 四边形 为正方形， ABCD ∴∠B=∠BAD=90°，AC平分∠BAD,AB=BC=4, . ∠BAC=∠BMD=45,4C=VAB+BC=VF+年=4N2: :将线段BC沿着CE折叠，使得点B落在对角线AC上的点F处， ∴.CF=CB=4,BE=EF,∠EFC=∠B=90°， .AF=AC-CF=4VN2-4∠EFA=180°-∠EFC=90° ∴.∠AEF=90°-∠BAC=45°. .∠AEF=∠FAE=45°， ..EF=AF=42-4 .BE=EF=42-4 【类型2特殊平行四边形相关综合性问题】 7.如图，菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,AE:DE=4:3,则下列结论：①DE=3cm: ②EB=lcm, S菱形4BcD=15cm2 ④1C=30cm.其中正确的个数为() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【分析】由菱形周长求边长，设AE=4x,DE=3x,利用勾股定理列方程求出x,进而求出EB、菱形面 积，在RtABDE中利用勾股定理求出BD,根据菱形面积等于对角线乘积的一半列方程求出AC,即可验证 各结论。 【详解】解：菱形ABCD的周长为20cm, 第7页共46页 .AB=AD=5cm, 设AE=4xcm,DE=3xcm,在RteADE中，AD2=AE2+DE2, .(4x)2+(3x)2=52 解得=1， .AE=4cm,DE=3cm,故①正确： .EB=AB-AE=5-4=1(cm) 故②正确： S菱形ABcD=AB·DE=5×3=15(cm2) ,故③正确： 在RIABDE中，BD=VDE+EB=V32+下=V0(cm) :S菱形ABCD=亏AC·BD 2 4C×0=15,解得4C=30,故④正确： .2 综上所述，正确的结论有4个 8.如图，一大一小两个正方形ABCD与CEFG,AF与DB,DE分别交于H,I.下列结论：①H是AF 的中点；②AF与DE成正比；③△BDF的面积是正方形ABCD面积的一半；④∠AID=45°.正确的有 H G 0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】设正方形ABCD与CEFG的边长分别为a、b, ①如图，连接AC,CF,AC交BD于点O,过点F作FM⊥BD交BD的延长线于点M, 第8页共46页 M H 分 四边形 与 是正方形， E ABCD CEFG .AC⊥BD,∠ACD=∠FCD=45°，OC=OA, ∴.∠DOC=∠OCF=∠OMF=90°， ∴四边形OCFM是矩形， ∴OC=FM, :.OA=FM, 在△AOH与△FMH中， ∠AHO=∠MHF ∠AOH=∠FMH OA=FM ∴.△AOH≌△FMH(AAS) ,AH=HF,即H是AF的中点，结论①正确； ②如图，延长ADEF交于点N, H F 则四边形ABEN是矩形， 在RtANF中，AF=VAN2+F=Va+b}+(a-b=2aP+B 在RtADEN中，DE=VEN2+DN=Na2+B 所以DE 第9页共46页 则AF与DE成正比，②正确： ③如图，由结论①的证明可知，FM⊥BD,OA=FM, 】 H G 在 中， B C E.· RtABCD BD=BC2+CD2=a2+a2=2a :AC=BD=2a FM=0c=)4c=2 w-0w-i号-女 2 则△BDF的面积是正方形ABCD面积的一半，③正确： ④如图，在BC上截取BP=b,连接PF, D H G P PE=BC+CE-BP=a+b-b=a, 在△ABP与△PEF中， (AB=PE ∠ABP=∠PEF BP=EF .△ABP≌△PEF(SAS) .AP=PF,∠BAP=∠EPF, .∠BAP+∠APB=90°， 第10页共46页 ∴∠EPF+∠APB=90°，即∠APF=90°， ∴.△APF是等腰直角三角形，∠PAF=45°， 在四边形APED中，AD=PE=a,AD∥PE, ∴四边形APED是平行四边形， AP∥DE, .∠AID=∠PAF=45°，④正确. 9.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,以AC为斜边作等腰直角△AEC,连接BE、DE,有 以下结论：①∠CBE=45°；②DE‖AC;③BE2+DE2=2AE2；④BC=AB+V2DE.其中正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：连接OE, 四边形 是矩形， B ABCD O4=OC=0B=OD=AC=BD 2 、∠ABC=90°， :△AEC是等腰直角三角形、点O是AC的中点， ∠AEC=90°、AE=CE、OE=OA=OB、∠EOA=90°， 设∠BAC=a, ..OA=OB. .∠ABO=∠BAC=a, ·∠CBD=90°-∠ABD=90°-a、∠AOB=180°-∠AB0-∠BA0=180°-2a, 第11页共46页 .∠B0E=∠AOB+∠E0A=180°-2a+90°=270°-2a, OB=OE, ∠0BE=∠0EB=180°-(270°-2a）=a-45°， ∴.∠CBE=∠CBD+∠DBE=90°-a+(a-45)=45° 故①正确： .OE=OD ∴.∠OED=∠ODE, 若DE‖AC,则OE⊥DE,即∠OED=90°， 此时∠ED0=∠OED=90°，显然△EOD不存在， 即∠OED不可能等于90°， ∴ED与AC不平行， 故②错误； 过E作EM⊥BD于M, C.∠EMB=∠EMD=90° 在RtABEM中，由勾股定理得：BE2=BM?+EMP, 在Rt△DEM中，由勾股定理得：DE2=DM2+EMP, :BE2+DE2=BM2+DM2+2EM2, 设OM=x:则8M=80+0M=+、DW=D0-0M=≤-x w-(j+4c+w-(S-j-44c+ ·BM2+DM2=A -+AC.+x 4 4 --4C.x+x=4 -+2x2, 2 ·BE2+DE'=AC」 2+2r2+2EM-4C +2(+EM2), 第12页共46页 在RtEMO中，由勾股定理得：2+EM:=EO=4C 4 BE+DE2=A +2x4C 2 4 =AC2, 在RtAACE中，AC2=AE2+CE2-2AE2, ·BE2+DE2=2AE2, 故③正确： AC=BD, :BE2+DE2=BD2. ∴.∠BED=90°， ~四边形ABCD是矩形， .AD=BC、∠BAD=∠ABC=90° 由结论①知∠CBE=45°， ,∠ABE=90°-45°=45° ∴△ABF是等腰直角三角形， .AB=AF、∠AFB=∠ABF=45°， ∠EFD=∠AFB=45°， .·∠BED=90° ∴△EFD是等腰直角三角形， .DE=EF, 在RtADEF 中，由勾股定理得： DF=VDE2+EF2=√2DE ∴.AD=AF+DF=AB+V2DE ∴.BC=AB+√2DE 故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④，共3个 10.如图，正方形ABCD中，AB=30,点E在边CD上，且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延 长EF交边BC于点G.连结AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG;②BG=15;③AG∥CF;④ △FGC的面积为75.其中结论正确的个数是() 第13页共46页 D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】根据正方形性质和折叠性质可得AB=AF,∠B=∠AFG=9O°，利用HL证明Rt△ABG≌R△AFG 得出BG=FG,设BG=x,在RtAECG中利用勾股定理求出x的值，从而判断BG的长及CG与FG的关系， 利用等腰三角形性质和外角性质证明∠AGB=∠GC℉，从而判断平行；利用三角形面积公式及等高模型计 算△FGC的面积， 【详解】解：四边形ABCD是正方形，AB=30, .AB=BC=CD=AD=30,∠B=∠D=∠BCD=90° CD=3DE, .DE=10,CE=20 由折叠可知：AF=AD=30,EF=DE=10,∠AFE=∠D=90°， ∴.∠AFG=180°-∠AFE=90° 在Rt△ABG和Rt△AFG中， 「AG=AG AB=AF=30, ..RtaABGRtAFG(HL), 故①正确： .BG=FG 设BG=x,则FG=x, CG=30-x,EG=EF+FG=10+x 在RtECG.中，CG+CE=EG,即60-+20=6r+10 解得x=15, .BG=15, 故②正确： 第14页共46页 .CG=30-15=15, 、BG=CG=FG=15. FG=CG, ∴.∠GFC=∠GCF LBGF ZGFC+ZGCF =2LGCF 又，△ABG兰△AFG, ·∠AGB=∠AGF, .∠BGF=∠AGB+∠AGF=2∠AGB. .2∠AGB=2∠GCF,即∠AGB=∠GCF. ,AG∥CF,故③正确： :Se-cG-CB=15x20=150,且r在GE上，G=15GE=Gf+EF=15+10=25 2 2 GF 15 S.= S.GCE= x150=90 GE 25 故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③，共3个 11.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABLAC,∠ABC=60°，CF平分LBCD 交BD于点P,延长BA、CF相交于点E,连接DE.下列结论正确的个数是() ①四边形4CD E为矩形，@01为BDE的中竹线，国5am=Sar,④△FPD2△0PC,回若连接 OF E A D P B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：设AB=a, :AB1AC,∠ABC=60°， 第15页共46页 .∠BCA=30°， :BC=21B=20,由勾股定理得4C=VBC-AB=50 :四边形ABCD是平行四边形， .AB//CD,AB=CD,OA=OC.OB=OD.AD=BC. ①：CF平分∠BCD,得∠BCE=∠DCE, 又BEIICD,得∠BEC=∠DCE, .∠BEC=∠BCE, .'BE=BC=2a, 可得AE=BE-AB=a=AB=CD, 又AE/CD, ∴，四边形ACDE是平行四边形， :AB L AC,即∠BAC=90°， ∴.∠CAE=90°， ∴四边形ACDE是矩形，①正确： ②由①得AE=AB=a, ∴点A是BE中点， ,平行四边形中O是BD中点， .OA是△BDE的中位线，②正确； ③四边形ACDE是矩形，对角线AD,CE交于F,得F是AD中点， 因化方m, 由△1DE≌aDAC得SAe=S.C 得 又O是4C中点.得Sm5e, S.40D=SAFE 因此 ③正确： 四D0=a,oc4cB 2a,FD≠0C 因此△FPD和△OPC不全等，④错误： ⑤连接OF,如图， 第16页共46页 B :O是AC中点，F是CE中点， :.OF是△ACE的中位线， 可有0F号4-之0， 1 2 1 1 而aBC=×2a=2a、 4 因此0F-8C,⑤正确， 4 综上，正确的结论共4个， 12.如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP,连接AC、PD、PC,则下列结论：① ∠BCP=75:②6ADP2△BCP:③A4Dp和A1BC的面积比I为2:@5amCP.共中结论正确的 序号有() A D A.①②④ B.②③ C.①③④ D.①②③ 【答案】D 【详解】解：，四边形ABCD是正方形，△ABP是等边三角形， :AB=BP=BC=AP=AD,∠ABC=∠BAD=90°，∠ABP=∠BAP=60°， .∠DAP=∠CBP=30°， ÷∠BCP=∠BPC=180°-30 2 =75°，故①正确： AD=BC,∠DAP=∠CBP=30°，AP=BP, 第17页共46页 △ADP≌ABCP(SAS) 故②正确： ∴PC=PD, 过点P作PH⊥AD于H,PG⊥AB于G,如图， H D NO ,△ABP是等边三角形，PG⊥AB, GG-号， ∠BAD=∠PGA=∠PHA=90°， ∴.四边形AHPG是矩形， .PH=AG. :H-40, 1 2 4 ∴△ADP和△ABC的面积比为1：2，故③正确： 过点C作CN⊥DP交DP的延长线于N,如图， ,∠PCD=∠BCD-∠BCP=90°-75°=15°，PC=PD, .∠PCD=∠PDC=15°， .∠CPN=15°+15°=30°. CN⊥DP, .CN-1PC 2 :.S.co-]DP-CN-1CP.]CP=1C 4 “,故④错误： 综上，结论正确的序号有①②③. 【类型3用字母表示角】 第18页共46页 13.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别是OC,OD上的两点，且BE=CF, 过点F作FG⊥FC交AB点G,若∠EBC=a,则∠AFG用含a的式子表示为() D A.2a B.45°-u c.90°-2a D.22.5°+ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形可得AC与BD互相垂直平分， 即可证明△B0E≌aCOF,得到∠OBE=∠OCF=45°-a,∠BE0=∠CF0=45°+a,进而得到 ∠AFO=∠CFO=45°+a,再根据垂直求出∠DFB,最后根据∠AFG=∠AFO-∠DFB求解即可. 【详解】解：：正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O, .OA=OC=OB,∠OBC=∠OCB=45°，∠AOF=∠COF=∠BOE=90° .OF=OF, △AOF≌△COF(SAS) .∠AFO=∠CFO, .BE CF Rt△BOE≌Rt△COF(HL) :∠OBE=∠OCF,∠BEO=∠CFO ,∠EBC=&, .∠0BE=∠OCF=45°-a,∠BE0=∠CFO=45°+a, .∠AF0=∠CF0=45°+a, ,FG⊥FC, ∴.∠GFC=90° ∠DFB=90°-∠0FC=90°-(45°+a)=45°-a 第19页共46页 ∠AFG=∠AF0-∠DFB=45°+a-(45°-a)=2C 故选：A 14.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠BAD的角平分线交BC于点E,若∠AOB=C,则用 a表示∠OAE为() D E a A.2 8.45- C.45°-a D.90°-a 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质.根据矩形的性质得出OA=OD,进而利用角平分线的定义和等腰三角形的 性质解答即可 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OD. ,∠BAD的角平分线交BC于点E, 2ED=iD-×90=45 .∠AOB=a, .∠AOD=180°-∠AOB=180°-a, .OA=OD 片∠0AD=180°-∠A0D1 2 20, ∠0AE=∠EAD-∠0AD=45°- 20, 故选：B 15.如图，在正方形ABCD中，线段BD为对角线，点G为BD上一点，连接AG,过点G作GE⊥BC于 点E,点F为边CD上的点，连接EF,若EF=AG,∠EFC=a,则∠AGD=(） 第20页共46页 G E A.2a-45° B. C.135°-a D.a-15° 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；过G作GH⊥AB于 H,根据正方形的性质和角平分线的性质证明四边形HBEG是正方形，得到GH=GE,AH=CE,利用 HL证明RtAHGRtAECF,得到∠HAG=∠CEF,最后利用三角形内角和定理即可得到结论. 【详解】解：如图，过G作GH⊥AB于H, D B ~四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠C=90°，AB=BC,∠ADB=45°， 'GE⊥BC,GH⊥AB, ∴.∠GHB=∠GEB=90°， ∴.四边形HBEG是矩形， :BD是正方形ABCD的对角线， ∠ABD=∠CBD=45°， ∴.GH=GE 四边形HBEG是正方形， .BH BE, ·AB-BH=BC-BE,即AH=CE, 在Rt△AHG和RtAECF中， AG=EF AH=CE .RteAHGS≌RtAECF(HL): 第21页共46页 ∠HAG=∠CEF」 ∠EFC=a,∠C=90°， ∴.∠CEF=90°-a, .∠HAG=90°-a, ∠DAB=90°. ∴.∠DAG=90°-∠HAG=90°-(90°-a）=a 在△ADG中，∠AGD=180°-∠ADG-∠DAG=180°-45°-a=135°-a 16.如图，BD为菱形ABCD的对角线，∠C=60°，E,F分别为AD,AB边上的点，连接DF,BE交 于点G,∠EGD=60°，将△EGD沿着DG翻折，点E落在点H的位置，设∠ABE=a,则∠BDH可表示 为() G E A.2a B.30°+4 C.60°-2a D.120°-4x 【答案】C 【分析】根据菱形性质和∠C=60°判定△ABD为等边三角形，利用三角形内角和及平角定义求出∠EDG, 结合翻折性质求出∠ADH,最后利用角的关系求解∠BDH, 【详解】解：，四边形ABCD是菱形，∠C=60°， AB=AD,∠A=∠C=60°， .△ABD是等边三角形， .∠ADB=60°， 在△ABE中，∠ABE=a,∠A=60°， .∠AEB=180°-60°-a=120°-a, ∴∠DEG=180°-∠AEB=60°+a, 在△DEG中，∠EGD=60°， :<EDG=180°-∠DEG-∠EGD=180°-(60°+m）-60°=60°-a 由翻折性质可知：∠HDG=∠EDG=60°-a. 第22页共46页 ∠ADH=∠EDG+∠HDG=2(60°-)=120°-2a .∠BDH=∠ADH-∠ADB=120°-2a-60°=60°-2a. 17.如图，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为正方形内部一点，连接AF、EF、CF、 DF,LDAF=Q,EF=EC.当AF=AD时，∠DCF可表示为() A B E 2a A.2 B.3 c45-号 D.45°-a 3 【答案】C 【分析】连接AE:自正方形的性员容易证明A4E≌E(）,则∠BE-3<BF=5- 2, 1 ∠AEB=∠AEF=45°+2“，从而得到∠CEF=90-a,结合等腰三角形的性质可得 ∠EC=45+20,因此∠0c=45- 2 2a. 【详解】解：如图，连接AE, B E 四边形ABCD是正方形， .∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AB=AD, .∠B4F=∠B4D-∠D4F=90°-a, 第23页共46页 :点E为边BC的中点， .BE=EC, ..EF =EC,AF=AD, ∴.AB=AF,BE=EF, 在△ABE和△AFE中， 「AB=AF BE=EF AE=AE' △ABE≌AAFE(SSS) :∠BE=∠c=2<BN=45-30. ∠AEB=∠AEF=90°-∠B4E=45°+ 1 ∴.∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=90°-a, .EF =EC. 1 &∠E0F=∠EFc=1802Ef45±)a 2 ∴∠DCF=∠BCD-∠ECF=45°- 2. 18.如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作BF⊥AE于点F,延长BF至G,使AF=FG, 连接CG,AG,若∠DCG=a,则∠BAE一定等于() D E A.45°-a B.2a c.90°-2a D.a 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作CH⊥BG于点H, 第24页共46页 H B ∴∠AFB=∠BHC=90° .∠BCH+∠CBH=90° :四边形ABCD为正方形， ∴.∠ABC=LBCD=90°，AB=BC, .∠ABF+∠CBH=90°， ∴.∠BCH=∠ABF, ÷△BCHOABF(AAS) ∴CH=BF,BH=AF,∠BAE=LCBH. ,AF=FG,BF⊥AE, ∴.FG=BH, ·FG-FH=BH-FH,即GH=BF, .GH=CH. :.△CHG为等腰直角三角形， ∴∠CGH=45° ,∠DCG=a, .∠BCG=90°+a, ∠BAE=∠CBG=180°-∠BCG-∠BGC=180°-(90°+a)-45°=45°-u 故选A, 【类型4特殊平行四边形相关含辅助线求值】 19.如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的动点，且满足AE=BF,AF与 DE交于点O,点M是DF的中点，G是边AB上的点，4G=3GB,则OM+2FG的最小值是() 2 第25页共46页 A41 8.8V2 C.6 D.10 【答案】A DAE≌ABF(SAS 【分析】先证明 ,得到∠D0F=90°，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定 理解答即可. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .DA=AB=BC,∠DAE=∠ABF=∠FBN=90, 在Rt△DAE和Rt△ABF中， DA=AB ∠DAE=∠ADF AE=BF Rt△DAE≌RtAABF(SAS) .∠ADE=∠BAF, :∠DAO+∠BAF=90° ∴∠DA0+∠ADE=90°， .∠D0F=90°， :点M是DF的中点， OM=IDF 延长GB到点N,使得GB=BN, ..FG=FN, ..OM+FG-(DF+FG). OM+FG-(DF+FN). 第26页共46页 连接DN, .DF+FN≥DN, ∴当D,F,N三点共线时，DF+FN取得最小值， AB=8,AG=3GB .'.AG=6,GB=BN=2 .'AN=AB+BN=10. DN =DA+AN=2J41 :oM+PG=DN=④， 故OM+2FG的最小值是、A, 2 故选：A C M B 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方 形的性质，勾股定理是解题的关键 20.已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上一点，连接BE,过点C作CF⊥BE于点F,连接AF. ED 若AF=√2BF,则CF的值为() B 第27页共46页 A司 5 5 B.4 D.2 【答案】B 【分析】在CF上截取CH=BF,利用正方形的性质和直角三角形的性质证 △BCH≌△ABF(SAS) ,由全 等三角形的性质得出1=BH,结合已知条件设BF=L,则BH=5, 利用勾股定理分别求出FH和BC」 再证明△EAB∽aBFC,由相似三角形的性质求出EA,进而求出ED,最后和CF相比即可得出答案. 【详解】解：在CF上截取CH=BF,如下图： D :四边形ABCD为正方形， ·.AB=BC,∠DAB=∠ABC=90°， ∴.∠ABF+∠FBC=90°， CF⊥BE」 ·∠BFC=90°， ∴.∠FBC+∠BCF=90°， ·∠ABF=∠BCF, 又，AB=BC,CH=BF, △BCH≌△ABF(SAS) .AF=BH, AF=BF BH=2BF 设BF=1 BH=2 ,则 第28页共46页 在RtBFH中， FH=V√BH-BF2=1 又CH=BF=1, .CF=CH+FH=2. 在Rt△BFC中， BC=BF2+CF2=5 AB=BC=5 :∠ABF=∠BCF,∠EAB=∠BFC=90° ∴△EAB ABFC, EA AB ∴BFFC EA5 即1=2' EA=5 , 又 AD=BC=5 ÷DE=AD-AE=55=5 221 5 :ED2-5 CF-2 4 故选：B 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，勾 股定理，正确画出辅助线是解题的关键， 21.如图，正方形ABCD的边长为5，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE=2,BF分别与CE、AC交 于点H、M,O为AC的中点，OB交CE于点N,连接OH.则OH的长度为() 第29页共46页 D M E H B V29 15v29 1558 √58 A.2 B.29 c.58 D.4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理，过 点O作OP⊥OH,交CE于点P,先证明 △BAF≌ACBE(SAS ,得到∠ABF=∠BCE,进而得到 ∠OBH=∠OCP' 0,然后可证明PE4BE,得到日=29，BH-10V29 29,由∠H0P=∠B0C=90° 得到B0H=∠COp'即可证明ABOH坐AC0PASA,得到OH=Op:BM=CP102 29，进而得到 HP=15V29 29 利用勾股定理即可求出OH的长，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键。 【详解】解：过点O作OP⊥OH,交CE于点P,则∠HOP=90°， F D ⊙ P ,四边形ABCD为正方形，O为AC的中点， ·AB=BC,∠BAF=∠ABC=∠B0C=90°，∠ABO=∠ACB=45°，OB=OC, .AF=BE=2, 第30页共46页 △BAF≌ACBE(SAS) ∴∠ABF=∠BCE,BF=CE. ∴.∠OBH=∠OCP, :LBCE+∠BEC=90°， ∴∠ABF+∠BEC=90°， .∠BHE=90°， .∠BHE=∠BAF, ,∠HBE=∠ABF, ∴，△HBE△ABF, BH EH BE BA AF BF AB=5,AF=BE=2, :BF=V52+2=V29 BH EH 2 ∴.52√29，CE=29 29,BH=1029 .EH=429 29 :∠HOP=∠BOC=90°， .∠BOH=∠COP △BOH≌△COP(ASA) 六OH=Op,BH=CP=1029 29 ÷.HP=CE-EH-CP=V29-4W29_10W29_15V29 2929 29 ..OH2+OP2 HP2. 12 ÷20H2 15V29 、29 解得0H=15V58 58 第31页共46页 故选：C。 22.如图，在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC=3CM,连接BM交AC于点N,延长BN DP 到点p使得NP=BN,则BN=() 2v5 5 V10 9 A.5 B.3 C.4 D.10 【答案】A 【分析】本题了考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识， 连接BD交AC于点E,南四边形BCD是正方形，得AB=BC-DC,AE=CE=4C, CM 1 BE=DE=2BD且AC=BD:AC⊥BD,再由AB=BC=3CM,得AB3,由CM∥AB证明 ON CM 1 ACMN∽AABN,得AN=AB=3,推出从而可证aCPN≌aEBN(SAS),根据性质得PC=BE=DE, ∠PCN=∠BEN,可证四边形PCED是正方形，所以DP=DE=BE,∠PDB=9O°，再由勾股定理即可求 解，熟练掌握以上知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键。 【详解】如图，连接BD交AC于点E, E :四边形ABCD是正方形， 第32页共46页 ÷AB=BC=DC,AE=CE-4C,BE=DE-D且AC=BDAC1BD .BE=CE=DE,AC=2CE,∠CED=90°， AB=BC=3CM, CM 1 ·AB3, ,CM∥AB, ∴.ACMN∽△ABN, CN CM 1 ·ANAB3 1 :.CN=1+31 AC= -AC, ∴AC=4CN, ∴2CE=4CW, .CE=2CN, .CN=EN, 在aCPN和△EBN中， CN=EN ∠PNC=∠BNE, PN=BN ACPN≌AEBN(SAS) .PC=BE=DE,∠PCN=∠BEN, ∴PC∥DE, ∴四边形PCED是平行四边形， :∠CED=90°，CE=DE, ∴四边形PCED是正方形， ∴.DP=DE=BE,∠PDB=90°， :BD=2DP, BP=BD+DP=(2DP)+DP2=J5DP 第33页共46页 DP5 .BP 5, ∴.BP=2BN, DP5 2BN5' .DP2√5 ·BN5 故选：A. 23.如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边的中点，连接CE,以CE为边构造等腰△CEF,且 ∠ECF=90°.连接BF,则BF的长度为() A D A.45 8.2g c.25 D.6W2 【答案】B 【分析】过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G,利用“一线三垂直”模型证明△CBE≌aGCF,求出 BG和FG的长，最后利用勾股定理计算BF的长度， 【详解】解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G D E B G ~四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=90°，BC=4 E为AB边的中点 、BE=AB=2 第34页共46页 :FG⊥BC ∠G=90°=∠ABC :∠ECF=90° ∴∠BCE+∠FCG=90° 又在Rt△CBE中，∠BCE+∠BEC=90 ∴.∠BEC=∠FCG 在△CBE和△GCF中 ∠ABC=∠G ∠BEC=ㄥGCF CE=CF ∴.△CBE≌AGCF(AAS) ∴.CG=BE=2,FG=BC=4 ∴.BG=BC+CG=4+2=6 在R△BGF中，由勾股定理得： BF=√BG2+FG2=V62+42=52=23 24.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，满足DE=3BE,过点E作EN1EA,交DC于点 FM N,连接AW交BD于点F,M为BC边中点，连接FM,则DF的值为() B M F V34 V34 V10 V10 A.4 B.2 C.3 D.2 【答案】A 【分析】设正方形边长为4a,通过作辅助线构造相似三角形△AGE∽aNHE,求出N为CD中点，再利 用△ADF∽aPBF,求出F点位置，最后构造直角三角形利用勾股定理计算FM与DF的比值. 【详解】解：设正方形ABCD边长为4a,过点E作EG⊥AD于G,EH⊥CD于H, 第35页共46页 B M F D N HC 四边形ABCD是正方形， .∠ADC=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD=4a, .BD=VAB+AD:=4V2a .DE=3BE, DE 3 .DB 4' ,EG⊥AD于G,EH⊥CD于H, 、EG∥AB,EH∥BC, .△DEGADBA,△DEH∽△DBC, GE DG DE EH DH DE ·AB DA DB'BC DC DB' .EG=3 AB -3a.EH BC=3a.GD=3a,DH -3a 4 AG=AD-GD=a, ,EG⊥AD于G,EH⊥CD于H, ∴.∠DGE=∠DHE=90°， 又∠ABC=90°， ∴四边形GDHE是矩形， ·DH=EG=3a,∠GEH=90°， :EN⊥EA, ∴.∠AEN=90° ∴.∠AEG+∠GEW=90°， 又，∠GEH=90° ∴.∠GEN+∠NEH=90°， 第36页共46页 ∴∠AEG=∠NEH, 又：∠AGE=∠NHE=90°， .△AGEANHE, NH HE 3a AG GE 3a 1, ∴.NH=AG=a, .DN=DH-NH =3a-a=2a, N为CD中点， 延长AN交BC的延长线于点P, R H AD‖BC, .∠DAN=∠P,∠D=∠NCP=90°， 又，DN=CN=2a, ,△ADN≌△PCN(ASA) ∴CP=AD=4a. .BP=BC+CP=8a, ,AD∥BP, .△ADF∽△PBF DF AD 4a 1 .BF BP 8a 2' 4V5 DF=1BD-1x4a- 3 3 34 第37页共46页 BF=BD=82。 3 过点M作MO⊥BD于Q, ,∠DBC=45°， :.△BQM是等腰直角三角形， ,M是BC中点， ∴BM=2a, BO-MQ=2a :F2=Br-B0=82n」 3a-V2a=5v -a 3 在 tAFOM 9 3 a. 217 FM 3 a V34 DF 4W2 4 3 【类型5特殊平行四边形相关最值问题】 25.如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8.点P和点E分别为BD,CD 上的动点，求PE+PC的最小值 B 24 【答案】5 【分析】本题考查轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线的性质，垂线段最 短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键. 【详解】解：过C作CO⊥AD于O交BD于点P,过P作PE⊥CD于点E, :四边形ABCD是菱形， 第38页共46页 ∴AC⊥BD且AC、BD互相平分，BD平分∠ADC, .PO=PE ,垂线段最短， ∴PE+PC=PO+PC=CO,即PE+PC的最小值为线段CO的长度， :AC=6,BD=8, .A0=3,B0=4, .4B=VO+0B=5 ∴.AB=BC=CD=AD=5, 菱形的面积为：2XAC×BD=AD×CQ, 1 ×6×8=5×C0 .2 c024 5 24 ·PE+PC的最小值5. 24 故答案为：5。 A D B 26.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4,若P是AC边上的动点，∠DAC= 2BP+AP的最小值为 D O P B 30° 43 【答案】 第39页共46页 【分析】过点P作PE⊥AB交AB于点E,连接DP,DE,根据菱形的性质，可求∠DAC=3O°，AC垂 直平分BD,再根据垂直平分线的性质和“30所对的直角边是斜边的一半”，可得BP=DP, PE-TAP 从而可得2BP+AP≥2DE,即2BP+AP的最小值是2DE的长，最后根据勾股定理求出DE,即可求解. 【详解】解：过点P作PE⊥AB交AB于点E,连接DP,DE, D ◇ 在菱形 中， E B ABCD ∠DAB=60° ∠DAC=∠BAC- ∠DAB=30°，AC垂直平分BD ∴.BP=DP, PE⊥AB,∠BAC=30°， 28PP2P+P2(DP+PE)2DE .当D、P、E三点共线时，即DE⊥AB,2BP+AP取得最小值，为2DE的长， :菱形ABCD,∠DAB=60°，AB=4, ∴.△ABD是等边三角形，AD=AB=4, DE⊥AB, ∴.E是AB的中点，即AE=2, 在R△AED中，DE=V④-2=2V5】 .2DE=4V5 ∴.2BP+AP 的最小值为 v5 27.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6,BE=FC=2,则△EFG周长的最小值为一 第40页共46页 【答案】 6+2V5 【分折1作点F关于D的对陈点F,在ACEF，中过点F作FH LBC,求得FE=25,当E,G.F 点共线时，GF'+GE最小，此时GF'+GE=FE,据此求解即可 【详解】解：如图，作点F关于BD的对称点F', F G :GF=GF',且AF'=2,F为定点， 在菱形ABCD中，AB=CB=6,∠A=∠C=60°， BE FC=2, .EC=4, ∴在aCEF中，过点F作FH⊥BC, ∠C=60°，CF=2, :.CH=1 FH=B .EH=4-1=3, ·FE=32+5=25. aEFG周长为EF+GF+GE, 且GF+GE=GF'+GE, 当E,G,F'三点共线时，GF'+GE最小，此时GF'+GE=FE, ,AF'=BE=2,且菱形ABCD中，AF'∥BE, .四边形AFEB为平行四边形， 第41页共46页 .'FE=AB=6. .AEFG 周长的最小值为 EF+FE=6+23 28.如图，在菱形ABCD中，AD=3,BD=2,E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则 BE+BF的最小值为 D B v17 【答案】 【分析】根据对称性找到点E关于直线MN对称的点E',过点E'作E'G⊥FD的延长线于点G,根据两点 之间线段最短，当点E、B、F三点共线时，BE+BF取得最小值E'F,利用平行四边形、矩形、菱形的 性质和勾股定理求出BE+BF的最小值 【详解】解：过点B作MNI‖AC,作点E关于直线MN对称的点E',过点E'作E'G⊥FD的延长线于点G 交MN于点H. ,点E和点E关于直线MN对称， .'BE BE', ∴.BE+BF=BE'+BF≤EF, 当点E'、B、F三点共线时，BE+BF取得最小值EF, ,四边形ABCD为菱形， AC L BD, 0-C0-34C,B0=D0-8D=1, 在R△ADO中， AD=3 DO=1 根据勾股定理得，40=VAD2-D0=V3-下=2V2 AC=2A0=4V2, ,四边形DAEF为平行四边形， ,AE∥DF,AE=DF, 即AC∥DF. 第42页共46页 MIN II AC, ·MN∥DF∥AC, ,EG⊥FD, ·E'G⊥AC,E'G⊥MN, .∠DGE=∠GEO=∠EOD=90°， 四边形GEOD为矩形， 同理，四边形EHBO为矩形， .'GE=OD=OB=EH=1,GD=OE, BE=BE',E'G⊥MN, ∴EH=E'H=1, .EG=1+1+1=3, .AE=DF,GD=OE, ..GF=GD+DF=OE+AE=AO=22, 在RaE'GF中，根据勾股定理得，EF=VEG2+GF=V32+(22=V7, .BE+BF 的最小值为厅 G D --W 29.如图，正方形ABCD中，AB=8,M为CD中点，P是BD上一动点，则PC+PM的最小值为 A D M 【答案】 4v5 第43页共46页 【分析】连接AP,AC,AM,则可得PA=PC,那么PC+PM=PA+PM≥AM,故当点A,P,M共线时， PC+PM取得最小值，为AM,再对Rt△ADM运用勾股定理求解即可. 【详解】解：连接AP,AC,AM B :四边形ABCD是正方形 .BD垂直平分AC,∠ADC=90°，AB=AD=CD=8 ∴.PA=PC .PC+PM=PA+PM≥AM 当点A,P,M共线时，PC+PM取得最小值，为AM M为CD中点， .DM=-CD=4 2 :.4M=VAD2+DM=8+4年=4N5 30.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、O分别是边AD、BC上的动点，且 PQ⊥BE、BE BP+OE 交 于点F,则 的最小值为 D E B 10 【答案】 【分析】如图，过点P作PM⊥BC于点M,证明四边形ABMP是矩形，∠PMO=∠BCD=9O°，得到 AB=PM-2:正明△PQM≌BEC(AAS),得到M0=EC,求出M0=EC=CD=L,将正方形ABCD沿 第44页共46页 BC GBCH GM QNI∥GMGH NE 翻折得到正方形 ,连接，过点Q作 交“于点N,连接，证明 △BGM≌△MPB(SAS) 得到GM=BP,然后由BP+OE=NO+OE之NE 得到当点N,Q,E三点共线时， BP+QE取得最小值，即NE的长度，然后利用勾股定理求解即可， 【详解】解：如图，过点P作PM⊥BC于点M, ,四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=2 .PM⊥BC .四边形ABMP是矩形，∠PM0=∠BCD=90° ∴.AB=PM=2 ∴.PM=BC PQ⊥BE ∠BFQ=90°=∠BCE ∠PQM+∠EBC=∠BEC+∠EBC=90° ∠PQM=∠BEC :.△POM≌aBEC(AAS) MO=EC E是CD的中点 M-CD-I 将正方形ABCD沿BC翻折得到正方形GBCH,连接GM,过点Q作QN∥GM交GH于点N,连接NE 第45页共46页 D M H '.GH=CH=BG=AB=2=PM,∠GBM=∠H=90°=∠PMB.BC∥GH 又，BM=BM :△BGM≌MPB(SAS) ∴.GM=BP :ON∥GM,BC∥GH ·.四边形MGN№是平行四边形 .ON=MG=BP,GN=MO=1 BP+QE=NQ+QE≥NE “当点N,Q,E三点共线时，BP+QE取得最小值，即NE的长度 .NH=GH-GN=2-1=1 ,∠H=90°，HE=HC+CE=2+1=3 .NE=NH2+EH=10 BP+OE V10 的最小值为 第46页共46页 专题01 特殊平行四边形相关压轴题分类训练 （5种类型30道） 专题目录 【类型1 特殊平行四边形相关折叠问题】 1 【类型2 特殊平行四边形相关综合性问题】 3 【类型3 用字母表示角】 4 【类型4 特殊平行四边形相关含辅助线求值】 6 【类型5 特殊平行四边形相关最值问题】 8 【类型1 特殊平行四边形相关折叠问题】 1．动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为（     ） A． B．2 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，折叠矩形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（   ） A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24 cm2 D．36 cm2 6．如图，边长为4的正方形中，将线段沿着折叠，使得点B落在对角线上的点F处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【类型2 特殊平行四边形相关综合性问题】 7．如图，菱形的周长为，，垂足为E，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图，一大一小两个正方形与，与，分别交于，．下列结论：①是的中点；②与成正比；③的面积是正方形面积的一半；④．正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，矩形的对角线，交于点O，以为斜边作等腰直角，连接、，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，平分交于点，延长、相交于点，连接．下列结论正确的个数是（     ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④；⑤若连接，则 A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接、、，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有（     ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③ 【类型3 用字母表示角】 13．如图，正方形的对角线，交于点，点，分别是，上的两点，且，过点作交点，若，则用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 14．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，线段为对角线，点G为上一点，连接，过点G作于点E，点F为边上的点，连接，若，，则（     ） A． B． C． D． 16．如图，为菱形的对角线，，，分别为，边上的点，连接，交于点，，将沿着翻折，点落在点的位置，设，则可表示为（） A． B． C． D． 17．如图，在正方形中，点为边的中点，点为正方形内部一点，连接、、、，，．当时，可表示为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在正方形中，E为上一点，过点B作于点F，延长至G，使，连接，若，则一定等于（   ）    A． B． C． D． 【类型4 特殊平行四边形相关含辅助线求值】 19．如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（   ） A． B． C．6 D．10 20．已知四边形为正方形，点是边上一点，连接，过点作于点，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．如图，正方形的边长为，分别为上的点，，分别与交于点，为的中点，交于点，连接．则的长度为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（   ）    A． B． C． D． 23．如图，正方形的边长为4，为边的中点，连接，以为边构造等腰，且．连接，则的长度为（     ） A． B． C． D． 24．如图，在正方形中，为对角线上一点，满足，过点作，交于点，连接交于点，为边中点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【类型5 特殊平行四边形相关最值问题】 25．如图，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值_________． 26．如图，在菱形中，，，若P是边上的动点，__________；的最小值为__________． 27．如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 28．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 29．如图，正方形中，，M为中点，P是上一动点，则的最小值为___________． 30．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $