5.2 二元一次方程组的解法 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册第五章第2节“二元一次方程组的解法”同步练，含2课时，聚焦代入与加减消元法，通过知识梳理与基础训练分层巩固消元思想，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|消元思想、代入/加减消元步骤、简单应用|选择填空聚焦概念辨析与基础运算，解答题融入实际问题（如文具销售）与方法选择，易错警示强化推理严谨性|

北师大版数学八年级上册 第五章　二元一次方程组 2　二元一次方程组的解法　·　课时作业（含答案与解析） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第五章第 2 节「二元一次方程组的解法」编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　代入消元法； 第 2 课时　加减消元法与方法的选择。 说明：本节的核心是消元思想，即把「二元」化为「一元」。用方程组解决实际问题将在第 3 节系统学习，本作业中的应用题只作为解法的练习；用图象求方程组的解将在第 4 节学习，本作业不涉及。 2　二元一次方程组的解法　　第 1 课时　代入消元法 一、知识梳理 1．消元思想　解二元一次方程组的基本思路是消元：把含有两个未知数的方程组，转化成只含一个未知数的一元一次方程来解。 二元一次方程组　──消元──→　一元一次方程 2．代入消元法　从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它代入另一个方程，从而消去一个未知数，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 代入消元法的解题流程 3．解题步骤　以 为例： （1）变形：由 ① 得 　③； （2）代入：把 ③ 代入 ②，得 ； （3）求解：去括号得 ，即 ，解得 ； （4）回代：把 代回 ③，得 ； （5）写解：原方程组的解是 。 4．变形的选择　优先选系数是 或 的那个未知数来表示，这样变形后不会出现分数，计算最简便。 5．整体代入　当所求的代数式与已知的式子成倍数关系时，可以整体代入。例如已知 ，求 的值：因为 ，所以原式 。 【易错警示】 ① 变形后必须代入另一个方程，代回原方程只会得到 这样的恒等式。 ② 代入时，被代入的式子如果是多项式，一定要加括号，如 ，不能写成 。 ③ 回代时选较简单的那个方程（一般是变形后的式子 ③），可以减少计算量。 ④ 求出的一对数值要写成方程组的形式，中间用大括号连接，不能写成 ， 两行而丢掉大括号。 ⑤ 解完后最好把结果代回原方程组检验一次。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 用代入法解方程组 ，把第一个方程代入第二个方程，得到的一元一次方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2． 用代入法解方程组 时，下列变形中最简便的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3． 方程组 的解是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4． 已知 ，则代数式 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5． 若 是方程组 的解，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 由方程 可得 ＿＿＿＿＿＿；由方程 可得 ＿＿＿＿＿＿。 7． 方程组 的解是＿＿＿＿＿＿＿＿。 8． 若 ，则 ＿＿＿＿。 9． 方程组 的解是 ＿＿＿＿，＿＿＿＿。 10． 若方程组 的解也是方程 的解，则 ＿＿＿＿。 （三）解答题（共 60 分） 11．（16 分）用代入法解下列方程组。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 12．（14 分）解答下列各题。 （1）已知 ，求代数式 的值； （2）解方程组 ，并求 的值； （3）若 是方程组 的解，求 、 的值。 13．（16 分）某文具店销售笔记本和钢笔。已知买 本笔记本和 支钢笔共需 元， 支钢笔比 本笔记本贵 元。设笔记本每本 元，钢笔每支 元。 （1）根据题意列出二元一次方程组； （2）用代入法解这个方程组； （3）小明要买 本笔记本和 支钢笔，共需多少元？ 14．（14 分）小明和小华一起解方程组 。 小明因为看错了方程 ① 中的 ，解得 ； 小华因为看错了方程 ② 中的 ，解得 。 （1）小明所得的解满足哪一个方程？由此求出 的值； （2）小华所得的解满足哪一个方程？由此求出 的值； （3）求这个方程组的正确解。 2　二元一次方程组的解法　　第 2 课时　加减消元法与方法的选择 一、知识梳理 1．加减消元法　当两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减消元法的解题流程 2．口诀　同号相减，异号相加。即同一个未知数的两个系数符号相同时用减法，符号相反时用加法。 3．系数不相等时怎么办　给方程的两边同乘一个适当的数，把某个未知数的系数化成相等或互为相反数，再加减。 例如 ，① 得 ，② 得 ，两式相加即可消去 。 4．两种方法的选择 （1）某个未知数的系数是 或 　→　用代入法； （2）某个未知数的系数相等或互为相反数　→　用加减法； （3）两个方程的系数对称（如 ）　→　先相加、再相减，可以又快又准。 5．含分数系数的方程组　先在方程两边同乘各分母的最小公倍数去分母，化成整系数方程后再消元。如 两边同乘 ，得 。 【易错警示】 ① 两式相减时，减数的每一项都要变号，如 ，不能只变第一项。 ② 方程两边同乘一个数时，方程的每一项（包括常数项）都要乘，不能漏乘。 ③ 去分母时，不含分母的项也要乘以最小公倍数。 ④ 消元后一定要回代，只求出一个未知数不算解完方程组。 ⑤ 加减法与代入法只是途径不同，结果必须一致；解完后代回原方程组检验最稳妥。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 解方程组 时，最简便的做法是（　　） A．两式相加，消去 　　　　　　B．两式相减，消去 C．两式相加，消去 　　　　　　D．把第一个方程变形后代入第二个方程 2． 把方程组 的两个方程相减，得到的方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3． 方程组 的解是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4． 若 、 满足 ，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5． 解方程组 ，下列变形能一步消元的是（　　） A．第一个方程 后与第二个方程相加　　B．第一个方程 后与第二个方程相减 C．第二个方程 后与第一个方程相加　　D．两式直接相加 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 加减消元法的依据是等式的性质：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是＿＿＿＿。 7． 方程组 的解是 ＿＿＿＿，＿＿＿＿。 8． 方程组 中，两式相加消去的未知数是＿＿＿＿，解得 ＿＿＿＿。 9． 把方程 去分母后化成整系数方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。 10． 已知 ，则 ＿＿＿＿。 （三）解答题（共 60 分） 11．（16 分）用加减法解下列方程组。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 12．（14 分）选择合适的方法解下列方程组，并说明你选择该方法的理由。 （1）；　　（2）。 13．（16 分）解下列方程组。 （1）；　　（2）（提示：先把两式相加、相减）。 14．（14 分）已知关于 、 的方程组 。 （1）把 ① 与 ② 相加，求 的值（结果与 无关）； （2）若这个方程组的解还满足 ，求 、 的值； （3）求（2）中 的值。 参考答案与解析 第 1 课时　代入消元法 一、选择题 1．B　【解析】把 代入 时， 是一个整体，必须加括号，得 。 A、C 都漏掉了括号，D 代错了方程。 2．A　【解析】观察系数：第一个方程中 的系数是 ，由它变形得 ，不会出现分数，最简便。其余三种变形都会产生分数。 3．A　【解析】由第二个方程得 ，代入第一个方程得 ，即 ； 把 代回 ，得 。 4．A　【解析】，所以 。 方法提示：看到「已知一个式子的值，求另一个式子的值」，先找倍数关系，整体代入最快。 5．A　【解析】把 ， 代入第一个方程：，即 ，解得 ； 代入第二个方程：，即 ，解得 。所以 。 易错点： 中 ，代入后应是 ，符号最容易弄错。 二、填空题 6． ；　 7． 【解析】把 代入 ，得 ，，；回代得 。 8． 【解析】，所以 。 9． ；　 【解析】把 代入 ，得 ，，； 再由 得 。 10． 【解析】由 得 ，。代入 ，得 ，解得 。 三、解答题 11．（16 分） （1）把 代入 ，得 ，即 ，解得 ； 回代得 。所以原方程组的解是 。 （2）由 得 ，代入 ，得 ， 去括号得 ，即 ，解得 ；回代得 。 所以原方程组的解是 。 （3）由 得 ，代入 ，得 ， 去括号得 ，即 ，解得 ；回代得 。 所以原方程组的解是 。 （4）由 得 ，代入 ，得 ， 去括号得 ，即 ，解得 ；回代得 。 所以原方程组的解是 。 【方法总结】代入法五步：变形 → 代入 → 求解 → 回代 → 写解。变形时挑系数为 或 的未知数，代入时别忘加括号。 12．（14 分） （1）因为 ，所以 。 （2）把 代入 ，得 ，即 ，解得 ；回代得 。 所以方程组的解是 ，此时 。 （3）把 ， 代入 ，得 ，解得 ； 代入 ，得 ，即 ，解得 。 13．（16 分） （1）由「 本笔记本和 支钢笔共 元」得 ； 由「 支钢笔比 本笔记本贵 元」得 。 所以方程组为 。 （2）由第二个方程得 ，代入第一个方程，得 ， 去括号得 ，即 ，解得 ；回代得 。 所以方程组的解是 ，即笔记本每本 元，钢笔每支 元。 （3）（元）。 答：小明共需 元。 14．（14 分） （1）小明只看错了方程 ① 中的 ，说明他所得的解满足方程 ②。 把 ， 代入 ②，得 ，即 ，解得 。 （2）小华只看错了方程 ② 中的 ，说明她所得的解满足方程 ①。 把 ， 代入 ①，得 ，即 ，，解得 。 （3）把 ， 代回原方程组，得 。 由 ① 两边同除以 ，得 ，即 ，代入 ②，得 ， 去括号得 ，即 ，解得 ；回代得 。 所以这个方程组的正确解是 。 【方法总结】「看错某个系数」类问题的关键是：看错哪个方程，所得的解就只满足另一个方程。抓住这一点，两个字母就能分别求出来。 第 2 课时　加减消元法与方法的选择 一、选择题 1．A　【解析】两个方程中 的系数分别是 与 ，互为相反数，按「异号相加」，两式相加即可消去 ，得 。 2．A　【解析】，右边 ，所以得 。 易错点：相减时 ，减数的每一项都要变号。 3．A　【解析】两式相加得 ，；两式相减得 ，。 4．B　【解析】两式相加得 ，即 ，所以 。 方法提示：系数对称的方程组，先相加往往能一步得到 。 5．A　【解析】第一个方程 得 ，此时 的系数 与第二个方程中的 互为相反数，两式相加得 ，一步消元。 二、填空题 6． 等式 7． ；　 【解析】两式相加得 ，；两式相减得 ，。 8． ；　 【解析】 的系数 与 互为相反数，相加得 ，所以 。 9． 【解析】分母 与 的最小公倍数是 ，两边同乘 ：，得 。 10． 【解析】。也可先解得 ，，则 。 三、解答题 11．（16 分） （1）两式相加得 ，解得 ；两式相减得 ，解得 。 所以原方程组的解是 。 （2）两式相减得 ，即 ，解得 ； 把 代入 ，得 ，解得 。 所以原方程组的解是 。 （3）记 。① 得 　③；② 得 　④。 ③ ④ 得 ，解得 ；把 代入 ①，得 ，，解得 。 所以原方程组的解是 。 （4）记 。① 得 　③。 ③ ② 得 ，解得 ；把 代入 ①，得 ，，解得 。 所以原方程组的解是 。 【方法总结】加减法三步：配系数 → 加减消元 → 回代求解。配系数时通常取两个系数的最小公倍数，乘的时候方程各项都不能漏。 12．（14 分） （1）选代入法。理由：第一个方程已经把 用含 的式子表示出来了，直接代入最方便。 把 代入 ，得 ， 去括号得 ，即 ，解得 ；回代得 。 所以方程组的解是 。 （2）选加减法。理由：两个方程中 的系数分别是 与 ，互为相反数，相加即可消元。 两式相加得 ，解得 ；把 代入 ，得 ，解得 。 所以方程组的解是 。 13．（16 分） （1）第一个方程两边同乘 （ 与 的最小公倍数），得 。 于是原方程组化为 。 ② 得 　③；① ③ 得 ；把 代入 ②，得 。 所以原方程组的解是 。 （2）记 。 ① ② 得 ，即 　③； ① ② 得 　④。 ③ ④ 得 ，解得 ；③ ④ 得 ，解得 。 所以原方程组的解是 。 【方法总结】遇到 这种系数对称的方程组，先相加得 、再相减得 ，比直接配系数快得多。 14．（14 分） （1）① ② 得 ， 即 ，两边同除以 ，得 。 可见 的值是 ，与 的取值无关。 （2）由 ，两式相加得 ，解得 ；两式相减得 ，解得 。 （3）把 ， 代入 ①，得 ，即 ，解得 。 检验：把 ，， 代入 ②：左边 ，右边 ，两边相等，结果正确。 【学后反思】本节只有一个中心词——消元。代入法是「用式子换未知数」，加减法是「用加减去掉未知数」，殊途同归。做题时先观察系数：有系数为 的就代入，有系数相等或相反的就加减，系数对称的先加后减；含分数的先去分母。最后别忘了回代与检验。 学科网（北京）股份有限公司 $