5.2 二元一次方程组的解法 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础解法到思想方法，构建“概念-运算-应用-迁移”巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|代入/加减消元法直接应用|单选1-3考查解法步骤，填空11强化概念，解答16基础运算，夯实课时核心技能| |提升层|解的定义、参数问题、同解问题|单选4-6结合解的性质，填空12-13涉及非负性与无解条件，解答17-18综合错解复原与同解应用，培养推理意识| |拓展层|换元思想、整体思想、新定义运算|单选8-9考查换元与新定义，填空14-15需构造方程组，解答20渗透整体思想，发展创新意识与抽象能力|

5.2 二元一次方程组的解法 课后同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．解方程组时，把①代入②得（   ） A． B． C． D． 2．解以下两个方程组①；②较为简便的方法是（  ） A．①用加减法、 ②用代入法 B．①用代入法、②用加减法 C．都用代入法 D．都用加减法 3．利用加减消元法解方程组，则下列做法错误的是（   ） A．要消去， B．要消去， C．要消去， D．要消去， 4．已知方程组的解是，则的解是（    ） A． B． C． D． 5．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知关于x，y的方程组与的解相同，则的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D． 8．学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 9．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 11．通过两式的相加（减），消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做__________，简称加减法． 12．若，则的值为______． 13．已知关于的方程组无解，则______． 14．若关于，的二元一次方程组的解是，关于，的二元一次方程组的解是_______． 15．已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为_____． 三、解答题 16．解下列方程组． (1)； (2)． 17．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值． (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． (3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 18．已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 19．小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 20．阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D D B A C B C 1．【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查解二元一次方程组，根据二元一次方程组解法中的代入消元法解答即可． 【详解】解：把①代入②得， 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】观察两个方程的特点确定出相应的解法即可． 【详解】解：解下面的两个方程组：①；②， 在上列提供的两题解法中，较为简便的是①用代入法，②用加减法． 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．【答案】D 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据加减法解二元一次方程组，逐一分析计算即可． 【详解】解：A．，得， ∴要消去，，正确，该选项不符合题意； B．，得， ∴要消去，，正确，该选项不符合题意； C．，得， ∴要消去y，，正确，该选项不符合题意； D．，得， ∴要消去，，错误，该选项符合题意． 故选D． 4．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴即的解满足 解得 故选D 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 5．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据x与y的值相等可得方程，解方程可得方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解中，x与y的值相等， ∴， 解得， ∴， 把代入方程中得， 解得， 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】方程组相同解问题 【分析】把代入另外两个方程中得：，得到，求解即可． 【详解】解：把代入另外两个方程中得：，得：， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组同解问题，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 8．【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】构造二元一次方程组求解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 10．【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 11．【答案】加减消元法 【知识点】加减消元法 【解析】略 12．【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 13．【答案】1 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 14．【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，可得，进而根据题意得到关于s、t的二元一次方程组的解是，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴关于s、t的二元一次方程组的解是． ∴． 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 15．【答案】9 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、算术平方根与立方根的定义，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键． 先求出两个方程组的公共解，再代入含、的方程求出、的值，最后计算的算术平方根和的立方根，进而求出． 【详解】解：解方程组得 ，． 将，代入得． 将，代入得． ∴， 解得 ， ∴ ，其算术平方根． ∵ ， ∴ ，其立方根． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）利用代入消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 由②得： 把③代入①得 解得 把代入③得 原方程组的解为 （2）解： 得： 解得： 把代入①得 解得 原方程组的解为 17．【答案】(1)；； (2)； (3)． 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数，熟练二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把代入，把代入，分别解方程即可求解； （2）把；代入，求得方程组的解，再将解代入，利用加减消元法求得的值，即可求解； （3）将的值代入，整理得，当时，方程有无数个解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为， ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得方程组为，解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在， 由（2）得关于x的方程为， 整理得， ∵关于x的方程有无数个解， ∴，解得． 18．【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由如下： 将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：略． 19．【答案】(1)加减消元法，等式的性质 (2)二，合并常数项时计算错误 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质； （2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误； （3）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， 得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 20．【答案】(1)，3． (2)54 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $