5.5 三元一次方程组 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三元一次方程组，通过基础巩固、方法优化到综合应用的三阶分层设计，培养抽象能力与模型意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义辨析与基本运算|单选题1、10考查三元一次方程组定义，填空题9直接应用加减消元，夯实概念理解| |中档|解法优化与简单应用|单选题3、5聚焦消元策略选择，解答题14训练规范解题步骤，提升运算能力| |提升|综合建模与拓展探究|以景区路线（题7）、奶茶购买（题16）等真实情境构建模型，融入整体思想（题15）与非负整数解（题18），发展应用意识与创新思维|

5.5 三元一次方程组 课后同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 4．已知方程组，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③ 6．童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（    ）元 A．31 B．32 C．34 D．36 7．【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（    ）    A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 8．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 二、填空题 9．三元一次方程组，则________ 10．含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做________． 概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系． 三元一次方程组中各个方程的________，叫做这个三元一次方程组的解． 11．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 12．已知单项式与是同类项，则______，______，______． 13．某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产_____天，B种零件生产_____天，C种零件生产_____天． 三、解答题 14．解方程组 (1) (2) 15．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 16．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 17．［阅读理解］： 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得： 得 把代入②得： 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）①+②得： ③ 得： (1)［类比迁移］：直接写出方程组的解______． (2)若，求的值． (3)［应用拓展］：打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 18．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程x+2y＝5的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B C A C B C 1．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【详解】 解：设1个“”， “”，“”的质量分别为， ∴， ∴， ∴， 即：与1个“”质量相等的“”的个数为2； 故选C． 3．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小， 本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组． 【详解】解：， ②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组， 故选：． 4．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】把三个方程相加即可得到的值． 【详解】解：， ①＋②＋③，得： ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键． 5．【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】观察发现，第三个方程不含z，故前两个方程相加小区z，可将三元方程转化为二元一次方程组来求解． 【详解】解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①②． 故选：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． 6．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】此题主要考查了方程组的应用．首先假设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．根据题意列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果． 【详解】解：设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元． 则由题意得：， 由②①得④ 由②①得⑤ 由⑤④③得 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、三元一次方程组的应用 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故选B． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． 8．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据新定义可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得： ②③得：， 将①代入上式得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键． 9．【答案】14 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ，得， ∴． 10．【答案】 三元一次方程组 公共解 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【解析】略 11．【答案】1 【知识点】三元一次方程组的应用、正方体相对两面上的字 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 12．【答案】 4 6 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解三元一次方程组，根据相同字母的指数相同列方程组求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得． 故答案为：4，，6． 13．【答案】 3 12 15 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，审清题意、正确列出三元一次方程组成为解题的关键． 设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天，根据“每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套，四月份共有30天”列出一个三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天， 根据题意得：解得：， 所以A种零件生产3天，B种零件生产12天，C种零件生产15天． 故答案为：3，12，15． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组． （1）先将第二个方程去分母简化，然后使用加减消元法求解； （2）通过加减消元先求出，得到关于和的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 将第二个方程乘以2，得 ，即 方程组化为 用第一个方程减去第二个方程，得 ，解得 将 代入 ，得 ，解得 ∴原方程组的解为 （2）解： ①+②，得 将④代入③，得 ，解得 将 代入①，得 将 代入②，得 ⑥-⑤，得 将 代入⑤，得 ∴原方程组的解为 15．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 16．【答案】(1)现各买一杯，需要花费42元； (2)小明共买了杯或杯． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）先求出多肉葡萄口味的奶茶单价，再根据题意列出二元一次方程，求出所以情况即可． 【详解】（1）解：设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费42元； （2）∵各买一杯，需要花费42元，生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元， ∴多肉葡萄口味的奶茶单价为（元）， 设小明买了生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶共a杯，多肉葡萄口味的奶茶b杯， ∵花费120元， ∴， 整理得， ∵，，且a、b均为整数， ∴或， ， 即小明共买了杯或杯． 17．【答案】(1) (2)1 (3)100元 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①−②即可得出答案； （3）设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，由题意可得关于x，y的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【详解】（1）方程组的解为． 把②代入①中，得：，解得：， 把代入②中，得， ∴方程组的解为． （2） ①－②得：， ∴． （3）设打折前A商品每件x元，B商品每件y元， 根据题意得：， 可得． 两边同时乘以15，得：， （元）， 答：比不打折少花了100元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． 18．【答案】(1)或或 (2)有，或或或 【知识点】二元一次方程的解、三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求； （2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解． 【详解】（1）解：当y＝0时，x＝5； 当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3； 当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1， 所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或； （2）解：有． ， ②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y， ①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y， ∵x、y、k为非负整数， ∴6﹣2y≥0，解得y≤3， ∴y＝0、1、2，3， 当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0， ∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $