第25章 一元二次方程 基础版复习讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过知识框架图系统梳理概念、解法及应用，用表格对比直接开平方法、因式分解法等适用场景，思维导图呈现实际问题等量关系模型，突出根的判别式与韦达定理的内在联系。 讲义亮点是“题型-易错点-方法”三维设计，如用代入法求参数值培养抽象能力，销售利润问题通过“单件利润×销量”模型发展模型意识，分层例题满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

第二十五章 一元二次方程（复习讲义） 目录 第二十五章 一元二次方程（复习讲义）人教版 1 25.1 一元二次方程的概念 2 一、一元二次方程的定义 2 二、一元二次方程的一般形式 2 三、一元二次方程的根 2 题型一：一元二次方程的定义 3 题型二：一元二次方程的一般形式 4 题型三：一元二次方程的根（解） 5 题型四：根据定义求参数 6 25.2 降次——解一元二次方程 7 一、直接开平方法 7 二、配方法 7 三、公式法 7 四、根的判别式 7 五、因式分解法 8 六、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 8 题型一：直接开平方法求解 9 题型二：配方法求解 10 题型三：公式法求解 12 题型四：因式分解法求解 13 题型五：利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 15 题型六：利用根的判别式和根与系数的关系求值 16 25.3 实际问题与一元二次方程 18 一、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 18 题型一：增长率、下降率问题 18 题型二：传染问题 19 题型三：循环问题 20 题型四：销售利润问题（“每每型”高频） 21 题型五：面积问题 23 25.1 一元二次方程的概念 一、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 判定一个方程是否为一元二次方程，需要同时满足三个条件： · 方程必须是整式方程，即分母和根号中都不含未知数； · 方程只含有一个未知数； · 未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c= 0（a≠ 0），其中： · ax2是二次项，a是二次项系数； · bx是一次项，b是一次项系数； · c是常数项。 需要注意：任何一元二次方程经过整理都可以化为一般形式，其中二次项系数a不能为0，若a=0，方程将退化为一元一次方程；一次项系数b和常数项c可以为0。 三、一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 判断一个数是否为一元二次方程的根，只需要将这个数代入方程，若方程左右两边相等，则该数是方程的根，反之则不是。 题型一：一元二次方程的定义 三大核心条件（缺一不可·点方法）判断方法模板：先化简→再判断（三步验证） 整式方程：分母不含未知数，无根号含未知数（验证：看分母、根号内是否有未知数，如 、 都不是）； 一元：仅含1个未知数（验证：看方程中未知数的个数，如 含2个未知数，不是）； 二次：化简后未知数最高次数为2，且二次项系数≠0（验证：合并同类项后，看最高次项次数和系数）。 易错点1：不化简直接判断（陷阱）：如 ，未化简时看似有二次项，化简后为 ，实际是一元一次方程； 解决方法：判断前必须先去括号、移项、合并同类项，再验证三大条件。 易错点2：忽略二次项系数不为0（陷阱）：二次项系数含参数时，易忘记“系数≠0”的前提； 解决方法：若方程为一元二次方程，先明确“二次项系数≠0”，再结合最高次数为2求解参数（如 是一元二次方程，则 ）。 例：下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变1】下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变2】下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二：一元二次方程的一般形式 化一般形式的步骤（点方法·定步骤） 1.去分母：等式两边同乘所有分母的最小公倍数（无分母可省略）； 2.去括号：遵循“括号前是正号，去括号不变号；括号前是负号，去括号全变号”； 3.移项：将所有项移到等式左边，右边化为0（移项要变号）； 4.合并同类项：将同类项合并，按二次项→一次项→常数项排列，二次项系数化为正整数（习惯要求，便于后续解题）。 易错点1：写系数时不带符号（陷阱）：如 ，易误将二次项系数写为2、常数项写为1； 解决方法：系数包含前面的符号，先确定各项符号，再写系数。 易错点2：忽略的前提（陷阱）：易误认为 一定是一元二次方程； 解决方法：牢记“”是一元二次方程一般形式的前提，若 ，则方程变为 ，是一元一次方程。 例：把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【变式1】将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【变式3】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：一元二次方程的根（解） 核心性质+解题方法（点方法·提效率） 性质：一元二次方程最多有2个实数根（可相等、可不等、可无实根）； 核心方法：代入法求参数（高频题型）：若 是方程 的根，将 代入方程，可得到关于参数的一元一次方程，求解即可。 例：已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个实数根，则a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【变式1】在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0有一个根为x＝﹣1，则实数a，b之间的关系为　 　 ． 【变式3】若是方程的一个根，求的值. 题型四：根据定义求参数 解题模板（点方法·定思路） 1.定次数：令未知数的最高次数=2（保证“二次”）； 2.定系数：令二次项系数≠0（保证是“二次方程”，而非一次方程）； 3.解参数：联立上述两个条件求解，排除使二次项系数为0的解（关键步骤，规避陷阱）。 例：方程 是一元二次方程，求 的值。 【变1】若是关于x的一元二次方程，则m的值为？ 【变2】若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A． 任意实数 B．1或 C．1 D． 【变3】已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 25.2 降次——解一元二次方程 一、直接开平方法 直接开平方法适用于形如(x + m)2=n（n≥ 0）的一元二次方程，根据平方根的定义，可得x + m = ，进而解得x = -m。 核心思路：将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。 适用情况：当一元二次方程缺少一次项，或可以整理为完全平方式等于非负数的形式时，优先使用直接开平方法。如果n < 0，方程没有实数根。 二、配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方法的理论依据是完全平方公式：(a ± b)2=a2± 2ab +b2。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： · 一化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数a； · 二移：把常数项移到方程的右边； · 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式； · 四开：若右边整理后是非负数，用直接开平方法解方程；若右边是负数，则原方程没有实数根。 配方法是一种重要的代数式变形方法，除了解方程，还经常用于代数式的最值求解、证明恒成立问题等场景。 三、公式法 公式法是通过配方法推导得到的通用求根公式，适用于所有一元二次方程。 对于一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0），当b2- 4ac ≥ 0 时，方程的实数根可以表示为： x = 这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 四、根的判别式 我们把Δ = b² - 4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的根的判别式，它的取值和方程根的情况有如下对应关系： 判别式取值 方程根的情况 Δ > 0 方程有两个不相等的实数根 Δ = 0 方程有两个相等的实数根 Δ < 0 方程没有实数根 说明：此处“两个相等的实数根”不能错误表述为“一个根”，一元二次方程在实数范围内最多有两个根。 五、因式分解法 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的核心依据是：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即若A·B = 0，则A = 0或B = 0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： · 将方程整理为一般形式，使右边为0； · 将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，常用分解方法包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法； · 令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； · 解一元一次方程，得到原方程的两个根。 三种解法的适用场景对比： 解法 适用方程特点 优势 直接开平方法 可化为完全平方式等于常数的形式 计算最简单，步骤最少 因式分解法 左边易于因式分解、右边为0 计算简便，求解速度快 公式法 所有一元二次方程 通用性强，不需要复杂变形 配方法 二次项系数为1、一次项系数为偶数 常用于推导公式、代数式变形 六、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的两个实数根是x₁，x₂，那么根与系数满足如下关系： x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = 利用韦达定理可以解决很多不需要求出方程根的问题，比如已知方程的一个根求另一个根、求关于根的对称式的值、已知两根的关系求方程中的参数值等。 常用变形求值 (x1 – x2)2= (x1+x2)2 – 4x1x2 + = x1x22 + x12x2= x1x2(x1+x2) = 注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。 题型一：直接开平方法求解 易错点1：忽略右边非负条件，当时，仍强行开方，导致错误（无实数根）； 易错点2：开平方漏写正负号，如，只写，漏掉； 易错点3：整体平方开方后，未对括号内的式子完整求解，如，开方后只算，忽略负根。 例：解一元二次方程：； 【变1】方程的根为（    ） A． B． C． D． 【变3】解方程：． 【变4】解方程： 题型二：配方法求解 易错点1：二次项系数不为1时，未先化为1就直接配方，导致常数项加错； 易错点2：配方时，只给左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，等式不成立； 易错点3：计算一次项系数一半的平方时出错（如一次项系数为-4，一半为-2，平方为4，易误算为-4）。 例：解方程：． 【变1】阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ∴⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤____________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【变2】解方程：． 【变式3】用配方法解方程 (1)； (2)． 题型三：公式法求解 易错点1：代错系数符号，尤其是为负数时，忘记求根公式中的（如，易误写为）； 易错点2：计算判别式时，符号出错（如，易忽略负号）； 易错点3：时，仍代入求根公式求解，忽略无实数根的情况； 易错点4：化简根式时出错（如，易误化简为，正确为）。 例：解下列方程：（用公式法）； 【变1】解方程：； ． 【变2】用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变3】若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 题型四：因式分解法求解 易错点1：因式分解不彻底，如，只分解为是正确的，易误分解为后两边同除以，约掉根； 易错点2：十字相乘法分解时，常数项分解错误，导致因式分解后与原方程不符； 易错点3：分解后忘记令每个因式等于0，直接写出根，步骤不规范且易出错； 易错点4：混淆平方差、完全平方公式，如，易误分解为，正确为。 例：解方程：； 【变1】解下列方程： (1)； (2)． 【变式2】在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【变3】选择适当的方法解方程：（1） （2） （3） （5）． （6）． （7）． 题型五：利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 步骤1：先判定是不是一元二次方程 必须先看二次项系数：若二次项系数含字母，先讨论系数是否为0 系数=0：不是一元二次方程，退化为一元一次方程，直接求根判断 系数≠0：才可用根的判别式 步骤2：确定 把方程化成一般形式，准确写出含字母的 。 步骤3：计算 展开、化简判别式，整理成完全平方+常数或整式形式。 步骤4：配方/变形判断 正负 利用平方非负：，判断 大于0、等于0还是小于0。 步骤5：下结论 对应写出根的三种情况。 1.忘记二次项系数不为0：含字母系数直接套判别式，忽略前提，字母使二次项系数为0时不是二次方程，不能用。 2.找错 符号：方程没化成一般式， 带负号漏掉负号，导致 计算全错。 3.化简 不彻底，不会配方：算出 后不整理、不配方，看不出正负，无法判断根的情况。 4.认为 就一定有两个根：只有 时， 才有两个实数根；若 只有一个根。 5.字母取值范围遗漏限制：题目有隐含条件（整数、正数、取值范围），判断后不结合范围取舍。 6.混淆“实数根”和“两个相等实数根”： 是两个相等实数根，不能说成“一个实数根”。 例：已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 【变1】方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变2】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 B． 【变3】已知关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围为　 　 ． 题型六：利用根的判别式和根与系数的关系求值 1.先定二次项系数：必须保证 2.先算判别式 ：有实数根前提，这是最容易漏的一步 3.再用韦达定理：写出 、 4.代数式变形：把所求式子化成只含 、 再整体代入 易错点1：忽略二次项系数 题目含参数 时，默认是一元二次方程，一定要先写 限制参数范围，否则会多出增根。 易错点2：只用韦达定理，不检验 只要题目说“方程有两个实数根/存在两根”，必须先 求参数范围，再代入求值；很多同学直接套韦达算出答案，参数超出有根范围，答案直接错。 易错点3：混淆韦达定理符号 记死：和是 ，积是 ；最常见错：把两根和写成 ，符号反了全盘错。 易错点4：代数式变形出错 求 忘记 减 ；求 忘记 减 。 易错点5：题目没说一元二次方程，当成二次方程做 题目只说“方程有实数根”，要分两种情况：① 一次方程 ；② 二次方程 。 易错点6：分式求值不考虑分母不为0 求 类，要隐含 ，即 。 例：若是方程的两个根，求下列各式的值： (1) （x₁−3）（x₂−3）； (2) （x₁−x₂）². 【变式6-1】一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】若m，n是一元二次方程的两个实数根，则m+n−mn的值为__________. 【变式6-3】已知方程的两个根互为相反数。 （1） 求k的值； （2） 求该方程的根. 25.3 实际问题与一元二次方程 一、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 列一元二次方程解实际问题的步骤可以概括为“审、设、列、解、检、答”六步： · 审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量，找出等量关系； · 设：设未知数，分为直接设未知数（直接设题目要求的量为未知数）和间接设未知数（设和要求量相关的其他量为未知数），根据题目情况合理选择； · 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程； · 解：解列出的一元二次方程，得到未知数的值； · 检：检验方程的解是否符合实际问题的意义，不符合实际意义的解要舍去； · 答：写出最终答案，注意单位完整准确。 和一元一次方程解决实际问题不同，一元二次方程通常会有两个解，必须要检验两个解是否符合实际情境，很多时候会有一个解不符合题意需要舍去，这是解题中最容易出错的环节。 题型一：增长率、下降率问题 增长率：（=基数，=增长率，=次数，=最终量） 降低率：（=降低率，其余同上） 关键：第二次变化在第一次基础上发生，常见“两年/两次增长/降低”。、 常见考法：已知初始量和两次增长后的最终量，求平均增长率，此时n=2，直接代入公式即可。 例：某工厂2023年产值为100万元，2025年预计产值达144万元，求年平均增长率。 【变1】随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023年云南省鲜切花出口值达5.7亿元，2025年云南省鲜切花出口值达12.2亿元．如果设这两年出口值的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变2】2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 【变3】某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 题型二：传染问题 传染问题的本质和增长率问题类似，核心模型是：每轮传染中平均一个人传染x个人，初始有m个传染源，经过两轮传染后总感染人数N满足： （=初始人数，=每轮传染数，=轮数，=总人数） 需要注意：传染问题中，原来的传染源在传染后仍然属于感染人数，所以公式是在原来基础上乘以(1+x)，而不是仅仅新增感染人数，这是易错点。 例：1人患流感，经过两轮传染后共121人患病，每轮每人传染几人？ 【变1】冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变2】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【变3】近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 题型三：循环问题 循环问题分为单循环和双循环两种： 单循环（握手/联赛）：每两个主体之间只进行一次互动（比如握手、比赛一场），若总共有n个主体， ∴=总次数（每两人只算1次） 双循环（主客场、互赠）：每两个主体之间进行两次互动（比如主客场比赛，互送礼物），若总共有n个主体， ∴=总次数（每两人算2次） 题目给出总互动次数，求解主体数量n，直接根据上述关系列方程即可。 例：我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，共有多少个班参加比赛？ 【变1】某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【变2】毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有_________位同学. 【变3】于老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完.设该班级有x名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生. 题型四：销售利润问题（“每每型”高频） 利润问题的核心公式： 单件利润 = 单价售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售量 = 总销售额 - 总成本；利润率= 关键模型：每降价m元，多卖n件 设降价元，则：新售价=原售价；新销量=原销量；总利润=(新售价-进价)×新销量 常见考法：当售价上涨x元时，销售量会减少k x件；售价下降x元时，销售量会增加kx倍，题目给出总利润，求定价或涨降的幅度。解题时只需要根据上述公式分别表示出单件利润和销售量，相乘得到总利润后即可列出方程求解。 避坑：设降价，不要误设售价为； 检验根：降价后售价>进价，销量为正； 题目有“尽快清库存”，选降价更大的根。 例：APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【变1】某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 【变2】（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？ 【变3】某商品进价40元，售价60元，每周卖300件；每降价1元，每周多卖30件。要获利6480元且尽快清库存，应降价多少元？ 题型五：面积问题 面积问题通常需要结合几何图形的面积公式，通过割补法表示出所求图形的面积，进而列出方程。常见考法包括： 在矩形空地修等宽的小路，剩余面积种植作物，求小路宽度； 利用已知长度的围栏，借助一面墙围矩形场地，求面积和边长的关系； 图形截去四周的边框，得到内部矩形的面积，求边框宽度。 解题技巧：不规则→规则，平移小道/边框，将分散图形拼接为整体； 规则图形：直接用面积公式（矩形、正方形、三角形）列方程； 不规则图形：割补/平移转化为规则图形，利用“总面积-空白面积=阴影面积”或“拼接后面积相等”； 常见模型：矩形内十字小道：长、宽，小道宽，草坪面积=； 边框问题：长、宽，边框宽，总面积=。 易错：小道宽度、边框宽度设为，注意长和宽均减2x（两边都有边框）。 例：如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【变1】某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条"之"字路，余下部分绿化，绿化的面积为551 m².已知整个长方形空地的长为30 m、宽为20 m，求道路的宽. 【变2】将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.如果要使这两个正方形的面积之和等于17 cm²，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是多少？ 【变3】2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 第 3 页 共 24 页 徐老师 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（复习讲义）解析 目录 第二十五章 一元二次方程（复习讲义）人教版 1 25.1 一元二次方程的概念 2 一、一元二次方程的定义 2 二、一元二次方程的一般形式 2 三、一元二次方程的根 2 题型一：一元二次方程的定义 3 题型二：一元二次方程的一般形式 4 题型三：一元二次方程的根（解） 5 题型四：根据定义求参数 6 25.2 降次——解一元二次方程 7 一、直接开平方法 7 二、配方法 7 三、公式法 7 四、根的判别式 7 五、因式分解法 8 六、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 8 题型一：直接开平方法求解 9 题型二：配方法求解 10 题型三：公式法求解 12 题型四：因式分解法求解 13 题型五：利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 15 题型六：利用根的判别式和根与系数的关系求值 16 25.3 实际问题与一元二次方程 18 一、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 18 题型一：增长率、下降率问题 18 题型二：传染问题 19 题型三：循环问题 20 题型四：销售利润问题（“每每型”高频） 21 题型五：面积问题 23 25.1 一元二次方程的概念 一、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 判定一个方程是否为一元二次方程，需要同时满足三个条件： · 方程必须是整式方程，即分母和根号中都不含未知数； · 方程只含有一个未知数； · 未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c= 0（a≠ 0），其中： · ax2是二次项，a是二次项系数； · bx是一次项，b是一次项系数； · c是常数项。 需要注意：任何一元二次方程经过整理都可以化为一般形式，其中二次项系数a不能为0，若a=0，方程将退化为一元一次方程；一次项系数b和常数项c可以为0。 三、一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 判断一个数是否为一元二次方程的根，只需要将这个数代入方程，若方程左右两边相等，则该数是方程的根，反之则不是。 题型一：一元二次方程的定义 三大核心条件（缺一不可·点方法）判断方法模板：先化简→再判断（三步验证） 整式方程：分母不含未知数，无根号含未知数（验证：看分母、根号内是否有未知数，如 、 都不是）； 一元：仅含1个未知数（验证：看方程中未知数的个数，如 含2个未知数，不是）； 二次：化简后未知数最高次数为2，且二次项系数≠0（验证：合并同类项后，看最高次项次数和系数）。 易错点1：不化简直接判断（陷阱）：如 ，未化简时看似有二次项，化简后为 ，实际是一元一次方程； 解决方法：判断前必须先去括号、移项、合并同类项，再验证三大条件。 易错点2：忽略二次项系数不为0（陷阱）：二次项系数含参数时，易忘记“系数≠0”的前提； 解决方法：若方程为一元二次方程，先明确“二次项系数≠0”，再结合最高次数为2求解参数（如 是一元二次方程，则 ）。 例：下列方程中，一元二次方程有（    ）． ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【详解】解： ① ：未明确，若则不是二次方程，故不满足； ② ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ③ ：展开得 ，最高次数为3，故不满足； ④ ：分母含未知数，不是整式方程，故不满足； ⑤ ：含两个未知数x和y，故不满足； ⑥ ：展开得 ，最高次数为4，故不满足； ⑦ ：满足一元二次方程条件，故满足； ⑧ ：满足一元二次方程条件，故满足． ∴ 只有⑦和⑧是一元二次方程，共2个． 故选：C． 【变1】下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【变2】下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【变3】若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．2y2 B．3x2 C．22 D．X 【答案】B 【分析】需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 题型二：一元二次方程的一般形式 化一般形式的步骤（点方法·定步骤） 1.去分母：等式两边同乘所有分母的最小公倍数（无分母可省略）； 2.去括号：遵循“括号前是正号，去括号不变号；括号前是负号，去括号全变号”； 3.移项：将所有项移到等式左边，右边化为0（移项要变号）； 4.合并同类项：将同类项合并，按二次项→一次项→常数项排列，二次项系数化为正整数（习惯要求，便于后续解题）。 易错点1：写系数时不带符号（陷阱）：如 ，易误将二次项系数写为2、常数项写为1； 解决方法：系数包含前面的符号，先确定各项符号，再写系数。 易错点2：忽略的前提（陷阱）：易误认为 一定是一元二次方程； 解决方法：牢记“”是一元二次方程一般形式的前提，若 ，则方程变为 ，是一元一次方程。 例：把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【变式1】将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式2】将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【答案】； 【变式3】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 题型三：一元二次方程的根（解） 核心性质+解题方法（点方法·提效率） 性质：一元二次方程最多有2个实数根（可相等、可不等、可无实根）； 核心方法：代入法求参数（高频题型）：若 是方程 的根，将 代入方程，可得到关于参数的一元一次方程，求解即可。 例：已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个实数根，则a的值是（　　） A． ﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】C 解析： 把根 x= -1 代入方程 x²+2x+a=0： (-1)²+2×(-1)+a = 0 1-2+a = 0 -1+a = 0 a = 1 【变式1】在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解析： 判断 x=1 是不是方程的根，把 x=1 分别代入各个选项，看等式左边是否等于 0。 A 选项：当 x=1 时，左边 = 1²−2×1+3=1−2+3=2≠0，所以 x=1 不是该方程的根。 B 选项：当 x=1 时，左边 = 1²+2×1+3=1+2+3=6≠0，所以 x=1 不是该方程的根。 C 选项：当 x=1 时，左边 = 1²+2×1−3=1+2−3=0，左边等于右边，所以 x=1 是该方程的根。 D 选项：当 x=1 时，左边 = 1²−2×1−3=1−2−3=−4≠0，所以 x=1 不是该方程的根。 【变式2】 关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0有一个根为x＝﹣1，则实数a，b之间的关系为　 　 ． 【答案】a−b=1 解析： 把 x=-1 代入方程 ax²+bx−1=0， a×(-1)²+b×(-1)-1 = 0 a×1 -b -1 = 0 整理得到：a−b=1。 【变式3】若是方程的一个根，求的值. 【答案】-3 解析： 因为 m 是方程 2x²−3x+2=0 的根，将 x=m 代入方程得： 2m²−3m+2 = 0 移项：2m²−3m = -2 对所求代数式变形： 9m−6m²+3 = -6m²+9m+3 = -3×(2m²−3m)+3 把 2m²−3m = -2 整体代入： = -3×(-2)+3 = 6+3 = -3 题型四：根据定义求参数 解题模板（点方法·定思路） 1.定次数：令未知数的最高次数=2（保证“二次”）； 2.定系数：令二次项系数≠0（保证是“二次方程”，而非一次方程）； 3.解参数：联立上述两个条件求解，排除使二次项系数为0的解（关键步骤，规避陷阱）。 例：方程 是一元二次方程，求 的值。 【解析】 一元二次方程两个必备条件： ① 未知数最高次数等于 2 ② 二次项系数不能为 0 条件列式： |m| + 1 = 2 m - 1 ≠ 0 由 |m|+1=2，得 |m|=1，m=1 或 m=-1 由 m1≠0，得 m≠1 综上 m = -1 【变1】若是关于x的一元二次方程，则m的值为？ 【解析】 条件列式： |m| - 1 = 2 m + 3 ≠ 0 由 |m|-1=2，得 |m|=3，m=3 或 m=-3 由 m+3≠0，得 m≠-3 综上 m = 3 【变2】若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A． 任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【解析】 一元二次方程条件： x 的次数等于 2：|2m| = 2 二次项系数不为 0：m+1 ≠ 0 由 |2m|=2，得 2m=2 或 2m=-2，m=1 或 m=-1 由 m+1≠0，得 m≠1 所以 m=1，选 C。 【变3】已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】-1 【解析】 x 的次数等于 2：m² + 1 = 2 二次项系数不为 0：m1 ≠ 0 由 m²+1=2，m²=1，得 m=1 或 m=-1 由 m1≠0，得 m≠1 所以 m = -1 25.2 降次——解一元二次方程 一、直接开平方法 直接开平方法适用于形如(x + m)2=n（n≥ 0）的一元二次方程，根据平方根的定义，可得x + m = ，进而解得x = -m。 核心思路：将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。 适用情况：当一元二次方程缺少一次项，或可以整理为完全平方式等于非负数的形式时，优先使用直接开平方法。如果n < 0，方程没有实数根。 二、配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方法的理论依据是完全平方公式：(a ± b)2=a2± 2ab +b2。 用配方法解一元二次方程的一般步骤： · 一化：将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数a； · 二移：把常数项移到方程的右边； · 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式； · 四开：若右边整理后是非负数，用直接开平方法解方程；若右边是负数，则原方程没有实数根。 配方法是一种重要的代数式变形方法，除了解方程，还经常用于代数式的最值求解、证明恒成立问题等场景。 三、公式法 公式法是通过配方法推导得到的通用求根公式，适用于所有一元二次方程。 对于一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0），当b2- 4ac ≥ 0 时，方程的实数根可以表示为： x = 这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 四、根的判别式 我们把Δ = b² - 4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的根的判别式，它的取值和方程根的情况有如下对应关系： 判别式取值 方程根的情况 Δ > 0 方程有两个不相等的实数根 Δ = 0 方程有两个相等的实数根 Δ < 0 方程没有实数根 说明：此处“两个相等的实数根”不能错误表述为“一个根”，一元二次方程在实数范围内最多有两个根。 五、因式分解法 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的核心依据是：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即若A·B = 0，则A = 0或B = 0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： · 将方程整理为一般形式，使右边为0； · 将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，常用分解方法包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法； · 令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； · 解一元一次方程，得到原方程的两个根。 三种解法的适用场景对比： 解法 适用方程特点 优势 直接开平方法 可化为完全平方式等于常数的形式 计算最简单，步骤最少 因式分解法 左边易于因式分解、右边为0 计算简便，求解速度快 公式法 所有一元二次方程 通用性强，不需要复杂变形 配方法 二次项系数为1、一次项系数为偶数 常用于推导公式、代数式变形 六、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程ax2+bx+c= 0（a≠ 0）的两个实数根是x₁，x₂，那么根与系数满足如下关系： x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = 利用韦达定理可以解决很多不需要求出方程根的问题，比如已知方程的一个根求另一个根、求关于根的对称式的值、已知两根的关系求方程中的参数值等。 常用变形求值 (x1 – x2)2= (x1+x2)2 – 4x1x2 + = x1x22 + x12x2= x1x2(x1+x2) = 注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。 题型一：直接开平方法求解 易错点1：忽略右边非负条件，当时，仍强行开方，导致错误（无实数根）； 易错点2：开平方漏写正负号，如，只写，漏掉； 易错点3：整体平方开方后，未对括号内的式子完整求解，如，开方后只算，忽略负根。 例：解一元二次方程：； 解： 两边同时除以 4： (x1)² = 9/4 直接开平方： x1 = ±3/2 x₁ = 5/2 x₂ = -1/2 【变1】方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【变3】解方程：． 【解析】=25 x₁ = 2 x₂ = −3 【变4】解方程： 【解析】 x² = 4 直接开平方： x = ±2 x₁=2 ，x₂=−2 题型二：配方法求解 易错点1：二次项系数不为1时，未先化为1就直接配方，导致常数项加错； 易错点2：配方时，只给左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，等式不成立； 易错点3：计算一次项系数一半的平方时出错（如一次项系数为-4，一半为-2，平方为4，易误算为-4）。 例：解方程：． 【解析】移项： x² −4x = 1 配方，两边加上一次项系数一半的平方，x² −4x +4 = 1+4 写成完全平方： (x−2)² = 5 直接开平方： x−2 = ±√5 x = 2±√5 答案：x₁=2+√5 ，x₂=2−√5 【变1】阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ∴⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤____________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【解析】(1) 上述解题过程有误，错在步骤 ②； (2) 正确解答过程： 解：x²−2x−9 = 0 移项，得： x²−2x = 9 配方，两边同时加 1： x²−2x+1 = 9+1 写成完全平方形式： (x−1)² = 10 直接开平方： x−1 = ±√10 x = 1±√10 ∴ x₁ = 1+√10 ，x₂ = 1−√10 【变2】解方程：． 【解析】 移项 x²−4x = 1 配方，两边加 4 x²−4x+4 = 1+4 (x−2)² = 5 开平方 x−2 = ±√5 x = 2±√5 ∴ x₁=2+√5 ，x₂=2−√5 【变式3】用配方法解方程 (1)； (2)． 【解析】(1) x (x−3)=x−3 解： 去括号 x²−3x = x−3 移项整理 x²−4x = −3 配方，两边加 4 x²−4x+4 = −3+4 (x−2)² = 1 开平方 x−2 = ±1 当 x−2=1 时，x₁=3 当 x−2=−1 时，x₂=1 ∴ x₁=3 ，x₂=1 (2) x²−8x+5 = 0 解： 移项 x²−8x = −5 配方，两边加 16 x²−8x+16 = −5+16 (x−4)² = 11 开平方 x−4 = ±√11 x = 4±√11 ∴ x₁=4+√11 ，x₂=4−√11 题型三：公式法求解 易错点1：代错系数符号，尤其是为负数时，忘记求根公式中的（如，易误写为）； 易错点2：计算判别式时，符号出错（如，易忽略负号）； 易错点3：时，仍代入求根公式求解，忽略无实数根的情况； 易错点4：化简根式时出错（如，易误化简为，正确为）。 例：解下列方程：（用公式法）； 【解析】解： a=3，b=−5，c=2 判别式 Δ=b²−4ac = (−5)²−4×3×2 =25−24=1 x = [−b±√Δ]/(2a) = [5±√1]/(2×3) = [5±1]/6 x₁=(5+1)/6=1 x₂=(5−1)/6=2/3 ∴ x₁=1 ，x₂=2/3 【变1】解方程：； ． 【解析】解：整理成标准形式 3x²+2x−4=0 a=3，b=2，c=−4 Δ=b²−4ac = 2²−4×3×(−4)=4+48=52 x = [−2±√52]/(2×3) = [−2±2√13]/6 = [−1±√13]/3 ∴ x₁=(−1+√13)/3 ，x₂=(−1−√13)/3 解： a=1，b=−4，c=2 Δ=b²−4ac = (−4)²−4×1×2 =16−8=8 x = [4±√8]/2 = [4±2√2]/2 = 2±√2 ∴ x₁=2+√2 ，x₂=2−√2 【变2】用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【变3】若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 【答案】A 题型四：因式分解法求解 易错点1：因式分解不彻底，如，只分解为是正确的，易误分解为后两边同除以，约掉根； 易错点2：十字相乘法分解时，常数项分解错误，导致因式分解后与原方程不符； 易错点3：分解后忘记令每个因式等于0，直接写出根，步骤不规范且易出错； 易错点4：混淆平方差、完全平方公式，如，易误分解为，正确为。 例：解方程：； 【解析】解 x²−8x+7=0 因式分解：(x−1)(x−7)=0 x−1=0 或 x−7=0 ∴ x₁=1，x₂=7 解 2x²+5x−3=0 因式分解：(2x−1)(x+3)=0 2x−1=0 或 x+3=0 ∴ x₁=1/2，x₂=−3 【变1】解下列方程： (1)； (2)． 【解析】解：(1) 3x²+5x−2=0 因式分解：(3x−1)(x+2)=0 3x−1=0 或 x+2=0 ∴ x₁=1/3，x₂=−2 (2) x (2x+3)=4x+6 移项变形：x (2x+3)−2 (2x+3)=0 提取公因式：(2x+3)(x−2)=0 2x+3=0 或 x−2=0 ∴ x₁=−3/2，x₂=2 知识点：因式分解法解一元二次方程，先把方程右边化为 0，左边分解为两个因式乘积，再分别令每个因式等于 0 求出根。 【变式2】在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【解析】小明的解法中第二步开始出现错误； 错误原因：等式两边同时除以因式 (x−2)，没有考虑 x−2=0 的情况，造成丢根。 正确解答过程： 解：3 (x−2)² = x²−4 3 (x−2)² = (x+2)(x−2) 移项得：3 (x−2)² − (x+2)(x−2) = 0 提取公因式 (x−2)： (x−2)[3 (x−2)−(x+2)] = 0 (x−2)(3x−6−x−2) = 0 (x−2)(2x−8) = 0 x−2=0 或 2x−8=0 ∴ x₁=2，x₂=4 【变3】选择适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4）． （5）． （6）． 【解析】(1) 2x²−16x=0 解：提取公因式 2x (x−8)=0 2x=0 或 x−8=0 ∴ x₁=0，x₂=8 (2)2x²+2√3 x+1=0 解：公式法，a=2，b=2√3，c=1 Δ=(2√3)²−4×2×1 =12−8=4 x = [−2√3±√4]/(2×2) = [−2√3±2]/4 = [−√3±1]/2 ∴ x₁=(−√3+1)/2，x₂=(−√3−1)/2 (3) (2x−1)²=(5−x)² 解：移项，平方差 (2x−1)²−(5−x)²=0 [(2x−1)+(5−x)][(2x−1)−(5−x)]=0 (x+4)(3x−6)=0 x+4=0 或 3x−6=0 ∴ x₁=−4，x₂=2 (4) x²−8x−11=0 解：配方法 x²−8x = 11 x²−8x+16 = 11+16 (x−4)² =27 x−4 = ±3√3 ∴ x₁=4+3√3，x₂=4−3√3 (5) 2x²−7x+1=0 解：公式法，a=2，b=−7，c=1 Δ=49−8=41 x = [7±√41]/4 ∴ x₁=(7+√41)/4，x₂=(7−√41)/4 （6） 知识点：等式两边不要随意除以含有未知数的式子，会丢失使该式子等于 0 的根；根据方程形式灵活选用直接开平方、因式分解、配方、公式法。 题型五：利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 步骤1：先判定是不是一元二次方程 必须先看二次项系数：若二次项系数含字母，先讨论系数是否为0 系数=0：不是一元二次方程，退化为一元一次方程，直接求根判断 系数≠0：才可用根的判别式 步骤2：确定 把方程化成一般形式，准确写出含字母的 。 步骤3：计算 展开、化简判别式，整理成完全平方+常数或整式形式。 步骤4：配方/变形判断 正负 利用平方非负：，判断 大于0、等于0还是小于0。 步骤5：下结论 对应写出根的三种情况。 1.忘记二次项系数不为0：含字母系数直接套判别式，忽略前提，字母使二次项系数为0时不是二次方程，不能用。 2.找错 符号：方程没化成一般式， 带负号漏掉负号，导致 计算全错。 3.化简 不彻底，不会配方：算出 后不整理、不配方，看不出正负，无法判断根的情况。 4.认为 就一定有两个根：只有 时， 才有两个实数根；若 只有一个根。 5.字母取值范围遗漏限制：题目有隐含条件（整数、正数、取值范围），判断后不结合范围取舍。 6.混淆“实数根”和“两个相等实数根”： 是两个相等实数根，不能说成“一个实数根”。 例：已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 【解析】(1) 证明： a=1，b=−(m+1)，c=2m−2 判别式 Δ = b²−4ac =[−(m+1)]²−4×1×(2m−2) =m²+2m+1−8m+8 =m²−6m+9 =(m−3)² ∵不论 m 取何实数，(m−3)²≥0，即 Δ≥0 ∴不论 m 为何值，方程总有两个实数根。 (2) 解： 因式分解原方程： x²−(m+1) x+2m−2=0 (x−2)[x−(m−1)]=0 解得 x₁=2，x₂=m−1 分两种等腰情况讨论： ① AB=3 为腰，则另外两边一边为 3，一边为 2。 若 m−1=3，则 m=4，三边为 3，3，2，可以构成三角形。 周长 = 3+3+2=8。 ② AB=3 为底，则两腰相等，即 m−1=2，m=3，三边为 2，2，3，可以构成三角形。 周长 = 2+2+3=7。 综上，△ABC 的周长为 8 或 7。 【变1】方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】解：整理成标准式 x²−3x−6=0 a=1，b=−3，c=−6 Δ = (−3)²−4×1×(−6)=9+24=33＞0 ∴方程有两个不相等实数根，选 A。 【变2】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】D 解析： 该方程为一元二次方程，二次项系数不能为 0，故 k≠0。 有两个不相等实数根，判别式 Δ>0。 a=k，b=−2，c=3 Δ=b²−4ac=(−2)²−4・k・3=4−12k 4−12k>0 解得 k<1/3 综上：k<1/3 且 k≠0，选 D。 【变3】已知关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围为　 　 ． 【答案】k<−1 解析： 方程无实数根，则 Δ<0。 a=1，b=−2，c=−k Δ=(−2)²−4×1×(−k)=4+4k <0 4k<−4 k<−1 题型六：利用根的判别式和根与系数的关系求值 1.先定二次项系数：必须保证 2.先算判别式 ：有实数根前提，这是最容易漏的一步 3.再用韦达定理：写出 、 4.代数式变形：把所求式子化成只含 、 再整体代入 易错点1：忽略二次项系数 题目含参数 时，默认是一元二次方程，一定要先写 限制参数范围，否则会多出增根。 易错点2：只用韦达定理，不检验 只要题目说“方程有两个实数根/存在两根”，必须先 求参数范围，再代入求值；很多同学直接套韦达算出答案，参数超出有根范围，答案直接错。 易错点3：混淆韦达定理符号 记死：和是 ，积是 ；最常见错：把两根和写成 ，符号反了全盘错。 易错点4：代数式变形出错 求 忘记 减 ；求 忘记 减 。 易错点5：题目没说一元二次方程，当成二次方程做 题目只说“方程有实数根”，要分两种情况：① 一次方程 ；② 二次方程 。 易错点6：分式求值不考虑分母不为0 求 类，要隐含 ，即 。 例：若是方程的两个根，求下列各式的值： (1) （x₁−3）（x₂−3）； (2) （x₁−x₂）². 【解析】解： 由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），a=2，b=4，c=−3 x₁+x₂ = −b/a = −4/2 = −2 x₁x₂ = c/a = −3/2 (1) (x₁−3)(x₂−3) = x₁x₂ −3x₁ −3x₂ +9 = x₁x₂ −3 (x₁+x₂)+9 代入： = −3/2 −3×(−2)+9 = −3/2 +6 +9 = −3/2 +15 = 27/2 (2) (x₁−x₂)² = (x₁+x₂)² −4x₁x₂ 代入： = (−2)² −4×(−3/2) = 4 +6 = 10 答案：(1) 27/2；(2) 10 【变式6-1】一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解析： a=1，b=−2，c=−3 由韦达定理：x₁+x₂ = −b/a = 2 【变式6-2】若m，n是一元二次方程的两个实数根，则m+n−mn的值为__________. 【答案】4/3 解析： a=3，b=−5，c=1 m+n = −b/a = 5/3 mn = c/a = 1/3 m+n−mn = 5/3 − 1/3 = 4/3 【变式6-3】已知方程的两个根互为相反数。 （1） 求k的值； （2） 求该方程的根. 【解析】解： (1) 设两根为 x₁、x₂，两根互为相反数，则 x₁+x₂=0 由韦达定理：x₁+x₂ = k 所以 k = 0 (3) 把 k=0 代入原方程： x²−3=0 x²=3 x₁=√3，x₂=−√3 综上：(1) k=0；(2) 方程的根为 x₁=√3，x₂=−√3 25.3 实际问题与一元二次方程 一、列一元二次方程解实际问题的一般步骤 列一元二次方程解实际问题的步骤可以概括为“审、设、列、解、检、答”六步： · 审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量，找出等量关系； · 设：设未知数，分为直接设未知数（直接设题目要求的量为未知数）和间接设未知数（设和要求量相关的其他量为未知数），根据题目情况合理选择； · 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程； · 解：解列出的一元二次方程，得到未知数的值； · 检：检验方程的解是否符合实际问题的意义，不符合实际意义的解要舍去； · 答：写出最终答案，注意单位完整准确。 和一元一次方程解决实际问题不同，一元二次方程通常会有两个解，必须要检验两个解是否符合实际情境，很多时候会有一个解不符合题意需要舍去，这是解题中最容易出错的环节。 题型一：增长率、下降率问题 增长率：（=基数，=增长率，=次数，=最终量） 降低率：（=降低率，其余同上） 关键：第二次变化在第一次基础上发生，常见“两年/两次增长/降低”。、 常见考法：已知初始量和两次增长后的最终量，求平均增长率，此时n=2，直接代入公式即可。 例：某工厂2023年产值为100万元，2025年预计产值达144万元，求年平均增长率。 【解析】解： 设年平均增长率为 x。 2024 年产值：100 (1+x) 2025 年产值：100 (1+x)² 列方程： 100 (1+x)² = 144 (1+x)² = 1.44 1+x = ±1.2 增长率 x>0，舍去负根 1+x=1.2 x=0.2=20% 答：年平均增长率为 20%。 【变1】随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023年云南省鲜切花出口值达5.7亿元，2025年云南省鲜切花出口值达12.2亿元．如果设这两年出口值的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解析： 平均增长率公式：初始量 ×(1 + 增长率)ⁿ = 最终量，n 为增长年数。 从 2023 到 2025，间隔 2 年，所以列方程：5.7 (1+x)²=12.2 答案：B 【变2】2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 【答案】1400 (1−x)²=1260 【变3】某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 【解析】解： (1) 设每周平均增长率为 x。 从第一周到第三周，经过 2 次增长， 列方程： 500 (1+x)² = 605 (1+x)² = 1.21 1+x = ±1.1 增长率大于 0，舍去负根 1+x = 1.1 x = 0.1 = 10% (2) 第四周日产量： 605 × (1+10%) = 605 × 1.1 = 665.5 答：(1) 每周平均增长率为 10%；(2) 第四周日产量预计为 665.5 件。 题型二：传染问题 传染问题的本质和增长率问题类似，核心模型是：每轮传染中平均一个人传染x个人，初始有m个传染源，经过两轮传染后总感染人数N满足： （=初始人数，=每轮传染数，=轮数，=总人数） 需要注意：传染问题中，原来的传染源在传染后仍然属于感染人数，所以公式是在原来基础上乘以(1+x)，而不是仅仅新增感染人数，这是易错点。 例：1人患流感，经过两轮传染后共121人患病，每轮每人传染几人？ 【解析】解： 设每轮每人传染 x 人。 第一轮后患病：1+x 第二轮后患病：(1+x)(1+x) = (1+x)² 列方程： (1+x)² = 121 1+x = ±11 人数不能为负，舍去11 1+x=11，x=10 答：每轮每人传染 10 人。 【变1】冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解析： 初始 2 人，第一轮每人传染 x 人，第一轮结束患病：2 (1+x) ，第二轮每个人再传染 x 人，两轮之后总人数：2 (1+x)²=32 【变2】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【答案】(1+x)²=16 【变3】近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【解析】解： (1) 设平均一人传染 x 人。 (1+x)² = 25 1+x = ±5 传染人数为正数，舍去负根 1+x = 5 x = 4 (2) 三轮传播总人数： 25 × (1+4) = 125 答：(1) 平均一人传染 4 人；(2) 经过三轮传播后共有 125 人会被感染。 题型三：循环问题 循环问题分为单循环和双循环两种： 单循环（握手/联赛）：每两个主体之间只进行一次互动（比如握手、比赛一场），若总共有n个主体， ∴=总次数（每两人只算1次） 双循环（主客场、互赠）：每两个主体之间进行两次互动（比如主客场比赛，互送礼物），若总共有n个主体， ∴=总次数（每两人算2次） 题目给出总互动次数，求解主体数量n，直接根据上述关系列方程即可。 例：我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，共有多少个班参加比赛？ 【解析】解： 设共有 x 个班参加比赛。 单循环比赛场数公式：1/2 x (x−1)=21 x (x−1)=42 x²−x−42=0 (x−7)(x+6)=0 x₁=7，x₂=−6（人数不能为负，舍去） 答：共有 7 个班参加比赛。 【变1】某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【答案】10 解： 设 x 个班级 1/2 x (x−1)=45 x (x−1)=90 x²−x−90=0 (x−10)(x+9)=0 X1=10，x2= -9（负根舍去） 【变2】毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有_________位同学. 【答案】10 解析：互送照片属于双向，方程 x (x−1)=90 x²−x−90=0 (x−10)(x+9)=0 X1=10，x2= -9（负根舍去） 【变3】于老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完.设该班级有x名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生. 【解析】解： 老师送出 x 张，同学之间互赠 x (x−1) 张 x + x (x−1) = 2304 x + x² − x = 2304 x² = 2304 x₁=48，x₂=−48（舍去） 答：该班级有 48 名学生。 题型四：销售利润问题（“每每型”高频） 利润问题的核心公式： 单件利润 = 单价售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售量 = 总销售额 - 总成本；利润率= 关键模型：每降价m元，多卖n件 设降价元，则：新售价=原售价；新销量=原销量；总利润=(新售价-进价)×新销量 常见考法：当售价上涨x元时，销售量会减少k x件；售价下降x元时，销售量会增加kx倍，题目给出总利润，求定价或涨降的幅度。解题时只需要根据上述公式分别表示出单件利润和销售量，相乘得到总利润后即可列出方程求解。 避坑：设降价，不要误设售价为； 检验根：降价后售价>进价，销量为正； 题目有“尽快清库存”，选降价更大的根。 例：APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【解析】解： (1) 设帆布袋单价 x 元，染料每套 y 元。 方程组为{4x+2y=104 6x+5y=196 化简第一个方程得：2x+y=52，y=52−2x 把 y=52−2x 代入 6x+5y=196 6x+5 (52−2x)=196 6x+260−10x=196 −4x=−64 x=16 y=52−2×16=20 答：帆布袋单价 16 元，染料每套 20 元。 (2) 设售价上涨 a 元，则售价为 (30+a) 元。 单件利润：30+a−20=10+a 每周销量：100−5a (10+a)(100−5a)=1125 1000−50a+100a−5a²=1125 −5a²+50a−125=0 a²−10a+25=0 (a−5)²=0 a1=a2=5 售价：30+5=35 元 答：售价应定为 35 元。 【变1】某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 【解析】解： 设每个玩具降价 2x 元，则每天多售出 10x 个。 单件利润：70−40−2x = 30−2x 日销量：60+10x (30−2x)(60+10x)=2160 展开：1800+300x−120x−20x²=2160 整理：−20x²+180x−360=0 两边 ÷(-20)：x²−9x+18=0 因式分解：(x−3)(x−6)=0 x₁=3，x₂=6 ∵要求尽快减少库存，销量要尽可能大，∴取 x=6，降价 12 元。 答：每个玩具应降价 12 元。 【变2】（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？ 【解析】解： 设售价上涨 2y 元，则销量减少 4y 个。 售价：20+2y 单件利润：20+2y−10 =10+2y 日销量：50−4y (10+2y)(50−4y)=600 展开：500−40y+100y−8y²=600 整理：−8y²+60y−100=0 两边 ÷(-4)：2y²−15y+25=0 因式分解：(2y−5)(y−5)=0 y₁=2.5，y₂=5 当 y=2.5 时，上涨 2y=5 元，售价 = 20+5=25 元 当 y=5 时，上涨 2y=10 元，售价 = 20+10=30 元 答：售价应定为 25 元或 30 元。 【变3】某商品进价40元，售价60元，每周卖300件；每降价1元，每周多卖30件。要获利6480元且尽快清库存，应降价多少元？ 【解析】解： 设应降价 x 元。 单件利润：60−40−x = 20−x 每周销量：300+30x 总利润： (20−x)(300+30x)=6480 展开： 6000+600x−300x−30x² = 6480 −30x²+300x−480 = 0 两边同除以−30 ：x²−10x+16=0 (x−2)(x−8)=0 x₁=2，x₂=8 要尽快清库存，销量要尽可能大，选择降价更多的 x=8。 答：应降价 8 元。 题型五：面积问题 面积问题通常需要结合几何图形的面积公式，通过割补法表示出所求图形的面积，进而列出方程。常见考法包括： 在矩形空地修等宽的小路，剩余面积种植作物，求小路宽度； 利用已知长度的围栏，借助一面墙围矩形场地，求面积和边长的关系； 图形截去四周的边框，得到内部矩形的面积，求边框宽度。 解题技巧：不规则→规则，平移小道/边框，将分散图形拼接为整体； 规则图形：直接用面积公式（矩形、正方形、三角形）列方程； 不规则图形：割补/平移转化为规则图形，利用“总面积-空白面积=阴影面积”或“拼接后面积相等”； 常见模型：矩形内十字小道：长、宽，小道宽，草坪面积=； 边框问题：长、宽，边框宽，总面积=。 易错：小道宽度、边框宽度设为，注意长和宽均减2x（两边都有边框）。 例：如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【解析】解：AB=x 是垂直于墙的边长。 平行于墙的边长：28+2−2x = 30−2x 面积 y = x (30−2x) (1) 若墙长度为 15 米，围成的菜地面积为 100 平方米，求出矩形菜地的长和宽。 x (30−2x)=100 30x−2x²=100 2x²−30x+100=0 x²−15x+50=0 (x−5)(x−10)=0 x₁=5，x₂=10 当 x=5 时，平行墙边长 = 30−2×5=20，20＞15，超过墙长，舍去。 当 x=10 时，平行墙边长 = 30−2×10=10，10＜15，符合题意。 答：矩形菜地平行于墙的长为 10 米，垂直于墙的宽为 10 米。 (2) x (30−2x)=120 30x−2x²=120 2x²−30x+120=0 x²−15x+60=0 判别式 Δ = (-15)²−4×1×60 =225−240 = −15＜0 方程没有实数根。 答：不能围成面积为 120 平方米的菜地，因为该一元二次方程无实数解。 【变1】某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条"之"字路，余下部分绿化，绿化的面积为551 m².已知整个长方形空地的长为30 m、宽为20 m，求道路的宽. 【解析】解：利用平移法，把绿化部分拼在一起，得到新的矩形。 设道路宽为 x m，则绿化区域的长为 (30−x) m，宽为 (20−x) m。 (30−x)(20−x)=551 600−50x+x²=551 x²−50x+49=0 (x−1)(x−49)=0 x₁=1，x₂=49 x=49 大于长方形的长和宽，不符合实际，舍去。 答：道路的宽为 1 米。 【变2】将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.如果要使这两个正方形的面积之和等于17 cm²，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是多少？ 【解析】解：设其中一段铁丝长为 x cm，则另一段长为 (20−x) cm。 两个正方形的边长分别为 x/4 cm，(20−x)/4 cm。 (x/4)² + [(20−x)/4]² = 17 两边同乘 16： x² + (20−x)² = 272 x² +400−40x+x² =272 2x²−40x+128=0 x²−20x+64=0 (x−4)(x−16)=0 x₁=4，x₂=16 当 x=4 时，另一段长度：20−4=16 当 x=16 时，另一段长度：20−16=4 答：两段铁丝的长度分别为 4cm 和 16cm。 【变3】2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 【解析】解：设过道宽为 x 米。 平移后座位区域长 (100−2x) 米，宽 (65−x) 米。 (100−2x)(65−x)=6272 6500−100x−130x+2x²=6272 2x²−230x+228=0 x²−115x+114=0 (x−1)(x−114)=0 x₁=1，x₂=114 x=114 超过场地长宽，舍去。 答：过道的宽应该设计为 1 米。 第 3 页 共 32页 徐老师 学科网（北京）股份有限公司 $